DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

ESTADÍSTICA II

Catedrático: Ing. Juan Alfonso Diaz Fecha: viernes 21 de noviembre de 2008

Misión:Formar profesionales de la carrera de ingeniería industrial, que sean

agentes de cambios, comprometidos e integrados al desarrollo de su

país, emprendedores, analíticos y creativos, que mejoren la

productividad de los sistemas generadores de bienes y servicios,

mediante el uso eficiente de los recursos disponibles y la

incorporación de la alta tecnología.

Visión:Ser un departamento que

integre la docencia, la vinculación, y la investigación, para formación de ingenieros que respondan a los retos en

la generación de bienes y servicios de clase mundial.

.

CUADRADO LATINO Y GRECOLATINO

MONTES TENORIO CRYSRIVAS ÁVILA EDGAR

VALDEZ REYES HEROLINDA

DISEÑO CUADRADO LATINO

El agrupamiento de las unidades experimentales en dos direcciones (filas y columnas) y la asignación de los tratamientos al azar en las unidades, de tal forma que en cada fila y en cada columna se encuentren todos los tratamientos constituye un diseño cuadrado latino.

CARACTERÍSTICAS

1) Las unidades experimentales se distribuyen en grupos, bajo dos criterios de homogeneidad dentro de la fila y dentro de la columna y heterogeneidad en otra forma.

2) En cada fila y en cada columna, el número de unidades es igual al número de tratamientos.3) Los tratamientos son asignados al azar en las unidades experimentales dentro de cada fila y dentro de cada columna.4) El numero de filas= al número de columnas= al número de tratamientos.5) Los análisis estadísticos T-student, Duncan, Tuckey y en pruebas de contraste se procede como el diseño completo al

azar y el diseño de bloques.6) La desviación estándar de la diferencia de promedios y la desviación estándar del promedio, están en función del

cuadrado medio del error experimental.7) El nombre de cuadrado Latino se debe a R.A. Fisher [The Arrangement of Field Experiments, J. Ministry Agric., 33: 503-

513 (1926)]. Las primeras Aplicaciones fueron en el campo agronómico, especialmente en los casos de suelos con tendencias en fertilidad en dos direcciones.

FORMACIÓN DEL CUADRADO LATINO

Suponga 4 tratamientos A,B,C y D, con estos tratamientos se pueden formar 4 cuadros diferentes llamadas típicas o estándar (en la primera fila y en la primera columna se tiene la misma distribución).

De cada cuadro se obtienen 144 formas diferentes, en total se tienen 576 cuadros diferentes.

La siguiente tabla permite relacionar el número de cuadros en función del tamaño.

n = tamaño del cuadro.

ASIGNACIÓN DE TRATAMIENTOS

Los tratamientos deben asignarse empleando uno de los cuadros de los posibles, es decir si son cuatro tratamientos, escoger entre los 576 posibles.

MODELO ESTADÍSTICO

Tanto la hipótesis nula como la alternativa, siguen siendo las mismas, a saber:

H0 : 1 = 2 =..........= a

H1 : i = j para al menos un par ij

En este diseño, tenemos ahora, o queremos estudiar, cuatro fuentes de variación, la debida al Factor X, la debida al Factor Y, la causada por el Bloque(o Factor) Latino y la del error, por lo que nuestro modelo se puede expresar como:

Yij = La i-esima observación = Un parámetro General para todas las observaciones, llamado Media Global

i = El efecto del factor Xj = El efecto del BloqueY

Y

X 1 2 3 4

1 A B C D

2 B C D A

3 C D A B

4 D A B C

k = El efecto del bloque Latinoij = El error experimental

Continuando con la metodología utilizada hasta aquí, reescribamos estas fuentes de variación, en términos de sumas de cuadrados:

Sstotales = SSX + SSY + SSLatino + SSerror

EJEMPLO

Un experimentador, desea probar en un arreglo cuadrado por bloques, que efecto tienen el factor lote de materia prima y el operador que prepara Dinamita, en la respuesta Explosividad de la misma. También desea bloquear el arreglo con la Formula

que se utiliza para preparar la dinamita, para esto considera a el bloque Formula como su Factor o Bloque Latino. El arreglo queda como sigue (desea también probar 5 niveles): Un experimentador, desea probar en un arreglo cuadrado por bloques, que efecto tienen el factor lote de materia prima y el operador que prepara Dinamita, en la respuesta Explosividad de la misma.

También desea bloquear el arreglo con la Formula que se utiliza para preparar la dinamita, para esto considera a el bloque Formula como su Factor o Bloque Latino. El arreglo queda como sigue (desea también probar 5 niveles):

OperadorLote 1 2 3 4 5 ∑ Promedio

1 24 20 19 24 24 111 22.22 17 24 30 27 36 134 26.83 18 38 26 27 21 130 264 26 31 26 23 22 128 25.65 22 30 20 29 31 132 26.4∑ 107 143 121 130 134

Promedio 21.4 28.6 24.2 26 26.8

Tenemos pues, que la suma de cuadrados totales es:

SST = SSLote + SSOperador + SSFomula + SSerror

Entonces:

SSTotales =

∑i=1

a ∑j=1

b ∑k=1

c

yijk

2

−y . . .

2

N

SSTotales =SSTotales = 242 +202 +192 +242 +242 + 172 +.............+ 292

+312 -

6352

25

SSTotales = 676

SSLote=∑i=1

a Y i ..

2

b−

Y. . .2

N

Bien, para calcular la suma de cuadrados del factor latino, utilizaremos el mismo mecanismo, solo que, como este factor latino se mueve de una manera diferente, necesitamos primero calcular los totales por nivel.

Lote 1 2 3 4 5 ∑ Promedio1 24 20 19 24 24 111 22.22 17 24 30 27 36 134 26.83 18 38 26 27 21 130 264 26 31 26 23 22 128 25.65 22 30 20 29 31 132 26.4∑ 107 143 121 130 134 635

21.4 28.6 24.2 26 26.8

Operador

Promedio

ijkj

b

i

a

k Nc y

y2

11

2

1

...

Val Val2

A 143 20449B 101 10201C 112 12544D 149 22201E 130 16900

La suma de cuadrados del error, lo calculamos por diferencia:

Sserror = SSTotales - SSLote -SSOperador -SSFórmula = 676.0 - 68.0 - 150.0 - 330.0 =

Ahora que ya se han calculado las sumas de cuadrados para cada una de las fuentes de variación, se puede calcular la tabla ANOVA:

Fuente de variación

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Grados de Medios

Fo

Lote 68 4 17 1.59Operador 150 4 37.5 3.52Formula 330 4 82.5 7.73Error 128 12 10.67

Totales 676 24 147.67

Utilizando un nivel de confianza del 95%, consultemos la F de las tablas de la distribución Fisher:

Fa,1,2 -= F0.05, 4, 12 = 3.26, y esta es la misma para comparar contra la F calculada de las tres fuentes de variación, ya que estas tienen los mismos grados de libertad.

Para el lote:Como la Fo (1.59) < F0.05, 4, 12 = 3.26, entonces se Acepta Ho, el lote de material no es fuente de variación para la

respuesta.

Para el Operador:Como la Fo (3.52) > F0.05, 4, 12 = 3.26, entonces se Rechaza Ho, el operador que prepara la dinamita, si influye en

la explosividad de la misma.

Para la Formula:

Como la Fo (7.73) > F0.05, 4, 12 = 3.26, entonces se Rechaza Ho, la formula que se utiliza para preparar la dinamita, contribuye a la explosividad de la misma.

DISEÑO CUADRADO GRECO-LATINO

Es un diseño con cuatro factores a k niveles Se asume que no hay interacciones Requiere k2 observaciones El diseño factorial completo requiere k4 Cada nivel de un factor aparece una vez con cada nivel de los otros factores Superposición de dos cuadrados latinos

Superposición de dos cuadrados latinos

Cada letra griega aparece una vez en cada fila, en cada columna y una con cada letra latina

El modelo es donde son independientes αi es el efecto fila, βj efecto

columna, γk efecto de letra latina y δl efecto de letra griega La notación yij (kl) indica que k y l dependen de ij

Tabla ANOVA.

En los arreglos por bloques, se pueden analizar 4 factores, introduciendo un cuarto factor o bloque en un diseño cuadrado latino, siguiendo las mismas reglas utilizadas para introducir un tercer factor en un diseño cuadrado de dos factores. A este cuarto factor o bloque se le denomina Componente GRIEGO, ya que se utilizan letras griegas para identificar sus niveles, a la adición de un diseño cuadrado latino y un cuarto factor, se le llama Diseño Cuadrado Greco-Latino.

Continuemos con el ejemplo de la formulación de dinamita. El experimentador desea considerar La línea de ensamble en su diseño, ya que sospecha que estas son fuente de variación. Para hacer esto, decide utilizar un arreglo Cuadrado Greco-Latino, el cual se muestra a continuación (Por razones prácticas, se utilizaran los mismos datos que en el ejemplo anterior):

Ya que son los mismos datos del ejemplo anterior, los cálculos y resultados para las sumas de cuadrados para los componentes Lote, Operador, Fórmula y Suma Total son los mismos también:

SSTotales =∑i=1

a

∑ j=1

b ∑k=1

c

∑l=1

d

yijkl

2

−y . ...

2

N = 676

SSLote=∑i=1

a Y i .. .

2

a−

Y. . . .2

N = 68

SSOperador=∑k=1

d Y . .. l

2

d−

Y. . . .2

N = 150

Operador

Lote 1 2 3 4 5 Totales Promedio

1 24 20 19 24 24 111 22.2

2 17 24 30 27 36 134 26.8

3 18 38 26 27 21 130 26

4 26 31 26 23 22 128 25.6

5 22 30 20 29 31 132 26.4

Totales 107 143 121 130 134 635 Gran total

Promedio 21.4 28.6 24.2 26 26.8

A EDCB

B

C

D

E

C

C

C

D

D

ED

E

BAE

A

BA

A B

SSFromula=∑k=1

c Y . j . .

2

c−

Y. . .2

N = 330

Para calcular la suma de cuadrados del componente Griego, tendremos que obtener las sumas naturales totales por nivel:

Nivel Griego Total

Y..1. = Y..2. = Y..3. = Y..4. = Y..5. =

Entonces:

SSLinea=∑k=1

b Y . .k .

2

b−

Y. . . .2

N

SSLinea = 1352 + 1192 +1222 +1212 +1382 -

(635 )2

25 = 62 5

La suma de cuadrados del error, se calcula nuevamente por diferencia:

SSerror = SSTotales - SSLote -SSOperador -SSFormula - SSLinea

= 676 - 68 - 150 - 330 - 62 = 66

Una vez calculados todos los componentes de la variación por separado, se puede elaborar la tabla anova:

Como este es también un arreglo cuadrado (todos los factores tienen la misma cantidad de niveles), solo es necesario consultar un F de Fisher para compararse después con las calculadas por factor y evaluar nuestra hipótesis (que es la misma analizada en el ejemplo anterior), a un 95% de nivel de confianza:

Fo,1,2 -= F0.05, 4, 8 = 3.84, entonces tenemos:

Para el lote:

Como la Fo(2.06) < F0.05, 4, 8 = 3.84, entonces se Acepta Ho, el lote de material no es fuente de variación para la respuesta.

Para el Operador

Como la Fo(4.55) > F0.05, 4, 8 = 3.84, entonces se Rechaza Ho, el operador es fuente de variación para la respuesta.

Fuente de Suma de Grados de Cuadrados

Variacion Cuadrados Libertad Medios Fo

Lote 68.00 4 17.00 2.06

Operador 150.00 4 37.50 4.55

Formula 330.00 4 82.50 10.00

Linea 62.00 4 15.50 1.88

Error 66.00 8 8.25

Totales 676.00 24

Para la Formula

Como la Fo(10.0) > F0.05, 4, 8 = 3. 84, entonces se Rechaza Ho, el tipo de formula es fuente de variación para la respuesta.

Para La Línea de ensamble:

Como la Fo(1.88) < F0.05, 4, 8 = 3.84, entonces se Acepta Ho, la línea de ensamble no es fuente de variación para la respuesta.