ESTADÍSTICA II

A. DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD

1. Una encuesta a 44 estudiantes de una escuela de Ciencias Administrativas, reveló la siguiente información acerca de la selección de carreras: 12 de Contabilidad, 3 de Finanzas, 13 de Sistemas de Información, 6 de Empresas y 10 de Mercadotecnia; suponga que selecciona a un estudiante y observa su opción profesional.

a. ¿Cuál es el experimento?Encuesta a 44 estudiantes acerca de la selección de carreras.

b. ¿Cuáles son los posibles resultados del experimento?El estudiante estudie la carrera de Contabilidad.El estudiante estudie la carrera de Finanzas.El estudiante estudie la carrera de Sistemas de Información.El estudiante estudie la carrera de Empresas.El estudiante estudie la carrera de Mercadotecnia.

c. ¿Cuál es la Probabilidad de que estudie la carrera de Sistemas de Información?

EVENTO A: El estudiante estudie la carrera de Sistemas de Información.

P (A )=CFTC

=1344

=0.30≈29,55%

2. Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas blancas, 5 rojas y 2 negras, calcule la probabilidad de que:

COLOR CANTIDAD

Blancas 4

Rojas 5

Negras 2

a. no sea negra, EVENTO A: Bola que no sea negra.

P (A )=CFTC

= 911

=0.82≈81,82%

b. sea negra o sea roja.EVENTO B: Bola negra o roja.

P (B )=CFTC

= 711

=0.64≈63,64%

c. sea blanca o sea negra.EVENTO C: Bola blanca o negra.

P (C )=CFTC

= 611

=0.55≈54,55%

P á g i n a 1 | 18

ESTADÍSTICA II

3. El gerente de una mueblería vende de 0 a 4 cofres de porcelana cada semana. Con base en la experiencia, se asignan las siguientes probabilidades de vender 0, 1, 2, 3 o 4 cofres:

P(0)=0,08, P(1)=0,08, P(2)=0.32,P(3)=0.30 y P(4)=0.12.

a. Sea A el evento en el cual se venden 2 o menos en una semana, determine P(A)EVENTO A: 2 o menos cofres en una semana.

P (A )=0,32+0,08+0,08=0,48≈ 48%

b. Sea B el evento se en cual se venden 4 o más en una semana, determine P(B)EVENTO B: 4 o más en una semana.

P (B )=0,12+0,00=12%

4. La probabilidades de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, o 7 accidentes durante un fin semana entre la 1a.m y 6a.m son, respectivamente, 0.08, 0.15 0.20, 0.25, 0.18, 0.07, 0.04 y 0.01. calcule la probabilidad de que en cualquier fin de semana entre esas horas de la mañana suceda lo siguiente:

ACCIDENTES PROBABILIDAD0 0,081 0,152 0,203 0,254 0,185 0,076 0,047 0,01

a. Menos de tres accidentes EVENTO A: Menos de 3 accidentes.

P (A )=0,20+0,15+0,08=0,43≈43%

b. Tres o menos accidentes EVENTO B: 3 o menos accidentes.

P (B )=0,25+0,20+0,15+0,08=0,68≈68%

c. Exactamente tres accidentes EVENTO C: 3 accidentes

P (C )=0,25=0,25≈25%

d. Ningún accidente. EVENTO D: ningún accidente

P (D )=0,08=0,08≈8%

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ESTADÍSTICA II

e. Más de siete accidentes.EVENTO E: Más de 7 accidentes

P (D )=¿

B. EVENTOS COMBINADOS

1. Sean:

A: el evento en que una persona corre 5 Km o más por semana.B: el evento en que una persona muere por enfermedad del corazón.C: el evento en que una persona muere de cáncer.

Además, suponga que P(A)=0.01, P(B)=0.25 y P(C)=0.20.

a. Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes, se puede determinar P (A y B )?

EVENTO A: Una persona corre 5 km. o más por semana.EVENTO B: Una persona muere por enfermedad del corazón.

No se puede determinar debido a que son mutuamente excluyentes, por lo tanto ambos no pueden suceder a la vez. Es decir, la ocurrencia de un evento impide automáticamente la ocurrencia del otro evento.

P (A y B )=0

b. Si los eventos B y C son mutuamente excluyentes, calcule la probabilidad de que una persona muera del corazón o de cáncer.

EVENTO B: Una persona muere por enfermedad del corazón.EVENTO C: Una persona muere de cáncer.Mutuamente excluyentes.

P (BoC )=P (B )+P (C )−P (B y C)P (BoC )=0,25+0,20−0P (BoC )=0,45≈ 45%

c. Si los eventos B y C son independientes, calcule la probabilidad de que una persona muera del corazón y de cáncer.

EVENTO B: Una persona muere por enfermedad del corazón.EVENTO C: Una persona muere de cáncer. Eventos independientes.

P (B y C )=P (B )∗P (C )P (B y C )=0,25∗0,20P (B y C )=0,05≈5%

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ESTADÍSTICA II

2. Se consideran dos sucesos A y B asociados a un experimento aleatorio con P (A )=0,70, P (B )=0,60 y P (A y B )=0,58. ¿Son independientes A y B? Razone su respuesta.

Los dos sucesos o eventos NO SON INDEPENDIENTES, puesto que la expresión tiene como resultado 0,42 y no 0,58.

P (A y B )=P ( A )∗P (B ) P (A y B )=0,70∗0,60

P (A y B )=0 ,42

3. Dos sucesos tienen probabilidades 0.4 y 0.5, sabiendo que son independientes, calcule la probabilidad de que no suceda ninguno de los dos.

EVENTOS PROBABILIDADES

A 0,4

B 0,5

P (A )=0,4P (B )=0,5

P (A ' y B' )=?P (A ' y B' )=P ( A' )∗P (B ')

P (A ' y B' )=[1−P(A )]∗[1−P(B) ]P (A ' y B' )=[1−0,4 ]∗[1−0,5¿ ]P (A ' y B' )=(0,6 )∗(0,5)P (A ' y B' )=0,30≈30%

4. La Distribuidora vinícola La rioja preguntó a sus clientes si consumían vino entre semana; los resultados fueron que el 57% consumen vinos del país, el 33% vinos de importación, y el 63% consumen del país o importados. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente de la vinícola consuma vino importado o del país en una semana cualquiera?

EVENTO DESCRIPCIÓN PROBABILIDADA Consumen vinos del país. 57%B Consumen vinos de importación. 33%

A y B Consumen vinos del país o importados. 63%

P (A )=0,57P (B )=0,33

P (A y B )=0,63

P (A oB )=P (A )+P (B )−P(A y B)P (A oB )=0,57+0,33−0,63P (A oB )=0,27≈27%

P á g i n a 4 | 18

ESTADÍSTICA II

5. Un estudio realizado por una empresa que renta vehículos reveló que en los últimos 12 meses el 45% de los clientes habían rentado en un automóvil por asuntos de negocios, 54% por motivos personales y 30% por motivos personales y negocios a la vez.

EVENTO DESCRIPCIÓN PROBABILIDADA Asuntos de negocios. 45%B Motivos personales. 54%A y B Motivos personales y negocios. 30%

P (A )=0,45P (B )=0,54

P (A y B )=0,30

a. ¿Cuál es la probabilidad que el próximo cliente rente un automóvil por motivos de negocios o personales? EVENTO A: Asuntos de negocios.EVENTO B: Motivos personales.

P (A oB )=P (A )+P (B )−P(A y B)P (A oB )=0,45+0,54−0,30P (A oB )=0,69≈69%

b. Cuál es la probabilidad de que el próximo cliente no rente un automóvil por negocios o asuntos personales. EVENTO A: No rente por negocios.EVENTO B: No rente por motivos personales.

P (A ' oB' )=P ( A ' )+P (B' )−P ( A ' y B' )P (A ' oB' )=[1−P (A ) ]+[1−P (B ) ]−[1−P ( A y B ) ]P (A ' oB' )=[1−0,45 ]+[1−0,54 ]−[1−0,30 ]

P (A ' oB' )=0,55+0,46−0,70P (A ' oB' )=0,31≈31%

6. El periódico informa que hay el 40% de probabilidades de que hoy llueva; Luis considera que la probabilidad de que apruebe el examen de estadística es 0.38. Suponiendo que estos eventos son independientes determine lo siguiente:

EVENTO DESCRIPCIÓN PROBABILIDADA Hoy llueva. 0,40B Apruebe el examen de estadística. 0,38

Eventos independientes.a. Probabilidad de que llueva y apruebe.

P (A y B )=P ( A )∗P (B )P (A y B )=0,40∗0,38

P á g i n a 5 | 18

ESTADÍSTICA II

P (A y B )=0,152≈15,2%

b. Probabilidad de que no llueva y no apruebe.

P (A ' y B' )=P ( A' )∗P (B ')P (A ' y B' )=[1−P(A )]∗[1−P(B) ]P (A ' y B' )=[1−0,40 ]∗[1−0,38¿ ]

P (A ' y B' )=0,60∗0,62P (A ' y B' )=0,372≈37,2%

7. La probabilidad de que una máquina produzca una tuerca hexagonal aceptable es del 90%. Si las piezas sucesivas son independientes entre sí (un supuesto razonable si el proceso está bajo control) encuentre la probabilidad de obtener lo siguiente:

EVENTO DESCRIPCIÓN PROBABILIDAD DE OCURRENCIA

PROBABILIDAD DE NO OCURRENCIA

A PRIMERA PIEZA ACEPTABLE 0,90 0,10B SEGUNDA PIEZA ACEPTABLE 0,90 0,10C TERCERA PIEZA ACEPTABLE 0,90 0,10D CUARTA PIEZA ACEPTABLE 0,90 0,10E QUINTA PIEZA ACEPTABLE 0,90 0,10F SEXTA PIEZA ACEPTABLE 0,90 0,10

A, B, C, D, E, F piezas sucesivas independientes.

a. Dos piezas seguidas no sean aceptables

b. Una pieza aceptable y una pieza defectuosa, en ese ordenc. Una pieza aceptable y una pieza defectuosa, en cualquier ordend. Tres piezas defectuosas seguidas.

8. José espera ansiosamente las calificaciones de dos cursos que recientemente terminó. Considera que hay 0.80 de probabilidad de obtener A en literatura y un 0.40 de probabilidad de obtener un A en filosofía. Encuentre las probabilidades de los siguientes eventos:

EVENTO DESCRIPCIÓN PROBABILIDAD DE OCURRENCIA

PROBABILIDAD DE NO OCURRENCIA

A Obtener A en literatura 0,80 0,20B Obtener A en filosofía 0,40 0,60

a. Ambas calificaciones sean A.

P (A y B )=?P (A y B )=P ( A )∗P (B )P (A y B )=0,80∗0,40P (A y B )=0,32≈32%

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ESTADÍSTICA IIb. Ninguna sea A.

P (A y B )'=?P (A y B )'=1−P (A y B)P (A y B )'=1−0,32P (A y B )'=0,68≈68%

c. En literatura obtenga A, pero no en filosofía.

P (A y B' )=?P (A y B' )=P ( A )∗P(B')P (A y B' )=0,80∗0,60P (A y B' )=0,48≈ 48%

d. Ninguna de las anteriores.

P (A ' y B' )=?P (A ' y B' )=P ( A' )∗P (B ')

P (A ' y B' )=[1−P(A )]∗[1−P(B) ]P (A ' y B' )=[1−0,80 ]∗[1−0,40 ]

P (A ' y B' )=0,20∗0,60P (A ' y B' )=0,12≈12%

P á g i n a 7 | 18

ESTADÍSTICA IIC. EVENTOS CONDICIONALES

1. En una bolsa de caramelos surtidos hay 10 caramelos con sabor a naranja, 5 con sabor a limón y 3 con sabor a fresa. Todos tienen el mismo tamaño y hasta extraerlos de la bolsa no se sabe de qué sabor son. Se extraen tres caramelos al azar.

DESCRIPCIÓN NºCaramelos sabor a naranja. 10Caramelos sabor a limón. 5Caramelos sabor a fresa. 3TOTAL 18

a. Calcular la probabilidad de extraer primero uno con sabor a naranja, luego uno con sabor a limón y, por último, uno con sabor a fresa.

EVENTO DESCRIPCIÓN FRECUENCIAA Extraer caramelos sabor a naranja. 10B Extraer caramelos sabor a limón. 5C Extraer caramelos sabor a fresa. 3TOTAL 18

P (A y B yC )=P ( A )∗P( BA )∗P (CB )

P (A y B yC )=

1018

∗5

17∗3

16

P (A y B yC )= 25816

=0,031≈3,1%

b. Calcular la probabilidad de que sean de tres sabores diferentes.

Se presentan las siguientes maneras: A: NLF (Naranja, limón, fresa)o B: LFN (Limón, fresa, naranja)o C: FNL (Fresa, naranja, limón)

P (A oB oC )=P ( A )+P (B )+P(C)

P (A oB oC )=

1018

∗5

17∗3

16+

518

∗3

17∗10

16+

318

∗10

17∗5

16

P (A oB oC )= 25816

+ 25816

+ 25816

P (A oB oC )= 25272

=0,092≈9,19%

P á g i n a 8 | 18

ESTADÍSTICA II

2. Una urna contiene 6 bolas blancas y cinco bolas amarillas. Se extrae una bola y se la esconde sin observar su color. A continuación se extrae una segunda bola. Cuál es la probabilidad de que esta bola sea blanca.

Se presentan las siguientes maneras: A: AB (Amarilla, blanca)o B: BB (Blanca, blanca)

P (A oB )=P (A )+P (B )

P (A oB )=

511

∗6

10+

611

∗5

10

P (A oB )= 311

+ 311

P (A oB )= 611

=0,55≈54,55%

3. En una urna hay 3 bolas blancas, 5 rojas y 4 negras. Se extraen tres bolas consecutivamente, sin reemplazamiento, calcule la probabilidad de que las tres sean rojas.

Sean los eventos:

EVENTO DESCRIPCIÓNA Extraer una bola roja.B Extraer otra bola roja.C Extraer otra bola roja.

P (A y B yC )=P ( A )∗P( BA )∗P (CB )

P (A y B yC )=

512

∗4

11∗3

10

P (A y B yC )= 122

=0,045≈4,55%

P á g i n a 9 | 18

DESCRIPCIÓN NºBolas blancas 6Bolas amarillas 5TOTAL 11

DESCRIPCIÓN NºBolas blancas 3Bolas rojas 5Bolas negras 4TOTAL 12

ESTADÍSTICA II

4. El gerente de unos grandes almacenes ha comprobado que un 38 % de las familias que residen en determinada ciudad no son clientes habituales y que un 85 % de sus clientes pagan al contado el importe de las compras. Determine la probabilidad de que, seleccionada al azar una familia en esa ciudad, sea cliente y page al contado el importe de sus compras.

EVENTO DESCRIPCIÓN PROBABILIDAD DE OCURRENCIA

PROBABILIDAD DE NO OCURRENCIA

A No son clientes habituales. 0,38 0,62B Pagan al contado. 0,85 0,15

P (A ' y B )=P ( A ')∗P (B )

P (A ' y B )= [1−P(A)]∗P(B)P (A ' y B )= [1−0,38 ]∗0,85P (A ' y B )=0,62∗0,85

P (A ' y B )=0,527≈52,7 %

D. TABLAS DE CONTINGENCIA Y PROBABILIDAD CONDICIONAL

1. La siguiente tabla muestra la distribución de grupos hemáticos entre la población general:

Tipo A B AB O TotalRh+ 34 9 4 38Rh- 6 11 1 16Total

a. Complete la tabla

Tipo A B AB O TotalRh+ 34 9 4 38 85Rh- 6 11 1 16 34Total 40 20 5 54 119

b. Tabla de probabilidadTipo A B AB O TotalRh+ 0,29 0,08 0,03 0,32 0,71Rh- 0,05 0,09 0,01 0,13 0,29Total 0,34 0,17 0,04 0,45 1,00

c. Cuál es la probabilidad de que una persona tenga sangre tipo O?

P á g i n a 10 | 18

ESTADÍSTICA II

P (O )=0,45

d. Cuál es la probabilidad de que una persona tenga sangre con Rh-?

P ¿

e. Cuál es la probabilidad de que en un matrimonio ambos tengan Rh-?EVENTOS INDEPEDIENTESA: Hombre tenga Rh- B: Mujer tenga Rh-

P (A y B )=P ( A )∗P(B)P (A y B )=0,29∗0,29P (A y B )=0,08≈8,41%

f. Cuál es la probabilidad de que en un matrimonio ambos tengan sangre tipo AB?EVENTOS INDEPEDIENTESA: Hombre tenga AB B: Mujer tenga AB

P (A y B )=P ( A )∗P(B)P (A y B )=0 ,04∗0 ,04

P (A y B )=0 ,0016≈0,16%

g. Cuál es la probabilidad de que una persona tenga sangre con Rh- dado que tiene sangre tipo O?

P ¿

h. Cuál es la probabilidad de que una persona tenga sangre tipo B, dado que tiene Rh+?

P ¿

2. A un investigador le entró un virus computacional que borró la base de datos de su investigación la que medía la postura de rechazo o aceptación frente a la ley de divorcio. Estos datos estaban divididos en hombres y mujeres. Nos pide ayuda para que le devolvamos los datos perdidos.

Mujeres Hombres TotalAcepta 17 16 33

Rechaza 13 4 17total 30 20 50

a. Tabla de datos completosb. Tabla de probabilidad:

Mujeres (M)

Hombres (H) Total

P á g i n a 11 | 18

ESTADÍSTICA II

Acepta (SI) 0,34 0,32 0,66Rechaza(NO

) 0,26 0,08 0,34

total 0,60 0,40 1,00

Se escoge al azar a una persona encuestada, determine:

c. Cuál es la probabilidad de que la persona seleccionada sea hombre?

P (H )=0,40

d. Cuál es la probabilidad de que la persona seleccionada rechace el divorcio?

P (NO )=0,34

e. Cuál es la probabilidad de que la persona seleccionada acepte el divorcio dado que es mujer?

P( SIM )= P(SI y M)P(M )

=0,340,60

=0,57

f. Si la persona seleccionada rechaza el divorcio, cuál es la probabilidad de que sea hombre?

P( HNO )=P (H y NO)P(NO )

=0,080,34

=0,24

P á g i n a 12 | 18

ESTADÍSTICA IIE. ÁRBOL DE PROBABILIDAD Y TEOREMA DE BAYES

1. Los repuestos de computador se fabrican en dos máquinas, la máquina A fabrica el 60% de la producción total y la máquina B fabrica el 40% restante de la demanda; existe un 98% de probabilidad de que los repuestos fabricados por la máquina sean óptimos; mientras que existe un 96% de probabilidad que los repuestos fabricados con la máquina B sean óptimos; se toma un repuesto al azar, con esta información calcule las siguientes probabilidades:

a. Construya el árbol de probabilidades.

b. Probabilidad de que se obtenga un repuesto óptimo dado que se fabricó en la máquina A

P(CA )=P ( A )∗P(CA )P(CA )=0,60∗0,98=0,59≈59%

c. Probabilidad de que se obtenga un repuesto óptimo dado que se fabricó en la máquina B

P(CB )=P (B )∗P(CB )P(CB )=0,40∗0,96=0,38≈38%

d. Probabilidad de que se obtenga un repuesto defectuoso dado que se fabricó en la máquina A

P( DA )=P ( A )∗P(DA )

P á g i n a 13 | 18

ESTADÍSTICA II

P( DA )=0,60∗0,02=0,012≈1,2%

e. Probabilidad de que se obtenga un repuesto defectuoso dado que se fabricó en la máquina B

P( DB )=P (B )∗P (DB )P( DB )=0,40∗0,04=0 ,016≈1 ,6%

f. Probabilidad de que el repuesto obtenido sea óptimo

P(CA o CB )=P( CA )+P(CB )P(CA o CB )=0,59+0,38=0,97≈ 97%

g. Probabilidad de que el repuesto obtenido sea defectuoso

P( DA o DB )=P (DA )+P( DB )P( DA o DB )=0,012+0,016=0 ,028≈2,8%

h. Probabilidad de que el repuesto seleccionado sea de la máquina A dado que es óptimo

P( AC ) :Reglade Bayes

P( AC )=P ( A yC )C

=P ( A )∗P(CA )

P ( A )∗P(CA )+P (B )∗P(CB )P( AC )= 0,59

0,59+0,38=0,61≈61%

i. Probabilidad de que el repuesto seleccionado sea de la máquina B dado que es óptimo

P( BC ):Reglade Bayes

P á g i n a 14 | 18

ESTADÍSTICA II

P( BC )= P (B yC )C

=P (B )∗P(CB )

P ( A )∗P(CA )+P (B )∗P(CB )P( BC )= 0,38

0,59+0,38=0 ,39≈39%

j. Probabilidad de que el repuesto seleccionado sea de la máquina A, dado que es defectuoso

P( AD ) :Reglade Bayes

P( AD )= P (A yD )D

=P ( A )∗P(DA )

P (A )∗P( DA )+P (B )∗P(DB )P( AD )= 0,012

0,012+0,016=0 ,43≈43%

k. Probabilidad de que el repuesto seleccionado sea de la máquina B dado que es defectuoso.

P( BD ) :Reglade Bayes

P( BD )= P (B y D )D

=P (B )∗P( DB )

P ( A )∗P(DA )+P (B )∗P( DB )P( BD )= 0,016

0,012+0,016=0 ,57≈57%

2. En un colegio secundario se sabe que el 45% de los estudiantes son varones, de estos el 25% utiliza lentes y de las mujeres solo lleva lentes el 15%. Se selecciona un estudiante al azar:

a. Identifique los eventos

A: Estudiantes varones llevan lentes.B: Estudiantes mujeres llevan lentes.

b. Construya el árbol de probabilidad

P á g i n a 15 | 18

ESTADÍSTICA II

c. Determine la probabilidad de que el estudiante seleccionado sea varón y no use lentes

P (H y L´ )=P (H )∗P (L´ )P (H y L´ )=0,45∗0 ,75P (H y L´ )=0 ,34 ≈33 ,8%

d. Determine la probabilidad de que el estudiante seleccionado sea mujer dado que usa lentes.

P(ML ):Regla deBayes

P(ML )= P (M y L )L

=P (M )∗P ( LM )

P (M )∗P( LM )+P (H )∗P( LH )P(ML )= 0,55∗0,15

0,55∗0,15+0,45∗0,25=0,080,20

P(ML )=0,41≈41%3. En una pequeña ciudad hay dos bibliotecas. En la primera, el 50 % de los libros son novelas

mientras que en la segunda lo son el 70 %. Un lector elige al azar una biblioteca siguiendo un

P á g i n a 16 | 18

ESTADÍSTICA IImétodo que implica que la probabilidad de elegir la primera biblioteca es el triple que la de elegir la segunda. Una vez llega a la biblioteca seleccionada, elige al azar un libro, novela o no.

a. Calcular razonadamente la probabilidad de que elija una novela.

P( NA o NB )=P(NA )+P( NB )P( NA o NB )=P ( A )∗P( NA )+P (B )∗P( NB )P( NA o NB )=0,75∗0,50+0,25∗0,70P( NA o NB )=0,38+0,18=0,56≈56%

b. Sabiendo que el libro seleccionado es una novela, obtener razonadamente la probabilidad de que haya acudido a la primera biblioteca.

P( AN ) :Reglade Bayes

P( AN )=P (A y N )N

=P ( A )∗P( NA )

P (A )∗P( NA )+P (B )∗P (NB )

P á g i n a 17 | 18

ESTADÍSTICA II

P( AN )= 0,75∗0,500,75∗0,50+0,25∗0,70

=0,380,55

P( AN )=0,69≈69%

P á g i n a 18 | 18