Curso de Métodos Numéricos. Raíces de...

Curso de M etodos Num ericos.Raıces de ecuaciones no lineales

Curso : Metodos Numericos en Ingenierıa

Profesor : Dr. Jose A. Otero Hernandez

Universidad : ITESM CEM

Fecha : Jueves, 11 de septiembre de 2014

MOTIVACION METODOS GRAFICOS METODO DE BISECCION METODO DE LA FALSA POSICI ON Comparaciones Problemas

TOPICOS1 MOTIVACION

Raıces de la ecuacion de segundo gradoModelo del paracaidistaMetodos cerrados

2 METODOS GRAFICOSDeterminacion de c para el modelo del paracaidista

3 METODO DE BISECCIONAlgoritmo del metodo de biseccionMetodo de biseccion: Programa MATLAB

4 METODO DE LA FALSA POSICI ONAlgoritmo del metodo de la falsa posicionMetodo de la falsa posicion: Programa MATLAB

5 Comparaciones6 Problemas

Problema 1Problema 2

Topicos1 MOTIVACION

Raıces de la ecuaci on de segundo grado

Ecuaci on

f (x) = a x2 + b x + c = 0

Esta ecuacion tiene solucion exacta.

Soluci on

x1 =−b +

√b2 − 4ac

x2 =−b−

√b2 − 4ac

Ecuaci on

f (x) = a x2 + b x + c = 0

Soluci on

x1 =−b +

√b2 − 4ac

x2 =−b−

√b2 − 4ac

Ecuaci on

f (x) = a x2 + b x + c = 0

Soluci on

x1 =−b +

√b2 − 4ac

x2 =−b−

√b2 − 4ac

Soluci on de la ecuaci on con MATLAB

>> syms a b c x;>> solve (a ∗ xˆ 2 + b ∗ x + c)ans =−(b + (b2 − 4 ∗ a ∗ c)ˆ (1/2))/(2 ∗ a)−(b− (b2 − 4 ∗ a ∗ c)ˆ (1/2))/(2 ∗ a)

>> syms x;>> a = 1; b = −3; c = 2;>> solve (a ∗ xˆ 2 + b ∗ x + c)ans =12

Function en MATLAB

function [x] = fun (a,b, c)x(1) = (−b + sqrt(bˆ 2− 4 ∗ a ∗ c))/2/a;x(2) = (−b− sqrt(bˆ 2− 4 ∗ a ∗ c))/2/a;

M-file en MATLAB

a = input (′Deme el valor de a =′);b = input (′Deme el valor de b =′);c = input (′Deme el valor de c =′);x = fun (a, b, c);R = [’Las raices son: x1 =’, num2str ( x(1) ),’ y x2 =’, num2str ( x(2) )] ;disp (R)

Function en MATLAB

function [x] = fun (a,b, c)x(1) = (−b + sqrt(bˆ 2− 4 ∗ a ∗ c))/2/a;x(2) = (−b− sqrt(bˆ 2− 4 ∗ a ∗ c))/2/a;

M-file en MATLAB

a = input (′Deme el valor de a =′);b = input (′Deme el valor de b =′);c = input (′Deme el valor de c =′);x = fun (a, b, c);R = [’Las raices son: x1 =’, num2str ( x(1) ),’ y x2 =’, num2str ( x(2) )] ;disp (R)

Deme el valor de a = 1Deme el valor de b = −3Deme el valor de c = 2Las raices son: x1 = 2 y x2 = 1

Modelo del paracaidista

Velocidad del paracaidista

v (t) =gm

(1− e−

Con esta funcion se puede encontrar la velocidad delparacaidista en cualquier instante de tiempo t.

Determinaci on del coeficiente de arrastre (c)

Supongamos que queremos determinar el coeficiente dearrastre de un paracaidista de masa m para que alcance unavelocidad v en un tiempo t.Problema: Calcular los ceros de la funcion:

f (c) =gm

(1− e−

t)− v

Es una ecuacion no lineal

No se puede encontrar la solucion exacta (ceros de lafuncion)

Hay que encontrar la solucion numericamente

f (c) =gm

(1− e−

t)− v

f (c) =gm

(1− e−

t)− v

f (c) =gm

(1− e−

t)− v

f (c) =gm

(1− e−

t)− v

Metodos cerrados

¿Que son los m etodos cerrados?

Los metodos cerrados necesitan que la raız de la funcioneste encerrada dentro de dos valores dados,

Que la funcion tenga un cambio de signo.

¿Que metodos cerrados estudiaremos?

Metodos graficos,

Metodo de biseccion,

Metodo de la falsa posicion

Metodos cerrados

Metodos graficos,

Metodos cerrados

Metodos graficos,

Metodos cerrados

Metodos graficos,

Metodos cerrados

Metodos graficos,

Metodos cerrados

Metodos graficos,

Metodos cerrados

Metodos graficos,

Topicos1 MOTIVACION

Determinaci on de c para el modelo del paracaidista

Determinaci on gr afica del coeficiente de arrastre (c)

Problema : Use el metodo grafico para determinar elcoeficiente de arrastre c necesario para que un paracaidista demasa m = 68.1 kg tenga una velocidad de v = 40m/s en eltiempo de caida libre t = 10 sSoluci on : Evaluando los datos en la funcion tenemos:

f (c) =667.38

(1− e−0.146843c

)− 40 = 0

Determinaci on gr afica del coeficiente de arrastre (c)

Problema : Use el metodo grafico para determinar elcoeficiente de arrastre c necesario para que un paracaidista demasa m = 68.1 kg tenga una velocidad de v = 40m/s en eltiempo de caida libre t = 10 sSoluci on : Evaluando los datos en la funcion tenemos:

f (c) =667.38

(1− e−0.146843c

)− 40 = 0

Function MATLAB

function cc = f (c)cc = (667.38 ∗ (1− exp(−0.146843 ∗ c)))./c− 40;

M-File MATLAB

c = [4 : 2 : 20];fc = f(c);Salida = [c′ fc′]plot (c, fc)title (′Determinaci on de c′)xlabel (′c′)ylabel (′f(c)′)grid

Salida MATLAB

c f(c)4.0000 34.11496.0000 25.14258.0000 17.653510.0000 11.369112.0000 6.066914.0000 1.568716.0000 −2.268818.0000 −5.560820.0000 −8.4006

Grafica MATLAB

Topicos1 MOTIVACION

Algoritmo del m etodo de bisecci on

Algoritmo

1 Elija un valor inicial inferior xi,2 Elija un valor inicial superior xs,3 Calcular el valor medio xm = xi+xs

2 ⇒ raız aproximada,4 Evaluar para determinar en que subintervalo esta la raız,

Si f(xi) ∗ f(xm) < 0, entonces la raız se encuentra en elsubintervalo izquierdo. Por tanto, xs = xm y vuelva al paso3,Si f(xi) ∗ f(xm) > 0, entonces la raız se encuentra en elsubintervalo derecho. Por tanto, xi = xm y vuelva al paso 3,Si f(xi) ∗ f(xm) = 0, entonces la raız es igual a xm ytermina el calculo.

Algoritmo

Metodo de bisecci on: Programa MATLAB

Programa MATLAB

funct ion r a i z =b isecc ionv1 ( fun , x i , xs , t o l e r a n c i a )% bisecc ionv1 : Nombre de l a func ion% r a i z : Valor de l a r a i z% fun : Entrada de l a func ion como t ex to% x i : Valor i n i c i a l i n f e r i o r% xs : Valor i n i c i a l supe r io r% t o l e r a n c i a : Menor va l o r f (xm) estimadof = i n l i n e ( fun ) ;i f f ( x i )∗ f ( xs )<0

xm= x i ;while abs ( f (xm) )>t o l e r a n c i a

xm=( x i +xs ) / 2 ;i f f ( x i )∗ f (xm)<0

xs=xm;e l s e i f f ( x i )∗ f (xm)>0

x i =xm;else

r a i z =xm;end

endr a i z =xm;

elser a i z = ’No hay cambio de signo ’ ;

Metodo de bisecci on: Programa MATLAB

Programa MATLAB

>> bisecc ionv1 ( ’ xˆ2−2 ’ ,1 ,2 ,0 .001)ans =

1.4141

>> bisecc ionv1 ( ’ xˆ2−4 ’ ,1 ,2 ,0 .001)ans =No hay cambio de signo

>> bisecc ionv1 ( ’ xˆ2−4 ’ ,1 ,3 ,0 .001)ans =

>> bisecc ionv1 ( ’ 667.38/ x∗(1−exp(−0.146843∗x ) )−40 ’ ,14 ,15 ,0.001)ans =

14.7803

Topicos1 MOTIVACION

Algoritmo del m etodo de la falsa posici on

Algoritmo

Algoritmo del m etodo de la falsa posici on

Algoritmo

Usando los triangulos semejantes de la figura tenemos:

f(xi)xm − xi

=f(xs)

xm − xs

Despejando xm

xm = xs −f(xs)(xi − xs)f(xi)− f(xs)

Metodo de la falsa posici on: Programa MATLAB

Programa MATLAB

funct ion r a i z = fa l sapos i c i onv1 ( fun , x i , xs , t o l e r a n c i a )% fa l sapos i c i onv1 : Nombre de l a func ion% r a i z : Valor de l a ı raz% fun : Entrada de l a func ion como t ex to% x i : Valor i n i c i a l i n f e r i o r% xs : Valor i n i c i a l supe r io r% t o l e r a n c i a : Menor va l o r f (xm) estimadof = i n l i n e ( fun ) ;i f f ( x i )∗ f ( xs )<0

xm=xs−( f ( xs ) ∗( x i−xs ) ) / ( f ( x i )−f ( xs ) ) ;i f f ( x i )∗ f (xm)<0

x i =xm;else

r a i z =xm;end

endr a i z =xm;

Metodo de la falsa posici on: Programa MATLAB

Programa MATLAB

>> f a l sapos i c i onv1 ( ’ xˆ2−2 ’ ,1 ,2 ,0 .001)ans =

1.4141

>> f a l sapos i c i onv1 ( ’ xˆ2−4 ’ ,1 ,2 ,0 .001)ans =No hay cambio de signo

>> f a l sapos i c i onv1 ( ’ xˆ2−4 ’ ,1 ,3 ,0 .001)ans =

1.9999

>> f a l sapos i c i onv1 ( ’ 667.38/ x∗(1−exp(−0.146843∗x ) )−40 ’ ,14 ,15 ,0.001)ans =

14.7804

Topicos1 MOTIVACION

Programa MATLAB

funct ion [ r a i z , i t e r a c i o n ]= b isecc ionv2 ( fun , x i , xs , t o l e r a n c i a )% bisecc ionv2 : Nombre de l a func ion% r a i z : Valor de l a r a i z% fun : Entrada de l a func ion como t ex to% x i : Valor i n i c i a l i n f e r i o r% xs : Valor i n i c i a l supe r io r% t o l e r a n c i a : Menor va l o r f (xm) estimadof = i n l i n e ( fun ) ;i t e r a c i o n =0;i f f ( x i )∗ f ( xs )<0

i t e r a c i o n = i t e r a c i o n +1;xm=( x i +xs ) / 2 ;i f f ( x i )∗ f (xm)<0

x i =xm;else

r a i z =xm;end

endr a i z =xm;

Programa MATLAB

funct ion [ r a i z , i t e r a c i o n ]= fa l sapos i c i onv2 ( fun , x i , xs , t o l e r a n c i a )% fa l sapos i c i onv2 : Nombre de l a func ion% r a i z : Valor de l a r a i z% fun : Entrada de l a func ion como t ex to% x i : Valor i n i c i a l i n f e r i o r% xs : Valor i n i c i a l supe r io r% t o l e r a n c i a : Menor va l o r f (xm) estimadof = i n l i n e ( fun ) ;i t e r a c i o n =0;i f f ( x i )∗ f ( xs )<0

i t e r a c i o n = i t e r a c i o n +1;xm=xs−( f ( xs ) ∗( x i−xs ) ) / ( f ( x i )−f ( xs ) ) ;i f f ( x i )∗ f (xm)<0

x i =xm;else

r a i z =xm;end

endr a i z =xm;

Programa MATLAB

>> [ r a i z , i t e r a c i o n ] = b isecc ionv2 ( ’ 667.38/ x∗(1−exp(−0.146843∗x ) )−40 ’ ,14 ,15 ,0.001)r a i z =

14.7803i t e r a c i o n =

>> [ r a i z , i t e r a c i o n ] = fa l sapos i c i onv2 ( ’ 667.38/ x∗(1−exp(−0.146843∗x ) )−40 ’ ,14 ,15 ,0.001)r a i z =

14.7804i t e r a c i o n =

>> [ r a i z , i t e r a c i o n ] = b isecc ionv2 ( ’ xˆ10−1 ’ ,0 ,1 .3 ,0 .001)r a i z =

1.0001i t e r a c i o n =

>> [ r a i z , i t e r a c i o n ] = fa l sapos i c i onv2 ( ’ xˆ10−1 ’ ,0 ,1 .3 ,0 .001)r a i z =

0.9999i t e r a c i o n =

Funci on x10 − 1

Programa MATLAB

funct ion bisecc ionv3 ( fun , x i , xs ,EE)% bisecc ionv3 : Nombre de l a func ion% r a i z : Valor de l a r a i z% fun : Entrada de l a func ion como t ex to% x i : Valor i n i c i a l i n f e r i o r , xs : Valor i n i c i a l supe r io r% EE : Er ro r estimado , IM : numero de i t e r a c i o nf = i n l i n e ( fun ) ;IM=1;i f f ( x i )∗ f ( xs )<0

xm( IM ) = x i ; xm( IM+1) =( x i +xs ) / 2 ;EA( IM+1)=abs ( ( xm( IM+1)−xm( IM ) ) /xm( IM+1) ) ∗100; %Erro r aproximadowhile EA( IM+1)>EE

i f f ( x i )∗ f (xm( IM+1) )<0xs=xm( IM+1) ;

e l s e i f f ( x i )∗ f (xm( IM+1) )>0x i =xm( IM+1) ;

endIM=IM + 1 ; xm( IM+1) =( x i +xs ) / 2 ;EA( IM+1)=abs ( ( xm( IM+1)−xm( IM ) ) /xm( IM+1) ) ∗100;

endSal ida1 =[ ’ I t e r a c i o n Maxima= ’ ,num2str ( IM ) ] ;Sal ida2 =[xm( 2 : size (xm, 2 ) ) ’ EA( 2 : size (xm, 2 ) ) ’ ] ;disp ( ’ ’ )disp ( Sal ida1 )disp ( ’ ’ )disp ( ’ Raiz Er ro r Apro ’ )disp ( Sal ida2 )

Programa MATLAB

funct ion f a l sapos i c i onv3 ( fun , x i , xs ,EE)% fa l sapos i c i onv3 : Nombre de l a func ion% r a i z : Valor de l a r a i z% fun : Entrada de l a func ion como t ex to% x i : Valor i n i c i a l i n f e r i o r , xs : Valor i n i c i a l supe r io r% EE : Er ro r estimado , IM : numero de i t e r a c i o nf = i n l i n e ( fun ) ;IM=1;i f f ( x i )∗ f ( xs )<0

xm( IM ) = x i ; xm( IM+1)=xs−( f ( xs ) ∗( x i−xs ) ) / ( f ( x i )−f ( xs ) ) ;EA( IM+1)=abs ( ( xm( IM+1)−xm( IM ) ) /xm( IM+1) ) ∗100; %Erro r aproximadowhile EA( IM+1)>EE

i f f ( x i )∗ f (xm( IM+1) )<0xs=xm( IM+1) ;

e l s e i f f ( x i )∗ f (xm( IM+1) )>0x i =xm( IM+1) ;

endIM=IM + 1 ; xm( IM+1)=xs−( f ( xs ) ∗( x i−xs ) ) / ( f ( x i )−f ( xs ) ) ;EA( IM+1)=abs ( ( xm( IM+1)−xm( IM ) ) /xm( IM+1) ) ∗100; %Erro r aproximado

endSal ida1 =[ ’ I t e r a c i o n Maxima= ’ ,num2str ( IM ) ] ;Sal ida2 =[xm( 2 : size (xm, 2 ) ) ’ EA( 2 : size (xm, 2 ) ) ’ ] ;disp ( ’ ’ )disp ( Sal ida1 )disp ( ’ ’ )disp ( ’ Raiz Er ro r Apro ’ )disp ( Sal ida2 )

Topicos1 MOTIVACION

Problema 1

ProblemaDetermine las raıces reales def(x) = 4x3 − 6x2 + 7x− 2.3:

a-) Graficamente.

b-) Utilizando el metodo de biseccion para localizar laraız mas pequena. Use los valor es iniciales xi = 0y xs = 1 iterando hasta que el error aproximado εa

sea menor que el error estimado εs = 10%.

Problema 2

ProblemaDetermine las raıces reales def(x) = −26 + 85x− 91x2 + 44x3 − 8x4 + x5:

a-) Graficamente.

b-) Utilizando el metodo de biseccion para localizar laraız mas grande con εs = 10%. Utilice comovalores iniciales xi = 0.5 y xs = 1.0.

c-) Realice el mismo calculo que en b); pero con elmetodo de la falsa posicion y εs = 0.2%

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