El agrupamiento de las unidades experimentales en dos direcciones

(filas y columnas) y la asignación de los tratamientos al azar en las

unidades, de tal forma que en cada fila y en cada columna se encuentren

todos los tratamientos constituye un diseño cuadrado latino.

CARACTERÍSTICAS•Las unidades experimentales se distribuyen en grupos, bajo dos criterios de homogeneidad dentro de la fila y dentro de la columna y heterogeneidad en otra forma. •En cada fila y en cada columna, el número de unidades es igual al número de tratamientos.•Los tratamientos son asignados al azar en las unidades experimentales dentro de cada fila y dentro de cada columna.

Diseño Cuadrado Latino

•El numero de filas= al número de columnas= al número de tratamientos.

•Los análisis estadísticos T-student, Duncan, Tuckey y en pruebas de contraste se procede como el diseño completo al azar y el diseño de

bloques.

•La desviación estándar de la diferencia de promedios y la desviación estándar del promedio, están en función del cuadrado medio del error

experimental.

Formación del Cuadrado

Latino

Suponga 4 tratamientos A,B,C y D, con estos tratamientos se pueden formar 4 cuadros diferentes llamadas típicas o estándar (en la primera fila y en la primera columna se tiene la

misma distribución).

De cada cuadro se obtienen 144 formas diferentes, en total se tienen 576 cuadros diferentes.

La siguiente tabla permite relacionar el número de cuadros en función del tamaño.

n = tamaño del cuadro.

ASIGNACIÓN DE TRATAMIENTOS

os tratamientos deben asignarse empleando uno de los cuadros de los posibles, es decir si son cuatro tratamientos, escoger entre los 576 posibles.

MODELO ESTADÍSTICO

Y

X 1 2 3 4

1 A B C D

2 B C D A

3 C D A B

4 D A B C

Tanto la hipótesis nula como la alternativa, siguen siendo las mismas, a saber:

H0 : 1 = 2 =..........= a

H1 : i = j para al menos un par ij

En este diseño, tenemos ahora, o queremos estudiar, cuatro fuentes de variación, la debida al Factor X, la debida al Factor Y, la causada por el

Bloque(o Factor) Latino y la del error, por lo que nuestro modelo se puede expresar como:

Yij = La i-esima observación

= Un parámetro General para todas las observaciones, llamado Media Global

i = El efecto del factor X

j = El efecto del BloqueY

k = El efecto del bloque Latino

ij = El error experimentalContinuando con la metodología utilizada hasta aquí, reescribamos estas

fuentes de variación, en términos de sumas de cuadrados:

Sstotales = SSX + SSY + SSLatino + SSerror

EJEMPLO

Un experimentador, desea probar en un arreglo cuadrado por bloques, que efecto tienen el factor lote de materia prima y el operador que prepara Dinamita, en la

respuesta Explosividad de la misma. También desea bloquear el arreglo con la Formulaque se utiliza para preparar la dinamita, para esto considera a el bloque Formula como

su Factor o Bloque Latino. El arreglo queda como sigue (desea también probar 5

niveles): Un experimentador, desea probar en un arreglo cuadrado por bloques, que efecto tienen el factor lote de materia prima y el operador que prepara Dinamita, en la respuesta Explosividad de la misma. También desea bloquear el arreglo con la Formulaque se utiliza para preparar la dinamita, para esto considera a el bloque Formula como

su Factor o Bloque Latino. El arreglo queda como sigue (desea también probar 5 niveles):

Operador

Lote 1 2 3 4 5 Totales Promedio

1 24 20 19 24 24 111 22.2

2 17 24 30 27 36 134 26.8

3 18 38 26 27 21 130 26

4 26 31 26 23 22 128 25.6

5 22 30 20 29 31 132 26.4

Totales 107 143 121 130 134 635 Gran total

Promedio 21.4 28.6 24.2 26 26.8

A E D C B

B

C

D

E

C

C

C

D

D

E D

E

B A E

A

B A

A B

Tenemos pues, que la suma de cuadrados totales es:

SST = SSLote + SSOperador + SSFomula + SSerror

Entonces:

SSTotales = ijkj

b

i

a

k N

c

yy2

11

2

1

. . .

Lote 1 2 3 4 5 ∑ Promedio

1 24 20 19 24 24 111 22.2

2 17 24 30 27 36 134 26.8

3 18 38 26 27 21 130 26

4 26 31 26 23 22 128 25.6

5 22 30 20 29 31 132 26.4

∑ 107 143 121 130 134 635

21.4 28.6 24.2 26 26.8

Operador

Promedio

SSTotales =

SSTotales = 242 +202 +192 +242 +242 + 172 +.............+ 292 +312 -

2

635

25

SSTotales = 676

ijkj

b

i

a

k N

c yy2

11

2

1. . .

SSLote=

2

1

2i

b

Y

i

a

YN

.. ... 𝑺𝑺𝒍𝒐𝒕𝒆 =1112+1342+1302+1282+1322

5−

6352

25

Bien, para calcular la suma de cuadrados del factor latino, utilizaremos el mismo mecanismo, solo que, como este factor latino se mueve de una manera diferente, necesitamos primero calcular los totales por nivel.

Val Val2

A 143 20449

B 101 10201

C 112 12544

D 149 22201

E 130 16900

La suma de cuadrados del error, lo calculamos por diferencia:

Sserror = SSTotales - SSLote -SSOperador -SSFórmula = 676.0 - 68.0 - 150.0 - 330.0 = 128

Ahora que ya se han calculado las sumas de cuadrados para cada una de las fuentes de variación, se puede calcular la tabla ANOVA:

Fuente de variación

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Grados de Medios

Fo

Lote 68 4 17 1.59

Operador 150 4 37.5 3.52

Formula 330 4 82.5 7.73

Error 128 12 10.67

Totales 676 24 147.67

Utilizando un nivel de confianza del 95%, consultemos la F de las tablas de la distribución Fisher:

Fa, 1, 2 -= F0.05, 4, 12 = 3.26, y esta es la misma para comparar contra la F calculada

de las tres fuentes de variación, ya que estas tienen los mismos grados de libertad.

Para el lote:Como la Fo (1.59) < F0.05, 4, 12 = 3.26, entonces se Acepta

Ho, el lote de material no es fuente de variación para la respuesta.

Para el Operador:Como la Fo (3.52) > F0.05, 4, 12 = 3.26, entonces se Rechaza

Ho, el operador que prepara la dinamita, si influye en la explosividad de lamisma.

Para la Formula:Como la Fo (7.73) > F0.05, 4, 12 = 3.26, entonces se Rechaza

Ho, la formula que se utiliza para preparar la dinamita, contribuye a laexplosividad de la misma.

Diseño Cuadrado Grecolatino

En los arreglos por bloques, se pueden analizar 4 factores, introduciendo un cuarto factor o bloque

en un diseño cuadrado latino, siguiendo las mismas reglas utilizadas para introducir un tercer factor en un diseño cuadrado de dos factores. A este cuarto

factor o bloque se le denomina componente griego, ya que se utilizan letras griegas para

identificar sus niveles, a la adición de un diseño cuadrado latino y un cuarto factor, se le llama

Diseño Cuadrado Greco-Latino.

Es un diseño con cuatro factores a k niveles

Se asume que no hay interacciones

Requiere k2 observaciones

El diseño factorial completo requiere k4

Cada nivel de un factor aparece una vez con cada nivel delos otros factores

Superposición de dos cuadrados latinos

Superposición de dos cuadrados latinos

Cada letra griega aparece una vez en cada fila, en

cada columna y una con cada letra latina

El modelo es

donde αi es el efecto fila, βj efecto columna, γk efecto De la letra latina y δl efecto de letra griega La notación yij (kl) indica que k y l dependen de ij.

Tabla ANOVA

Ejemplo

Continuemos con el ejemplo de la formulación de dinamita. El experimentador desea considerar La línea de ensamble en su diseño, ya que sospecha que estas son fuente de variación. Para hacer esto, decide

utilizar un arreglo Cuadrado Greco-Latino, el cual se muestra a continuación (Por razones prácticas, se utilizaran los mismos datos que

en el ejemplo anterior)

O perador

Lote 1 2 3 4 5 Totales Prom edio

1 24 20 19 24 24 111 22.2

2 17 24 30 27 36 134 26.8

3 18 38 26 27 21 130 26

4 26 31 26 23 22 128 25.6

5 22 30 20 29 31 132 26.4

Totales 107 143 121 130 134 635 G ran total

P rom edio 21.4 28.6 24.2 26 26.8

A EDCB

B

C

D

E

C

C

C

D

D

ED

E

BAE

A

BA

A B

Ya que son los mismos datos del ejemplo anterior, los cálculos y resultados para las sumas de cuadrados para los

componentes Lote, Operador, Fórmula y Suma Total son los mismos también:

n=25

635

16805

SSTotales = 676

SSTotales = ijkj

b

i

a

k N

c

yy2

11

2

1

. . .

68SSLote=

2

1

2i

b

Y

i

a

YN

.. ...

= 150SSOperador=

2

1

2.. ...k

a

Y

k

b

YN

Val Val2

A 143 20449

B 101 10201

C 112 12544

D 149 22201

E 130 16900

82295

SSFórmula=

2

1

2. . ...j

c

Y

k

c

YN

2

1

2. . ...j

c

Y

k

c

YN

SSFórmula= (82295/5) – (635²/25) = 330

Para calcular la suma de cuadrados del componente Griego, tendremos que obtener las sumas naturales totales por nivel:

Nivel Griego Total

Y..1. =

Y..2. =

Y..3. =

Y..4. =

Y..5. =

Nivel Griego total total²

135 18225

119 14161

122 14884

121 14641

138 19044

Total= 635 80,955

SSLinea=

330

2

1

2.. . ....k

b

Y

k

b

YN

SSLinea = (80955/5) - = 62

2

635

25

( )

La suma de cuadrados del error, se calcula nuevamente pordiferencia:

SSerror = SSTotales - SSLote -SSOperador -SSFormula - SSLinea

SSerror = 676 - 68 - 150 - 330 - 62 = 66

Una vez calculados todos los componentes de la variación por separado, se puede elaborar la tabla anova:

Fuente de

variacion

Suma de

cuadrados

Grados de

libertad

Grados de

MediosFo

Lote 68 4 17 2,06

Operador 150 4 37,5 4,55

Formula 330 4 82,5 10,00

Linea 62 4 15,5 1,88

Error 66 8 8,25

Totales 676 24 160,75

n-1

(n-3)(n-1)

Se divide la suma de cuadrados y

los gl

Error/ grados medios

Como este es también un arreglo cuadrado (todos los factores tienen la misma cantidad de niveles), solo es necesario consultar un F de Fisher para compararse después con las calculadas por

factor y evaluar nuestra hipótesis (que es la misma analizada en el ejemplo anterior), a un 95% de nivel de confianza

Fo, 1, 2 -= F0.05, 4, 8 = 3.84,

Entonces tenemos:

Para el lote:

Como la Fo(2.06) < F0.05, 4, 8 = 3.84, entonces se AceptaHo, el lote de material no es fuente de variación para la respuesta.

Este es el valor de la tabla de la distribución

F. V1 = 4 y V2 = 8

Para el Operador

Como la Fo(4.55) > F0.05, 4, 8 = 3.84, entonces se RechazaHo, el operador es fuente de variación para la respuesta.

Para la Formula

Como la Fo(10.0) > F0.05, 4, 8 = 3.84, entonces seRechaza Ho, el tipo de formula es fuente de variación para larespuesta.

Para La Línea de ensamble:

Como la Fo(1.88) < F0.05, 4, 8 = 3.84, entonces se Acepta Ho, la línea de ensamble no es fuente de variación para la respuesta.