Curso de Métodos Numéricos. Ecuaciones diferenciales...

Curso de M etodos Num ericos.Ecuaciones diferenciales ordinarias

Curso : Metodos Numericos en Ingenierıa

Profesor : Dr. Jose A. Otero Hernandez

Universidad : ITESM CEM

Fecha : Lunes, 11 de noviembre de 2014

Introducci on Metodo de Euler Metodo de Heun Programa MATLAB

Topicos

1 Introducci on

2 Metodo de EulerEjemploError de truncamiento del metodo de Euler

3 Metodo de HeunEjemplo 2

4 Programa MATLAB


Ecuaciones diferenciales ordinariasEn esta clase nos dedicaremos a la solucion de ecuacionesdiferenciales ordinarias de la forma:

dy

dx= f(x, y)

Anteriormente se utilizo un metodo numerico para resolver unaecuacion como la anterior (caso de la velocidad delparacaidista).En este caso se utilizo el metodo:Nuevo valor = valor anterior + pendiente × tamano


Ecuaciones diferenciales ordinariasMatematicamente:

yi+1 = yi + φh

φ es la pendiente estimada. La pendiente estimada seutiliza para extrapolar desde el valor anterior yi = y(xi) aun nuevo valor yi+1 = y(xi+1) a una distancia h.

Esta formula se aplica paso a paso para buscar los valoresde y posteriores.

Todos los metodos de un paso que se expresen de estaforma se diferencian solamente por la manera en la que seestime la pendiente.


Metodos de un paso

Metodo de Euler

Metodo de Heun


Topicos

1 Introducci on



4 Programa MATLAB


Metodo de EulerDada la ecuacion diferencial:

dy

dx= f(x, y)

Se puede encontrar la solucion como:

yi+1 = yi + f(xi, yi) h

Esta formula se conoce como metodo de Euler.


Metodo de Euler


Ejemplo

Ejemplo

Con el metodo de Euler resuelva numericamente la ecuacion:

dy

dx= −2x3 + 12x2 − 20x + 8.5

desde x = 0 hasta x = 4 con un tamano de paso de 0.5. Lacondicion inicial en x = 0 es y = 1. Calcule el error relativoverdadero si se conoce que la solucion exacta es:

y = −0.5x4 + 4x3 − 10x2 + 8.5x + 1


Ejemplo

Soluci on ejemplo

c lear ; clc ;h =0 .5 ;x = [ 0 : h : 4 ] ;n= length ( x ) ;f = i n l i n e ( ’−2∗xˆ3+12∗xˆ2−20∗x+8.5 ’ , ’ x ’ , ’ y ’ ) ;y exacto= i n l i n e ( ’−0.5∗x ˆ4+4∗xˆ3−10∗x ˆ2+8.5∗ x+1 ’ , ’ x ’ ) ;y ( 1 ) =1;ev ( 1 ) =abs ( y ( 1 )−y exacto ( x ( 1 ) ) ) / y exacto ( x ( 1 ) ) ∗100;fo r i =2:n

y ( i ) =y ( i −1)+ f ( x ( i −1) , y ( i −1) ) ∗h ;ev ( i ) =abs ( y ( i )−y exacto ( x ( i ) ) ) / y exacto ( x ( i ) ) ∗100;

ends a l i d a =[ x ’ y ’ ev ’ ] ;disp ( s a l i d a )ezp lo t ( y exacto , [ 0 , 4 , 0 , 7 . 5 ] ) ;hold onplo t ( x , y , ’ o ’ )


Ejemplo

Soluci on ejemplo

x y Er ro r0 1.0000 00.5000 5.2500 63.10681.0000 5.8750 95.83331.5000 5.1250 130.98592.0000 4.5000 125.00002.5000 4.7500 74.71263.0000 5.8750 46.87503.5000 7.1250 50.99344.0000 7.0000 133.3333


Ejemplo

Soluci on ejemplo


Error de truncamiento del m etodo de Euler

Error de truncamientoSerie de Taylor

yi+1 = yi + y′ih +

y′′i

2!h2 + · · ·

donde h = xi+1 − xi. Pero y′i = f(xi, yi), entonces:

yi+1 = yi + f(xi, yi)h +f

′(xi, yi)2!

h2 + · · ·

Error de truncamiento

εt =f

′(xi, yi)2!

h2



Soluci on ejemplo

c lear ; clc ;h =0 .5 ;x = [ 0 : h : 4 ] ;n= length ( x ) ;f = i n l i n e ( ’−2∗xˆ3+12∗xˆ2−20∗x+8.5 ’ , ’ x ’ , ’ y ’ )fD= i n l i n e ( d i f f ( sym( ’−2∗xˆ3+12∗xˆ2−20∗x+8.5 ’ ) ) , ’ x ’ , ’ y ’ ) ;y exacto= i n l i n e ( ’−0.5∗x ˆ4+4∗xˆ3−10∗x ˆ2+8.5∗ x+1 ’ , ’ x ’ ) ;y ( 1 ) =1;fo r i =2:n

y ( i ) =y ( i −1)+ f ( x ( i −1) , y ( i −1) ) ∗h ;ev ( i ) =abs ( y ( i )−y exacto ( x ( i ) ) ) / y exacto ( x ( i ) ) ∗100;e t ( i ) =fD ( x ( i −1) , y ( i −1) ) /2∗h ˆ 2 ;

ends a l i d a =[ x ( 2 : n ) ’ y ( 2 : n ) ’ ev ( 2 : n ) ’ e t ( 2 : n ) ’ ] ;disp ( s a l i d a )



Soluci on ejemplo con h = 0.5

x y ErrorVer ErrorTrun0.5000 5.2500 63.1068 −2.50001.0000 5.8750 95.8333 −1.18751.5000 5.1250 130.9859 −0.25002.0000 4.5000 125.0000 0.31252.5000 4.7500 74.7126 0.50003.0000 5.8750 46.8750 0.31253.5000 7.1250 50.9934 −0.25004.0000 7.0000 133.3333 −1.1875



Soluci on ejemplo con h = 0.25

x y ErrorVer ErrorTrun0.2500 3.1250 22.0442 −0.62500.5000 4.1797 29.8544 −0.44920.7500 4.4922 36.9863 −0.29691.0000 4.3438 44.7917 −0.16801.2500 3.9688 53.1274 −0.06251.5000 3.5547 60.2113 0.01951.7500 3.2422 62.2678 0.07812.0000 3.1250 56.2500 0.11332.2500 3.2500 44.5699 0.12502.5000 3.6172 33.0460 0.11332.7500 4.1797 25.0731 0.07813.0000 4.8438 21.0938 0.01953.2500 5.4688 20.7417 −0.06253.5000 5.8672 24.3377 −0.16803.7500 5.8047 34.6624 −0.29694.0000 5.0000 66.6667 −0.4492


Topicos

1 Introducci on



4 Programa MATLAB


Metodo de HeunDada la ecuacion diferencial:

dy

dx= f(x, y)

Se puede encontrar la solucion como:

y0i+1 = yi + f(xi, yi) h

yi+1 = yi +f(xi, yi) + f(xi+1, y

0i+1)

2h


Metodo de Heun


Ejemplo 2

Ejemplo 2

Con el metodo de Heun resuelva numericamente la ecuacion:

dy

dx= −2x3 + 12x2 − 20x + 8.5

desde x = 0 hasta x = 4 con un tamano de paso de 0.5. Lacondicion inicial en x = 0 es y = 1. Calcule el error relativoverdadero si se conoce que la solucion exacta es:

y = −0.5x4 + 4x3 − 10x2 + 8.5x + 1


Ejemplo 2

Soluci on ejemplo 2

c lear ; clc ;h =0 .5 ;x = [ 0 : h : 4 ] ;n= length ( x ) ;f = i n l i n e ( ’−2∗xˆ3+12∗xˆ2−20∗x+8.5 ’ , ’ x ’ , ’ y ’ ) ;y exacto= i n l i n e ( ’−0.5∗x ˆ4+4∗xˆ3−10∗x ˆ2+8.5∗ x+1 ’ , ’ x ’ ) ;y ( 1 ) =1;ev ( 1 ) =abs ( y ( 1 )−y exacto ( x ( 1 ) ) ) / y exacto ( x ( 1 ) ) ∗100;fo r i =2:n

y0 ( i ) =y ( i −1)+ f ( x ( i −1) , y ( i −1) ) ∗h ;y ( i ) =y ( i −1)+( f ( x ( i −1) , y ( i −1) ) + f ( x ( i ) , y0 ( i ) ) ) /2∗h ;ev ( i ) =abs ( y ( i )−y exacto ( x ( i ) ) ) / y exacto ( x ( i ) ) ∗100;

ends a l i d a =[ x ’ y ’ ev ’ ] ;disp ( s a l i d a )% ezp lo t ( y exacto , [ 0 , 4 , 0 , 7 . 5 ] ) ;% hold onplo t ( x , y , ’ ∗ ’ )


Ejemplo 2

Soluci on ejemplo 2

x y ErrorVerd0 1.0000 00.5000 3.4375 6.79611.0000 3.3750 12.50001.5000 2.6875 21.12682.0000 2.5000 25.00002.5000 3.1875 17.24143.0000 4.3750 9.37503.5000 4.9375 4.63584.0000 3.0000 0


Ejemplo 2

Soluci on ejemplo 2


Topicos

1 Introducci on



4 Programa MATLAB


Metodo de Euler

funct ion edoeuler (F , x0 , xf , y0 , h )f = i n l i n e (F , ’ x ’ , ’ y ’ ) ;x =[ x0 : h : x f ] ’ ; n = length ( x ) ;i f x ( n )<x f

x ( n+1) = x f ;n = n+1;

endy = y0∗ones ( n , 1 ) ;fo r i = 1 : n−1y ( i +1) = y ( i ) + f ( x ( i ) , y ( i ) ) ∗ ( x ( i +1)−x ( i ) ) ;endfD= i n l i n e ( d i f f ( sym(F) ) , ’ x ’ , ’ y ’ ) ;fo r i i =1:n

e t ( i i ) =fD ( x ( i i ) , y ( i i ) ) /2∗hˆ2ends a l i d a =[ x y et ’ ] ;disp ( s a l i d a )


Soluci on ejemplo

x y0 1.00000.5000 5.25001.0000 5.87501.5000 5.12502.0000 4.50002.5000 4.75003.0000 5.87503.5000 7.12504.0000 7.0000


Metodo de Heun

funct ion edoheun (F , x0 , xf , y0 , h )f = i n l i n e (F , ’ x ’ , ’ y ’ ) ;x =[ x0 : h : x f ] ’ ; n = length ( x ) ;i f x ( n )<x f

x ( n+1) = x f ;n = n+1;

endy = y0∗ones ( n , 1 ) ;fo r i = 1 : n−1

y00 ( i +1)=y ( i ) + f ( x ( i ) , y ( i ) ) ∗ ( x ( i +1)−x ( i ) ) ;y ( i +1) = y ( i ) + ( f ( x ( i ) , y ( i ) ) + f ( x ( i +1) , y00 ( i +1) ) )

/ 2∗ ( x ( i +1)−x ( i ) ) ;ends a l i d a =[ x y ] ;disp ( s a l i d a )


Soluci on ejemplo

x y0 1.00000.5000 3.43751.0000 3.37501.5000 2.68752.0000 2.50002.5000 3.18753.0000 4.37503.5000 4.93754.0000 3.0000

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