Dia Positi Vas 11

7/24/2019 Dia Positi Vas 11

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Captulo 11 CINEMTICA DE LAS PARTCULAS

x

PO

x

El movimiento de una partcula a lolargo de una recta se denomina mo-

vimientorectilneo. Para definir la

posicinPde la partcula sobre esa

recta, se elije un origen fijo Oy unadireccin positiva. La distanciaxdesde OhastaP, con el signo

apropiado, define por completo la posicin de la partcula

sobre la recta y se llama coordenada deposicin de esa

partcula.


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x

PO

x

La velocidad vde la partcula es igual a la derivada respecto altiempo de la coordenada de posicinx,

v =dx

dty la aceleracinase obtiene al derivar vcon respecto at,

a =dv

dt

o bien a =d 2x

dt 2

tambin se puede expresar acomo

a= vdv

dx


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x

PO

x

v =dx

dta =

dv

dt

o a = d2

xdt 2

a= v dvdx

o

La velocidad vy la aceleracin ase representan por nmeros

algebraicos !ue pueden ser positivos o negativos. "n valor po#

sitivo para vindica !ue la partcula se mueve en la direccinpositiva, y un valor negativo !ue se mueve en la direccin ne#

gativa. $in embargo, un valor positivo para apuede significar

!ue la partcula en verdad se acelera %es decir, se mueve m&s

r&pido' en la direccin positiva, o bien, !ue se desacelera %esdecir, se mueve m&s lentamente' en la direccin negativa. "n

valor negativo para ase sujeta a una interpretacin semejante.

+-


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(os tipos de movimiento se encuentran con frecuencia)

movimientorectilneouniforme, en el cual la velocidad v de la

partcula es constante y

x=xo+ vt

y movimientorectilneouniformemente acelerado, en el cual la

aceleracin ade la partcula es constante y

v= vo+ at

x=xo+ vot + at

21

2

v2= vo+ 2a(x-xo)2


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x

O

xA

xB

xB/A

A B

*uando las partculasAyBse mueven a lo largo de la misma

recta, se puede considerar el movimiento relativo deBcon

respecto aA. (enotando porxB/Ala coordenada relativa de

posicin deBcon respecto aA, se tiene

xB=xA+xB/A

(erivando dos veces con respecto a t, se obtiene

vB= vA+ vB/A aB= aA+ aB/A

en donde vB/Ay aB/Arepresentan, respectivamente, la velocidad

relativa y la aceleracinrelativa deBcon respecto aA.


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A

B

C

xA

xB

xC

*uando se conectanvarios blo!uespor medio de cuerdas

inextensibles, es posible escribir una relacinlineal entre sus

coordenadas de posicin. Entonces se pueden escribir

relaciones semejantes entre sus velocidades y sus

aceleraciones y se pueden usar para anali+ar su movimiento.


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veces es conveniente usar una solucingrfica para los

problemas !ue comprenden el movimiento rectilneo de una

partcula. La solucin gr&fica de manera m&s comn comprende

las curvasx # t, v- ty a # t.

a

tv

tx

t

t1 t2

v1

v2

t1 t2

v2- v1= a dtt1

t2

x1

x2

t1 t2

x2-x1= v dtt1

t2

En cual!uier tiempo dado t,

v pendiente de la curvax# t

a pendiente de la curva v# t

en tanto !ue, sobre cual!uier in#

tervalo dado de tiempo, t1a t2,

v/# v0 &rea debajo de la curva a# t

x/#x0 &rea debajo de la curva v# t


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x

y

r

P

Po

O

v

s

El movimientocurvilneo de una part-

cula comprende el movimiento de s#

ta a lo largo de una trayectoria curva.

La posicinPde la partcula en un mo#mento dado se define por el vector de

posicin r !ue une el origen Odel sis#

tema de coordenadas con el puntoP.

La velocidad vde la partcula se define por la relacin

v=dr

dtEl vectorvelocidad es tangente a la trayectoria de la partculay

tiene una magnitud vigual a la derivada con respecto al tiempode la longitudsdel arco descrito por la propia partcula)

v =ds

dt


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x

y

r

P

Po

O

v

s

v=dr

dt

En general, la aceleracin ade la partcula noes tangen-

te a la trayectoria de la mis-

ma. $e define por la relacin

v =ds

dt

a=dv

dtx

y

rP

Po

O

a

s


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x

y

zi

j

k

vx

vy

vz

xiyj

zk

P

x

y

z

i

j

k

r

ax

ay

az

P

(enotando porx,yyzlas coordenadas

rectangulares de una partculaP, las

componentes rectangulares de la veloci#

dad y de la aceleracin dePson iguales,respectivamente, a la primera y segunda

derivadas con respecto at de las

coordenadas correspondientes )

vx=x vy=y vz=z. . .

ax=x ay=y az=z.. .. ..

r

El uso de las componentes

rectangulares es efica+ en particular en

el estudio del movimiento de

proyectiles.


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x

y

z

x1

y1

z1

A

B

rA

rB rB/A

Para dos partculasA yB!ue se mue#

ven en el espacio, se considera el mo#

vimiento relativo deBcon respecto a

A, o de modo m&s preciso, con res#

pecto a un marco de referencia en mo#

vimiento sujeto aAy en translacin

con ste. (enotando por rB/A el vector

de posicinrelativo deBcon respecto aA,

se tiene

rB= rA+ rB/A

(enotando por vB/Ay aB/A, respectivamente, la velocidadrelativa y

la aceleracin relativadeBcon respecto aA, tambin se tiene

vB= vA+ vB/A

aB

= aA

+ aB/A

y


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x

y

C

P

an= en

O

v 2

at= etdv

dt

veces es conveniente resolver la ve#

locidad y la aceleracin de una partcu#

laPen componentes diferentes a las

rectangularesx,yyz. Para una partcu#laP!ue se mueve a lo largo de una

trayectoria confinada a un plano, se

anexan aP los vectores unitarios et,tangente a la trayectoria, y en, normal asta, y dirigidos hacia el centro de cur#

vatura de la misma.La velocidad y la aceleracin se expresan en trminos de las com#

ponentes tangencial y normal. La velocidad de la partcula es

v= vet

La aceleracin es

a= et + env2

dv

dt


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v= vet

En estas ecuaciones, ves la rapide+ de la partcula y es elradio de curvatura de su trayectoria. El vector velocidad vest&

dirigido a lo largo de la tangente a esa trayectoria. El vector

aceleracin a consta de una componente atdirigido a lo largo dela tangente a la trayectoria y una componente andirigido hacia el

centro de curvatura de sta.

a= et + env2

dvdt

x

y

C

P

an= en

O

v 2

at= etdv

dt


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x

P

O

e

r= rer

er*uando la posicin de una partcula en

movimiento en un plano se define por sus

coordenadas polares r y , es convenien#

te usar las componentes radial y transver#sal dirigidas, respectivamente, a lo largo

del vector de posicin r de la partcula y

en la direccin obtenida al hacer girarr

23o

en sentido contrario a las maneci#llas del reloj. Los vectores unitarios ery ese anexan aPy est&n

dirigidos en las direcciones radial y transversal. La velocidad y la

aceleracin de la partcula en trminos de las componentes radial

y transversal es

v= rer+ re. .

a= (r- r2)er + (r+ 2r)e... .. . .


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x

P

O

e

r= rer

erv= rer+ re

. .

a= (r- r2)er + (r+ 2r)e... .. ..

En estas ecuaciones los puntos representan derivacin conrespecto al tiempo. 4Por lo tanto, las componentes escalares de la

velocidad y de la aceleracin en las direcciones radial y

transversal son

vr = r v= r

. .

.ar= r- r2 a= r+ 2r... .. .

Es importante notar !ue arnoes igual a la derivada con respecto

al tiempo de vr, y !ue anoes igual a la derivada con respecto al

tiempo de v.

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