Curso de Métodos Numéricos. Raíces de ecuaciones...
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Curso de M ´ etodos Num ´ ericos. Ra´ ıces de ecuaciones no lineales Curso: M´ etodos Num ´ ericos en Ingenier´ ıa Profesor: Dr. Jos´ e A. Otero Hern ´ andez Universidad: ITESM CEM Fecha: Jueves, 18 de septiembre de 2014
Transcript of Curso de Métodos Numéricos. Raíces de ecuaciones...
Curso de M etodos Num ericos.Raıces de ecuaciones no lineales
Curso : Metodos Numericos en Ingenierıa
Profesor : Dr. Jose A. Otero Hernandez
Universidad : ITESM CEM
Fecha : Jueves, 18 de septiembre de 2014
INTRODUCCION METODOS DE ITERACION SIMPLE DE PUNTO FIJO METODO DE NEWTON-RAPHSON METODO DE LA SECANTE
TOPICOS
1 INTRODUCCIONMetodos abiertos
2 METODOS DE ITERACION SIMPLE DE PUNTO FIJOPresentacion del metodoPrograma MATLAB
3 METODO DE NEWTON-RAPHSONPresentacion del metodoPrograma MATLAB
4 METODO DE LA SECANTEPresentacion del metodoPrograma MATLAB
INTRODUCCION METODOS DE ITERACION SIMPLE DE PUNTO FIJO METODO DE NEWTON-RAPHSON METODO DE LA SECANTE
Topicos
1 INTRODUCCIONMetodos abiertos
2 METODOS DE ITERACION SIMPLE DE PUNTO FIJOPresentacion del metodoPrograma MATLAB
3 METODO DE NEWTON-RAPHSONPresentacion del metodoPrograma MATLAB
4 METODO DE LA SECANTEPresentacion del metodoPrograma MATLAB
INTRODUCCION METODOS DE ITERACION SIMPLE DE PUNTO FIJO METODO DE NEWTON-RAPHSON METODO DE LA SECANTE
Metodos abiertos
¿Que son los m etodos abiertos?
Los metodos abiertos para la determinacion de raızrequieren unicamente de un solo valor de inicio (xi) o quecomiencen con dos valores; pero que no encierren la raız.
Los metodos abiertos emplean una formula para calcularla raız.
Los metodos abiertos a veces divergen o se alejan de laraız verdadera a medida que avanza el calculo.
Cuando los metodos abiertos convergen lo hacen muchomas rapido que los metodos cerrados.
INTRODUCCION METODOS DE ITERACION SIMPLE DE PUNTO FIJO METODO DE NEWTON-RAPHSON METODO DE LA SECANTE
Metodos abiertos
¿Que son los m etodos abiertos?
Los metodos abiertos para la determinacion de raızrequieren unicamente de un solo valor de inicio (xi) o quecomiencen con dos valores; pero que no encierren la raız.
Los metodos abiertos emplean una formula para calcularla raız.
Los metodos abiertos a veces divergen o se alejan de laraız verdadera a medida que avanza el calculo.
Cuando los metodos abiertos convergen lo hacen muchomas rapido que los metodos cerrados.
INTRODUCCION METODOS DE ITERACION SIMPLE DE PUNTO FIJO METODO DE NEWTON-RAPHSON METODO DE LA SECANTE
Metodos abiertos
¿Que son los m etodos abiertos?
Los metodos abiertos para la determinacion de raızrequieren unicamente de un solo valor de inicio (xi) o quecomiencen con dos valores; pero que no encierren la raız.
Los metodos abiertos emplean una formula para calcularla raız.
Los metodos abiertos a veces divergen o se alejan de laraız verdadera a medida que avanza el calculo.
Cuando los metodos abiertos convergen lo hacen muchomas rapido que los metodos cerrados.
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Metodos abiertos
¿Que son los m etodos abiertos?
Los metodos abiertos para la determinacion de raızrequieren unicamente de un solo valor de inicio (xi) o quecomiencen con dos valores; pero que no encierren la raız.
Los metodos abiertos emplean una formula para calcularla raız.
Los metodos abiertos a veces divergen o se alejan de laraız verdadera a medida que avanza el calculo.
Cuando los metodos abiertos convergen lo hacen muchomas rapido que los metodos cerrados.
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Metodos abiertos
¿Que son los m etodos abiertos?
Los metodos abiertos para la determinacion de raızrequieren unicamente de un solo valor de inicio (xi) o quecomiencen con dos valores; pero que no encierren la raız.
Los metodos abiertos emplean una formula para calcularla raız.
Los metodos abiertos a veces divergen o se alejan de laraız verdadera a medida que avanza el calculo.
Cuando los metodos abiertos convergen lo hacen muchomas rapido que los metodos cerrados.
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Metodos abiertos
¿Que metodos abiertos estudiaremos?
Metodos de iteracion simple de punto fijo,
Metodo de Newton-Raphson,
Metodo de la secante,
INTRODUCCION METODOS DE ITERACION SIMPLE DE PUNTO FIJO METODO DE NEWTON-RAPHSON METODO DE LA SECANTE
Metodos abiertos
¿Que metodos abiertos estudiaremos?
Metodos de iteracion simple de punto fijo,
Metodo de Newton-Raphson,
Metodo de la secante,
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Metodos abiertos
¿Que metodos abiertos estudiaremos?
Metodos de iteracion simple de punto fijo,
Metodo de Newton-Raphson,
Metodo de la secante,
INTRODUCCION METODOS DE ITERACION SIMPLE DE PUNTO FIJO METODO DE NEWTON-RAPHSON METODO DE LA SECANTE
Metodos abiertos
¿Que metodos abiertos estudiaremos?
Metodos de iteracion simple de punto fijo,
Metodo de Newton-Raphson,
Metodo de la secante,
INTRODUCCION METODOS DE ITERACION SIMPLE DE PUNTO FIJO METODO DE NEWTON-RAPHSON METODO DE LA SECANTE
Topicos
1 INTRODUCCIONMetodos abiertos
2 METODOS DE ITERACION SIMPLE DE PUNTO FIJOPresentacion del metodoPrograma MATLAB
3 METODO DE NEWTON-RAPHSONPresentacion del metodoPrograma MATLAB
4 METODO DE LA SECANTEPresentacion del metodoPrograma MATLAB
INTRODUCCION METODOS DE ITERACION SIMPLE DE PUNTO FIJO METODO DE NEWTON-RAPHSON METODO DE LA SECANTE
Presentaci on del m etodo
Metodos de iteraci on simple de punto fijo
Toda ecuacion f(x) = 0 puede transformarse de tal modo quela variable x este del lado izquierdo de la ecuacion.
f(x) = 0 → x = g(x)
De esta forma, dado un valor inicial para la raız xi, la ecuacionx = g(x) se utiliza para obtener una nueva aproximacion de laraız xi+1, esto es:
xi+1 = g(xi)
Se llega a una formula iterativa para obtener la raız. El erroraproximado se puede obtener:
εa =∣∣∣∣xi+1 − xi
xi+1
∣∣∣∣ 100%
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Presentaci on del m etodo
Metodos de iteraci on simple de punto fijo
Toda ecuacion f(x) = 0 puede transformarse de tal modo quela variable x este del lado izquierdo de la ecuacion.
f(x) = 0 → x = g(x)
De esta forma, dado un valor inicial para la raız xi, la ecuacionx = g(x) se utiliza para obtener una nueva aproximacion de laraız xi+1, esto es:
xi+1 = g(xi)
Se llega a una formula iterativa para obtener la raız. El erroraproximado se puede obtener:
εa =∣∣∣∣xi+1 − xi
xi+1
∣∣∣∣ 100%
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Presentaci on del m etodo
Metodos de iteraci on simple de punto fijo
Toda ecuacion f(x) = 0 puede transformarse de tal modo quela variable x este del lado izquierdo de la ecuacion.
f(x) = 0 → x = g(x)
De esta forma, dado un valor inicial para la raız xi, la ecuacionx = g(x) se utiliza para obtener una nueva aproximacion de laraız xi+1, esto es:
xi+1 = g(xi)
Se llega a una formula iterativa para obtener la raız. El erroraproximado se puede obtener:
εa =∣∣∣∣xi+1 − xi
xi+1
∣∣∣∣ 100%
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Presentaci on del m etodo
Metodos de iteraci on simple de punto fijo
Toda ecuacion f(x) = 0 puede transformarse de tal modo quela variable x este del lado izquierdo de la ecuacion.
f(x) = 0 → x = g(x)
De esta forma, dado un valor inicial para la raız xi, la ecuacionx = g(x) se utiliza para obtener una nueva aproximacion de laraız xi+1, esto es:
xi+1 = g(xi)
Se llega a una formula iterativa para obtener la raız. El erroraproximado se puede obtener:
εa =∣∣∣∣xi+1 − xi
xi+1
∣∣∣∣ 100%
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Presentaci on del m etodo
Metodos de iteraci on simple de punto fijo
Toda ecuacion f(x) = 0 puede transformarse de tal modo quela variable x este del lado izquierdo de la ecuacion.
f(x) = 0 → x = g(x)
De esta forma, dado un valor inicial para la raız xi, la ecuacionx = g(x) se utiliza para obtener una nueva aproximacion de laraız xi+1, esto es:
xi+1 = g(xi)
Se llega a una formula iterativa para obtener la raız. El erroraproximado se puede obtener:
εa =∣∣∣∣xi+1 − xi
xi+1
∣∣∣∣ 100%
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Presentaci on del m etodo
Metodos de iteraci on simple de punto fijo
Toda ecuacion f(x) = 0 puede transformarse de tal modo quela variable x este del lado izquierdo de la ecuacion.
f(x) = 0 → x = g(x)
De esta forma, dado un valor inicial para la raız xi, la ecuacionx = g(x) se utiliza para obtener una nueva aproximacion de laraız xi+1, esto es:
xi+1 = g(xi)
Se llega a una formula iterativa para obtener la raız. El erroraproximado se puede obtener:
εa =∣∣∣∣xi+1 − xi
xi+1
∣∣∣∣ 100%
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Presentaci on del m etodo
Ejemplos
x2 − 2x + 3 = 0 → x = x2+32 , por tanto:
xi+1 = x2i +32
sin(x) = 0 → x = sin(x) + x, por tanto:xi+1 = sin(xi) + xi
e−x − x = 0 → x = e−x, por tanto:xi+1 = e−xi
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Presentaci on del m etodo
Ejemplos
x2 − 2x + 3 = 0 → x = x2+32 , por tanto:
xi+1 = x2i +32
sin(x) = 0 → x = sin(x) + x, por tanto:xi+1 = sin(xi) + xi
e−x − x = 0 → x = e−x, por tanto:xi+1 = e−xi
INTRODUCCION METODOS DE ITERACION SIMPLE DE PUNTO FIJO METODO DE NEWTON-RAPHSON METODO DE LA SECANTE
Presentaci on del m etodo
Ejemplos
x2 − 2x + 3 = 0 → x = x2+32 , por tanto:
xi+1 = x2i +32
sin(x) = 0 → x = sin(x) + x, por tanto:xi+1 = sin(xi) + xi
e−x − x = 0 → x = e−x, por tanto:xi+1 = e−xi
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Presentaci on del m etodo
INTRODUCCION METODOS DE ITERACION SIMPLE DE PUNTO FIJO METODO DE NEWTON-RAPHSON METODO DE LA SECANTE
Presentaci on del m etodo
Convergencia y divergencia
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Presentaci on del m etodo
Convergencia y divergencia
El metodos de iteracion simple de punto fijo establece que:
xi+1 = g(xi)
Considerando que la solucion verdadera xr
xr = g(xr)
Restandoxr − xi+1 = g(xr)− g(xi)
El teorema del valor medio, aplicado a nuestro problema,establece que si una funcion g(x) y su derivada son continuasen el intervalo xi 6 x 6 xr, existe al menos un valor de x = ξdentro del intervalo para el que: g
′(ξ) = g(xr)−g(xi)
xr−xi
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Presentaci on del m etodo
Convergencia y divergencia
Finalmente:xr − xi+1 = g
′(ξ)(xr − xi)
Ev,i+1 = g′(ξ)Ev,i
Convergencia y divergencia
Si |g′ | < 1, entonces los errores disminuyen con cadaiteracion.
Si |g′ | > 1, entonces los errores aumentan con cadaiteracion.
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Programa MATLAB
Programa MATLAB
funct ion p u n t o f i j o v 1 ( funG , x0 ,EE)% pun to f i j oV1 : Nombre de l a func ion% Valores de entrada% funG : func ion g de entrada ( x = g ( x ) )% x0 : Valor de i n i c i a l% EE : Er ro r Estimado% Valores de s a l i d a% Raiz% Er ro r Aproximado% IM : I t e r a c i o n Maximag= i n l i n e ( funG ) ;IM=1;x ( IM ) =x0 ;x ( IM+1)=g ( x ( IM ) ) ;EA( IM+1)=abs ( ( x ( IM+1)−x ( IM ) ) / x ( IM+1) ) ∗100;while EA( IM+1)>EE
IM=IM+1;x ( IM+1)=g ( x ( IM ) ) ;EA( IM+1)=abs ( ( x ( IM+1)−x ( IM ) ) / x ( IM+1) ) ∗100;
endSal ida1 =[ ’ I t e r a c i o n Maxima= ’ ,num2str ( IM ) ] ;Sal ida2 =[ x ( 2 : size ( x , 2 ) ) ’ EA( 2 : size ( x , 2 ) ) ’ ] ;disp ( ’ ’ )disp ( Sal ida1 )disp ( ’ ’ )disp ( ’ Raiz Er ro r Apro ’ )disp ( Sal ida2 )
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Programa MATLAB
Programa MATLAB
>> p u n t o f i j o v 1 ( ’ exp(−x ) ’ , 0 , 0 . 0 1 )
I t e r a c i o n Maxima=19
Raiz Er ro r Apro1.0000 100.00000.3679 171.82820.6922 46.85360.5005 38.30910.6062 17.44680.5454 11.15660.5796 5.90340.5601 3.48090.5711 1.93080.5649 1.10890.5684 0.62440.5664 0.35560.5676 0.20120.5669 0.11430.5673 0.06480.5671 0.03670.5672 0.02080.5671 0.01180.5672 0.0067
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Programa MATLAB
Programa MATLAB
>> p u n t o f i j o v 1 ( ’ exp(−x ) ’ , 0 , 0 . 0 0 1 )
I t e r a c i o n Maxima=23
Raiz Er ro r Apro1.0000 100.00000.3679 171.82820.6922 46.85360.5005 38.30910.6062 17.44680.5454 11.15660.5796 5.90340.5601 3.48090.5711 1.93080.5649 1.10890.5684 0.62440.5664 0.35560.5676 0.20120.5669 0.11430.5673 0.06480.5671 0.03670.5672 0.02080.5671 0.01180.5672 0.00670.5671 0.00380.5671 0.00220.5671 0.00120.5671 0.0007
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Programa MATLAB
Determinaci on del coeficiente de arrastre (c)
Calcular los ceros de la funcion:
f (c) =gm
c
(1− e−
cm
t)− v
Considerando m = 68.1 kg, v = 40m/s y t = 10 s.
f (c) =667.38
c
(1− e−0.146843 c
)− 40 = 0
667.3840
(1− e−0.146843 c
)= c
g (c) =667.38
40(1− e−0.146843 c
)
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Programa MATLAB
Programa MATLAB
>> p u n t o f i j o v 1 ( ’ 667.38/40∗(1 − exp(−0.146843∗x ) ) ’ , 1 4 , 0 . 0 0 1 )
I t e r a c i o n Maxima=8
Raiz Er ro r Apro14.5490 3.773814.7145 1.124114.7617 0.320314.7750 0.090014.7788 0.025214.7798 0.007114.7801 0.002014.7802 0.0006
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Programa MATLAB
Programa MATLAB
>> p u n t o f i j o v 1 ( ’ 667.38/ x∗(1 − exp(−0.146843∗x ) )−40+x ’ , 1 4 , 0 . 0 0 1 )
I t e r a c i o n Maxima=180
Raiz Er ro r Apro15.5687 10.076014.0778 10.590715.4857 9.091914.1474 9.459615.4123 8.2065. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
14.7801 0.001214.7803 0.001114.7801 0.001114.7803 0.001014.7801 0.0010
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1 INTRODUCCIONMetodos abiertos
2 METODOS DE ITERACION SIMPLE DE PUNTO FIJOPresentacion del metodoPrograma MATLAB
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4 METODO DE LA SECANTEPresentacion del metodoPrograma MATLAB
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Presentaci on del m etodo
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Presentaci on del m etodo
FormulaDe la figura se puede apreciar que:
f′(xi) =
f(xi)− 0xi − xi+1
Despejando xi+1 se llega a:
xi+1 = xi −f(xi)f ′(xi)
→Formula de Newton-Raphson
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Analisis de erroresLa expansion de la serie te Taylor se puede escribir como:
f(xi+1) = f(xi) + f′(xi)(xi+1 − xi) +
f′′(ξ)2!
(xi+1 − xi)2 + · · ·
donde ξ se encuentra dentro del intervalo [xi xi+1]. Truncandola serie de Taylor despues del termino primera derivada, seobtiene:
f(xi+1) = f(xi) + f′(xi)(xi+1 − xi)
Como en la interseccion con el eje x, f(xi+1), entonces de laexpresion anterior se llega a la formula de Newton-Raphson:Por otro lado, evaluando la serie de Taylor xi+1 = xr (valorverdadero) y como f(xr) = 0
0 = f(xi) + f′(xi)(xr − xi) +
f′′(ξ)2!
(xr − xi)2
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Analisis de erroresRestando las expresiones rojas:
0 = f′(xi)(xr − xi+1) +
f′′(ξ)2!
(xr − xi)2
0 = f′(xi)Ev,i+1 +
f′′(ξ)2!
E2v,i
Finalmente, tanto xi como ξ se deberan aproximar a la raız xr:
Ev,i+1 = − f′′(xr)
2!f ′(xr)E2
v,i
El error es proporcional al cuadrado del error anterior, por locual tenemos una convergencia cuadratica.
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Desventajas
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Programa MATLAB
Programa MATLAB
funct ion newtonraphsonv1 ( fun , x0 ,EE)% newtonraphsonv1 : Nombre de l a func ion% Valores de entrada% fun : func ion de entrada ( f ( x ) )% x0 : Valor de i n i c i a l% EE : Er ro r Estimado% Valores de s a l i d a% Raiz% Er ro r Aproximado% IM : I t e r a c i o n Maximaf = i n l i n e ( fun ) ;syms x ; Derivada= d i f f ( fun , x ) ;Df= i n l i n e ( Derivada ) ;IM=1;r ( IM ) =x0 ;r ( IM+1)= r ( IM )−f ( r ( IM ) ) / Df ( r ( IM ) ) ;EA( IM+1)=abs ( ( r ( IM+1)−r ( IM ) ) / r ( IM+1) ) ∗100;while EA( IM+1)>EE
IM=IM+1;r ( IM+1)= r ( IM )−f ( r ( IM ) ) / Df ( r ( IM ) ) ;EA( IM+1)=abs ( ( r ( IM+1)−r ( IM ) ) / r ( IM+1) ) ∗100;
endSal ida1 =[ ’ I t e r a c i o n Maxima= ’ ,num2str ( IM ) ] ;Sal ida2 =[ r ( 2 : size ( r , 2 ) ) ’ EA( 2 : size ( r , 2 ) ) ’ ] ;disp ( ’ ’ )disp ( Sal ida1 )disp ( ’ ’ )disp ( ’ Raiz Er ro r Apro ’ )disp ( Sal ida2 )
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Programa MATLAB
Programa MATLAB
>> newtonraphsonv1 ( ’ 667.38/ x∗(1 − exp(−0.146843∗x ) )−40 ’ , 1 4 , 0 . 0 0 1 )
I t e r a c i o n Maxima=3
Raiz Er ro r Apro14.7566 5.127414.7802 0.159314.7802 0.0001
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Programa MATLAB
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>> newtonraphsonv1 ( ’ xˆ10−1 ’ , 0 . 5 , 0 . 0 0 1 )
I t e r a c i o n Maxima=43
Raiz Er ro r Apro51.6500 99.031946.4850 11.111141.8365 11.111137.6529 11.111133.8876 11.1111. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .1 .0237 5.8305
1.0023 2.12991.0000 0.22921.0000 0.00241.0000 0.0000
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Programa MATLAB
Programa MATLAB
funct ion newtonraphsonv2 ( fun , dfun , x0 ,EE)% newtonraphsonv1 : Nombre de l a func ion% Valores de entrada% fun : func ion de entrada ( f ( x ) )% dfun : der ivada de l a f ( x )% x0 : Valor de i n i c i a l% EE : Er ro r Estimado% Valores de s a l i d a% Raiz% Er ro r Aproximado% IM : I t e r a c i o n Maximaf = i n l i n e ( fun ) ;Df= i n l i n e ( dfun ) ;IM=1;r ( IM ) =x0 ;r ( IM+1)= r ( IM )−f ( r ( IM ) ) / Df ( r ( IM ) ) ;EA( IM+1)=abs ( ( r ( IM+1)−r ( IM ) ) / r ( IM+1) ) ∗100;while EA( IM+1)>EE
IM=IM+1;r ( IM+1)= r ( IM )−f ( r ( IM ) ) / Df ( r ( IM ) ) ;EA( IM+1)=abs ( ( r ( IM+1)−r ( IM ) ) / r ( IM+1) ) ∗100;
endSal ida1 =[ ’ I t e r a c i o n Maxima= ’ ,num2str ( IM ) ] ;Sal ida2 =[ r ( 2 : size ( r , 2 ) ) ’ EA( 2 : size ( r , 2 ) ) ’ ] ;disp ( ’ ’ )disp ( Sal ida1 )disp ( ’ ’ )disp ( ’ Raiz Er ro r Apro ’ )disp ( Sal ida2 )
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FormulaUn problema potencial en la implementacion del metodo deNewton-Raphson es la evaluacion de la derivada. La derivadase podrıa aproximar a la secante, esto serıa:
f′(xi) ≈
f(xi−1)− f(xi)xi−1 − xi
Esta aproximacion se conoce como diferencia finita haciaatras. Sustituyendo esta expresion en la formula deNewton-Raphson:
xi+1 = xi −(xi−1 − xi)f (xi)f (xi−1)− f (xi)
La expresion anterior es la formula del metodo de la secante.Aquı se necesitan dos valores de inicio: xi y xi−1
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Programa MATLAB
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funct ion secantev1 ( fun , x0 , x1 ,EE)% secantev1 : Nombre de l a func ion% Valores de entrada% fun : func ion de entrada ( f ( x ) )% x0 : Valor de i n i c i a l ( x i−1)% x1 : Valor de i n i c i a l ( x i )% EE : Er ro r Estimado% Valores de s a l i d a% Raiz% Er ro r Aproximado% IM : I t e r a c i o n Maximaf = i n l i n e ( fun ) ;IM=1;x ( IM ) =x0 ;x ( IM+1)=x1 ;x ( IM+2)=x ( IM+1)−f ( x ( IM+1) ) ∗( x ( IM )−x ( IM+1) ) / ( f ( x ( IM ) )−f ( x ( IM+1) ) ) ;EA( IM+2)=abs ( ( x ( IM+2)−x ( IM+1) ) / x ( IM+2) ) ∗100;while EA( IM+2)>EE
IM=IM+1;x ( IM+2)=x ( IM+1)−f ( x ( IM+1) ) ∗( x ( IM )−x ( IM+1) ) / ( f ( x ( IM ) )−f ( x ( IM+1) ) ) ;EA( IM+2)=abs ( ( x ( IM+2)−x ( IM+1) ) / x ( IM+2) ) ∗100;
endSal ida1 =[ ’ I t e r a c i o n Maxima= ’ ,num2str ( IM ) ] ;Sal ida2 =[ x ( 3 : size ( x , 2 ) ) ’ EA( 3 : size ( x , 2 ) ) ’ ] ;disp ( ’ ’ )disp ( Sal ida1 )disp ( ’ ’ )disp ( ’ Raiz Er ro r Apro ’ )disp ( Sal ida2 )
INTRODUCCION METODOS DE ITERACION SIMPLE DE PUNTO FIJO METODO DE NEWTON-RAPHSON METODO DE LA SECANTE
Programa MATLAB
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>> secantev1 ( ’ 667.38/ x∗(1 − exp(−0.146843∗x ) )−40 ’ , 1 5 , 1 6 , 0 . 0 0 1 )
I t e r a c i o n Maxima=4
Raiz Er ro r Apro14.7696 8.330614.7807 0.075214.7802 0.003514.7802 0.0000
