DERIVADAS PARCIALES

1

DERIVADAS PARCIALES

Definición

Sea funcion y0 À E © ïïïïïïïïïïî‘ ‘8

ÐB ß B ß ÞÞÞß B Ñqqqqp0ÐB ß B ß ÞÞÞß B Ñ" # 8 " # 8

+ œ Ð+ ß + ß ÞÞÞÞÞß + Ñß + − E ß + − E" # 8`

Diremos que es derivable parcialmente en respecto a la variable 0 + B4

con ,.... donde 4 − Ö" 8× ß B œ ÐB ß B ß ÞÞÞß B Ñ" # 8

ssi existelim

B Ä+

0Ð+ ß + ßÞÞß + ß B ß + ÞÞÞß + Ñ0Ð+ ß+ ßÞÞÞÞÞß+ ÑB +

4 4

" # 4" 4 4"ß 8 " # 8

4 4

y en tal caso , se dice que la derivada parcial de respecto a la variable0

en es , dondeB + Ð+Ñ4`0`B

4

`0`B B +B Ä+

0Ð+ ß + ßÞÞß + ß B ß + ÞÞÞß+ Ñ0Ð+ ß+ ßÞÞÞÞÞß+ Ñ

4 4 44 4

" # 4" 4 4"ß 8 " # 8Ð+Ñ œ lim

y en caso contrario, diremos que no es derivable parcialmente0

respecto a la variable en , es decir no existeB + Ð+Ñ4`0`B

4

Ejemplo Sea función0 À ïïïïïïïïïïî‘ ‘#

ÐBß CÑqqqqp$B C #C &BC ## $

Determine si existen : `0 `0`B `CÐ"ß "Ñ ß Ð"ß "Ñ

Solución

`0`B B" B"BÄ" BÄ"

0ÐBß " Ñ0Ð"ß"Ñ $B #&B#Ð)ÑÐ"ß "Ñ œ œlim lim#

œ œ œ ""lim limBÄ" BÄ"

$B &B)B" B"

ÐB"ÑÐ$B) Ñ#

luego : `0`B Ð"ß "Ñ œ ""

2

`0`C C " C"CÄ" CÄ"

0Ð"ß C Ñ0Ð"ß"Ñ $C#C &C#Ð)ÑÐ"ß "Ñ œ œlim lim$

œ œ œ #lim limCÄ" CÄ"

#C )C'C" C"

ÐC"ÑÐ#C #C' Ñ$ #

luego : `0`C Ð"ß "Ñ œ #

Ejemplo

Sea funcion0 À ïïïïïïïïïïî‘ ‘#

ÐBß CÑqqqqp$B C # #C & B " C B ## $ #¸ ¸ ¸ ¸

Determine si existen : `0 `0 `0 `0`B `C `B `CÐ "ß #Ñ ß Ð "ß #Ñ ß Ð "ß "Ñ ß Ð$ß "Ñ

Solución

`0`B B" B"BÄ" BÄ"

0ÐBß # Ñ0Ð"ß#Ñ "'"! B" B #Ð "&ÑÐ "ß #Ñ œ œlim lim

¸ ¸ #

por laterales ,se tiene queœ œlimBÄ"

"! B" B "

B"

¸ ¸ #

lim lim limBÄ" BÄ" BÄ"

"! B" B "

B" B" B""!ÐB"ÑB " B "!B""

# # #¸ ¸œ œ

œ œ ÐB ""Ñ œ "#lim limBÄ" BÄ"

ÐB"ÑÐB""ÑB"

lim lim limBÄ" BÄ" BÄ"

"! B" B "

B" B" B""!ÐB"ÑB " B "!B*

# # #¸ ¸œ œ

œ œ ÐB *Ñ œ )lim limBÄ" BÄ"

ÐB"ÑÐB*ÑB"

por lo tanto : no existe `0`B Ð "ß #Ñ

3

`0`C C # C#CÄ# CÄ#

0Ð"ß C Ñ0Ð"ß#Ñ $ C# #C "Ð "&ÑÐ "ß #Ñ œ œlim lim

¸ ¸ $

por laterales ,se tiene queœ œlimCÄ#

$ C# #C "'

C#

¸ ¸ $

lim lim limCÄ# CÄ# CÄ#

$ C# #C "'

C# C# C#$Ð C#Ñ#C "' $Ð C#Ñ#ÐC )Ñ

$ $ $¸ ¸œ œ

œ œ Ð $ #C %C )Ñ œ #"lim limCÄ# CÄ#

Ð C#ÑÐ$#C %C)ÑC #

#

#

lim lim limCÄ# CÄ# CÄ#

$ C# #C "'

C# C# C#$ÐC#Ñ#C "' $ÐC#Ñ#ÐC )Ñ

$ $ $¸ ¸œ œ

œ œ Ð$ #C %C )Ñ œ #(lim limCÄ# CÄ#

ÐC#ÑÐ$#C %C)ÑC #

#

#

por lo tanto : no existe `0`C Ð "ß #Ñ

`0`B B" B"BÄ" BÄ"

$B #& B" B #% %B %& B"Ð "ß "Ñ œ œlim lim

# # #¸ ¸ ¸ ¸

œ %ÐB "Ñ limBÄ"

B"

B"

¸ ¸

el cual por laterales ,se sabe que no existe por lo tanto : no existe `0`B Ð "ß "Ñ

`0`C C " C"CÄ" CÄ"

0Ð$ß C Ñ0Ð$ß"Ñ #( C# #C #!C*#Ð &'ÑÐ$ß "Ñ œ œlim lim

¸ ¸ $

œ œlim limCÄ" CÄ"

#(Ð C#Ñ#C #!C %*C" C"

#C (C&$ $

œ œ Ð#C #C &Ñlim limCÄ" CÄ"

ÐC"ÑÐ#C #C&ÑC "

##

œ "

luego : `0`C Ð$ß "Ñ œ "

4

Ejemplo

Sea función0 À ïïïïïïïïïïî‘ ‘#

ÐBß CÑqqqqp#BC B C # à B Ÿ C

BC $C &B $ à B C

ÚÛÜ

Determine si existen : `0 `0 `0`B `C `BÐ"ß "Ñ ß Ð"ß "Ñ à Ð"ß #Ñ

Solución

(por laterales) `0`B B" B"BÄ" BÄ"

0ÐBß"Ñ0Ð"ß"Ñ 0ÐBß"ÑÐ"ß "Ñ œ œlim lim

lim lim

BÄ" BÄ"

0ÐBß"ÑB" B"

B"

œ œ "

lim limBÄ" BÄ"

0ÐBß"ÑB" B"

'B '

œ œ '

por lo tanto : no existe `0`B Ð"ß "Ñ

(por laterales) `0`C C " B"CÄ" CÄ"

0Ð"ßCÑ0Ð"ß"Ñ 0Ð"ßCÑÐ"ß "Ñ œ œlim lim

lim lim

CÄ" CÄ"

0Ð"ßCÑC " C"

#C#

œ œ #

lim limCÄ" CÄ"

0Ð"ßCÑC " C"

$C$

œ œ $

por lo tanto : no existe `0`C Ð"ß "Ñ

`0`B B" B"BÄ" BÄ"

0ÐBß#Ñ0Ð"ß#Ñ $B$Ð"ß #Ñ œ œ œ $lim lim

por lo tanto : `0

`B Ð"ß #Ñ œ $

5

Ejemplo

Sea funcion0 À ïïïïïïïïïïî‘ ‘#

)ÐBß CÑqqqqp ÐB C " #C B $ #C &BC B #¸ ¸ # #

Determine si existen : `0 `0 `0 `0`B `C `B `CÐ "ß #Ñ ß Ð "ß #Ñ ß Ð"ß "Ñ ß Ð"ß "Ñ

Solución

) +1 6 10 `0`B B" B"BÄ" BÄ"

0ÐBß # Ñ0Ð"ß#Ñ ÐB" B B B Ð$ÑÐ "ß #Ñ œ œlim lim

¸ ¸ #

+œ œ B " ÐB *Ñ œ )lim limBÄ" BÄ"

ÐB" B ÐB"ÑÐB *Ñ

B"

) +1 ¸ ¸ ¸ ¸

luego : `0`B Ð "ß #Ñ œ )

) `0`C C # C#CÄ# CÄ#

0Ð"ß C Ñ0Ð"ß#Ñ Ð C# #C% #C &C"#Ð$ÑÐ "ß #Ñ œ œlim lim

¸ ¸ #

œ œ #C % Ð#C "Ñ œ $lim limCÄ# CÄ#

Ð C# #C% ÐC#ÑÐ#C"Ñ

C#

) ¸ ¸ ¸ ¸ luego : `0`C Ð "ß #Ñ œ $

`0`B B" B"BÄ" BÄ"

0ÐBß" Ñ0Ð "ß"Ñ B B" &BB 'Ð"ß "Ñ œ œlim lim

¸ ¸ #

œ œ Ð Ñlim limBÄ" BÄ"

B B" ÐB"ÑÐB'Ñ B B"

B" B" B"ÐB"ÑÐB'Ñ¸ ¸ ¸ ¸

no existeœ Ð ÐB 'ÑÑlimBÄ"

B B"

B"

¸ ¸

luego : no existe `0`B Ð"ß "Ñ

`0`C C " C"CÄ" CÄ"

0Ð"ß C Ñ0Ð"ß"Ñ C #C # #C &C"#Ð'ÑÐ"ß "Ñ œ œlim lim

¸ ¸ #


C C #C &C( C C ÐC"ÑÐ#C(Ñ

C " C"

2 1 2 1 ¸ ¸ ¸ ¸#

no existeœ Ð#C (ÑlimCÄ"

C C

C"

2 1 ¸ ¸

luego : no existe `0`C Ð"ß "Ñ

6

Observación

Supongamos que : `0`B B+BÄ+

0ÐBß, Ñ0Ð +ß,ÑÐ+ß ,Ñ œ lim

sea se tiene que c.p. cuando 2 œ B + 2 Ä ! B Ä + con lo cual : `0

`B 22Ä!

0Ð+2ß, Ñ0Ð +ß,ÑÐ+ß ,Ñ œ lim

y se tiene que es posible con dicha notación , calcular

analogamente se tiene que : `0`B 22Ä!

0ÐB2ßC Ñ0ÐBßCÑÐBß CÑ œ lim

`0`C C ,CÄ,

0Ð+ß C Ñ0Ð +ß,ÑÐ+ß ,Ñ œ lim

sea se tiene que c.p. cuando 5 œ C , 5 Ä ! C Ä + con lo cual : `0

`C 22Ä!

0Ð+ ß ,5 Ñ0Ð +ß,ÑÐ+ß ,Ñ œ lim

y se tiene que es posible con dicha notación , calcular

`0`C 22Ä!

0ÐB ß C5 Ñ0ÐBßCÑÐBß CÑ œ lim

Ejemplo

Dada la función 0ÐBß CÑ œ #B / %BC B "# BC " ##

Determinar : ; `0 `0`B `CÐBß CÑ ÐBß CÑ

Solución

`0`B 22Ä!


œ lim2Ä!

#ÐB2Ñ / %ÐB2ÑCÐB2Ñ "Ð#B / %BCB "Ñ2

# ÐB2ÑC " # # BC " ## #

œ Ð Ñlim2Ä!

#ÐB2Ñ / %ÐB2ÑCÐB2Ñ Ð#B / %BCB Ñ2 !

!# ÐB2ÑC " # # BC " ## #

por L`H se tiene :

7

œ lim2Ä!

%ÐB 2Ñ/ #ÐB 2Ñ C / %C #ÐB 2ÑÐB2ÑC " # # ÐB2ÑC "# #

œ %B/ #B C / %C #BBC " # # BC "# #

con lo cual : `0`BBC " # # BC "ÐBß CÑ œ %B/ #B C / %C #B

# #

analogamente :

`0`C 55Ä!

0ÐB ßC 5Ñ0ÐBßCÑÐBß CÑ œ lim

œ lim5Ä!

#B / %BÐC5ÑB "Ð#B / %BCB "Ñ5

# BÐC5Ñ " # # BC " ## #

œ Ð Ñlim5Ä!

#B / %B5 #B / !5 !

# BÐC5Ñ " # BC "# #

por L`H se tiene : œ %B ÐC 5Ñ/ %B œ %B C/ %Blim

5Ä!

$ BÐC5Ñ " $ BC "# #

con lo cual : `0`C$ BC "ÐBß CÑ œ %B C/ %B

#

Observación

En el ejemplo anterior : 0ÐBß CÑ œ #B / %BC B "# BC " ##

`0`B 22Ä!

0ÐB2ßC Ñ0ÐBßCÑ BC " # # BC "ÐBß CÑ œ œ %B/ #B C / %C #Blim# #

`0`C 55Ä!

0ÐB ßC 5Ñ0ÐBßCÑ $ BC "ÐBß CÑ œ œ %B C/ %Blim#

si en : `0`B 22Ä!


consideramos que : se tiene que 1ÐB Ñ œ 0ÐB ß C Ñ 1ÐB 2 Ñ œ 0ÐB 2 ß C Ñ

con lo cual ` `0`B 2 22Ä! 2Ä!

0ÐB2ßC Ñ0ÐBßCÑ 1ÐB2 Ñ1ÐB ÑÐBß CÑ œ œ œ 1 ÐBÑlim lim

y como considera a como una funcion que depende1ÐB Ñ œ 0ÐB ß C Ñ 0 sólo de ,derivando respecto a se tiene :B B

8

`1 ÐBÑ œ %B/ #B C / %C #B œ ÐBß CÑBC " # # BC " `0`B

# #

analogamente :

si en : `0`C 55Ä!

0ÐB ßC5 Ñ0ÐBßCÑÐBß CÑ œ lim

consideramos que : se tiene que 1ÐC Ñ œ 0ÐB ß C Ñ 1ÐC 2 Ñ œ 0ÐB ß C 5Ñ

con lo cual `0`C 55Ä!

0ÐB ßC5 Ñ0ÐBßCÑÐBß CÑ œ œlim

lim5Ä!

1ÐC5 Ñ1ÐCÑ5 œ 1 ÐCÑ`

y como considera a como una funcion que depende1ÐC Ñ œ 0ÐB ß C Ñ 0 sólo de ,derivando respecto a se tiene :C C `1 ÐCÑ œ œ %B C/ %B œ ÐBß CÑ$ BC " `0

`C

#

Ejemplo

Sea 0ÐBß Cß DÑ œ Ð#BC "Ñ D $ $ # #BC'D "#

Determinar : `0 `0 `0

`B `C `DÐ"ß "ß "Ñ à Ð"ß "ß "Ñ à Ð"ß "ß "Ñ

Solución

`0 #C `0`B D " `B

$ $ # #ÐBß Cß DÑ œ 'C Ð#BC "Ñ D à Ð"ß "ß "Ñ œ &#

`0 `0`C D " `C

# $ # # #BÐBß Cß DÑ œ ")BC Ð#BC "Ñ D à Ð"ß "ß "Ñ œ "*#

`0 `0`D ÐD "Ñ `D

$ $ #DÐ#BC'ÑÐBß Cß DÑ œ #Ð#BC "Ñ D à Ð"ß "ß "Ñ œ !# #

9

Ejemplo

Sea 2ÐBß CÑ œ $B #C ß ÐBß CÑ Á Ð "ß "Ñ

& ß ÐBß CÑ œ Ð "ß "Ñ

ÚÝÛÝÜ

ÐB"Ñ ÐC"ÑÐB"Ñ ÐC"Ñ

#

# #

Determinar

`2 `2 `2 `2`B `C `B `CÐ "ß "Ñ Ð "ß "Ñ Ð!ß "Ñ Ð!ß "Ñ, , ,

Solución

`2`B B"BÄ "

2ÐBß"Ñ2Ð"ß"ÑÐ "ß "Ñ œ lim

œ œ œ $ œ $lim lim limBÄ " BÄ " BÄ "B" B"

$B#& $B$

por lo tanto : `2`B Ð "ß "Ñ œ $

`2`C C" C"CÄ" CÄ"

2Ð"ßCÑ2Ð"ß"Ñ Ð "ß "Ñ œ œlim lim $#C&

œ œ # œ #lim limCÄ" CÄ"

#C#C"

por lo tanto : `2`C Ð "ß "Ñ œ #

`2`B BBÄ!

2ÐBß"Ñ2Ð!ß"ÑÐ!ß "Ñ œ lim

œ œ œ $ œ $lim lim limBÄ! BÄ! BÄ!B B

$B## $B

por lo tanto : `2`B Ð!ß "Ñ œ $

`2`C C" C"CÄ" CÄ"

2Ð!ßCÑ2Ð!ß"ÑÐ!ß "Ñ œ œlim limC"

C #C# #C#


#C 'C $C"ÐC"ÑCÐC#Ñ ÐC"ÑCÐC#Ñ

ÐC"ÑÐ#C %C"Ñ$ # #

œ œlimCÄ"

Ð#C %C"ÑCÐC#Ñ $

&#

por lo tanto : `2 &`C $Ð!ß "Ñ œ

10

Ejemplo

Sea 0ÐBß CÑ œ $CB #C B ß ÐBß CÑ Á Ð"ß "Ñ

% ß ÐBß CÑ œ Ð"ß "Ñ

ÚÝÛÝÜ

ÐB"ÑÐC"ÑÐB"Ñ ÐC"Ñ

# ## #

Determinar

`0 `0 `0 `0`B `C `B `CÐ"ß "Ñ Ð"ß "Ñ Ð"ß "Ñ Ð"ß "Ñ, , ,

Solución

`0`B B" B"BÄ" BÄ"

0ÐBß"Ñ0Ð"ß"ÑÐ"ß "Ñ œ œlim lim $B#B %#

œ œlim limBÄ" BÄ"

B B" B"

ÐB"ÑÐB#Ñ# $B#

œ ÐB #Ñ œ "limBÄ"

por lo tanto : `0`B Ð"ß "Ñ œ "

`0`C C" C"CÄ" CÄ"

0Ð"ßCÑ0Ð"ß "ÑÐ"ß "Ñ œ œlim lim $C #C "%#

œ œ Ð#C &Ñ œ (lim limCÄ" CÄ"

ÐC"ÑÐ#C&ÑC"

por lo tanto : `0`C Ð"ß "Ñ œ (

`0`B B" B"BÄ" BÄ"

0ÐBß"Ñ0Ð"ß"ÑÐ"ß "Ñ œ œlim limÐB"Ñ#

ÐB"Ñ %##$B#B $#"

œ œlimBÄ"

""#

#ÐB"Ñ %# ÐB %Ñ

por lo tanto : `0`B #""Ð"ß "Ñ œ

`0`C C" C"CÄ" CÄ"

0Ð"ßCÑ0Ð"ß "ÑÐ"ß "Ñ œ œlim lim $C#C "#

œ limCÄ" C"

Ð#C"ÑÐC"Ñ

por lo tanto : œ Ð#C "Ñ œ $ Ð"ß "Ñ œ $limCÄ"

`0`C

11

Ejemplo

Sea 1ÐBß CÑ œ #B C #B CB B $C¸ ¸ #

Determinar

`1 `1 `1 `1 `1 `1`B `C `B `C `B `CÐ!ß !Ñ Ð!ß !Ñ ß Ð"ß "Ñ Ð"ß "Ñ ß Ð"ß #Ñ Ð"ß #Ñ, , ,

Solución

1.- `1`B B BBÄ! BÄ!

1ÐBß!Ñ1Ð!ß!Ñ #B #B B!Ð!ß !Ñ œ œlim lim

¸ ¸

œ œ # #B " œ "lim limBÄ! BÄ!

#B #B B

B

¸ ¸ ¸ ¸ por lo tanto : `1`B Ð!ß !Ñ œ "

2.- `1 $C`C C CCÄ! CÄ!

1Ð!ßCÑ1Ð!ß !ÑÐ!ß !Ñ œ œ œ $lim lim

por lo tanto : `1`C Ð!ß !Ñ œ $

3.- `1`B B" B"BÄ" BÄ"

1ÐBß"Ñ1Ð"ß"Ñ #B "#B B B$*Ð"ß "Ñ œ œlim lim

¸ ¸ #


#BÐ"#BÑB B$*B" B"

&B B'# #

œ œ Ð&B 'Ñ œ ""lim limBÄ" BÄ"

ÐB"ÑÐ&B'ÑB"

por lo tanto : `1`B Ð"ß "Ñ œ ""

4.- `1`C C" C"CÄ" CÄ"

1Ð"ßCÑ1Ð"ß "Ñ # C# C $CÐ"ß "Ñ œ œlim lim

¸ ¸ 1 9

œ œ œ ' œ 'lim lim limCÄ" CÄ" CÄ"

# ÐC#ÑC $CC" C"

'C' 1 9

por lo tanto : `1`C Ð"ß "Ñ œ '

12

5.- `1`B B"BÄ"

1ÐBß#Ñ1Ð"ß#ÑÐ"ß #Ñ œ lim

œ limBÄ"

#B ##B #B B'Ð*Ñ

B"

¸ ¸ #

œ limBÄ"

%B B" #B B$

B"

¸ ¸ #

por laterales:

lim limBÄ" BÄ"

%B B" #B B$

B" B"%BÐB" Ñ#B B$

# #¸ ¸ œ


'B $B$B" B"

ÐB"ÑÐ'B$Ñ

#

œ Ð 'B $Ñ œ *limBÄ"

lim limBÄ" BÄ"

%B B" #B B$

B" B"%BÐB" Ñ#B B$

# #¸ ¸ œ


#B &B$B" B"

ÐB"ÑÐ#B$Ñ

#

œ Ð#B $Ñ œ "limBÄ"

por lo tanto : no existe`1`B Ð"ß #Ñ

6.- `1`C C# C#CÄ# CÄ#

1Ð"ßCÑ1Ð"ß#Ñ # C# C"$CÐ*ÑÐ"ß #Ñ œ œlim lim

¸ ¸

por laterales:

lim limCÄ# CÄ#

# C# C"$CÐ*Ñ

C# C##ÐC# ÑC"$CÐ*Ñ

¸ ¸ œ

œ œ # œ #lim limCÄ# CÄ#

#C%C#

lim limCÄ# CÄ#

# C# C"$CÐ*Ñ

C# C##ÐC# ÑC"$CÐ*Ñ

¸ ¸ œ

œ œ ' œ 'lim limCÄ# CÄ#

'C"#C#

por lo tanto : no existe`1`C Ð"ß #Ñ

13

Ejemplo Sea 0ÐBß CÑ œ #B -9=ÐBC #Ñ $C # C=/8ÐBC #Ñ "# # # %

Determinar

`0 `0 `0 `0`B `C `B `CÐ#ß "Ñ Ð#ß "Ñ ß Ð#ß "Ñ Ð#ß "Ñ, ,

Solución

se tiene que : `0`B

# # # # % %œ %B-9=ÐBC #Ñ #B =/8ÐBC #ÑC #C-9=ÐBC #ÑC

`0`C# # % % $œ #B =/8ÐBC #Ñ#BC 'C #=/8ÐBC #Ñ #C-9=ÐBC #Ñ%BC

con lo cual:

1.- `0`B Ð#ß "Ñ œ )-9=Ð# #Ñ )=/8Ð# #Ñ #-9=Ð# #Ñ œ '

2.- `0`C Ð#ß "Ñ œ )=/8Ð# #Ñ% ' #=/8Ð# #Ñ #-9=Ð# #Ñ) œ "!

3.- `0`B Ð#ß "Ñ œ )-9=Ð# #Ñ )=/8Ð# #Ñ #-9=Ð# #Ñ œ "!

4.- `0`C Ð#ß "Ñ œ )=/8Ð!Ñ% ' #=/8Ð!Ñ #-9=Ð!ÑÐ )Ñ œ ##

Ejemplo Sea 2ÐBß CÑ œ B / #C # C/ BC# BC # # BC ## %

Determinar

`2 `2 `2 `2`B `C `B `CÐ#ß "Ñ Ð#ß "Ñ ß Ð#ß "Ñ Ð#ß "Ñ, ,

Solución

Se tiene que : `2`BBC # # # BC # & BC #œ #B/ B C / # C / C

# # %

`2`C$ BC # BC # % BC #œ #B C/ %C #/ )BC / B

# % %

con lo cual:

`2 `2 `2 `2`B `B `C `CÐ#ß "Ñ œ ( à Ð#ß "Ñ œ * à Ð#ß "Ñ œ % Ð#ß "Ñ œ %à

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Ejemplo Sea 2ÐBß CÑ œ C 68ÐBC "Ñ #B # BC68ÐBC "Ñ "$ # # %

`2 `2 `2 `2`B `C `B `CÐ#ß "Ñ Ð#ß "Ñ ß Ð"ß !Ñ Ð"ß !Ñ, ,

Solución Se tiene que:

`2`B BC "C ÐC Ñ % #BC

BC "œ %B #C68ÐBC "Ñ $ #

#

&

%

`2`C BC "# # %#BC )B C

BC "œ $C 68ÐBC "Ñ #B68ÐBC "Ñ

% # %

# %

con lo cual .

; `2 " % `2`B $ $ `BÐ#ß "Ñ œ ) #68Ð$Ñ Ð"ß !Ñ œ %

; `2 % $# `2`C $ $ `CÐ#ß "Ñ œ $68Ð$Ñ %68Ð$Ñ Ð"ß !Ñ œ !

Notaciones

Otras notaciones para las derivadas parciales usadas en diferentes textos son las siguientes : `0

`B B " BÐ+Ñ œ 0 Ð+Ñ œ H 0Ð+Ñ œ H 0Ð+Ñ

Teorema

Sean funcion y 0 ß 1 À K © ïïïïïïïî + − K‘ ‘8

ÐB ß B ß ÞÞß B qqqp 0ÐB ß B ß ÞÞß B" # " #8Ñ 8Ñ

tal que ; existen y sea constante `0 `1`B `B3 3

Ð+Ñ Ð+Ñ −- ‘

se cumple que

1.- `Ð01Ñ`B `B `B

`0 `1

3 3 3Ð+Ñ œ Ð+Ñ Ð+Ñ

2.- `Ð 0Ñ`B `B

`0-

3 3Ð+Ñ œ Ð+Ñ-

3.- `Ð0†1Ñ`B `B `B

`0 `1

3 3 3Ð+Ñ œ Ð+Ñ † 1Ð+Ñ 0Ð+Ñ † Ð+Ñ

4.- , si `Ð Ñ

`B Ð1Ð+ÑÑ

Ð+Ñ†1Ð+Ñ0Ð+Ñ† Ð+Ñ01

3

`0 `1`B `B3 3

#Ð+Ñ œ 1Ð+Ñ Á !

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Definición

Sea funcion 0 À K © ïïïïïïïî‘ ‘8


Llamaremos funcion derivada parcial de respecto a la variable0

a la funcion que denotaremos por B ß 3 − Ö"ß ÞÞß 8×ß3`0`B

3

donde

: existe función `0`B `B

`0ÐBÑ

3 3ÖB − K Î × ïïïïïïïî‘

B qqqqqqqqqp `0ÐBÑ`B3

Ejemplo

Dada la funcion 0 ïïïïïïïî: ‘ ‘#

ÐBß CÑ qqqp B /C "

#B"# C "#

# $BC/ se tiene que

`0`B C "

#B/ #B" #B"ÐBß CÑ œ $C/ 'BC/C "#

# , con lo cual

`0`B : ‘ ‘# ïïïïïïïî

ÐBß CÑ qqqp #B/C "

#B" #B"C "#

# $C/ 'BC/

`0`C ÐC "Ñ

#B C/ ÐC "Ñ#B C/ #B"ÐBß CÑ œ $B/# C " # # C "# #

# #

, con lo cualœ $B/#B C /ÐC "Ñ

#B"# $ C "#

# #

`0`C : ‘ ‘# ïïïïïïïî

ÐBß CÑ qqqp #B C /ÐC "Ñ

#B"# $ C "#

# # $B/

16

Ejemplo

Dada la funcion definida en : ‘# 1ÐBß CÑ œ CB #B %C $BC C "¸ ¸Determinar la funcion : `1`C

Solución Considerando que

1ÐBß CÑ œ CBÐ#B %CÑ $BC C " à B Ÿ #C

CBÐ#B %CÑ $BC C " à B #C

ÚÛÜ

œ #B C %BC $BC C " à B Ÿ #C

#CB %BC $BC C " à B #C

ÚÛÜ

# #

# #

casoI si B Á #C

`1`C

#

#

œ #B )BC $B " à B #C

# B )BC $B " à B #C

ÚÛÜ

casoII si B œ #C

por lateral`1`C C+CÄ+

1Ð#+ ßCÑ1Ð#+ß+ÑÐ#+ß +Ñ œ lim

limCÄ+

1Ð#+ ßCÑ1Ð#+ß+ÑC+

# #Ð#+ß+Ñ

œ Ð# B )BC $B "Ñ œ )+ '+ "¸

limCÄ+

1ÐB ßCÑ1ÐBß#ÑC#

# #Ð#+ß+Ñ

œ Ð #B )BC $B "Ñ œ )+ '+ "¸

luego ,se debe cumplir que : es decir : )+ '+ " œ )+ '+ " + œ !# #

luego con lo cual :`1`C Ð!ß !Ñ œ "

`1`C

#

#

œ

#B )BC $B " à B #C

" à ÐBß CÑ œ Ð!ß !Ñ

# B )BC $B " à B #C

ÚÝÝÝÝÛÝÝÝÝÜ

17

Ejemplo

Dada la funcion

2ÐBß CÑ œ #BC $B % ß ÐBß CÑ Á Ð "ß "Ñ

" ß ÐBß CÑ œ Ð "ß "Ñ

ÚÝÛÝÜ

ÐB"Ñ ÐC"ÑÐB"Ñ ÐC"Ñ

#

# #

Determinar - 1 , 2.- `2 `2`B `C

Solución

1.- caso I si ÐBß CÑ Á Ð "ß "Ñ

`2`B ÐBß CÑ œ

# ÐB"ÑÐC"ÑÒ ÐB"Ñ ÐC"Ñ ÓÐB"Ñ ÐC"Ñ#ÐB"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó

# # #

# # # #C $

œ # ÐB"ÑÐC"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó

$

# # # #C $

caso II si ÐBß CÑ œ Ð "ß "Ñ

`2`B Ð "ß "Ñ œ &œ œ œlim lim lim

BÄ" BÄ" BÄ"

2ÐBß"Ñ2Ð"ß"Ñ &ÐB"ÑB" B" B"

&B%"

por lo tanto :

`2`B ÐBß CÑ œ

#C $ ß ÐBß CÑ Á Ð "ß "Ñ

& ß ÐBß CÑ œ Ð "ß "Ñ

ÚÝÛÝÜ

# ÐB"ÑÐC"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó

$

# # #

2.- caso I si ÐBß CÑ Á Ð "ß "Ñ

`2`C ÐBß CÑ œ

ÐB"Ñ ÒÐB"Ñ ÐC"Ñ ÓÐB"Ñ ÐC"Ñ#ÐC"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó

# # # #

# # # #B

œ ÐB"Ñ ÐB"Ñ ÐC"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó

% # #

# # # #B

caso II si ÐBß CÑ œ Ð "ß "Ñ

`2`C Ð "ß "Ñ œ #œ œ œlim lim lim

CÄ" CÄ" CÄ"

2Ð"ßCÑ2Ð"ß"Ñ #ÐC"ÑC" C" C"

#C""

por lo tanto :

`2`C ÐBß CÑ œ

#B ß ÐBß CÑ Á Ð "ß "Ñ

# ß ÐBß CÑ œ Ð "ß "Ñ

ÚÝÛÝÜ

ÐB"Ñ ÐB"Ñ ÐC"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó

% # #

# # #

18

Ejemplo

Dada la funcion

0ÐBß CÑ œ CB C $B ß ÐBß CÑ Á Ð"ß "Ñ

" ß ÐBß CÑ œ Ð"ß "Ñ

ÚÝÛÝÜ

ÐB"ÑÐC"ÑÐB"Ñ ÐC"Ñ

# ## #

Determinar .- 1 , 2.- `0 `0`B `C

Solución

1.- caso I si ÐBß CÑ Á Ð"ß "Ñ

`0`B ÐBß CÑ œ

ÐC"Ñ Ò ÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó ÐB"ÑÐC"Ñ#ÐB"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó

# #

# # # C 'B

œ ÐC"Ñ ÐB"Ñ ÐC"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó

$ #

# # # C 'B

caso II si ÐBß CÑ œ Ð"ß "Ñ

`0`B Ð"ß "Ñ œ œlim lim

BÄ" BÄ"

0ÐBß"Ñ0Ð"ß"ÑB" B"

B"$B "#


$B B#B" B"

ÐB"ÑÐ$B#Ñ#

œ &

por lo tanto :

`0`B ÐBß CÑ œ

C 'B ß ÐBß CÑ Á Ð"ß "Ñ

& ß ÐBß CÑ œ Ð"ß "Ñ

ÚÝÛÝÜ

ÐC"Ñ ÐB"Ñ ÐC"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó

$ #

# # #

2.- caso I si ÐBß CÑ Á Ð"ß "Ñ

`0`C ÐBß CÑ œ

ÐB"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ ÓÐB"ÑÐC"Ñ#ÐC"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó

# #

# # # B #C

œ ÐB"Ñ ÐB"ÑÐC"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó

$ #

# # # B #C

caso II si ÐBß CÑ œ Ð"ß "Ñ

`0`C Ð"ß "Ñ œ œlim lim

CÄ" CÄ"

0Ð"ßCÑ0Ð"ß"ÑC" C"

CC $"#


C C#C" C"

ÐC"ÑÐC#Ñ#

œ $

por lo tanto :

`0`C ÐBß CÑ œ

B #C ß ÐBß CÑ Á Ð"ß "Ñ

$ ß ÐBß CÑ œ Ð"ß "Ñ

ÚÝÛÝÜ

ÐB"Ñ ÐB"ÑÐC"ÑÒÐB"Ñ ÐC"Ñ Ó

$ #

# # #

19

Ejemplo

Determinar dada la funcion 0ÐBß CÑ œ B C # #BC BC $¸ ¸ #

1.- , 2.- `0 `0`B `C

Solución

1.- `0`B

#ÐBß CÑ œ C # #C C¸ ¸

2.- en este caso el valor absoluto molesta por lo tanto,consideremos:

0ÐBß CÑ œ BÐC #Ñ #BC BC $ à C Ÿ #

BÐC #Ñ #BC BC $ à C #

ÚÛÜ

#

#

en donde :œ #B #BC $ à C Ÿ #

#BC #BC #B $ à C #

ÚÛÜ

#

#

caso I si C Á #

`0`C ÐBß CÑ œ %BC à C #

#B %BC à C #

ÚÛÜ

caso II si C œ #

por laterales`0`C 22Ä!

0ÐB ß#2Ñ0ÐBß#ÑÐBß #Ñ œ lim

lim2Ä!

0ÐB ß#2Ñ0ÐBß#Ñ2 ÐBß#Ñ

œ Ð %BCÑ œ )B¸

lim2Ä!

0ÐB ß#2Ñ0ÐBß#Ñ2 ÐBß#Ñ

œ Ð#B %BCÑ œ 'B¸

por lo tanto : existe ssi es decir : `0`C ÐBß #Ñ )B œ 'B B œ !

con lo cual :

`0`C ÐBß CÑ œ

%BC à C #! à ÐBß CÑ œ Ð!ß #Ñ

#B %BC à C #

ÚÛÜ

20

Ejemplo

Determinar, dada la funcion 1ÐBß CÑ œ ÐB CÑ C B C B C¸ ¸ #

1.- , 2.- `1 `1`B `C

Solución

En estos casos el valor absoluto molesta por lo tanto,consideremos:

1ÐBß CÑ œ ÐB CÑÐC BÑ C B C à C Ÿ B

ÐB CÑÐC BÑ C B C à C B

ÚÛÜ

#

#

œB C C B C à C Ÿ B

B C C B C à C B

ÚÛÜ

# # #

# # #

en donde :

caso I si C Á B

`1`B

#

#

ÐBß CÑ œ#B C à C B

#B C à C B

ÚÛÜ

`1`C ÐBß CÑ œ #C #BC " à C B

#C #BC " à C B

ÚÛÜ

caso II si C œ B

por laterales`1`B 22Ä!

1ÐB2 ßB Ñ1ÐBßBÑÐBß BÑ œ lim

lim2Ä!

1ÐB2 ßB Ñ1ÐBßBÑ2

# #ÐBßBÑ

œ Ð #B C Ñ œ #B B¸

lim2Ä!

1ÐB2 ßBÑ1ÐBßBÑ2

# #ÐBßBÑ

œ Ð #B C Ñ œ #B B¸

21

por lo tanto : existe ssi `1`B

# #ÐBß BÑ #B B œ #B B

ssi es decir : #B œ #B B œ !

con lo cual :

1.- `1`B

#

#

ÐBß CÑ œ#B C à C B! à ÐBß CÑ œ Ð!ß !Ñ

#B C à C B

ÚÛÜ

caso III si C œ B


1ÐB ßB2 Ñ1ÐBßBÑÐBß BÑ œ lim

lim2Ä!

1ÐB ßB2 Ñ1ÐBßBÑ2 ÐBßBÑ

#

œ Ð #C #BC "Ñ œ #B # B "¸

lim2Ä!

1ÐB ßB2Ñ1ÐBßBÑ2 ÐBßBÑ

#

œ Ð#C #BC "Ñ œ #B # B "¸

por lo tanto : existe ssi `1`C

# #ÐBß BÑ #B # B " œ #B # B "

ssi es decir : #B œ #B B œ !

con lo cual :

`1`C ÐBß CÑ œ

#C #BC " à C B" à ÐBß CÑ œ Ð!ß !Ñ

#C #BC " à C B

ÚÛÜ

22

Ejemplo

Determinar, dada 2ÐBß CÑ œ à#C $BC " à B C Á !

BC C #B " à B C œ !

ÚÛÜ

#

1.- , 2.- `2 `2`B `C

Solución

1.- caso I si B C Á ! ÐBß CÑ œ $C`2`B

caso II si B C œ !

`2`B ÐBß BÑ œ lim

5Ä!

2ÐB5ßBÑ2ÐBßBÑ5

œ lim5Ä! 5

#B $ÐB5ÑB"ÐB B#B"Ñ# #

œ œlim5Ä!

$B5$B'B "5 #

#

! B œ ! ” B œ ssi

por lo tanto :

`2`B

" "# #

ÐBß CÑ œ

à

ÚÝÝÝÝÝÛÝÝÝÝÝÜ

$C B C Á !

! à ÐBß CÑ œ Ð!ß !Ñ

à ÐBß CÑ œ Ð ß Ñ$#

2.- caso I si B C Á ! ÐBß CÑ œ %C $B`2`C

caso II si B C œ !

`2`C ÐBß BÑ œ lim

5Ä!

2ÐB ßB5Ñ2ÐBßBÑ5

œ lim5Ä! 5

Ð#ÐB5Ñ $BÐB5Ñ"ÑÐB $B"Ñ# #

œ œ ==3 B $B œ !lim5Ä! 5

'B (B5#5 $B ## # (B '

==3 B œ ! ” B œ "#

por lo tanto :

`2`C ÐBß CÑ œ

%C à! à ÐBß CÑ œ Ð!ß !Ñ

à ÐBß CÑ œ Ð ß Ñ

ÚÛÜ

$B B C Á !

( " "# # #

23

Ejemplo

Determinar, dada 0ÐBß CÑ œ 68 ÐB C "Ñ =/8ÐC BÑ C$ # # #

, `0 `0`B `C

Solución `0

`B B C "'BC 68 ÐB C "Ñ # #œ C -9=ÐC BÑ

# # # #

# #

`0`C B C "

'CB 68 ÐB C "Ñ #œ #BC-9=ÐC BÑ "# # # #

# #

Ejemplo

Determinar, dada 1ÐBß CÑ œ CE<->1Ð#B $CÑ >1ÐBC Ñ#

, `1 `1`B `C

Solución

`1 #C`B "Ð#B$CÑ

# # #œ C =/- ÐBC Ñ#

`1 $C`C "Ð#B$CÑ

# #œ E<->1Ð#B $CÑ #BC=/- ÐBC Ñ#

Ejemplo

Determinar, dada0ÐBß CÑ œ C † B C " $B C# #% #È%

, `1 `1`B `C

Solución

`0 C B`B ÐB C "Ñ

œ 'B# $

% % # $È `0 C

`C% #

# ÐB C "Ñœ #C † B C " "È% $

% % # $È

24

Ejemplo

Determinar, dada ; , 1ÐBß CÑ œ B † C B C B C¸ ¸ # `1 `1`B `C

Solución

En estos casos el valor absoluto molesta por lo tanto,consideremos:

1ÐBß CÑ œ BÐC BÑ C BC à C Ÿ B

BÐC BÑ C BC à C B

ÚÛÜ

#

#

œB C à C Ÿ B

B C #B C à C B

ÚÛÜ

# #

# #

en donde :

caso I si C Á B

`1`B ÐBß CÑ œ

#B à C B

#B #C à C B

ÚÛÜ

`1`C ÐBß CÑ œ

#C à C B

#C #B à C B

ÚÛÜ

caso II si C œ B


1ÐB2 ßB Ñ1ÐBßBÑÐBß BÑ œ lim

lim2Ä!

1ÐB2 ßB Ñ1ÐBßBÑ2 ÐBßBÑ

œ Ð #B #CÑ œ !¸

lim2Ä!

1ÐB2 ßBÑ1ÐBßBÑ2 ÐBßBÑ

œ Ð #B Ñ œ #B¸

por lo tanto : existe ssi es decir : `1`B ÐBß BÑ ! œ #B B œ !

25

con lo cual :

`1`B ÐBß CÑ œ

#B à C B! à ÐBß CÑ œ Ð!ß !Ñ

#B #C à C B

ÚÛÜ

caso III si C œ B


1ÐB ßB2 Ñ1ÐBßBÑÐBß BÑ œ lim

lim2Ä!

1ÐB ßB2 Ñ1ÐBßBÑ2 ÐBßBÑ

œ Ð #CÑ œ #B¸

lim2Ä!

1ÐB ßB2Ñ1ÐBßBÑ2 ÐBßBÑ

œ Ð #C #BÑ œ !¸

por lo tanto : existe ssi es decir : `1`C ÐBß BÑ #B œ ! B œ !

con lo cual :

`1`C ÐBß CÑ œ

#C à C B! à ÐBß CÑ œ Ð!ß !Ñ

#C #B à C B

ÚÛÜ

26

Ejemplo Determinar, dada ; , 1ÐBß CÑ œ ÐB CÑ C C BC¸ ¸ # `1 `1

`B `C

Solución

i) `1`B ÐBß CÑ œ C C¸ ¸

ii) en este caso el valor absoluto molesta por lo tanto,consideremos:

1ÐBß CÑ œ œ ÐB CÑC C BC à C Ÿ !

ÐB CÑC C BC à C !

#C à C Ÿ !

#BC à C !

Ú ÚÛ ÛÜ Ü

#

#

#

en donde :

caso I si C Á !

`1`C ÐBß CÑ œ%C à C !

#B à C !

ÚÛÜ

caso II si C œ !


1ÐB ß2Ñ1ÐBß!ÑÐBß !Ñ œ lim

lim2Ä!

1ÐB ß2Ñ1ÐBß!Ñ2 ÐBß!Ñ

œ Ð%CÑ œ !¸

lim2Ä!

1ÐB ß2Ñ1ÐBß!Ñ2 ÐBß!Ñ

œ Ð#B Ñ œ #B¸

por lo tanto : existe ssi es decir : `1`C ÐBß !Ñ ! œ #B B œ !

con lo cual : `0`C ÐBß CÑ œ%C à C !! à ÐBß CÑ œ Ð!ß !Ñ#B à C !

ÚÛÜ

27

Definición

Sea funcion 0 À K © ïïïïïïïî‘ ‘8


sea : existe `0`B `B

`0ÐBÑ

3 3ÖB − K Î × ïïïïïïïî‘

B qqqqqqqqqp `0ÐBÑ`B3

la funcion derivada parcial de respecto a la variable con 0 B ß 3 − Ö"ß ÞÞß 8×3

diremos que es derivable parcialmente respecto a la variable `0`B3

con en B ß 4 − Ö"ß ÞÞß 8× + œ Ð+ ß + ß ÞÞÞ+ Ñ4 " # 8

ssi existelimB Ä+

Ð+ ß + ßÞÞß + ß B ß + ÞÞÞß + Ñ Ð+Ñ

B +4 4

`0 `0`B `B3 3

" # 4" 4 4"ß 8

4 4

y en tal caso , se dice que la derivada parcial de respecto a la variable `0`B3

en es , dondeB + Ð+Ñ œ Ð+Ñ4`

`B `B `B` 0 ( )

`0`B3

4 4 3

#

` 0`B `B B +B Ä+

Ð+ ß + ßÞÞß + ß B ß + ÞÞÞß+ Ñ Ð+Ñ#

4 3 4 44 4

`0 `0`B `B3 3

" # 4" 4 4"ß 8Ð+Ñ œ lim

Observación

1.- si 3 œ 4 Ð+Ñ œ Ð+Ñ ` 0 ` 0`B `B `B

# #

3 3#3

2.- si es llamada derivada parcial mixta de segundo 3 Á 4 Ð+Ñ ` 0`B `B

#

4 3

orden respecto a las variables en B ß B +3 4

3.- no necesariamente ` 0 ` 0`B `B `B `B

# #

4 3 3 4Ð+Ñ œ Ð+Ñ

28

Ejemplo

Determinar, dada 0ÐBß CÑ œ #B / $BC C $# BC " $#

, `0 `0 ` 0`B `C `B`CÐ"ß "Ñ Ð"ß "Ñ ß Ð"ß "Ñ

#

Solución

`0 `0`B `B

BC " # # BC "ÐBß CÑ œ %B/ #B C / $C à Ð"ß "Ñ œ *# #

`0 `0`C `C

$ BC " #ÐBß CÑ œ %B C/ $B $C à Ð"ß "Ñ œ %#

` 0`B`C `B

`Ð Ñ # BC " % # BC "#`0`C # #

ÐBß CÑ œ ÐBß CÑ œ "#B C/ )B C / $

` 0`B`C

#

Ð"ß "Ñ œ (

Ejemplo

Determinar, dada 0ÐBß CÑ œ #B / $C/# C" B#

, `0 `0 ` 0`B `C `C`BÐ#ß "Ñ Ð#ß "Ñ ß Ð#ß "Ñ

#

Solución

`0 `0`B `B

C" B#ÐBß CÑ œ %B/ $C/ à Ð#ß "Ñ œ &

`0 `0`C `C

# C" B#ÐBß CÑ œ #B / $/ à Ð#ß "Ñ œ &

` 0 ` 0`C`B `C `C`B

`Ð Ñ C" B## #`0`BÐBß CÑ œ ÐBß CÑ œ %B/ $/ à Ð#ß "Ñ œ &

29

Ejemplo

Determinar, dada 1ÐBß CÑ œ $BC#BC%B C# #

, `1 `1 ` 1`B `C `BÐ "ß "Ñ Ð "ß "Ñ ß Ð "ß "Ñ

#

#

Solución

`1 #CB #C %B`B ÐB C Ñ ÐB C Ñ

#CÐB C Ñ Ð#BC%Ñ#BÐBß CÑ œ $C œ $C# #

# # # # # #

# $

`1`C ÐB C Ñ#B ÐB C Ñ Ð#BC%Ñ#CÐBß CÑ œ $B

# #

# # #

` 1`B `B

`Ð Ñ#

#

`1`BÐBß CÑ œ ÐBß CÑ

œ Ð%CB %ÑÐB C Ñ Ð#CB #C %BÑ#ÐB C Ñ#BÐB C Ñ

# # # # $ # #

# # %

œ Ð%CB %ÑÐB C ÑÐ#CB #C %BÑ%BÐB C Ñ

# # # $

# # $

con lo cual

, `1 `1 ` 1`B `C `BÐ "ß "Ñ œ # Ð "ß "Ñ œ & ß Ð "ß "Ñ œ #

#

#

30

Ejemplo

Dada la funcion 0ÐBß CÑ œBC B à C Ÿ B

B C à C B

ÚÛÜ #

Determinar la funcion y `0 `0`B `C Ð"ß "Ñ

Solución

Caso I si 1

C Á B œC à C B

#B à C B

`0`B

ÚÛÜ

Caso II si , sea C œ B T œ Ð+ß +Ñ


0Ð+2ß+Ñ0Ð+ß+ÑÐ+ß +Ñ œ lim

lim lim lim2Ä! 2Ä! 2Ä!

0Ð+2ß+Ñ0Ð+ß+Ñ Ð+2Ñ +Ð+ +Ñ2 2 2

#+22

# # #

œ œ œ #+

lim2Ä!

0Ð+2ß+Ñ0Ð+ß+Ñ2 Ð+ß+Ñ

œ ÐC "Ñ œ + "¸

es decir con lo cual existe + " œ #+ Í + œ " Ð"ß "Ñ`0`B

es decir `0`B œ

C " à C B# à ÐBß CÑ œ Ð"ß "Ñ

#B à C B

ÚÛÜ

y por laterales `0`C 55Ä!

0Ð"ß"5Ñ0Ð"ß"ÑÐ"ß "Ñ œ lim

lim5Ä!

0Ð"ß"5Ñ0Ð"ß"Ñ5 Ð"ß"Ñ

œ ÐBÑ œ "¸

lim lim5Ä! 5Ä!

0Ð"ß"5Ñ0Ð"ß"Ñ5 5

""5#

œ œ "

con lo cual `0`C Ð"ß "Ñ œ "

31

Ejemplo

Dada la funcion 0ÐBß CÑ œ#BC B %C % à B C "

B 'C & $B à B C "

ÚÛÜ #

Determinar la funcion y `0 ` 0`B `C`B

#

Ð"ß !Ñ

Solución

1.- Caso I si B C Á "

`0`B œ

#C " à B C "

# B $ à B C "

ÚÛÜ

Caso II si , sea B C œ " T œ Ð+ß " +Ñ

por laterales `0`B 22Ä!

0Ð+2ß"+Ñ0Ð+ß"+ÑÐ+ß " +Ñ œ lim

lim lim2Ä! 2Ä!

0Ð+2ß"+Ñ0Ð+ß+Ñ #Ð+2ÑÐ"+ÑÐ+2Ñ%Ð"+Ñ%Ð+ *+""Ñ2 2

#

œ

œ œ œ " ß + œ "

89 /B3=>/ + Á "lim lim2Ä! 2Ä!

#2+2$+ '+$2 2

Ð"#+Ñ2$Ð+"Ñ

# #

si

, si

ÚÛÜ

lim2Ä!

0Ð+2ß"+Ñ0Ð+ß"+Ñ2 Ð+ß"+Ñ

œ Ð# B $Ñ œ #+ $¸

con lo cual es decirsi

, si

`0`B Ð+ß " +Ñ œ

" ß + œ "

89 /B3=>/ + Á "

ÚÛÜ

`0`B œ

#C " à B C " " à ÐBß CÑ œ Ð"ß !Ñ# B $ à B C "

ÚÛÜ

2.- por lateral ` 0`C`B 5 55Ä! 5Ä!

Ð"ß5Ñ Ð"ß!Ñ Ð"ß5Ñ"# `0 `0 `0`B `B `BÐ"ß !Ñ œ œlim lim

lim lim5Ä! 5Ä!

Ð"ß5Ñ"

5 5#5""

`0`B œ œ #

luego no existe lim lim5Ä! 5Ä!

Ð"ß5Ñ"

5 5 `C`B"" ` 0

`0`B

#

œ œ ! Ð"ß !Ñ

32

Ejemplo

Dada la funcion 0ÐBß CÑ œ %BC #B %C % à #B C "

%B 'C ' 'B à #B C "

ÚÛÜ #

1.- Determinar dominio de continuidad de 0

2.- Determinar la funcion y 0`0 `0`B `C #

"Ð ß Ñ

Solución

1.- CasoI si #B C Á "

es continua, ya que , esta formada por polinomios 0

Caso II si #B C œ "sea T œ Ð+ß #+ "Ñ

se tiene que 0Ð+ß #+ "Ñ œ )+ '+ )#

lim

lim

limÐ+ß#+"Ñ

Ð+ß#+"Ñ

Ð+ß#+"Ñ

#0ÐBß CÑ œ

%BC #B %C % à #B C "

%B 'C ' 'B à #B C "

ÚÝÝÛÝÝÜ

œ )+ '+ ) à #B C "

%+ ")+ "# à #B C "

ÚÛÜ

#

#

es decir , es continua cuando :

)+ '+ ) œ %+ ")+ "# Í $+ $+ " œ ! ´ J# # #

luego , no hay puntos de continuidad en la recta

con lo cual se tiene que es continua en0

W œ ÖÐBß CÑ − #B C Á "×‘# 2.- Caso I si #B C Á "

33

`0`B œ

%C # à #B C "

) B ' à #B C "

ÚÛÜ

Caso II si , sea #B C œ " T œ Ð+ß #+ "Ñ

por laterales `0`B 22Ä!

0Ð+2ß#+"Ñ0Ð+ß#+"ÑÐ+ß #+ "Ñ œ lim

lim lim2Ä! 2Ä!

0Ð+2ß#+"Ñ0Ð+ß#+"Ñ %Ð+2Ñ 'Ð#+"Ñ''Ð+2ÑÐ + '+)Ñ2 2

# #

œ 8

œ lim2Ä!

%+ )+2%2 "#+'''+'2 + '+)2

# # #8

œ 89 /B3=>/lim2Ä!

+ "#+%Ð)+%2'Ñ22

#12

es decir no existe `0`B Ð+ß #+ "Ñ

con lo cual

`0`B œ

%C # à #B C "

) B ' à #B C "

ÚÛÜ

y 0 por laterales`0`C # 5

"

5Ä!

0Ð ß5Ñ0Ð ß ÑÐ ß Ñ œ lim

" "# # 0

lim5Ä!

0Ð ß5Ñ0Ð ß Ñ

5 Ð ß!Ñ

" "# #

"#

0œ %B # œ %¸

lim lim5Ä! 5Ä!

0Ð ß5Ñ0Ð ß Ñ

5 5"'5'$$

" "# # 0

œ

œ œ 89 /B3=>/lim5Ä!

'5"5

con lo cual `0`B #

"Ð ß !Ñ œ 89 /B3=>/

34

GUÍA DERIVADAS PARCIALES

I.- Determine por definición las derivadas parciales siguientes :

1.- Dada la funcion 0ÐBß CÑ œ #B C &B C %C &B #$ # #

a. `0 `0 `0 `0`B `C `B `BÐ"ß "Ñ à Ð"ß "Ñ à Ð "ß "Ñ à Ð "ß "Ñ

b. `0 `0`B `CÐBß CÑ à ÐBß CÑ

2.- Dada la funcion 0ÐBß CÑ œ &B C $BCBC %B #C "

# ##

# #

Determinar :

a. `0 `0 `0 `0`B `C `B `BÐ"ß #Ñ à Ð"ß #Ñ à Ð!ß #Ñ à Ð!ß #Ñ


3.- Dada la funciòn 0ÐBß CÑ œ 68Ð BC "Ñ $BC &B %C#

Determinar :

a. `0 `0 `0 `0`B `C `B `BÐ!ß !Ñ à Ð!ß !Ñ à Ð!ß "Ñ à Ð!ß "Ñ

b. `0 `0`B `CÐ+ß ,Ñ à Ð+ß ,Ñ

4.- Dada la funcion 0ÐBß CÑ œ $BC&B%C#BC

Determinar :

a. `0 `0 `0 `0`B `C `B `BÐ"ß "Ñ à Ð"ß "Ñ à Ð!ß "Ñ à Ð!ß "Ñ


35

5.- Dada la funcion 0ÐBß CÑ œ B/ $C$B C' ##

Determinar :

a. `0 `0 `0 `0`B `C `B `BÐ "ß #Ñ à Ð "ß #Ñ à Ð"ß #Ñ à Ð"ß #Ñ


6.- Dada la funcion 0ÐBß CÑ œ B=/8 Ð#BC #Ñ $CB#

Determinar :

a. `0 `0 `0 `0`B `C `B `CÐ"ß "Ñ à Ð"ß "Ñ à Ð "ß "Ñ à Ð "ß "Ñ


7.- Dada la funcion 1ÐBß CÑ œ #B " ÐC #Ñ $B %C¸ ¸ #

Determinar :

a. `1 `1 `1 `1`B # `C # `B `B

" "Ð ß #Ñ à Ð ß #Ñ à Ð"ß #Ñ à Ð"ß #Ñ

b. `1 `1 `1 `1`B # `C # `B `B

" "Ð ß "Ñ à Ð ß "Ñ à Ð!ß #Ñ à Ð!ß #Ñ

8.- Dada la funcion 1ÐBß CÑ œ B C ÐC "Ñ $B %C¸ ¸ #

Determinar :

a. `1 `1 `1 `1`B `C `B `BÐ"ß #Ñ à Ð"ß #Ñ à Ð"ß "Ñ à Ð"ß "Ñ

b. `1 `1 `1 `1`B `C `B `BÐ#ß "Ñ à Ð#ß "Ñ à Ð!ß #Ñ à Ð!ß #Ñ

9.- Dada la funcion 0ÐBß CÑ œ #B$C"

%B&C#

Determinar : a. `1 `1 `1 `1

`B `C `B `BÐ"ß "Ñ à Ð"ß "Ñ à Ð"ß "Ñ à Ð"ß "Ñ

36

10.- Dada la funcion

0ÐBß CÑ œ $B &C ( à ÐBß CÑ Á Ð!ß "Ñ

"# à ÐBß CÑ œ Ð!ß "Ñ

ÚÝÛÝÜ

BÐC"ÑB ÐC"Ñ

## #

Determinar :

a. `0 `0 `0 `0`B `C `B `BÐ!ß "Ñ à Ð!ß "Ñ à Ð"ß "Ñ à Ð"ß "Ñ

11.- Dada la funcion

0ÐBß CÑ œ #B %C $ à ÐBß CÑ Á Ð!ß "Ñ

( à ÐBß CÑ œ Ð!ß "Ñ

ÚÝÛÝÜ

B ÐC"ÑB #ÐC"Ñ

# ##

# #

Determinar :

a. `0 `0 `0 `0`B `C `B `BÐ!ß "Ñ à Ð!ß "Ñ à Ð "ß "Ñ à Ð "ß "Ñ

II.- Determine las funciones derivadas parciales de las siguientes funciones indicando dominio de la funcion y de sus derivadasß parciales :

1.- 0ÐBß CÑ œ 68Ð B C "Ñ # # #B"C "#

2.- 0ÐBß CÑ œ $BC&B$B $C "# #

3.- 0ÐBß CÑ œ #B %C 'B C #È$ # #

4.- 0ÐBß CÑ œ Ð#BC B $Ñ #B $C "# $ È#

5.- 0ÐBß CÑ œ ÐB "ÑC#

6.- 0ÐBß CÑ œ 68ÐB %B $CÑ#

37

7.- 0ÐBß CÑ œ B C & à ÐBß CÑ Á Ð!ß "Ñ

% à ÐBß CÑ œ Ð!ß "Ñ

ÚÝÛÝÜ

BCB

B #ÐC"Ñ# #

È # #

8.- 0ÐBß CÑ œ B/ $C#BC % $#

9.- 0ÐBß CÑ œ #B=/8Ð#BC )Ñ B C# # $

10.- 0ÐBß CÑ œ $B-9= Ð#BC %Ñ #BC# # $

11.- 0ÐBß CÑ œÐB CÑÐB #CÑ à B C !

ÐB CÑÐ#B $CÑ à B C !

ÚÛÜ

12.-

0ÐBß CÑ œÐB CÑÐB # Ñ à B C !

ÐB CÑÐ# CÑ à B C !

ÚÛÜ

13.- 1ÐBß CÑ œ Ð#B "Ñ C #¸ ¸

14.- 1ÐBß Cß DÑ œ #BC%B#CD ##

15.- 1ÐBß Cß DÑ œ B D#D B#C #

# #

#

16.- 1ÐBß Cß DÑ œ ÐB #D "Ñ ÐC B #B &CÑ# $ $

17.-

0ÐBß CÑ œÐ#B CÑÐB " Ñ à B "

ÐB CÑÐ" CÑ à B "

ÚÛÜ

III.- Dadas las funciones, determine las derivadas parciales que se indican:1.- 1ÐBß Cß DÑ œ #BCB$C

D "#

` 1 ` 1`C`B `C`D

# #

Ð!ß "ß "Ñ ß Ð!ß "ß "Ñ

38

2.- 1ÐBß Cß DÑ œ B / CDB à# CD $ ##

` 1 ` 1 ` 1`D`C `C`D `C`B

# # #

Ð"ß $ß "Ñ ß Ð"ß $ß "Ñ ß

3.- 1ÐBß Cß DÑ œ B D#D B#C #

# #

#

` 1 ` 1`C`B `C`D

# #

Ð!ß "ß "Ñ ß Ð!ß "ß "Ñ

4.- 1ÐBß CÑ œ Ð#B "Ñ C #¸ ¸

` 1 ` 1`C`B # `B`C

"# #

Ð ß # Ñ ß Ð "ß #Ñ

5.- 1ÐBß CÑ œ BÐC #Ñ C # $C %B ## #¸ ¸

` 1 ` 1`C `B

# #

# #Ð!ß # Ñ ß Ð !ß #Ñ

6.- ; 0ÐBß CÑ œ 68Ð#B C Ñ &/ ß# BC ` 0 ` 0`C`B `B`C

# #

7.- 0ÐBß CÑ œ =/8 Ð#B C Ñ $B/$ # BC

` 0 ` 0`C`B `B`C

# #

ß

8.- 0ÐBß CÑ œ 68 Ð#B C Ñ $C/# # B C$

` 0 ` 0`C`B `B`C

# #

ß

39

Interpretación Geométrica de la derivada parcial de una funcion en dos variables

Sea funcion y 0 À E © ïïïïïïïî Ð+ß ,Ñ − E‘ ‘#

ÐBß CÑ qqqqp 0ÐBß CÑ

tal que existe y `0`B Ð+ß ,Ñ 0Ð+ß ,Ñ œ -

Sea W œ ÖÐBß Cß DÑ − ÎD œ 0ÐBß CÑ×‘$

como graficamente se tiene : `0`B B+BÄ+

0ÐBß,Ñ0Ð+ß,ÑÐ+ß ,Ñ œ ßlim

Si W œ ÖÐBß ,ß DÑ − ÎD œ 0ÐBß ,Ñ× œ W Cœ,

$‘ 1Cœ,

donde 1Cœ, œ ÖÐBß Cß DÑ − ÎC œ ,×‘$

40

luego, como la pendiente de la recta tangente `D`B `B

`0Cœ,Ð+ß ,Ñ œ Ð+ß ,Ñ œ X

a la curva en , donde W X © ©Cœ, Cœ,1 1 1Cœ, Cœ, Cœ, Cœ,y W

con lo cual ya queX À œ œCœ,B+ D-" !

C,

Ð+ß,Ñ `D`B

X À D - œ Ð+ß ,ÑÐB +Ñ • C œ ,Cœ,`D`B

es decir es la recta que pasa por el punto y cuyo vectorX Ð+ß ,ß -ÑCœ,

director es el vector Ð"ß !ß Ð+ß ,ÑÑ `D`B

es decir es la pendiente de la recta `0`B Cœ, Cœ,Ð+ß ,Ñ X © 1

tangente a en el punto W Ð+ß ,ß -ÑCœ,

Analogamente, se tendra que , si existe, es la pendiente de `0`C Ð+ß ,Ñ

la recta tangente a en el punto X © W Ð+ß ,ß -ÑBœ+ Bœ+ Bœ+1

por lo tanto

X À D - œ Ð+ß ,ÑÐC +Ñ • B œ +Bœ+`D`C

À œ œB+ D-! "

C,

Ð+ß,Ñ `D`C

41

Ejemplo

Sea y 0ÐBß CÑ œ $B C #C B $B &BC ") T œ Ð "ß "ß ""Ñ# $

1.- Determinar la ecuacion de la recta tangente a la curva À

en el punto 1Cœ" K<+0Ð0Ñ T

2.- Determinar la ecuacion de la recta tangente a la curva À

en el punto 1Bœ" K<+0Ð0Ñ T

Solución

1.- Se tiene que luego `0 `0`B `B

$ÐBß CÑ œ 'BC #C $ &C Ð "ß "Ñ œ %

con lo cual X À D "" œ Ð "ß "ÑÐB "Ñ • C œ "1 `D`B

À D "" œ %ÐB "Ñ • C œ " es decir X À œ œ œ1

B" D""" ! %

C"-

# ÐBß CÑ œ $B 'C B &B Ð "ß "Ñ œ ).- Se tiene que luego `0 `0`C `C

# #

con lo cual X À D "" œ Ð "ß "ÑÐC "Ñ • B œ "`D`C1

À D "" œ )ÐC "Ñ • B œ " es decir X À œ œ œ

B" D""! " )

C"1 -

42

Ejemplo

Determinar la ecuacion de la recta tangente a la curva obtenida al cortar la superficie por el plano siW C œ " ß

W œ ÖÐBß Cß DÑ − ÎD œ $BC/ &C $B )×‘$ BC# #

en el punto T œ Ð #ß "ß "$Ñ

Solución

luego `D `D`B `B

BC# # BC#ÐBß CÑ œ $C/ $BC / $ Ð #ß "Ñ œ '

con lo cual X À œ œ œB# D"$" ! '

C"1 -

Observación



tal que ; existen y `0 `0`B `CÐ+ß ,Ñ Ð+ß ,Ñ 0Ð+ß ,Ñ œ -


se tendra que , el plano formado por las rectas tangentes a las curvas W ß WBœ+ Cœ,

en el punto T œ Ð+ß ,ß -Ñ esta determinado porÀ

: 1

â ââ ââ ââ ââ ââ ââ â

B + C , D -

" ! Ð+ß ,Ñ

! " Ð+ß ,Ñ

œ !

`0`B`0`C

43

Ejemplo

Determinar la ecuacion del plano formado por las rectas tangentes a las curvas determinadas por la superficie , dondeW ß W WBœ" Cœ"

W œ ÖÐBß Cß DÑ − ÎD œ $B C #C B $B &BC ")×‘$ # $

en el punto T œ Ð "ß "ß ""Ñ

Solución

como ; `0 `0`B `B

$ÐBß CÑ œ 'BC #C $ &C Ð "ß "Ñ œ %

`0 `0`C `C

# #ÐBß CÑ œ $B 'C B &B à Ð "ß "Ñ œ )

se tendra que

: 1

â ââ ââ ââ ââ ââ â

B " C " D """ ! %! " )

œ ! Í %B )C D œ #$

Observación



tal que ; existen y `0 `0`B `CÐ+ß ,Ñ Ð+ß ,Ñ 0Ð+ß ,Ñ œ -


se tendra que , la recta normal o perpendicular a en 1 T œ Ð+ß ,ß -Ñ esta determinado porÀ : R œ œ œB+ D-

Ð+ß,Ñ Ð+ß,Ñ

C," `0 `0

`B `C

-

Ejemplo

En el problema anterior, se tendra que

R œ œ œ : B+ D-% ) "

C,-

: B+ D-% ) "

C,œ œ œ -

44

Ejemplo Dada la funcion 0ÐBß CÑ œ &B C $BCBC %

B "# ##

#

Determinar :

.- " Ð"ß #Ñ` 0`C`B

#

2.- Determinar la ecuacion del plano formado por las rectas1

tangentes a las curvas determinadas por laW ß WBœ" Cœ#

superficie W À D œ 0ÐBß CÑen el punto T œ Ð"ß #ß #Ñ

3.- La ecuacion de la recta normal al plano en el punto 1 T œ Ð"ß #ß #Ñ

Solución

1.- `0 `0`B ÐB "Ñ `B

C ÐB "Ñ#BÐBC %Ñ # œ "!BC $C à Ð"ß #Ñ œ "!

# # #

# #

` 0 ` 0`C`B ÐB "Ñ `C`B

#CÐB "Ñ%B C# ## #

# #œ "!B 'C à Ð"ß #Ñ œ #

2.- `0 `0`C B " `C

#BCÐB "Ñ # œ &B $BC à Ð"ß #Ñ œ %

#

#

1 : D # œ "!ÐB "Ñ %ÐC #Ñ

3.- R À œ œ œB" D#"! % "

C#-

45

INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DE LA DERIVADA PARCIAL

Supongamos que es la función producción respecto a lasD œ 0ÐBß CÑ cantidades de insumos ( .Bß CÑ

Se tiene que :

1. Es la función producción marginal de respecto a la variable `D`B 0 B

2. Es la función producción marginal de respecto a la variable `D`C 0 C

Donde , determinan la rapidez de cambio de la producción en `D `D`B `C

relación a e respectivamenteB C

Es decir , si en un cierto instante las cantidades de insumos son entonces se tiene que :ÐBß CÑ œ ÐB ß C Ñ œ T ß! !

, determinan la productividad marginal respecto a e `D `D`B `CÐT Ñ ÐT Ñ B C

en el instante , es decir :T

a) si 0 se tiene que ,al incrementar el insumo en una unidad a `D`B ÐT Ñ B

partir de dejando fijo en la productividad estima unB œ B C C! !

aumento aproximado de unidades `D`B ÐT Ñ

b) si 0 se tiene que ,al incrementar el insumo en una unidad a `D`B ÐT Ñ B

partir de dejando fijo en la productividad estima unaB œ B C C! !

disminución aproximada de unidades ÐT Ñ `D`B

Lo anterior es análogo para funciones de Costo, Ingreso,Utilidad ,...

Observación

Es claro que la interpretación más importante de la derivada parcial es la de rapidéz de cambio, manifestada en el punto anterior para el caso particular de la interpretación económica

46

Ejemplos

1. Sea la función producción para las cantidades eD œ &BC #B $C B C# #

de insumos. Determinar en el punto T œ Ð"!!ß *!Ñ

a) La productividad marginal respecto a B Solución con lo cual ( `D `D

`B `Bœ &C %B T Ñ œ &!

es decir À

"Þ B "Si se incrementa en ,la producción aumentara aproximadamente en unidades ,es decir&! DÐ"!"ß *!Ñ ¶ DÐ"!!ß *!Ñ &!

2. Si se disminuye en ,la producción disminuyeB " aproximadamente en unidades ,es decir&! DÐ**ß *!Ñ ¶ DÐ"!!ß *!Ñ &!

b) La productividad marginal respecto a C Solución con lo cual ( `D `D

`C `Bœ &B 'C T Ñ œ %!

es decir À

"Þ B "Si se incrementa en , la producción disminuye aproximadamente en unidades, es decir%! DÐ"!!ß *"Ñ ¶ DÐ"!!ß *!Ñ %!

2. Si se disminuye en , la producción aumentaB " aproximadamente en unidades, es decir%! DÐ"!!ß )*Ñ ¶ DÐ"!!ß *!Ñ %!

47

Ejemplo

Si se sabe que los costos de fabricación de una caja de lados rectangulares

es por de : la base US$ 3, la tapa US$ 2 y los laterales es de US$ 1.-7#

Determine .

1.- La rapidez de cambio del costo respecto a la dimensión de la altura de

la caja si sus medidas son : en la base 10 y 6 cm. , altura 9 cm.

2.- La rapidez de cambio del costo respecto a la dimensión del lado

menor de la base de la caja si sus medidas son : en la base 10 y 6 cm. ,

altura 9 cm.

Solución

G œ $BC #BC $BD #CD œ &BC #BD #CD

1.- `G `G`D `Dœ #B #C à Ð"!ß 'ß *Ñ œ $#

luego, se tiene que el costo esta aumentando con una rapidez de US$ 32

Es decir , si la altura se aumenta en y los otros lados se mantienen" -7Þß

constantes ,el costo aumenta en US$ 32 y si la altura se disminuye en "-7Þß

y los otros lados se mantienen constantes , el costo disminuye en US$ 32

2.- `G `G`C `Dœ &B #D à Ð"!ß 'ß *Ñ œ ')

luego, se tiene que el costo esta aumentando con una rapidez de US$ ')

Es decir , si el lado menor de la base se aumenta en y los otros lados" -7Þß

se mantienen constantes ,el costo aumenta en US$ 68 y si el lado menor de

la base se disminuye en y los otros lados se mantienen constantes , el"-7Þß

costo disminuye en US$ ')

48

Ejemplo

Una Compañia usa dos tipos de plasticos para producir juguetes.ß El costo de la producción al usar toneladas del plastico uno, toneladas B C del plastico dos esta dado por :

GÐBß C Ñ œ 'B %C Þ )!!!BC

Determine :

i. La rapidez de cambio del costo respecto a las toneladas del plastico

uno , si se están usando 25 toneladas de plastico uno,4 de plastico

dos

ii. La rapidez de cambio del costo respecto a las toneladas del plastico

dos , si se están usando 25 toneladas de plastico uno,4 de plastico

dos

Solución

i.- luego `G )!!! `G )!!! "%`B B C `B && %ÐBß C Ñ œ ' Ð#&ß % Ñ œ ' œ# %

por lo tanto la rapidez de cambio es de : "%&

es decir si aumentamos en dejando fijo a partir de (B " C #&ß %Ñ

se tendra que el costo aumentara aproximadamente en "%&

es decir : GÐ#'ß %Ñ ¸ GÐ#&ß %Ñ Ð#&ß % Ñ œ #%' `G "%`B &

ii.- luego `G )!!! `G`C BC `CÐBß C Ñ œ % Ð#&ß % Ñ œ "'#

por lo tanto la rapidez de cambio es de : "'

es decir si aumentamos en dejando fijo a partir de (B " C #&ß %Ñ

se tendra que el costo disminuira aproximadamente en "'

es decir : GÐ#&ß &Ñ ¸ GÐ#&ß %Ñ Ð#&ß % Ñ œ #%' "'`G`C

49

Ejemplo

Encuentre la funcion que determina el costo de todas las cajas cuyo

volumen sea de respecto a las dimensiones de la base:"'! Ò-7 Ó Bß Cß3

si se sabe que : el costo de la base y la tapa es de $ 90 el ,Ò-7 Ó#

el costo de dos caras paralelas es de $ el y el)! Ò-7 Ó#

costo de las otras dos caras paralelas es de $ el y'! Ò-7 Ó#

Determine :

i. si se sabe queLa rapidez de cambio del costo respecto a Blas dimensiones de la base de la caja son 8 y 4 Ò-7Ó

ii. si se sabe queLa rapidez de cambio del costo respecto a Clas dimensiones de la base de la caja son 8 y 4 Ò-7Ó

Solución

Se tiene que : GÐBß Cß DÑ œ ")!BC "'!BD "#!CD

y como : se tiene que es decir Z œ "'! BCD œ "'! D œ "'!BC

por lo tanto GÐBß CÑ œ ")!BC "'!B "#!C"'! "'!BC BC

œ ")!BC "'!†"'! "'!†"#!C B

œ ")!BC #&'!! "*#!!C B

i.- `G `G`B `BÐBß C Ñ œ Ð)ß % Ñ œ ")!C à ")! † % œ %#!"*#!! "*#!!

B )# #

es decir el costo aumenta con una rapidez de $ 420

ii.- `G `G`C `CÐBß C Ñ œ ÐBß C Ñ œ œ ")!B à ")! † ) "'!#&'!! #&'!!

C %# #

es decir el costo disminuye con una rapidez de $ 160

50

Ejemplo Si se desea construir una caja con tapa de volumen 216 de-7 ß$

modo que su forma sea la de un paralelepipedo.

1.- Encuentre la funcion que determina la superficie de dichas cajas respecto a las dimensiones de la base

2.- Considerando la funcion superficie obtenida. Si en cierto momento las dimensiones de la caja son : en la base 4 y 6 en la altura es de 9 -7ß -7Þ

Determine la rapidez de cambio de la superficie respecto a la dimension del lado menor de la base ¿ Que significa?Solución

1.- W œ #BC #BD #CD

pero Z œ #"' Í BCD œ #"' Í D œ #"'BC

con lo cual W œ #BC %$# %$#C B

W À ïïïïïî‘ ‘#

función superficie ÐBß CÑ qqqqp #BC %$# %$#

C B

2.- `W`B œ #C %$#

B#

`W`B Ð%ß 'Ñ œ "# %$#"' œ "# #( œ "&

es decir la superficie disminuye con una rapidez de 15 -7# es decir si si la magnitud de aumenta en una unidad ,de modoB que la magnitud de se mantiene fija ,C la superficie disminuye en 15 cm #

51

GUÍA APLICACIÓN DERIVADAS PARCIALES

I.- 1.- Dada la funciòn0 À qqqqqqqqqqqqp‘ ‘#

ÐBß CÑ qqp B C 'BC #BC &B $# $ # #

Determinar :

a. La ecuacion de la recta tangente a la curva en el puntoD œ 0ÐBß CÑ ,respecto a la variable T œ Ð"ß "ß ""Ñ B

b. La ecuacion de la recta tangente a la curva en el puntoD œ 0ÐBß CÑ ,respecto a la variable T œ Ð"ß "ß ""Ñ C

c. La ecuacion del plano formado por las rectas tangentes de los puntos a. b. en el punto T œ Ð"ß "ß ""Ñ

d. La ecuacion de la recta normal al plano obtenido en c. en el punto T œ Ð"ß "ß ""Ñ

2.- Dada la funciòn :

0ÐBß CÑ œ / ÐB #CÑ $BC &B #CB C" # $#

Determinar :

a. La ecuaciòn de la recta tangente a la curva en el puntoD œ 0ÐBß CÑ ,respecto a la variable T œ Ð"ß "ß &Ñ B

b. La ecuaciòn de la recta tangente a la curva en el puntoD œ 0ÐBß CÑ ,respecto a la variable T œ Ð"ß "ß &Ñ C

c. La ecuaciòn del plano formado por las rectas tangentes de los puntos a. b. en el punto T œ Ð"ß "ß &Ñ

d. La ecuaciòn de la recta normal al plano obtenido en c. en el punto T œ Ð"ß "ß &Ñ

52

3.- Dada la funciòn 0ÐBß CÑ œ &B C $BCBC %B #C "

# ##

# #


`B `C `B `BÐ"ß #Ñ à Ð"ß #Ñ à Ð!ß #Ñ à Ð!ß #Ñ


c. La ecuaciòn de la recta tangente a la curva en el puntoD œ 0ÐBß CÑ ,respecto a la variable T œ Ð"ß #ß #Ñ B

d. La ecuaciòn de la recta tangente a la curva en el puntoD œ 0ÐBß CÑ ,respecto a la variable T œ Ð"ß #ß #Ñ C

e. La ecuaciòn del plano formado por las rectas tangentes de los puntos c. b. en el punto T œ Ð"ß #ß #Ñ

f. La ecuaciòn de la recta normal al plano obtenido en e. en el punto T œ Ð"ß #ß #Ñ

4.- Dada la funciòn 1ÐBß CÑ œ B C ÐC "Ñ $B %C¸ ¸ #


`B `C `B `BÐ"ß #Ñ à Ð"ß #Ñ à Ð"ß "Ñ à Ð"ß "Ñ

b. `1 `1 `1 `1`B `C `B `BÐ#ß "Ñ à Ð#ß "Ñ à Ð!ß #Ñ à Ð!ß #Ñ

c. `1 `1`B `CÐBß CÑ à ÐBß CÑ

d. La ecuaciòn de la recta tangente a la curva en el puntoD œ 0ÐBß CÑ ,respecto a la variable T œ Ð"ß #ß 'Ñ B

e. La ecuaciòn de la recta tangente a la curva en el puntoD œ 0ÐBß CÑ ,respecto a la variable T œ Ð"ß #ß 'Ñ C

f. La ecuaciòn del plano formado por las rectas tangentes de los puntos d. e. en el punto T œ Ð"ß #ß 'Ñ

53

5.- Dada la funciòn

0ÐBß CÑ œ $B &C ( à ÐBß CÑ Á Ð!ß "Ñ

"# à ÐBß CÑ œ Ð!ß "Ñ

ÚÝÛÝÜ

BÐC"ÑB ÐC"Ñ

## #

Determinar :

a. `0 `0 `0 `0`B `C `B `BÐ!ß "Ñ à Ð!ß "Ñ à Ð"ß "Ñ à Ð"ß "Ñ

b. c. `0 `0 ` 0 ` 0`B `C `C`B `B`CÐBß CÑ à ÐBß CÑ Ð!ß "Ñ à Ð!ß "Ñ

# #

c. La ecuaciòn de la recta tangente a la curva en el puntoD œ 0ÐBß CÑ ,respecto a la variable T œ Ð!ß "ß "#Ñ B

d. La ecuaciòn de la recta tangente a la curva en el puntoD œ 0ÐBß CÑ ,respecto a la variable T œ Ð!ß "ß "#Ñ C

II.- 1.- Se tiene un paralelepípedo de lados .Bß CÞD Si estos miden : 20,40,80 cm. respectivamente Determine :

i) Con que rapidez varía el volumen respecto a B

ii) Con que rapidez varía el volumen respecto a C

iii) Con que rapidez varía el volumen respecto aD

2.- Dado un cilindro de radio y altura en cm.< 2

i) Determine con que rapidez varía el volumen del cilindrorespecto al radio en el instante en que r y œ & 2 œ $!

ii) Determine con que rapidez varía el volumen del cilindrorespecto a la altura en el instante en que r y œ & 2 œ $!

54

III.- 1. Sea 0ÐBß CÑ œ %BC B $C# #

Una funciòn de producciòn, donde es la cantidad de trabajo eB es la cantidad de capitalC

a). Determine la productividad marginal respecto del trabajo , en el instante en que la dotaciòn de insumos es de ($ † "! ß # † "! Ñ& $

b). Determine la productividad marginal respecto del capital , en el instante en que la dotaciòn de insumos es de ($ † "! ß # † "! Ñ& $

c). Explique el significado economico de los resultados obtenidos en a., b. ¿Cual es su recomendaciòn ?

2. Sea la funciòn Utilidad respecto al precio de ventaYÐBß CÑ e de dos artìculos en dolares.B C donde :

YÐBß CÑ œ Ð$#!! &!B #&CÑÐB %!Ñ Ð#&B #&CÑÐC &!Ñ

a. Determine la utilidad marginal respecto a ,en el instante en que los preciosB de venta son de US$ US$ respectivamente.)$ß *!

b. Determine la utilidad marginal respecto a en el instante en que los preciosC de venta son de US$ US$ respectivamente.)$ß *!

c. Explique el significado economico de los resultados obtenidos en a.,b.

55

3.- Sea MÐBß Cß DÑ œ 'BC "!#C #%B %CD "!%D C ((' $D# #

La función Ingreso, generada por la venta de tres tipos de articulos ,cuyos precios de venta son : Bß Cß D respectivamente. a. Determinar la funcion ingreso marginal respecto a B

b. Determinar la funcion ingreso marginal respecto a C

c. Determinar la funcion ingreso marginal respecto a D

d. Determinar el ingreso marginal respecto a si los precios deB venta son B œ $ ß C œ # ß D œ &

e. Determinar la funcion ingreso marginal respecto a si losCprecios de venta son B œ $ ß C œ # ß D œ &

f. Determinar la funcion ingreso marginal respecto a si losDprecios de venta son B œ $ ß C œ # ß D œ &

4.- La utilidad por acre de cierto cultivo de trigo esta determinada por: Y œ %& † P ) † W #! † J $ † P W # † J & † J † W# # #

en donde por acre es el costo por mano de obra , es el costo deP W la semilla y es el costo del fertilizante.J

a- ¿Cual es la utilidad si los costos por acre sonÀ ?P œ ) ß W œ % ß J œ $

b- ¿Cual es la utilidad marginal respecto a si los costos porP acre son ?P œ ) ß W œ % ß J œ $ c- ¿Cual es la utilidad marginal respecto a si los costos porW acre son ?P œ ) ß W œ % ß J œ $ d- ¿Cual es la utilidad marginal respecto a si los costos porJ acre son ?P œ ) ß W œ % ß J œ $

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5.- Una Compañia usa Aluminio,Hierro y Magnesio para producir ß artículos de alta calidad.La cantidad de artículos que puede producir usando toneladas de Aluminio, toneladas de HierroB C y toneladas de Magnesio es D UÐBß Cß DÑ œ BCD Þ

El costo de la materia prima es de : Aluminio US$ 6 por tonelada;

Hierro US$ 4 por tonelada; y Magnesio US$ 8 por tonelada.Si se

desean manufacturar 1000 artículos.

Determine:

a- Cuál es el costo marginal respecto al número de toneladas de

Hierro si se estan usando 5 toneladas de Hierro,10

toneladas de Aluminio y 20 toneladas de Magnesio b. Cuál es el costo marginal respecto al número de toneladas de

Aluminio si se estan usando 5 toneladas de Hierro,10

toneladas de Aluminio y 20 toneladas de Magnesio

c. Cuál es el costo marginal respecto al número de toneladas de

Magnesio si se estan usando 5 toneladas de Hierro,10

toneladas de Aluminio y 20 toneladas de Magnesio

DERIVADAS PARCIALES

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