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Programacion MATLAB:Derivacion e integracion.

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Curso: Metodos Numericos en IngenierıaProfesor: Dr. Jose A. Otero HernandezCorreo: [email protected]: http://metodosnumericoscem.weebly.comUniversidad: ITESM CEM

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Definicion de derivada Derivando con MATLAB Definicion de Integral Integrando con MATLAB Solucion de ecuaciones diferenciales con MATLAB

Topicos

1 Definicion de derivada

2 Derivando con MATLAB

3 Definicion de Integral

4 Integrando con MATLAB

5 Solucion de ecuaciones diferenciales con MATLAB

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DerivadaEs la razon de cambio de una variable dependiente conrespecto a una variable independiente,La definicion matematica de la derivada esta dada por unaaproximacion por diferencias:

∆y

∆x=

f(xi + ∆x) − f(xi)

∆x,

dy

dx= lim

∆x→0

f(xi + ∆x) − f(xi)

∆x

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Derivada

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Topicos






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Derivada simbolica con MATLAB

>> syms x %Define l a v a r i a b l e s imbo l i ca x

>> y = exp ( x ˆ 4 )y =exp ( x ˆ 4 )

>> d i f f ( y )ans =4∗x ˆ3∗exp ( x ˆ 4 )

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Derivada simbolica con MATLAB

>> syms x

>> y = @( x ) exp ( x ˆ 4 ) %Define una func ion anonimay =

@( x ) exp ( x ˆ 4 )

>> y ( 1 )ans =

2.7183

>> d i f f ( y , x )ans =4∗x ˆ3∗exp ( x ˆ 4 )

>> d i f f ( y ( x ) )ans =4∗x ˆ3∗exp ( x ˆ 4 )

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Derivada numerica con MATLAB

clear ; clc ;% Creacion de una func ion anonimaf =@( x ) 0.2+25∗x−200∗x .ˆ2+675∗x.ˆ3−900∗x .ˆ4+400∗x . ˆ 5 ;x = 0 : 0 . 1 : 0 . 8 ;y= f ( x ) ;% d i f f : D i f e renc ia ent re elementos adyacentesd= d i f f ( y ) . / d i f f ( x ) ; % Tambien d= d i f f ( y ) / 0 . 1% Para g r a f i c a r : Valores x para e l punto medion= length ( x ) ;xm = ( x ( 1 : n−1)+x ( 2 : n ) ) . / 2 ;% Derivada a n a l i t i c axa = 0 : 0 . 0 1 : 0 . 8 ;ya=25−400∗xa+3∗675∗xa.ˆ2−4∗900∗xa .ˆ3+5∗400∗xa . ˆ 4 ;% Graf icoplot (xm, d , ’ o ’ , xa , ya )xlabel ( ’ x ’ ) , ylabel ( ’ y ’ )legend ( ’ Numerica ’ , ’ A n a l i t i c a ’ ) , t i t l e ( ’ D i f f ’ )

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Ejemplo 5: f(x) = 0.2 + 25x− 200x2 + 675x3 − 900x4 + 400x5

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IntegralLa integracion es el proceso inverso de la diferenciacion,La integracion se escribe como:

I =

b∫a

f (x) dx,

y representa la integral de la funcion f (x) (integrando) conrespecto a la variable independiente x, evaluada entre loslımites x = a y x = b,La integral representa el area bajo la curva.

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Integral

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Integral simbolica con MATLAB

>> syms x y t

>> S = 2∗cos ( x )−6∗x ; R = 5∗y ˆ2∗cos (4∗ t ) ;

>> i n t (S)ans =2∗sin ( x ) − 3∗x ˆ2

>> i n t ( x∗sin ( x ) )ans =sin ( x ) − x∗cos ( x )

>> i n t (R)ans =(5∗y ˆ3∗cos (4∗ t ) ) /3

>> i n t (R, t )ans =(5∗y ˆ2∗ sin (4∗ t ) ) /4

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Integral numerica con MATLAB

>> quad ( ’ x .∗ exp(−x . ˆ 0 . 8 ) +0.2 ’ ,0 ,8 )ans =

3.1604

>> y = @( x ) cos ( x )−x . ˆ 2y =

@( x ) cos ( x )−x . ˆ 2

>> quad ( y , 0 , 8 )ans =−169.6773

>> x = [ 0 : 0 . 1 : 8 ] ; z = y ( x ) ;

>> q = trapz ( x , z )q =−169.6915

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Derivada/Integral

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Ecuaciones diferenciales ordinariasSolucion con MATLAB de ecuaciones diferenciales ordinariasde la forma:

dy

dx= f(x, y)

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Ecuacion diferencial con MATLAB

syms y ( x )y ( x ) = dsolve ( d i f f ( y )==−2∗xˆ3+12∗xˆ2−20∗x +8.5 , y ( 0 ) ==1)

Sa l ida

y ( x ) = − x ˆ4 /2 + 4∗x ˆ3 − 10∗x ˆ2 + (17∗x ) /2 + 1

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Ecuacion diferencial con MATLAB

syms y ( x )y ( x ) = dsolve ( d i f f ( y ) ==y∗xˆ3−1.5∗y , y ( 0 ) ==1)

Sa l ida

y ( x ) = exp ( ( x ∗ ( x ˆ3 − 6) ) / 4 )

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