Curso de Métodos Numéricos. Sistema de ecuaciones...
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beamer-tu-log Curso de M´ etodos Num ´ ericos. Sistema de ecuaciones algebraicas Curso: M´ etodos Num ´ ericos en Ingenier´ ıa Profesor: Dr. Jos´ e A. Otero Hern´ andez Correo: [email protected] web: http://metodosnumericoscem.weebly.com Universidad: ITESM CEM
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Curso de Metodos Numericos.Sistema de ecuaciones algebraicas
Curso: Metodos Numericos en IngenierıaProfesor: Dr. Jose A. Otero HernandezCorreo: [email protected]: http://metodosnumericoscem.weebly.comUniversidad: ITESM CEM
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Ecuaciones algebraicas lineales
Forma General
a11 x1 + a12 x2 + · · ·+ a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + · · ·+ a2n xn = b2...
......
an1 x1 + an2 x2 + · · ·+ ann xn = bn
dondea son los coeficientes constantes,b son constantes,n es el numero de ecuaciones,x son las incognitas.
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Ecuaciones algebraicas lineales
Metodo de solucion sin computadoraSi son pocas ecuaciones (n ≤ 3), las ecuaciones linealespueden resolverse con rapidez mediante tecnicas simples,Con 4 o mas ecuaciones, la solucion se vuelve laboriosa ydebe usarse una computadora,El surgimiento de las computadoras hizo posible resolvergrandes sistemas de ecuaciones algebraicas.
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Antecedentes matematicos
En esta parte, el algebra y la notacion matricial son muy utiles,ya que proporcionan una forma concisa de representar ymanejar ecuaciones algebraicas lineales.
Por esta razon, en esta clase estudiaremos las matrices y susoperaciones.
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Representacion de una matriz
MatrizUna matriz consiste en un arreglo rectangular de elementosrepresentado por un solo sımbolo. Por ejemplo, una matriz A lapodemos representar como:
A =
a11 a12 a13 · · · a1ma21 a22 a23 · · · a2m
......
.... . .
...an1 an2 an3 · · · anm
donde
aij designa un elemento individual,El conjunto horizontal de elementos se llama fila,El conjunto vertical de elementos se llama columna,El elemento a23 esta en la fila 2 y la columna 3,Se dice que la matriz A tiene dimension n ×m
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Representacion de una matriz
Vector fila: n = 1
B =[
b1 b2 b3 · · · bm]
Vector columna: m = 1
C =
c1c2c3...
cn
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Representacion de una matriz
Matriz cuadrada: n = mEjemplo de matriz cuadrada de 4× 4
A =
a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44
La diagonal que contiene los elementos: a11,a22,a33 y a44 sele llama diagonal principal.
Matriz cuadradaLas matrices cuadradas resultan particularmenteimportantes cuando se resuelven sistemas de ecuacionesalgebraicas,El numero de ecuaciones corresponden a las filas,El numero de incognitas corresponden a las columnas.
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Operaciones con matrices
Matrices igualesLa matriz Anm es igual a la matriz Bnm si y solo si, cadaelemento de la matriz Anm es igual a cada elemento de lamatriz Bnm, es decir aij = bij para todo i y j .
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Operaciones con matrices
Suma y resta de dos matricesCnm = Anm + Bnm, se obtiene al sumar los terminoscorrespondientes a cada matriz, es decir: cij = aij + bij ,para i = 1,2, · · · ,n y j = 1,2, · · · ,mCnm = Anm − Bnm, se obtiene al restar los terminoscorrespondientes a cada matriz, es decir: cij = aij − bij ,para i = 1,2, · · · ,n y j = 1,2, · · · ,m,La suma y la resta solo pueden realizarse entre matricesque tengas las mismas dimensiones.
Propiedades de la suma y resta de matricesLa suma es conmutativa: Anm + Bnm = Bnm + Anm,La resta no es conmutativa: Anm − Bnm 6= Bnm − Anm,La suma es asociativa: (Anm +Bnm) +Cnm = Anm + (Bnm +Cnm),La resta no es asociativa:(Anm − Bnm)− Cnm 6= Anm − (Bnm − Cnm)
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Operaciones con matrices
Multiplicacion de una matriz (A) por un escalar (α)
D = αA =
α a11 α a12 α a13 · · · α a1mα a21 α a22 α a23 · · · α a2m
......
.... . .
...α an1 α an2 α an3 · · · α anm
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Operaciones con matrices
Multiplicacion de matrices
Cn×l = An×m Bm×l
Multiplicacion de matrices
cij =n∑
k=1
aik bkj
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Operaciones con matrices
Propiedades de la multiplicacionLa multiplicacion matricial es asociativa: (A B)C = A (B C),La multiplicacion matricial es distributiva: A(B + C) = A B + A C,La multiplicacion matricial no es conmutativa: A B 6= B A
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Operaciones con matrices
Matriz inversa
A A−1 = A−1 A = I
Matriz inversa de A2×2
A−12×2 =
1a11a22 − a12a21
[a22 −a12−a21 a11
]
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Operaciones con matrices
Matriz transpuesta A4×4
A4×4 =
a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44
At4×4 =
a11 a21 a31 a41a12 a22 a32 a42a13 a23 a33 a43a14 a24 a34 a44
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Representacion matricial de un sistema de ecuaciones algebraicas
Sistema de ecuaciones algebraicas
A X = B
donde
A =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n
......
. . ....
an1 an2 an3 ann
Bt =
[b1 b2 · · · bn
]X t =
[x1 x2 · · · xn
]
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Metodo grafico
Dada las ecuaciones:
a11 x1 + a12 x2 = b1a21 x1 + a22 x2 = b2
Despejando en las dos ecuaciones x2, tenemos:
x2 = −(
a11a12
)x1 + b1
a12
x2 = −(
a21a22
)x1 + b2
a22
Metodo graficoSe puede obtener la solucion al graficar las dos funcioneslineales en coordenadas cartesianas con un eje quecorresponde a x1 y el otro a x2, y se busca el punto deinterseccion.
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Metodo grafico
Ejemplo: Metodo grafico
3 x1 + 2 x2 = 18− x1 + 2 x2 = 2
Despejando en las dos ecuaciones x2, tenemos:
x2 = −32 x1 + 9
x2 = 12 x1 + 1
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Metodo grafico
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Regla de Cramer
DeterminanteDado el sistema de ecuaciones:
A X = B
donde A es la matriz de los coeficientes:
A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
El determinante del sistema (de la matriz A) es:
D = Det(A) =
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣
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Regla de Cramer
Determinante
D =
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣D = a11
∣∣∣∣ a22 a23a32 a33
∣∣∣∣− a12
∣∣∣∣ a21 a23a31 a33
∣∣∣∣+ a13
∣∣∣∣ a21 a22a31 a32
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣
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Regla de Cramer
Determinante
D = a11
∣∣∣∣ a22 a23a32 a33
∣∣∣∣− a12
∣∣∣∣ a21 a23a31 a33
∣∣∣∣+ a13
∣∣∣∣ a21 a22a31 a32
∣∣∣∣D = a11(a22a33−a23a32)−a12(a21a33−a23a31)+a13(a21a32−a22a31)
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Regla de Cramer
Regla de Cramer
x1 =
∣∣∣∣∣∣b1 a12 a13b2 a22 a23b3 a32 a33
∣∣∣∣∣∣D
x2 =
∣∣∣∣∣∣a11 b1 a13a21 b2 a23a31 b3 a33
∣∣∣∣∣∣D
x3 =
∣∣∣∣∣∣a11 a12 b1a21 a22 b2a31 a32 b3
∣∣∣∣∣∣D
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Regla de Cramer
Ejemplo: Aplicacion de la regla de Cramer
0.3 x1 + 0.52 x2 + x3 = −0.010.5 x1 + x2 + 1.9 x3 = 0.670.1 x1 + 0.3 x2 + 0.5 x3 = −0.44
En forma matricial:A X = B,
donde
A =
0.3 0.52 10.5 1 1.90.1 0.3 0.5
,Bt =
[−0.01 0.67 −0.44
],
X t =[
x1 x2 x3].
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Regla de Cramer
Solucion ejemplo: Aplicacion de la regla de CramerDeterminante:
D = a11
∣∣∣∣ a22 a23a32 a33
∣∣∣∣− a12
∣∣∣∣ a21 a23a31 a33
∣∣∣∣+ a13
∣∣∣∣ a21 a22a31 a32
∣∣∣∣D = 0.3
∣∣∣∣ 1 1.90.3 0.5
∣∣∣∣− 0.52∣∣∣∣ 0.5 1.9
0.1 0.5
∣∣∣∣+ 1∣∣∣∣ 0.5 1
0.1 0.3
∣∣∣∣D = 0.3(−0.07)− 0.52(0.06) + 1(0.05) = −0.0022
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Regla de Cramer
Solucion ejemplo: Aplicacion de la regla de Cramer
x1 =
∣∣∣∣∣∣−0.01 0.52 1
0.67 1 1.9−0.44 0.3 0.5
∣∣∣∣∣∣−0.0022
=0.03278−0.0022
= −14.9
x2 =
∣∣∣∣∣∣0.3 −0.01 10.5 0.67 1.90.1 −0.44 0.5
∣∣∣∣∣∣−0.0022
=0.0649−0.0022
= −29.5
x3 =
∣∣∣∣∣∣0.3 0.52 −0.010.5 1 0.670.1 0.3 −0.44
∣∣∣∣∣∣−0.0022
=−0.04356−0.0022
= 19.8
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La eliminacion de incognitas
Eliminacion de incognitas para un sistema de 2× 2
a11 x1 + a12 x2 = b1a21 x1 + a22 x2 = b2
Multiplicando la primera ecuacion por a21
Multiplicando la segunda ecuacion por a11
a11a21 x1 + a12a21 x2 = b1a21a21a11 x1 + a22a11 x2 = b2a11
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La eliminacion de incognitas
Eliminacion de incognitas para un sistema de 2× 2Restando y despejando x2:
x2 =a11b2 − a21b1
a11a22 − a12a21
Finalmente, sustituyendo la solucion de x2 en la primeraecuacion, tenemos:
x1 =a22b1 − a12b2
a11a22 − a12a21
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La eliminacion de incognitas
Eliminacion de incognitas para un sistema de 2× 2
Observe que esta respuesta es equivalente a la solucion dadapor Regla de Cramer
x1 =
∣∣∣∣ b1 a12b2 a22
∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ =a22b1 − a12b2
a11a22 − a12a21
x2 =
∣∣∣∣ a11 b1a21 b2
∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ =a11b2 − a21b1
a11a22 − a12a21
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La eliminacion de incognitas
Ejemplo: Sistema de 2× 2
3 x1 + 2 x2 = 18− x1 + 2 x2 = 2
Solucion:x1 =
(2)(18)− (2)(2)(3)(2)− (2)(−1)
= 4
x2 =(3)(2)− (−1)(18)(3)(2)− (2)(−1)
= 3
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Problema
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones usando la Reglade Cramer
x1 + 2 x2 + 3 x3 = 143 x1 + 8 x2 + 2 x3 = 254 x1 + 5 x2 + 9 x3 = 41
