Décimo segunda clase. Espacios vectoriales de...

Universidad Distrital Francisco Jos de Caldas - Anlisis de Seales y Sistemas - Marco A. Alzate 1

Dcimo segunda clase. Espacios vectoriales de seales

En la clase pasada vimos el concepto de espacio vectorial en n, donde los vectores eran arreglos

verticales de n nmeros reales (o complejos) y los escalares eran nmeros reales (o complejos), para

los cuales definimos la suma entre vectores y el producto de un vector por un escalar. El espacio

vectorial lo definimos, entonces, como un subconjunto de n cerrado para las combinaciones

lineales de vectores y notamos que podamos encontrar bases de vectores (conjuntos de n vectores

linealmente independientes) que expandan el espacio vectorial. Este concepto es extremadamente

valioso en el estudio de la fsica, por ejemplo, donde los espacios vectoriales resultan ser modelos

matemticos de realidades muy concretas, como el campo gravitacional o los campos electro-

magnticos (Figura 1)

Figura 1. El concepto de espacio vectorial en 2 y 3 tiene muchas aplicaciones en fsica. (a) Campo gravitacional, (b)

campo magntico, (c) campo cuntico

Pues bien, este concepto lo podemos llevar a espacios vectoriales abstractos si definimos

adecuadamente el campo de escalares, la suma de vectores y la multiplicacin por escalares. Slo

falta dar estructuras adecuadas a algunos conjuntos abstractos y a algunas operaciones dentro de

ellos. Por ejemplo, as como los espacios vectoriales en n los definimos sobre el "campo escalar de

los reales", para espacios vectoriales ms abstractos debemos definir una estructura correspondiente

para el campo de escalares, por lo cual definiremos las estructuras de Grupo y de Campo, que ni

siquiera tienen que ver con nmeros. As podremos extender el concepto de espacio vectorial a

muchas clases de objetos diferentes a los elementos de n.

1. Espacios vectoriales abstractos

Un grupo {G,} es un conjunto de elementos, G, y una operacin definida entre cualquier par de

esos elementos, , que satisfacen los siguientes cuatro axiomas:

G es cerrado para . Esto es, ,a b G a b G

La operacin es asociativa. Esto es, , ,a b c G a b c a b c

La operacin tiene un elemento identidad en G. Esto es, : ,e G a G a e e a a

Cada elemento de G tiene un elemento inverso para en G. Esto es, 1 1 1, :a G a G a a a a e

Un grupo Abeliano es un grupo que tambin satisface la propiedad de conmutatividad. Esto es:


,a b G a b b a

Dada la notacin, es difcil dejar de pensar en el conjunto de nmeros reales y la multiplicacin,

{, }. Pero, claramente, los nmeros reales no pueden formar un grupo con respecto a la

multiplicacin porque el elemento cero no tiene un inverso multiplicativo en , por lo cual se

incumple el cuarto axioma. Debemos sacudirnos de estereotipos y notar que G no tiene que ser un

conjunto de nmeros o de arreglos de nmeros (aunque puede serlo) y no tiene que ser la

multiplicacin entre nmeros (aunque puede serlo). Veamos, por ejemplo, un ejemplo muy ajeno a

los conjuntos de nmeros:

G = Conjunto de permutaciones de tres objetos

= Aplicacin sucesiva de dos permutaciones

Por ejemplo, si tengo los tres objetos (Sol, Venus, Marte), les puedo aplicar seis permutaciones

diferentes:

(123)()=(), (132)()=(), (213)()=()

(231)()=(), (312)()=(), (321)()=()

Esto es, G = {(123),(132),(213),(231),(312),(321)}, donde el elemento (ijk) del conjunto G es la

permutacin que hace que en la posicin 1 se ubique el objeto que estaba en la posicin i, en la

posicin 2 se ubique el objeto que estaba en la posicin j, y en la posicin 3 se ubique el objeto que

estaba en la posicin k. Es {G,} un grupo? Claramente G es cerrado para porque la aplicacin

sucesiva de dos permutaciones da otra permutacin. Por ejemplo,

[(231)(321)]()=(231)()=()=(213)() (231)(321)=(213)

La asociatividad es evidente:

(z(1) z(2) z(3))[(y(1) y(2) y(3))(x(1) x(2) x(3))] = (z(1) z(2) z(3))[ x(y(1)) x(y(2)) x(y(3))] = [x(y(z(1))) x(y(z(1))) x(y(z(1)))]

[(z(1) z(2) z(3))(y(1) y(2) y(3))](x(1) x(2) x(3)) = [ y(z(1)) y(z(2)) y(z(3))](x(1) x(2) x(3)) = [x(y(z(1))) x(y(z(1))) x(y(z(1)))]

de donde (g1g2)g3 = g1(g2g3).

El elemento identidad de {G,} es (123) pues (ijk)(123)=(123)(ijk)=(ijk).

Por ltimo, el elemento inverso de cada elemento de G es la permutacin que retorna al orden

original. Es interesante notar que para cuatro elementos de G, g-1 = g.

(123)-1

= (123), (132)-1

= (132), (213)-1

= (213), (231)-1

= (312), (312)-1

= (231), (321)-1

= (321)

De esta manera se ha verificado que {G,} es un grupo, aunque tambin es evidente que no se trata

de un grupo Abeliano: (231)(321)=(213) (132)=(321)(231). Pero queda claro que los grupos no

tienen que ser de nmeros con respecto a operaciones numricas, aunque pueden serlo:

Los enteros con respecto a la suma, (, +), forman un grupo Abeliano, as como (, +), (,

+) y (, +). En todos ellos, el elemento identidad es 0 y el inverso de x es x. (, +) no es

un grupo porque el nico inverso aditivo en es 0-1 = 0.

Los reales distintos de cero con respecto a la multiplicacin, (\{0}, ), forman un grupo

Abeliano, as como (\{0}, ). El elemento identidad es 1 y el inverso multiplicativo es x-1

= 1/x.


Las matrices que producen rotaciones en 2, cos( ) sin( )

( ) , 0 2sin( ) cos( )

r

, forman

un grupo Abeliano con respecto a la multiplicacin de matrices, donde la identidad es r(0) y

el inverso de r()-1 = r(-).

Con los grupos se pueden formar campos, que constituirn los escalares de nuestros espacios

vectoriales abstractos. Un campo es un conjunto de elementos, F, y un par de operaciones, y +,

definidas sobre los elementos de F, que satisfacen los siguientes axiomas:

{F,+} es un grupo Abeliano con identidad 0

{F\{0},} es un grupo Abeliano con identidad 1

se distribuye sobre +. Esto es, a,b,c F a(b+c) = ab + ac

Por supuesto, la multiplicacin y la suma sobre los reales, los racionales y los complejos son los

campos ms fciles de identificar, debido a la familiaridad que tenemos con ellos. Pero es posible

imaginar muchos ms. Por ejemplo, ntese que el conjunto {0, 1} forma un campo finito sobre la

operacin AND () y la operacin XOR (+). Se le llama GF(2) Campo de Galois de orden 2, y

constituye el fundamento terico de los sistemas de comunicacin digital. Considerando que la

operacin lgica AND es la multiplicacin mdulo 2 y la operacin lgica XOR es la adicin

mdulo 2, se suele generalizar al campo de Galois de orden p, con p primo, donde los elementos

del campo son los enteros {0,1,2,,p-1} y las operaciones y + son la multiplicacin y la suma

mdulo p, respectivamente. Estos campos GF(p) son fundamentales en el estudio de los mtodos de

control de error en comunicaciones digitales, donde la informacin se representa como polinomios

sobre campos de Galois. La siguiente figura muestra GF(3) como ejemplo de un campo finito.

Figura 2. Campo finito de Galois de orden 3

As como los espacios vectoriales en n que vimos en la clase anterior se desarrollaban sobre el

campo de los reales (o de los complejos), el concepto abstracto de Espacio Vectorial requiere un

campo de escalares y un conjunto abstracto de objetos (vectores). Sea V un conjunto de elementos

llamados vectores y F un campo de elementos llamados escalares. Adems de las operaciones (,+)

definidas para F, introducimos otra operacin aditiva + entre vectores, que a dos vectores x y y en

GF(3)={0,1,2} 0+0=0, 0+1=1, 0+2=2,

1+0=1, 1+1=2, 1+2=0,

2+0=2, 2+1=0, 2+2=1

00=0, 01=0, 02=0,

10=0, 11=1, 12=2,

20=0, 21=2, 22=1

Grupo Abeliano con identidad 0

Grupo Abeliano con identidad 1

2(2+2)=22+ 22=2

2(2+1)=22+ 21=1

2(2+0)=22+ 20=1

2(1+1)=21+ 21=1

2(1+0)=21+ 20=2

2(0+0)=20+ 20=0

1(2+2)=12+ 12=1

1(2+1)=12+ 11=0

1(2+0)=12+ 10=2

1(1+1)=11+ 11=2

1(1+0)=11+ 10=1

1(0+0)=10+ 10=0

0(2+2)=02+ 02=0

0(2+1)=02+ 01=0

0(2+0)=02+ 00=0

0(1+1)=01+ 01=0

0(1+0)=01+ 00=0

0(0+0)=00+ 00=0

se distribuye sobre +


V asocia otro vector x+y en V. Tambin introducimos una operacin multiplicativa que a cada

escalar a en F y cada vector x en V asocia otro vector ax en V. Entonces V forma un Espacio

Vectorial sobre el campo F si se satisfacen las siguientes condiciones:

V forma un grupo Abeliano para +

,a F x V a x V

, , , ( ) , ( )a b F x y V a x y a x a y a b x a x b x

, , ( ) ( )a b F x V a b x a b x

1 , 1F x V x x

Ntese que se debe distinguir muy bien cundo se trata de multiplicacin entre escalares, de

multiplicacin entre un escalar y un vector, de suma entre escalares y de suma entre vectores. El

contexto (la naturaleza de los operandos) permitir dilucidar cualquier duda.

2. Ejemplos de espacios vectoriales abstractos

Por supuesto, los primeros ejemplos de espacios vectoriales son los de algunos subconjuntos de n

sobre el campo de los reales, con la suma y la multiplicacin ya conocidas: El espacio vectorial

expandido por las columnas de una matriz, o el espacio vectorial que constituido por el kernel de

una matriz ( ) : 0nK A x Ax , etc. Pero ntese que con nuestra nueva definicin abstracta

podemos pensar en otros ejemplos ms imaginativos: El conjunto de matrices reales nn forma un

espacio vectorial sobre el campo de los reales. El conjunto de polinomios P en una variable real t

con coeficientes complejos forma un espacio vectorial sobre el campo de los complejos, etc.

Consideremos, por ejemplo, este ltimo caso: el espacio vectorial de los polinomios de grado menor

o igual a N se define como 0

: tales que ( ) , , ,N

n

n n

n

V P P t t N t

. Es un espacio

vectorial sobre el campo escalar de los complejos porque forma un grupo Abeliano para la suma de

polinomios: , ( ) ( ) ( )P Q V P Q t P t Q t V ; es cerrado para la multiplicacin por escalar:

0 0

, ( ) ( )N N

n n

n n

n n

P t V P t P t t V

; el producto por escalar se distribuye

sobre la suma de polinomios: , , ( ) ( ) ( ) ( )P Q V P Q t P t Q t ; el producto por

vector se distribuye sobre la suma de escalares: , , ( ) ( ) ( ) ( )P V P t P t Q t ; el

producto entre vectores y escalares es asociativo: , , ( ) ( ) ( )( )a b P V a b P t a b P t ; la identidad del producto escalar no cambia el producto entre escalar y vector: (1P)(t)=P(t).

Si los elementos de un espacio vectorial pueden ser tan abstractos como los polinomios de grado

dado, lejos de los vectores en n de la clase anterior, podemos imaginar muchos otros espacios

vectoriales con elementos an ms abstractos. Antes de pasar a los espacios vectoriales de seales,

veremos un ejemplo adicional de gran utilidad en el mundo de las comunicaciones digitales: Los

cdigos lineales de bloques.

Un cdigo q-ario de control de errores por bloques es un conjunto de M palabras clave C={c0, c1,

, cM-1}, cada una consistente en n coordenadas ci=[di0, di1, , din], donde los dij toman valores en


GF(q), el campo de Galois de orden q. El proceso de codificacin consiste en dividir un flujo de

datos en bloques y asociar cada uno de estos bloques biunvocamente con una de las palabras claves

en C. La coleccin de todas las n-tuplas sobre GF(q) forma un espacio vectorial sobre GF(q) con qn

vectores, por lo que hay (qn-M) n-tuplas que no son palabras clave vlidas. Si M=qk, se trata de un

cdigo (n,k).

C forma un cdigo q-ario lineal si constituye un subespacio vectorial sobre GF(q). Una matriz G,

cuyas filas sean los vectores de una base del subespacio, es una matriz generadora para el cdigo C.

Para codificar un bloque de datos, simplemente se multiplica el vector fila del flujo de datos por la

matriz generadora G.

El complemento ortogonal de C, Co, es un subespacio vectorial de dimensin n-k. Una matriz H

cuyas columnas sean los vectores de una base del espacio Co es una matriz "verificadora de

paridad" para el cdigo C. En efecto, una secuencia c de n smbolos de GF(q) ser un cdigo vlido

slo si cHT=0.

Un ejemplo sencillo es el cdigo Hamming(7,4) en GF(2), en el que a cuatro bits de datos se aaden

tres bits de paridad para formar 16 palabras clave de 7 bits. Las matrices generadora y verificadora

de paridad son

1 1 0 1

1 0 1 1

1 0 1 0 1 0 11 0 0 0

, 0 1 1 0 0 1 10 1 1 1

0 0 0 1 1 1 10 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

G H

Si el transmisor desea enviar 4 bits de datos, d = [d1 d2 d3 d4], construye y enva la palabra clave

c = dGT., la cual tiene los bits de datos en las posiciones 3, 5, 6 y 7 y tiene bits de paridad en las

posiciones 1, 2 y 4. Durante la transmisin, algunos bits pueden sufrir errores, de manera que al

receptor llega una palabra y = c + e, donde e es una patrn de errores (recuerde que la suma en

GF(2) es la funcin lgica XOR). El receptor calcula el sndrome s = yHT = eHT, el cual indica la

posicin del bit equivocado si hay slo un bit equivocado (de manera que se puede corregir) o da

una secuencia distinta de 000 si hay dos bits equivocados (de manera que se pueden detectar). Esto

es posible precisamente porque las filas de G y H expanden espacios vectoriales C y Co que son

complementos ortogonales entre ellos.

En adelante, pues, hablaremos de espacios vectoriales abstractos y, ms tarde, nos concentraremos

en los espacios vectoriales de seales.

3. Espacios Vectoriales Normados

Sea V un espacio vectorial sobre algn campo F. Una funcin |||| : V es una norma en V si

satisface las siguientes propiedades:


(1) , 0 con igualdad si y slo si 0;

(2) , , ;

(3) , ,

x V x x

F x V x x

x y V x y x y

Ya hemos visto ampliamente el caso Vn y la norma Euclidiana, donde

2

1 2

1

nT

n i

i

x x x x V x x

, pero podemos definir normas en cada uno de los

espacios vectoriales abstractos que hemos revisado. Por ejemplo, en un espacio C de cdigos

binarios sobre el campo GF(2), una norma ampliamente utilizada para medir la capacidad de

deteccin y correccin de errores es el nmero de unos en el vector (o cdigo), conocida como el

peso del cdigo:

1 21

0,1n

T n

n i

i

c c c c C c c

por ejemplo, 0011011001 5 .

Como ejemplo adicional, consideremos el espacio vectorial de las funciones continuas en un

intervalo dado, sobre el campo de los reales: : , tal que es continuaV f a b f . La suma

entre vectores y el producto con escalares se definen de manera obvia:

, ( ) ( ) ( )

, ( ) ( )

f g V f g t f t g t V

f V f t f t V

Tenemos muchas posibilidades para dotar a este espacio vectorial con una norma. Tres de las ms

usadas son las siguientes,

1

2

2

,

(1) ( )

(2) ( )

(3) max ( )

b

a

b

a

t a b

f f t dt

f f t dt

f f t

Las tres son casos particulares de la norma-p

1

( ) , 1b p p

p af f t dt p

Un ejemplo semejante corresponde al espacio vectorial de las secuencias finitas, que podemos

representar tambin como funciones en tiempo discreto: : 0,1,..., 1V x n , donde la suma

de vectores y el producto por escalar son semejantes al ejemplo anterior:

, [ ] [ ] [ ]

, [ ] [ ]

x y V x y n x n y n V

x V x n x n V

Ntese que este espacio vectorial, donde los vectores son series de tiempo con n muestras en el

tiempo discreto, es fundamentalmente idntico al espacio n. Es slo que la interpretacin no es la

de vectores fsicos en un espacio Euclidiano n-dimensional, sino la de series de tiempo con un

nmero finito de muestras. Ahora tenemos tambin muchas opciones para dotarlo de una norma:


1

10

12

20

0,1,..., 1

(1) [ ]

(2) [ ]

(3) max [ ]

n

i

n

i

i n

x x i

x x i

x x i

donde las tres normas son casos particulares de la norma-p generalizada,

11

0

[ ] , 1n pp

pi

x x i p

Cuando el nmero de muestras en la secuencia es 2, podemos graficar en el plano las normas

definidas anteriormente:

Figura 3. Normas en el espacio vectorial V = {x:{0,1}}

Pero si podemos considerar secuencias finitas, porqu no secuencias infinitas? El siguiente es el

espacio vectorial de las secuencias de longitud infinita, que podramos interpretar como un espacio

Euclidiano -dimensional: :V x , con la misma definicin de suma y producto que en el

ejemplo anterior y con las mismas normas:

1

2

2

(1) [ ]

(2) [ ]

(3) max [ ]

n

n

n

x x n

x x n

x x n

que son formas particulares de la norma-p

1

[ ] , 1pp

pn

x x n p

x0

x1

1

-1 1

-1

21

: 1x x

x0

x11

-1 1

-1

22

: 1x x

x0

x11

-1 1

-1

2 : 1x x


Sin embargo, en este ejemplo surge el problema de la convergencia: No tendra sentido definir este

espacio vectorial si para algunas secuencias de V la norma no converge. En este caso, para evitar

problemas, definimos espacios vectoriales de secuencias infinitas con caractersticas precisas de

convergencia. Por ejemplo, definamos los siguientes tres espacios vectoriales:

1

1( ) : tales que [ ] sobre el campo , con norma [ ]

n n

l x x n x x n

2 22

2( ) : tales que [ ] sobre el campo , con norma [ ]

n n

l x x n x x n

( ) : tales que max [ ] sobre el campo , con norma max [ ]n n

l x x n x x n

O, en general, 1

( ) : tales que [ ] sobre el campo , con norma [ ] , 1pp pp

pn n

l x x n x x n p

Todos ellos son espacios vectoriales vlidos sobre el campo de los reales, donde la suma entre

vectores y el producto entre un escalar y un vector se definen como antes:

, ( ) [ ] [ ] [ ] ( )

( ), [ ] [ ] ( )

p p

p p

x y l x y n x n y n l

x l x n x n l

Pero, si lo miramos bien, acabamos de definir espacios vectoriales de seales en tiempo discreto. En

particular, l2() es el espacio vectorial de las seales de energa en tiempo discreto.

4. Espacios vectoriales de seales

A continuacin definimos algunos espacios vectoriales de seales sobre el campo escalar de los

complejos (otros espacios semejantes se pueden definir sobre el campo escalar de los reales y

conservan los mismos nombres):

(1) Espacio de seales complejas absolutamente sumables en tiempo continuo

1( ) : tales que ( ) sobre el campo L x x t dt

(2) Espacio de seales complejas absolutamente sumables en tiempo discreto

1( ) : tales que [ ] sobre el campo n

l x x n

(3) Espacio de seales complejas de energa en tiempo continuo

22 ( ) : tales que ( ) sobre el campo L x x t dt

(4) Espacio de seales complejas de energa en tiempo discreto

22 ( ) : tales que [ ] sobre el campo n

l x x n

(5) Espacio de seales complejas acotadas en tiempo continuo

( ) : tales que max ( ) sobre el campo t

L x x t


(6) Espacio de seales complejas acotadas en tiempo discreto

( ) : tales que max [ ] sobre el campo n

l x x n

(7) Espacio de seales complejas de potencia en tiempo continuo

22 1( ) : tales que lim ( ) sobre el campo 2

T

TTP x x t dt

T

(8) Espacio de seales complejas de potencia en tiempo discreto

22 1( ) : tales que lim [ ] sobre el campo 2 1

N

Nn N

p x x nN

(9) Espacio de seales complejas peridicas de potencia en tiempo continuo

22

0

1( ) : tales que ( ) ( ) y ( ) sobre el campo

T

TP x x t T x t t x t dtT

(10) Espacio de seales complejas peridicas de potencia en tiempo discreto 1

22

0

1( ) : tales que [ ] [ ] y [ ] sobre el campo

N

N

n

p x x n N x n n x nN

(11) Espacio de seales complejas de energa con simetra hermitiana en tiempo continuo

22 *( ) : tales que ( ) y ( ) ( ) sobre el campo parL x x t dt x t x t t

(en el campo , con la seal definida en los reales, el operador * (complejo conjugado) se

omite y la seal hermitiana toma el nombre se seal par)

(12) Espacio de seales complejas de potencia con simetra anti-hermitiana en tiempo discreto

22 *1( ) : tales que lim ( ) y ( ) ( ) sobre el campo 2

T

imparTT

P x x t dt x t x t tT

(en el campo , con la seal definida en los reales, el operador * (complejo conjugado) se

omite y la seal anti-hermitiana toma el nombre se seal impar)

(13) etc.

Es fcil verificar que todos ellos forman espacios vectoriales. Slo como ejemplo, consideremos las

seales reales acotadas en tiempo continuo, ( ) : tales que max ( ) sobre t

L x x t

.

Sean , ( ), y ,

El producto escalar se define as:

: tal que ( )( ) ( )

y la suma vectorial se define as:

( ) : tal que ( )( ) ( ) ( )

de manera que ( ) ,

x y L a b

a x a x t a x t t

x y x y t x t y t t

a x y a x a y

( )

( ) ( )

ms an, ( ). En efecto,

max ( ) max ( ) ( ) max ( ) max ( )t t t t

a b x a x b x

a b x a b x

z a x b y L

z z t a x t b y t a x t b y t a x b y


5. Producto interno en espacios vectoriales de seales. Correlacin.

En el contexto abstracto en el que estamos trabajando, si V es un espacio vectorial definido sobre un

campo F (por ejemplo, ), un producto interno es una funcin que va del producto cartesiano

VV al campo escalar F, :VV F, que satisface tres axiomas:

x,y,z V y a,b F,

(1) = *

(2) = a + b

(3) 0, con igualdad slo si x=0

De estos axiomas surgen propiedades interesantes como, por ejemplo, la familiar expansin del

binomio cuadrado:

= + + +

que en toma la forma

= + 2 +

y en toma la forma

= + 2Re() + .

Considerando que es la norma al cuadrado del vector x, = ||x||2.

||x+y||2 = ||x||2 + ||y||2 + 2Re().

Lo ms interesante (pues es aqu donde se aprovecha la visin geomtrica de las seales desde la

perspectiva de los espacios vectoriales) es que para cualquier producto interno que satisfaga los tres

axiomas de la definicin, la intuicin geomtrica del mismo como la proyeccin perpendicular de

un vector sobre el otro sigue siendo vlida. En efecto, de las propiedades descritas surge la

desigualdad de Cauchy-Schwarz,

||2 ,

con igualdad si los vectores son linealmente dependientes, lo cual es fcil de demostrar: Si y es

igual a 0, la relacin se cumple trivialmente con igualdad. Y si y es diferente de 0, podemos

construir el vector

z = x [/] y

para encontrar que

= [ / ] = = 0,

indicando que z y y son ortogonales. En consecuencia, al expresar

x = z + [ / ] y

estamos refirindonos a una relacin pitagrica, por lo que

||x||2 = ||z||2 + |/|2 ||y||2 = ||z||2 + ||2 / ||y||2 ||2 / ||y||2.

Multiplicando por ||y||2 a ambos lados de la desigualdad obtenemos ||2 ||x||2||y||2, que es la

desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Claro, si se cumple la desigualdad de Cauchy-Schwarz en un entorno tan abstracto, tambin se

cumple la desigualdad del tringulo:

||x + y||2 = = + 2Re() + = ||x||2 + 2Re() + ||y||2

de donde

||x + y||2 ||x||2 + 2|| + ||y||2 ||x||2 + 2||x|| ||y|| + ||y||2 = (||x|| + ||y||)2


y, tomando races cuadradas, se obtiene la desigualdad del tringulo:

||x + y|| ||x|| + ||y||

Gracias a estas desigualdades, toda la intuicin geomtrica que podemos obtener de los espacios

vectoriales en 3, tan familiares para nosotros, es directamente aplicable a los espacios abstractos

de seales. Por ejemplo, la nocin del "ngulo" entre dos seales se puede extender mediante la

relacin conocida de los espacios Euclidianos,

,cos( )

x y

x y

A esta cantidad se le conoce como "coeficiente de correlacin", 0 1.

Aunque existen muchas maneras de definir productos internos en diferentes espacios vectoriales,

conviene que recordemos cmo definamos el producto interno en n en la seccin 5 de la clase

anterior:

1

,n

T

i i

i

x y y x x y

En n la transposicin inclua tambin conjugacin:

*

1

,n

H

i i

i

x y y x x y

En estos dos casos, la desigualdad de Cauchy-Schwarz toma la siguiente forma: 2

2 2*

1 1 1

n n n

i i i i

i i i

x y x y

Recordamos esta expresin porque, como extensin de la definicin del producto interno en n, en

los espacios de seales de energa el producto interno se define as:

2 *

2 *

: , [ ] [ ]

: , ( ) ( )

n

l x y x n y n

L x y x t y t dt

Si la definicin incluye un desplazamiento de tiempo en la segunda seal, tendramos la definicin

de la funcin de correlacin entre dos seales:

*

,

*

,

[ ] [ ],

( ) ( ) ,

x y

n

x y

R k x n y n k k

R x t y t dt

Esto es, en espacios vectoriales de seales de energa, = Rx,y(0).

En L2(), la desigualdad de Cauchy-Schwarz toma la siguiente forma:

2

2 2*( ) ( ) ( ) ( )x t y t dt x t dt y t dt

y la desigualdad del tringulo es

2 2 2( ) ( ) ( ) ( )x t y t dt x t dt y t dt


En l2(), la desigualdad de Cauchy-Schwarz toma la siguiente forma: 2

2 2*[ ] [ ] [ ] [ ]n n n

x n y n x n y n

y la desigualdad del tringulo es

2 2 2[ ] [ ] [ ] [ ]

n n n

x n y n x n y n

6. Espacio de Hilbert

Entre los muchos posibles espacios vectoriales abstractos, los ms adecuados para el anlisis de

seales son los que extienden los espacios Euclidianos a un nmero infinito de dimensiones, ya sea

un nmero contable (espacios de seales en tiempo discreto) o un nmero incontable de

dimensiones (espacios de seales en tiempo continuo). Estos espacios se conocen, en general, como

Espacios de Hilbert. Los espacios Euclidianos mismos forman los ejemplos ms clsicos de

espacios de Hilbert. Por ser sencillamente extensiones de dimensin infinita de los espacios

Euclidianos, la intuicin geomtrica juega un papel mucho ms preponderante, por la validez del

teorema de Pitgoras o la ley del paralelogramo, por ejemplo. En efecto, en los espacios de Hilbert

resulta muy claro hacer construcciones geomtricas como la proyeccin perpendicular de un vector

en un plano, por ejemplo, lo cual resulta en toda una teora de optimizacin basada en el error

cuadrado promedio. Es en estos espacios, por ejemplo, en donde los impulsos unitarios desplazados

forman una base cannica de infinitas dimensiones, idntica a la base cannica {(1,0,0), (0,1,0),

(0,0,1)} de 3.

Al considerar infinitas dimensiones surgen cuestiones sobre la existencia de lmites dentro del

espacio vectorial, los cuales permitiran utilizar tcnicas de anlisis como el clculo diferencial e

integral. Por eso los espacios de Hilbert se enmarcan dentro de los espacios mtricos de Banach. Un

espacio mtrico es un espacio vectorial V dotado con una medida para la distancia entre dos

vectores, d(x, y) (mtrica), la cual satisface tres propiedades elementales: (1) d(x,y)0 con igualdad

slo si x=y, (2) d(x,y) = d(y,x) y (3) para todo z V, d(x,y) d(x,z) + d(z,y). Un espacio de Banach

es un espacio normado en el que la mtrica es la norma del vector diferencia, d(x,y) = ||x y|| y

satisface un criterio adicional: Debe ser un espacio "completo". Un espacio vectorial V es completo

si para cualquier secuencia de vectores {x1, x2, x3, } en V, tal que la mtrica d(xn, xn-1) converge a

cero a medida que n tiende a infinito, todos los vectores de la secuencia, incluido el vector xn en el

lmite n, pertenecen al espacio V. Esta simple propiedad nos permite utilizar los conceptos del

clculo diferencial e integral en el anlisis de los espacios. Para hacer de un espacio de Banach un

espacio de Hilbert, slo necesitamos que la norma est dada por la raz cuadrada del producto

interno, ||x||2=.

La siguiente figura repasa los conceptos vistos en esta clase, hasta llegar al espacio de Hilbert.


Figura 4. Resumen de los conceptos de espacios vectoriales abstractos, hasta los espacios de Hilbert

7. Ejemplos

Considere las siguientes tres seales en tiempo discreto: {k[n] = u[n-k] - u[n-k-2], n}k{0,1,2},

mostradas en la siguiente figura. {0, 1, 2} son linealmente independientes porque la nica forma

de combinarlas linealmente para obtener el vector 0 (la seal en tiempo discreto que es

idnticamente igual a cero para cualquier n) es haciendo que los coeficientes de la combinacin

lineal sean todos cero. En efecto, el espacio de seales expandido por {0, 1, 2} es V = {x:

tales que x = a0 + b1 + c2, con a, b, c }, que es el espacio vectorial de las seales x:

tales que x[n]=0 n, excepto x[0] = a, x[1] = a+b, x[2] = b+c, x[3] = c. La siguiente figura

muestra las seales base {0, 1, 2} y tres de las seales del espacio V expandido por {0, 1, 2}.

Espacio

de

Hilbert

Espacio vectorial

Espacio

normado

Espacio

de Banach

Espacio con

Producto

interno


Figura 5. Una base vectorial de seales y algunos vectores del respectivo espacio de seales expandido

Sin embargo, los vectores {0, 1, 2} no forman una base ortogonal para el espacio V porque

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 2

2 2 2 2

, [ ] [ ] [0] [0] [1] [1] 2 , , [ ] [ ] [1] [1] 1

, [ ] [ ] [1] [1] [2] [2] 2 , , [ ] [ ] [2] [2] 1

, [ ] [ ]

n n

n n

n

n n n n

n n n n

n n

2 2 2 2 0 2 2 0 0 2[2] [2] [3] [3] 2 , , [ ] [ ] 0n

n n

Pero podemos construir una base ortogonal para el mismo espacio si restamos a cada vector base las

proyecciones sobre los otros vectores. Este proceso se conoce como la ortogonalizacin de

Gramm-Schmidt.

0

0 0

0

11 0

1 1 0 1 0

1 00 0

2 0 2 1

2 2 0 1

0 0 1 1

El primer vector base, , se

escoge igual al anterior, .

El segundo vector base, , se escoge , 1

eliminando de su proyeccin sobre , 2

, ,

, ,

2

2 1

2 0 1

El tercer vector base, , se escoge eliminando 2

de sus proyecciones sobre y sobre 3

Las seales resultantes se muestran en la siguiente figura, as como las nuevas coordenadas de las

seales mostradas en la figura anterior:

-2 0 2 4 6

-10123

0[n]

-2 0 2 4 6

-10123

1[n]

-2 0 2 4 6

-10123

2[n]

-2 0 2 4 6

-10123

[2, 1, -1] : 2*0[n] +

1[n] -

2[n]

-2 0 2 4 6

-10123

[-1, 2, 1] : -0[n] + 2*

1[n] +

2[n]

-2 0 2 4 6

-10123

[1, 1, 1] : 0[n] +

1[n] +

2[n]


Figura 6. Otra base (esta vez ortogonal) para el mismo espacio vectorial de seales

Una representacin grfica para el proceso que acabamos de hacer con la ortogonalizacin de

Gramm-Schmidt se muestra en la siguiente figura: Escogimos a 0 idntica a 0 y luego, para

asegurarnos que 0 y 1 sean perpendiculares, hicimos que 1 fuera el resultado de quitarle a 1

cualquier componente en la direccin de 0. Por ltimo, hicimos que 2 fuera el resultado de quitarle

a 2 cualquier componente en las direcciones de 0 y 1; en este caso, como 2 ya era ortogonal a 0,

bast con eliminar el componentes de 2 en la direccin de 1 para obtener 2.

Figura 7. Proceso de Ortogonalizacin de Gramm-Schmidt

La ortogonalidad de {0, 1, 2} es fcil de verificar:

0 0 0 0 0 1 1 0 0 1

1 1 1 1 0 2 0 2 0 2

2 2 2 2 1 2 1 2 1 2

, [ ] [ ] 2 , , [ ] [ ] 0

, [ ] [ ] 3 / 2 , , [ ] [ ] 0

, [ ] [ ] 4 / 3 , , [ ] [ ] 0

n n

n n

n n

n n n n

n n n n

n n n n

Por ejemplo, fijndonos en la seal del extremo inferior derecho de la Figura 5 y la Figura 6, hemos

encontrado 2 expresiones para representarla, cada una en una base diferente:

x[n] = 0[n] + 1[n] + 2[n]

-2 0 2 4 6-1

0

1

2

0[n]

-2 0 2 4 6-1

0

1

2

1[n]

-2 0 2 4 6-1

0

1

2

2[n]

-2 0 2 4 6

-10123

[5/2, 1/3, -1] : 5*0[n]/2 +

1[n]/3 -

2[n]

-2 0 2 4 6

-10123

[0, 8/3, 1] : 0*0[n] + 8*

1[n]/3 +

2[n]

-2 0 2 4 6

-10123

[3/2, 5/3, 1] : 3*0[n]/2 + 5*

1[n]/3 +

2[n]

0 0 0 0

1

1 0

0 0

0 0

, 1

, 2

Proyeccin ortogonal de 1 sobre 0

0 0

1

1 0

0 0

0 0

, 1

, 2

0

1

2

1 1 0

1

2

0 y 1 son dos vectores

ortogonales que expanden

el mismo espacio vectorial

que 0 y 1

0 0

11 1 0

1

2

2 1

1 1

1 1

, 2

, 3

2

Proyeccin ortogonal

de 2 sobre 1

2 ya es ortogonal a 0

0 0

11 1 0

1

2

2 1

1 1

1 1

, 2

, 3

1

2

3

2 2 1

2

3

2

0 0

11 1 0

1

2

2 2 1

2

3

2

0, 1 y 2 son tres vectores

ortogonales que expanden

el mismo espacio vectorial

que 0, 1 y 2

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)


x[n] = 30[n]/2 + 51[n]/3 + 2[n]

Otra representacin posible, como ya vimos en la novena clase es

x[n] = 0[n] + 21[n] + 22[n] + 3[n]

donde {k[n]=[n-k], n}k{0,1,2,3} es otro conjunto de seales ortogonales constituido por algunos

desplazamientos del impulso unitario. Sin embargo, el espacio vectorial V expandido por estas

cuatro seales es mucho mayor, pues incluye a todas las seales en tiempo discreto que toman el

valor cero para instantes menores que cero y para instantes superiores a tres. Claramente, V V .

Si queremos expresar una seal que est dada como combinacin lineal de {0, 1, 2}, por ejemplo

{x[n] = a0[n] + b1[n] + c2[n], n}, como combinacin lineal de {0, 1, 2, 3}, por ejemplo

{x[n] = p0[n] + q1[n] + r2[n] + s3[n], n}, usamos la siguiente matriz de cambio de base:

1 0 0

1 1 0

0 1 1

0 0 1

p aa

q a bb

r b cc

s c

puesto que {a0[n] + b1[n] + c2[n], n} = {a0[n] + (a+b)1[n] + (b+c)2[n] + c3[n], n}.

Para hacer el cambio inverso de base (siempre que la seal est efectivamente en V) tenemos

diferentes alternativas como, por ejemplo,

1 0 0 0 0 1 1 1

1 1 0 0 , 1 1 0 0 , .

0 0 0 1 1 1 1 0

p pa p a q r s

q qb q p b q p etc

r rc s c p q r

s s

En efecto, si el vector [p, q, r, s] pertenece a V, debe ser de la forma [p=a, q=a+b, r=b+c, s=c], en

cuyo caso las transformaciones anteriores (que son slo un cambio de base) conducen al vector

[a,b,c]: {x[n] = p0[n] + q1[n] + r2[n] + s3[n], n} = {a0[n] + b1[n] + c2[n], n}.

Pero qu pasa si la seal original xV no est en V y queremos aproximarla como una

combinacin lineal de {0, 1, 2}, xV? Por supuesto, no importa qu seal de V escojamos,

siempre cometeremos un error. Por esta razn, lo que deberamos buscar es la aproximacin que

minimice el "error cuadrado promedio" (MSE por sus siglas en ingls, Mean Square Error) o,

equivalentemente, la aproximacin que minimice la energa del error. El problema es fcil de

plantear como un problema de optimizacin:

3

2* * *

, , 0

1[ , , ] arg min [ ] [ ]

4a b c na b c x n x n

La funcin objetivo, el MSE, no es ms que cuatro veces la energa total de la seal de error

[ ] [ ] [ ],e n x n x n n . Por eso el criterio estadstico de minimizar el error cuadrado promedio se

conoce en teora de seales como la minimizacin de la energa del error. Aunque podramos

aplicar directamente tcnicas de programacin matemtica para resolver el anterior problema de

optimizacin, es mucho ms interesante recurrir a nuestra visin geomtrica de las seales y aplicar

el principio de ortogonalidad.

Para visualizar el principio de ortogonalidad, representemos a V como 3 y a V como

2, lo cual

indica el hecho de que V V . Esta representacin se muestra en la siguiente figura.


Figura 8. La proyeccin perpendicular sobre el espacio de aproximacin minimiza el MSE

Claramente, para obtener la mejor aproximacin de x en V, debemos escoger la proyeccin

perpendicular de x sobre V. De esta manera, se minimiza la magnitud del error, y por consiguiente

el MSE (pues la magnitud es la raz cuadrada de la energa). Esto es, el error e x x debe ser

perpendicular a cualquier otro vector de V, lo que permite expresar el principio de ortogonalidad

as: , 0x x z z V . Si expresamos * * *

0 1 2x a b c y 0 1 2z a b c , el principio de

ortogonalidad toma la siguiente forma:

* * *

0 1 2 0 0 1 0 2 0

* * *

0 1 1 1 2 1

* * *

0 2 1 2 2 2

, , , , , ,

, , ,

, , , , ,

a x b x c x a a b c

b a b c

c a b c a b c

Lo cual exige que *

0 0 1 0 2 0 0

*

0 1 1 1 2 1 1

*

0 2 1 2 2 2 2

, , , ,

, , , ,

, , , ,

a x

b x

c x

Este es el sistema de ecuaciones normales, que est dado en trminos de las correlaciones entre los

vectores base (matriz de coeficientes) y las correlaciones entre la seal a aproximar y los vectores

base (vector independiente). Con {x[n] = p0[n] + q1[n] + r2[n] + s3[n], n}, las ecuaciones

normales conducen a la siguiente aproximacin ptima en el sentido MSE: *

*

*

2 1 0

1 2 1

0 1 2

a p q

b q r

c r s

Qu hubiera pasado si expresamos V en la base {0, 1, 2}? Que la matriz de coeficientes resulta

diagonal y su inversin es inmediata. Por ejemplo, para aproximar {x[n] = p0[n] + q1[n] + r2[n]

+ s3[n], n} como {u0[n] + v1[n] + w2[n], n} debemos escoger [u*,v*,w*] para satisfacer las

siguientes ecuaciones normales

*

*

*

2 0 0

30 0

2 2 2

40 0

3 3 3 3

p qu

p qv r

wp q r

s

Por supuesto, {u*0[n] + v*1[n] + w

*2[n], n} = {a*0[n] + b

*1[n] + c*2[n], n}.

Espacio de aproximacin, V

e x x


Para terminar esta larga clase, vamos a extender el ejemplo anterior usando unos espacios

vectoriales ms interesantes: El espacio de las seales peridicas de potencia en tiempo discreto,

con perodo N. 1

22

0

1( ) : tales que [ ] [ ] y [ ] sobre el campo

N

N

n

p x x n N x n n x nN

La representacin de una seal x p2N() en la base cannica de los impulsos desplazados es

inmediata:

1

0

[ ], [ ] [ ], [ ] [ ],N

k k m

x n n x k n k n x k n k mN n

Ya que slo hay N coeficientes en la combinacin lineal, sera interesante buscar una aproximacin

en algn espacio vectorial expandido por slo N seales. Como acabamos de ver, si escogemos un

conjunto de seales linealmente independientes 0,1,..., 1

[ ],k k Nn n , queremos encontrar la mejor

aproximacin en el sentido MSE que tome la forma 1

0

[ ] [ ],N

k k

k

x n a n n

. Si aseguramos que

cada uno de los vectores base sea peridico con perodo N, garantizaramos la periodicidad de x .

Suponiendo que ese es el caso, la correlacin como medida de energa sera infinita, por lo que

conviene definir la correlacin en trminos de la potencia acumulada en un perodo: 1 1

* *

0 0

, [ ] [ ], , [ ] [ ]N N

k j k j j j

n n

n n x x n n

El operador de conjugacin aparece aqu porque estamos usando el campo escalar de los nmeros

complejos, y as se defini la correlacin en para que la correlacin de un vector consigo mismo

de en trminos de la suma de los cuadrados de la magnitud de sus componentes. Entonces, de

acuerdo con el principio de ortogonalidad, el error cuadrado promedio entre la seal y su

aproximacin se minimiza si satisfacemos las ecuaciones normales,

0 0 1 0 2 0 1 0 0 0

0 1 1 1 2 1 1 1 1 1

0 2 1 2 2 2 1 2 2 2

0 1 1 1 2 1 1 1 1 1

, , , , ,

, , , , ,

, , , , ,

, , , , ,

N

N

N

N N N N N N N

a x

a x

a x

a x

Pero si notamos que estamos buscando N variables a partir de N ecuaciones, la condicin de

independencia lineal es suficiente para asegurar que no se trata de ninguna aproximacin, sino que

hemos logrado una representacin de la misma seal peridica en otra base del mismo espacio

vectorial. Adems, si conseguimos que los vectores base sean tambin ortogonales, las ecuaciones

normales se podran resolver inmediatamente, pues la matriz de coeficientes sera una matriz

diagonal:

,, 0,1,2,..., 1

,

k

k

k k

xa k N

Todas estas propiedades (independencia lineal, periodicidad y ortogonalidad) son satisfechas por las

familias de exponenciales complejas armnicamente relacionadas, 2 /0,1,..., 1

[ ] e ,j kn Nk k Nn n

,

vistas en la novena clase, para las cuales


12 /

0

, , 0,1,2,..., 1

, [ ] , 0,1,2,..., 1

k k

Nj kn N

k

n

N k N

x x n e k N

de manera que los coeficientes que determinan el cambio de base son 1

2 /

0

1[ ] , 0,1,2,..., 1

Nj kn N

k

n

a x n e k NN

De esta manera hemos encontrado dos formas de expresar cualquier seal x p2N() :

1 1

2 / 12 /

0 0

0

[ ], [ ] [ ], e ,[ ]e , 0,1,..., 1

N Nj kn N N

k j kn Nk m k k

n

x n n x k n k mN n a na x n k N

La primera expresin es la expansin del espacio vectorial p2N() en la base de los impulsos

unitarios repetidos cada N muestras y la segunda expresin es la expansin del mismo espacio

vectorial en la base de las exponenciales complejas armnicamente relacionadas. As pues, el par de

transformaciones

1 1

2 / 2 /

0 0

[ ], e , , [ ]e , 0,1,..., 1N N

j kn N j kn N

k k

k n

x n n a n a x n k N

conocidas como frmulas de sntesis y anlisis de la serie de Fourier en tiempo discreto, son

solamente distintas expresiones para la misma seal en bases ortogonales diferentes. Este cambio de

bases se estudiar profundamente ms adelante.

Décimo segunda clase. Espacios vectoriales de...

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