ESTADÍSTICA II

DISEÑO CUADRADO LATINO Y GRECOLATINO

El agrupamiento de las unidades experimentales en dos direcciones (filas y columnas) y la asignación de los

tratamientos al azar en las unidades, de tal forma que en cada fila y en cada columna se encuentren todos los tratamientos constituye un diseño cuadrado latino.

CARACTERÍSTICAS•Las unidades experimentales se distribuyen en grupos, bajo dos criterios de homogeneidad dentro de la fila y dentro de la columna y heterogeneidad en otra forma. •En cada fila y en cada columna, el número de unidades es igual al número de tratamientos.•Los tratamientos son asignados al azar en las unidades experimentales dentro de cada fila y dentro de cada columna.

Diseño Cuadrado Latino

• El numero de filas= al número de columnas= al número de tratamientos.

• Los análisis estadísticos T-student, Duncan, Tuckey y en pruebas de contraste se procede como el diseño completo al

azar y el diseño de bloques.

• La desviación estándar de la diferencia de promedios y la desviación estándar del promedio, están en función del

cuadrado medio del error experimental.

Formación del Cuadrado Latino

Suponga 4 tratamientos A,B,C y D, con estos tratamientos se pueden formar 4 cuadros diferentes llamadas típicas o estándar (en la primera fila y en la

primera columna se tiene la misma distribución).

De cada cuadro se obtienen 144 formas diferentes, en total se tienen 576 cuadros diferentes.

La siguiente tabla permite relacionar el número de cuadros en función del tamaño.

n = tamaño del cuadro.

ASIGNACIÓN DE TRATAMIENTOS

os tratamientos deben asignarse empleando uno de los cuadros de los posibles, es decir si son cuatro tratamientos, escoger entre los

576 posibles.

MODELO ESTADÍSTICO Y

X 1 2 3 4

1 A B C D

2 B C D A

3 C D A B

4 D A B C

Tanto la hipótesis nula como la alternativa, siguen siendo las mismas, a saber:

H0 : m1 = m2 =..........= ma

H1 : mi = mj para al menos un par ij

En este diseño, tenemos ahora, o queremos estudiar, cuatro fuentes de variación, la debida al Factor X, la debida al Factor Y, la causada por el Bloque(o Factor)

Latino y la del error, por lo que nuestro modelo se puede expresar como:

Yij = La i-esima observación

m = Un parámetro General para todas las observaciones, llamado Media Globalti = El efecto del factor X

bj = El efecto del BloqueY

lk = El efecto del bloque Latino

eij = El error experimentalContinuando con la metodología utilizada hasta aquí,

reescribamos estas fuentes de variación, en términos de sumas de cuadrados:

Sstotales = SSX + SSY + SSLatino + SSerror

EJEMPLO

Un experimentador, desea probar en un arreglo cuadrado por bloques, que efecto tienen el factor lote de materia prima y el operador que

prepara Dinamita, en la respuesta Explosividad de la misma. También desea bloquear el arreglo con la Formula que se utiliza para preparar la

dinamita, para esto considera a el bloque Formula como su Factor o Bloque Latino. El arreglo queda como sigue (desea también probar 5 niveles): Un experimentador, desea probar en un arreglo cuadrado por bloques, que efecto tienen el factor lote de materia prima y el operador

que prepara Dinamita, en la respuesta Explosividad de la misma. También desea bloquear el arreglo con la Formula que se utiliza para preparar la dinamita, para esto considera a el bloque Formula como su Factor o Bloque Latino. El arreglo queda como sigue (desea también

probar 5 niveles):

Operador

Lote 1 2 3 4 5 Totales Promedio

1 24 20 19 24 24 111 22.2

2 17 24 30 27 36 134 26.8

3 18 38 26 27 21 130 26

4 26 31 26 23 22 128 25.6

5 22 30 20 29 31 132 26.4

Totales 107 143 121 130 134 635 Gran total

Promedio 21.4 28.6 24.2 26 26.8

A E D C B

B

C

D

E

C

C

C

D

D

E D

E

B A E

A

B A

A B

Tenemos pues, que la suma de cuadrados totales es:

SST = SSLote + SSOperador + SSFomula + SSerror

Entonces:SSTotales = ijkj

b

i

a

k Nc y

y2

11

2

1

...

Lote 1 2 3 4 5 ∑ Promedio1 24 20 19 24 24 111 22.22 17 24 30 27 36 134 26.83 18 38 26 27 21 130 264 26 31 26 23 22 128 25.65 22 30 20 29 31 132 26.4∑ 107 143 121 130 134 635

21.4 28.6 24.2 26 26.8

Operador

Promedio

SSTotales =

SSTotales = 242 +202 +192 +242 +242 + 172 +.............+ 292 +312 -

2

63525

SSTotales = 676

ijkj

b

i

a

k Nc y

y2

11

2

1

. . .

SSLote=2

1

2ibY

i

a YN

.. ... 𝑺𝑺𝒍𝒐𝒕𝒆 = 1112+1342+1302+1282+13225 − 635225

Bien, para calcular la suma de cuadrados del factor latino, utilizaremos el mismo mecanismo, solo que, como este factor

latino se mueve de una manera diferente, necesitamos primero calcular los totales por nivel.

Val Val2

A 143 20449B 101 10201C 112 12544D 149 22201E 130 16900

La suma de cuadrados del error, lo calculamos por diferencia:

Sserror = SSTotales - SSLote -SSOperador -SSFórmula = 676.0 - 68.0 - 150.0 - 330.0 = 128

Ahora que ya se han calculado las sumas de cuadrados para cada una de las fuentes de variación, se puede calcular la tabla ANOVA:

Fuente de variación

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Grados de Medios Fo

Lote 68 4 17 1.59Operador 150 4 37.5 3.52Formula 330 4 82.5 7.73

Error 128 12 10.67

Totales 676 24 147.67

Utilizando un nivel de confianza del 95%, consultemos la F de las tablas de la distribución Fisher:

Fa,g1,g2 -= F0.05, 4, 12 = 3.26, y esta es la misma para comparar

contra la F calculada de las tres fuentes de variación, ya que estas tienen los mismos grados de libertad.

Para el lote:Como la Fo (1.59) < F0.05, 4, 12 = 3.26, entonces

se Acepta Ho, el lote de material no es fuente de variación para la respuesta.

Para el Operador:Como la Fo (3.52) > F0.05, 4, 12 = 3.26, entonces

se Rechaza Ho, el operador que prepara la dinamita, si influye en la explosividad de la misma.

Para la Formula:Como la Fo (7.73) > F0.05, 4, 12 = 3.26, entonces

se Rechaza Ho, la formula que se utiliza para preparar la dinamita, contribuye a la explosividad de la misma.

Diseño Cuadrado Grecolatino

En los arreglos por bloques, se pueden analizar 4 factores, introduciendo un cuarto factor o bloque en un diseño

cuadrado latino, siguiendo las mismas reglas utilizadas para introducir un tercer

factor en un diseño cuadrado de dos factores. A este cuarto factor o bloque se le denomina componente griego, ya que se utilizan letras griegas para identificar

sus niveles, a la adición de un diseño cuadrado latino y un cuarto factor, se le

llama Diseño Cuadrado Greco-Latino.

Es un diseño con cuatro factores a k niveles Se asume que no hay interacciones Requiere k2 observaciones El diseño factorial completo requiere k4 Cada nivel de un factor aparece una vez con

cada nivel de los otros factores Superposición de dos cuadrados latinos

Superposición de dos cuadrados latinos

Cada letra griega aparece una vez en cada fila, en cada columna y una con cada letra latina

El modelo es

donde αi es el efecto fila, βj efecto columna, γk efecto De la letra latina y δl efecto de letra griega La notación yij (kl) indica que k y l dependen de ij.

Tabla ANOVA

EjemploContinuemos con el ejemplo de la formulación de

dinamita. El experimentador desea considerar La línea de ensamble en su diseño, ya que sospecha que estas

son fuente de variación. Para hacer esto, decide utilizar un arreglo Cuadrado Greco-Latino, el cual se muestra a continuación (Por razones prácticas, se

utilizaran los mismos datos que en el ejemplo anterior) Operador

Lote 1 2 3 4 5 Totales Promedio

1 24 20 19 24 24 111 22.2

2 17 24 30 27 36 134 26.8

3 18 38 26 27 21 130 26

4 26 31 26 23 22 128 25.6

5 22 30 20 29 31 132 26.4

Totales 107 143 121 130 134 635 Gran total

Promedio 21.4 28.6 24.2 26 26.8

A EDCB

B

C

D

E

C

C

C

D

D

ED

E

BAE

A

BA

A B

Ya que son los mismos datos del ejemplo anterior, los cálculos y resultados para las sumas de cuadrados para los componentes Lote, Operador, Fórmula y

Suma Total son los mismos también:

n=25635

16805SSTotales = 676

SSTotales = ijkj

b

i

a

k Nc y

y2

11

2

1

...

68SSLote=

2

1

2ibY

i

a YN

.. ...

= 150SSOperador=2

1

2.. ...kaY

k

b YN

Val Val2

A 143 20449B 101 10201C 112 12544D 149 22201E 130 16900

82295

SSFórmula=

2

1

2. . ...j

c

Yk

c YN

2

1

2. . ...j

c

Yk

c YN

SSFórmula= (82295/5) – (635²/25) = 330

Para calcular la suma de cuadrados del componente Griego, tendremos que obtener las

sumas naturales totales por nivel:

Nivel Griego Total

a Y..1. =

b Y..2. =

g Y..3. =

d Y..4. =

e Y..5. =

Nivel Griego total total²

a 135 18225

b 119 14161

g 122 14884

d 121 14641

e 138 19044

Total= 635 80,955

SSLinea=330

2

1

2.. . ....kb

Yk

b YN

SSLinea = (80955/5) - = 62

2

63525

( )

La suma de cuadrados del error, se calcula nuevamente por diferencia:

SSerror = SSTotales - SSLote -SSOperador -SSFormula - SSLinea

SSerror = 676 - 68 - 150 - 330 - 62 = 66

Una vez calculados todos los componentes de la variación por separado, se puede elaborar la

tabla anova: Fuente de variacion

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Grados de Medios

Fo

Lote 68 4 17 2,06Operador 150 4 37,5 4,55Formula 330 4 82,5 10,00

Linea 62 4 15,5 1,88Error 66 8 8,25

Totales 676 24 160,75

n-1

(n-3)(n-1)

Se divide la suma de

cuadrados y los gl

Error/ grados medios

Como este es también un arreglo cuadrado (todos los factores tienen la misma cantidad de niveles), solo es necesario consultar un F de Fisher para

compararse después con las calculadas por factor y evaluar nuestra hipótesis (que es la misma

analizada en el ejemplo anterior), a un 95% de nivel de confianza

Fo,g1,g2 -= F0.05, 4, 8 = 3.84,

Entonces tenemos:

Para el lote:

Como la Fo(2.06) < F0.05, 4, 8 = 3.84, entonces se Acepta Ho, el lote de material no es fuente de variación para la respuesta.

Este es el valor de la tabla de la

distribución F. V1 = 4 y V2 = 8

Para el Operador

Como la Fo(4.55) > F0.05, 4, 8 = 3.84, entonces se Rechaza Ho, el operador es fuente de variación para la respuesta.

Para la Formula

Como la Fo(10.0) > F0.05, 4, 8 = 3.84, entonces se Rechaza Ho, el tipo de formula es fuente de variación para la respuesta.

Para La Línea de ensamble:

Como la Fo(1.88) < F0.05, 4, 8 = 3.84, entonces se Acepta Ho, la línea de ensamble no es fuente de variación para la respuesta.