Programacion MATLAB:´ Ecuaciones, polinomios,...

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Programacion MATLAB:Ecuaciones, polinomios, regresion e

interpolacion.

Curso: Metodos Numericos en IngenierıaProfesor: Dr. Jose A. Otero HernandezCorreo: [email protected]: http://metodosnumericoscem.weebly.comUniversidad: ITESM CEM

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Raıces de ecuaciones y polinomios Ajuste de curvas: regresion con MATLAB Interpolacion con MATLAB

Topicos

1 Raıces de ecuaciones y polinomiosRaıces de la ecuacion algebraica y no linealRaıces de polinomiosRaıces de la ecuacion de segundo grado

2 Ajuste de curvas: regresion con MATLAB

3 Interpolacion con MATLAB

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MATLABMATLAB es capaz de localizar raıces en ecuacionesalgebraicas y trascendentes,MATLAB es excelente para la manipulacion y localizacionde raıces en los polinomios,MATLAB es capaz de ajustar curvas mediante polinomios.

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MATLAB

Funcion Descripcionfzero Raız de una sola funcionroots Encuentra raıces de polinomiospoly Construye polinomios con raıces especıficaspolyval Evalua un polinomiopolyvalm Evalua un polinomio con argumento matricialresidue Expansion de la fraccion-parcial (residuos)polyder Diferenciacion polinomialconv Multiplicacion de polinomiosdeconv Division de polinomios

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Raıces de la ecuacion algebraica y no lineal

Funcion fzero

x = fzero(f, x0)

f : funcion anonima,x0 : intervalo,x : raız.

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Ejemplo: Solucion de una ecuacion algebraicaUtilice la funcion fzero de MATLAB para encontrar las raıcesde f(x) = x10 − 1.

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Solucion para la raız positiva

>> x0 = [0 1 . 3 ] ;

>> x = fzero (@( x ) xˆ10−1, x0 )

x =

1

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Solucion para la raız negativa

>> x0 = [−1.3 0 ] ;

>> x = fzero (@( x ) xˆ10−1, x0 )

x =

−1

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Ejemplo: Solucion de una ecuacion no linealUtilice la funcion fzero de MATLAB para encontrar las raıcesde f(x) = x e−x − 0.2.

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Solucion

clear ; clc ;fp lo t (@( x ) x .∗exp(−x ) −0.2 , [0 8 ] ) , grid on ;x1 = fzero (@( x ) x∗exp(−x ) −0.2 , [0 2 ] )x2 = fzero (@( x ) x∗exp(−x ) −0.2 , [2 7 ] )

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Solucion

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Solucion

x1 =

0.2592

x2 =

2.5426

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Raıces de polinomios

Funcion roots

x = roots(p)

x vector columna con las raıces del polinomio,p vector fila con los coeficientes del polinomio,fn(x) = anx

n + an−1xn−1 + ...+ a1x+ a0 = 0,

p = [an an−1 ... a1 a0].

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Ejemplo: PolinomiosAnalicemos como se emplea MATLAB para manipular ydeterminar las raıces de polinomios. Use la siguiente ecuacion:

f5(x) = x5 − 3.5x4 + 2.75x3 + 2.125x2 − 3.875x+ 1.25

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>> a = [1 −3.5 2.75 2.125 −3.875 1 .25 ]a =

1.0000 −3.5000 2.7500 2.1250 −3.8750 1.2500

>> polyval ( a , 1 )ans =

−0.2500

>> polyder ( a )ans =

5.0000 −14.0000 8.2500 4.2500 −3.8750

>> roots ( a )ans =

2.0000−1.0000

1.0000 + 0.5000 i1.0000 − 0.5000 i0.5000

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Raıces de la ecuacion de segundo grado

Ecuacion

f (x) = a x2 + b x+ c = 0

Esta ecuacion tiene solucion exacta.

Solucion

x1 =−b+

√b2 − 4ac

2a

x2 =−b−

√b2 − 4ac

2a

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Solucion de la ecuacion con MATLAB

>> syms a b c x;

>> solve(a ∗ xˆ2 + b ∗ x+ c)

ans =

−(b+ (b2 − 4 ∗ a ∗ c)ˆ(1/2))/(2 ∗ a)−(b− (b2 − 4 ∗ a ∗ c)ˆ(1/2))/(2 ∗ a)

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>> symsx;

>> a = 1; b = −3; c = 2;

>> solve(a ∗ xˆ2 + b ∗ x+ c)

ans =

1

2

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Function en MATLAB

function [x] = fun(a,b, c)

x(1) = (−b+ sqrt(bˆ2− 4 ∗ a ∗ c))/2/a;x(2) = (−b− sqrt(bˆ2− 4 ∗ a ∗ c))/2/a;

end

M-file en MATLAB

a = input(′Deme el valor de a =′);

b = input(′Deme el valor de b =′);

c = input(′Deme el valor de c =′);

x = fun(a, b, c);

R = [’Las raices son: x1=’,num2str(x(1)),’ y x2=’,num2str(x(2))];

disp(R)

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Deme el valor de a = 1

Deme el valor de b = −3Deme el valor de c = 2

Las raices son: x1 = 2 y x2 = 1

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Topicos




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Funcion MATLAB polyfit

clear ; clc ;x =[1 2 3 4 5 6 7 ] ;y= [ 0 . 5 2.5 2.0 4.0 3.5 6.0 5 . 5 ] ;n=6 %2 , 3 , 4 , 5 , 6 , . . . .p= p o l y f i t ( x , y , n )xp= l inspace (min ( x ) ,max( x ) ,100) ;yp=polyval ( p , xp ) ;plot ( x , y , ’ o ’ , xp , yp )grid onxlabel ( ’ x ’ )ylabel ( ’ y ’ )

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Ejemplo: n = 1

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Ejemplo: n = 2

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Ejemplo: n = 3

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Ejemplo: n = 4

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Ejemplo: n = 5

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Ejemplo: n = 6

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Topicos




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Funcion MATLAB polyfit

clear ; clc ;x =[1 4 6 ] ;y= [0 1.386294 1.791759] ;n=2p= p o l y f i t ( x , y , n )xp= l inspace (min ( x ) ,max( x ) ,100) ;yp=polyval ( p , xp ) ;yp2=log ( xp ) ;plot ( x , y , ’ o ’ , xp , yp , xp , yp2 , ’ : ’ )grid onxlabel ( ’ x ’ )ylabel ( ’ y ’ )

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Ejemplo: n = 2

x0 = 1 f(x0) = 0x1 = 4 f(x1) = 1.386294x2 = 6 f(x2) = 1.791759

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Ejemplo: n = 3

x0 = 1 f(x0) = 0x1 = 4 f(x1) = 1.386294x2 = 5 f(x2) = 1.609438x3 = 6 f(x3) = 1.791759

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Funcion MATLAB interp1

clear ; clc ;x =[1 4 6 ] ;y= [0 1.386294 1.791759] ;xx=2y i = interp1 ( x , y , xx )

Sa l ida

y i = 0.4621

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Funcion MATLAB spline

clear ; clc ;x =[1 4 6 ] ;y= [0 1.386294 1.791759] ;xx=2y i =spline ( x , y , xx )

Sa l ida

y i = 0.5658

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Funcion MATLAB lineal y spline

x = 0: pi / 4 : 2∗ pi ;v = sin ( x ) ;xq = 0: pi /16 :2∗ pi ;vq1 = interp1 ( x , v , xq ) ;f igure ( 1 ) ; plot ( x , v , ’ o ’ , xq , vq1 , ’ : . ’ ) ;x l im ( [ 0 2∗pi ] ) ;t i t l e ( ’ ( De fau l t ) L inear I n t e r p o l a t i o n ’ ) ;

%vq2 = interp1 ( x , v , xq , ’ s p l i n e ’ ) ;f igure ( 2 ) ; plot ( x , v , ’ o ’ , xq , vq2 , ’ : . ’ ) ;x l im ( [ 0 2∗pi ] ) ;t i t l e ( ’ Sp l ine I n t e r p o l a t i o n ’ ) ;

%vq3 = spline ( x , v , xq ) ;f igure ( 3 ) ; plot ( x , v , ’ o ’ , xq , vq3 , ’ : . ’ ) ;x l im ( [ 0 2∗pi ] ) ;t i t l e ( ’ Sp l ine I n t e r p o l a t i o n ’ ) ;

Programacion MATLAB:´ Ecuaciones, polinomios,...

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