DERIVACION IMPLICITA

Funciones implícitasUna correspondencia o una

función está definida en forma implícita cuando no aparece

despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada

por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo

miembro es cero.

FUNCIONES IMPLICITAS

Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:x'=1. En general y'≠1. Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.

DERIVADAS DE FUNCIONESIMPLICITAS

A)

B)

EJEMPLODerivar las funciones

Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla para facilitar el cálculo:

                                 

 

DERIVACION IMPLICITA

 

DERIVACION IMPLICITA

Este tipo de derivadas se pueden realizar de una forma más corta.

1) La derivada siempre es negativa, debido a la transposición de términos

2) Los términos que no van asociados a y´ irán directamente, con su signo correspondiente, al numerador. En la ecuación son los términos que van señalados una N.

3) Los términos que van asociados a y´ irán directamente, con su signo correspondiente, al denominador. En la ecuación son los términos que van señalados con una D.

De esta forma derivando, por este procedimiento, el problema anterior

quedará:

Es fácil darse cuenta que la derivada puede hacerse

directamente, es decir, cada vez que se derive un término que no tenga y

´ se situará directamente en el numerador y cada vez que se derive un término que halle asociado a y´,

se situará directamente en el denominador. La derivada seguirá

siendo negativa por la razón apuntada anteriormente.

EJEMPLO:

 

 

DERIVACION IMPLICITAEn algunos casos resolver una ecuación de este

tipo puede dar lugar a más de una función explícita

x

y

o x

y

o x

y

o2522 yx 225)( xxf 225)( xxg

En estos casos no se puede despejar y en términos de x

xyxey y xyyx 633

xyyx 833

¿Cómo determinar la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (4;4)?

DERIVACION IMPLICITA

Dada la ecuación H(x, y) = 0, se desea encontrar y´

Suponga que la ecuación define (localmente) a y

como función de x, y que esta función es derivable.

1

Derive con respecto a x a ambos miembros de la ecuación,

considerando siempre que y es función de x.2

Despeje y´ en términos de x e y.3

METODO