Notas de Matemáticas III -...

Notas de Matemticas III

Principios de Diseos Experimentales Incluye manejo bsico de R, Sas, Minitab y Excel Jos Lpez Medina Facultad de Agrobiloga, UMSNH

Carlos Alberto Ramrez Mandujano Facultad de Biologa, UMSNH

Diciembre de 2012

Notas de Matemticas III (Diseos experimentales) Jos Lpez Medina

UMSNH. Diciembre de 2012 Carlos Alberto Ramrez Mandujano

2

CONTENIDO

Principios de experimentacin 3

Anlisis de varianza (anova, andeva, anva) 7

Principios de Sas (statistic analysis system) para msdos 13

Diseo completamente al azar (un factor, one way) 23

Diseo bloques completos al azar (dos factores, two way) 43

Anlisis de varianza de una y dos vas (factores) con R 49

Pruebas de comparaciones mltiples de medias 54

Transformacin de datos 62

Pruebas no paramtricas 64

Diseo cuadrado latino 67

Contrastes ortogonales 82

Experimentos factoriales 87

Diseo parcelas divididas 105

Diseo jerrquico o anidado 117

Regresin y correlacin lineal simple y doble 126

Bibliografa bsica 155



3

PRINCIPIOS DE EXPERIMENTACIN

Un experimento es un trabajo cientficamente planeado para investigar una o ms

poblaciones en condiciones controladas.

Conceptos bsicos

Factor de un experimento es una variable independiente nominal o categrica cuyos

niveles son configurados por el experimentador para probar una respuesta a travs de

ellos. Un experimento puede tener ms de un factor en estudio. Es comn que a los

niveles de un factor se les llame Tratamiento o Grupo. Estos suelen ser las nuevas

tecnologas a evaluar, lo que propone como novedoso el investigador. Algunos ejemplos

de tratamientos son: Variedades a ensayar, concentraciones de un fungicida, dosis de un

fertilizante, riego artificial o carencia del mismo, localidades, estaciones de ao, etc.

Tratamientos testigos (control) son tratamientos de referencia que sirven para comparar

los tratamientos propios del experimento y que pueden ser de dos tipos: Absoluto y

Relativo. A veces un experimento lleva ambos testigos. El tratamiento absoluto puede ser

no aplicar tratamiento alguno; el tratamiento relativo puede ser la tecnologa tradicional,

una situacin normal, lo que se hace de manera corriente, etc., que permite valorar el

comportamiento relativo de los tratamientos que se estn poniendo a prueba.

Bloque en principio es un segundo factor; es un conjunto de unidades experimentales ms

o menos homogneas, en donde se alojan todos los tratamientos del experimento. En

experimentacin agrcola en campo a menudo los bloques son divisiones del terreno

experimental; el objetivo de los bloques es disminuir la variabilidad del material

experimental.

Repeticin es el nmero de veces que se instala cada tratamiento o nivel de un factor, o la

combinacin de dos o mas de ellos. Con frecuencia este trmino se usa como equivalente

a los bloques de un experimento establecido en campo. Para tener confiabilidad en los



4

resultados de un experimento, el nmero mnimo de repeticiones no debera ser menor a

cuatro.

Unidad Experimental es la unidad bsica empleada para experimentar. Cada unidad

experimental comprende uno de los niveles de un factor o combinacin de niveles de dos

o mas factores a evaluar. Con frecuencia a una unidad experimental se le denomina

parcela. Puede ser una persona, una comunidad, una planta, etc. Es la unidad donde se

hace la toma de datos. El tamao y nmero de elementos vara segn los objetivos de la

investigacin.

Tamao de un experimento es el nmero de unidades experimentales del experimento.

Diseo del experimento es el arreglo espacial y en el tiempo de los tratamientos. Cuando

ms complicado es el diseo, ms grados de libertad pierde modelo, pero se controla

mejor el error experimental si se conocen las direcciones de los gradiente de las causas de

perturbacin. En este sentido hay un equilibrio dinmico, un diseo ms complejo y que

no tiene un mejor el control del error puede ser ms ineficiente que un diseo simple. El

investigador debe determinar cul es el mejor diseo para su experimento y este

depender de la irregularidad del rea experimental, del nmero de tratamientos y de la

orientacin espacial de las causas que perturban el experimento. El diseo ms simple de

todos es el Diseo Completamente al Azar, DCA, sin embargo el diseo ms utilizado en la

agricultura en el de Bloques completos al azar, BCA.

Planeacin de experimentos. El mtodo cientfico sugiere que en la planeacin de

experimentos se tomen en cuenta las siguientes etapas: a) Definir el problema; Una vez

que hayamos comprendido el problema, debemos ser capaces de formular preguntas que,

una vez contestadas, conduzcan a la solucin del mismo. En esta etapa se debe

determinar los antecedentes, importancia, objetivos, hiptesis a probar y revisin de la

bibliografa. b) Diseo del experimento; Se debe tener en cuenta: Lugar de ejecucin del

experimento, tamao de la parcela o unidad experimental, nmero de repeticiones por

tratamiento, las variables a medir, los equipos e instrumentos a utilizar y los mtodos de



5

evaluacin de los resultados. c) Ejecucin del experimento. d) Recoleccin de datos del

experimento. e) Ordenamiento de la informacin experimental. f) Anlisis de la

informacin y discusin de los resultados obtenidos. g) En lo posible, realizar anlisis

econmico de los tratamientos que se probaron e identificar la utilidad prctica. h)

Conclusin final y recomendacin.

Supuestos del modelo estadstico

Los supuestos en que se fundamenta el modelo estadstico son:

a) Aditividad: La variable respuesta es la suma de los efectos del modelo estadstico.

b) Linealidad: La relacin existente entre los factores o componentes del modelo

estadstico es lineal (no curvilnea), es decir, se ajusta a una recta.

c) Normalidad: Los valores resultantes del experimento tienen una buena

aproximacin a la distribucin Normal.

d) Independencia: Los resultados observados de un experimento son independientes

entre s.

e) Homocedasticidad (varianza homognea): Las poblaciones generadas por la

aplicacin de dos o ms tratamientos tienen varianzas mas o menos de igual

magnitud.

Tipos de modelos estadsticos

De acuerdo a la seleccin de los tratamientos y otros factores, se tiene la siguiente

clasificacin:

Modelos de Efectos Fijos: Es cuando los tratamientos y dems factores que intervienen en

un experimento constituyen el todo y no una muestra de una poblacin; si se repite el

experimento los tratamientos son los mismos. En estos casos las conclusiones del anlisis



6

de varianza solamente son vlidas para los tratamientos y otros factores usados en el

experimento.

Modelos de Efectos aleatorios: Los tratamientos y dems factores que intervienen en un

experimento son una muestra aleatoria de una poblacin; si el experimento se repite los

elementos que conforman los tratamientos son diferentes. Las conclusiones del anlisis de

varianza son vlidos tanto para los tratamientos y dems factores que se incluyeron en el

experimento, como para la poblacin de donde fueros tomados.

Modelos Mixtos: Es la combinacin de los dos anteriores y se presenta cuando algunos

factores son fijos y otros son elegidos al azar. Las conclusiones del anlisis de varianza

sern vlidas para toda la poblacin de factores cuando stos son elegidos al azar, y

solamente para los factores usados cuando estos son fijos.

Nos referiremos en el presente texto a modelos fijos, pero debemos estar conscientes de

que en la experimentacin en campo a menudo tendremos que trabajar con factores

aleatorios. Por ejemplo, si establecemos una prueba en tres localidades representativas

de una regin, el factor localidad es aleatorio. Si probamos dos frmulas de medio de

cultivo para un hongo las frmulas son niveles de un factor fijo, pero la poblacin del

hongo que est siendo representada es un factor aleatorio. Los modelos mixtos los

abordaremos en una futura versin.



7

ANLISIS DE VARIANZA (Anova, Andeva, Anva)

El ANOVA sirve como base para probar nuestra hiptesis. Consiste en separar de la

variacin total observada, las diferentes causas o fuentes de variacin que influyen en los

resultados de un experimento en particular y que afectan en distinto grado el efecto de

los tratamientos en estudio.

Tiene como objetivo identificar la importancia relativa de los diferentes factores o

tratamientos en estudio y determinar cmo stos interactan entre s.

Variacin planeada

Si comparamos diferentes mtodos de control de maleza, diferentes frmulas de

fertilizacin, diferentes marcas de un agroqumico, diferentes niveles de una hormona,

etc. estamos introduciendo variacin intencionalmente. A esto llamamos tratamientos o

niveles de un factor en un experimento. Los dos trminos son equivalentes.



8

Variacin no planeada

Adems de los tratamientos o factores que ponemos a prueba, hay causas diversas que no

introducimos pero que estn all y provocan variacin que modifica el resultado final del

efecto de los tratamientos. Si el efecto es grande, los resultados se alteran tanto que nos

pueden llevar a cometer un error al comparar el efecto de los diferentes tratamientos.

Esto afecta la validez de las observaciones.

La variacin entre los tratamientos evaluados nos estima la variacin planeada. La

variacin dentro de los tratamientos nos estima la variacin no planeada o varianza del

error experimental. Pada dar por vlidas las observaciones la varianza planeada debe ser

mucho mayor que la varianza no planeada y la proporcin mnima requerida est dada

por la prueba de F, que se aplica a la cantidad de veces que la variacin planeada es mayor

que la no planeada (razn de varianzas).

Clasificacin anidada y cruzada

Cuando cada nivel de un factor se aplica a todos los niveles de un segundo factor estamos

hablando de clasificacin cruzada. Por ejemplo, si en cuatro medios de cultivo se prueban

tres cepas de un hongo y en cada uno de los cuatro medios estn las tres cepas. Todos los

medios de cultivo tienen a todas las cepas.



9

Por el contrario, cuando cada nivel de un primer factor se aplica a diferentes niveles de un

segundo factor estamos hablando de un caso de clasificacin anidada. Por ejemplo, si se

evalan cruzamientos de 10 toros, cada uno con cuatro vacas, pero ninguna vaca cruzada

con el toro 1 se cruz con otro toro. Cada toro tuvo sus cuatro vacas y cada vaca tuvo un

solo toro.

Esto afecta el procedimiento del anlisis de varianza y para ejemplificar se muestran los

cuadros de anlisis de varianza que corresponden a los dos diseos bsicos.

Clasificacin anidada, un solo factor, diseo completamente al azar. Las repeticiones estn

anidadas en los tratamientos y no son un factor de variacin planeada. La variacin total

tiene solo dos componentes: Planeada (tratamientos o factor) y no planeada o error.

Fuentes de Variacin Grados

de

libertad

Sumas de Cuadrados Cuadrados

Medios

F calculada

Tratamientos t 1 SCtrat SCtrat/t-1 CMtrat/CMe

Error (rep/trat) (r-1)t Por diferencia SCe/t(r-1)

Total tr 1 SCTotal

Clasificacin cruzada, dos factores, diseo bloques completos al azar. Todos los

tratamientos estn en todos los bloques y ambos son factores de variacin planeada. La

variacin total tiene tres componentes: Tratamientos o factor 1, bloques o factor 2, y

variacin no planeada o error.



10

Fuentes de

Variacin

Grados de

Libertad

Sumas de Cuadrados Cuadrados Medios F calculada

Tratamientos t 1 SCt SCt/t-1 CMt/CMe

Bloques b 1 SCb SCb/b-1 CMb/CMe

Error (trat*bl) (t-1)(b-1) SCT (SCt + SCb) SCe/(t-1)(b-1)

Total tb 1 SCT

Operaciones en el anlisis de varianza

La variacin total se desglosa en componentes y esto implica llevar a cabo operaciones

que incluyen sumatorias de datos, sumatorias de cuadrados de datos individuales y

sumatorias de cuadrados de totales, y divisiones.

Previamente se construye un cuadro de concentracin de datos, como vemos a

continuacin para el caso de clasificacin cruzada con tres tratamientos y tres bloques

(tres niveles para ambos factores).

Tratamientos

1 2 3 Total

Bloques

1 X11 X21 X31 X.1

2 X12 X22 X32 X.2

3 X13 X23 X33 X.3

Total X1. X2. X3. X..

Donde

X1. significa que se sumaron todas las observaciones para el tratamiento 1.

X.1 significa que se sumaron todas las observaciones para el bloque 1.

X.. es el gran total.

Veamos ahora las frmulas para el anlisis de varianza de dos factores.



11

F.V. G.L. S.C. C.M. Fc

Tratamientos t - 1 (Xi.2/b) (X..2/tb) SCt/t-1 CMt/CMe

Bloques b 1 (X.j2/b) (X..2/tb) SCb/b-1 CMb/CMe

Error (Trat*Bloq) (t-1)(b-1) SCTot (SCt + SCb) SCe/(t-1)(b-1)

Total tb 1 Xij2 (X..2/tb)

Donde

Xi.2 es la sumatoria de los cuadrados de los totales de cada tratamiento.

X.j2 es la sumatoria de los cuadrados de los totales de cada bloque.

Xij2 es la sumatoria de los cuadrados de cada uno de los datos.

X..2/tb es llamado factor o trmino de correccin, gran total al cuadrado entre nmero de

unidades experimentales.

t es el nmero de tratamientos o niveles del factor tratamientos.

b es el nmero de bloques o niveles del factor bloques.

La suma de cuadrados incluye a los totales de todos los niveles de un factor (tratamientos

o bloques) y se divide entre el nmero de elementos que se sumaron para calcular dicho

total. A la suma de cuadrados de una interaccin se le restan las sumas de cuadrados de

los factores que estn interactuando, en este caso el error es la interaccin de

tratamientos y bloques. Para interacciones en clasificacin anidada, solo se resta la suma

de cuadrados del factor que anida. A todas se les resta el factor de correccin.

Los componentes de la tabla son:

Fuentes de Variacin u origen de las variaciones, es decir las causas tanto planeadas como

no planeadas que provocan diferencias dentro del experimento.



12

Grados de libertad, que son el nmero de elementos menos uno.

Sumas de cuadrados, que son parte del procedimiento de clculo de varianzas.

Cuadrados medios o varianzas para cada fuente de variacin.

Fc o valor de F calculada, magnitud relativa de la varianza.

Los cuadrados medios se obtienen al dividir la suma de cuadrados entre sus

correspondientes grados de libertad. Fc es la divisin del cuadrado medio de un factor

(tratamientos o bloques) entre el cuadrado medio del error. El valor de Fc se compara con

un valor de tabla para decidir si las diferencias observadas entre los tratamientos pueden

ser validadas. Puede ser complementada o sustituida con el valor de P, que nos indica el

riesgo de error si rechazamos la hiptesis de igualdad de tratamientos. El mximo valor de

P aceptado es de 0.05.

Las operaciones pueden ser hechas paso a paso con calculadora o en hoja de clculo,

aunque todo el procedimiento puede realizarse con ayuda de uno de los mltiples

programas de cmputo disponibles. En este texto se incluyen Excel, Minitab, Sas y R.



13

PRINCIPIOS DE SAS (STATISTIC ANALYSIS SYSTEM) PARA MSDOS

El paquete estadstico SAS es uno de los mas utilizados en la investigacin. A continuacin

se muestra el manejo de una forma primitiva del mismo. Posteriormente hablaremos de

R, Excel y Minitab, que tambin son utilizados como herramientas de anlisis.

Nota importante: La programacin es la misma en la versin 9 para Windows.

Lo primero

Sas para MSDOS viene en una carpeta llamada SAS que se copia al disco duro en el

directorio raz C o a una memoria USB.

No debe estar dentro de otra carpeta.

No necesita instalarse.

Se abre la carpeta SAS y se da doble click en el archivo SAS.

Programa abierto



14

Cuando se quiere cerrar se escribe bye en la lnea de comando y se presiona Enter

Ventanas de SAS

Program editor: captura

Output: resultado

Log: bitcora del programa que se acaba de correr

Teclas bsicas

F5 es para cambiar de ventana.

F7 es la lupa o zoom para ampliar una ventana o regresar a la vista de las tres ventanas.

F10 corre el programa desde la ventana del editor.

F9 en la ventana del editor reaparece los datos de un programa que ya corri.

Programacin

Pueden capturarse los datos en Excel y all mismo elaborar todo el programa.

Cada dato recabado para una o mas variables evaluadas lleva en la fila en que se registra,

a todo el historial de l mismo: Tratamiento, repeticin, planta, etc., a que pertenece.

Luego se copia todo al block de notas y se guarda, o se guarda como texto separado por

tabulaciones. El nombre del archivo no puede exceder los 8 caracteres, que pueden ser

letras o nmeros y no puede tener espacios. Tendr la extensin .txt.

Se guarda en la carpeta SAS o en una memoria fuera de cualquier carpeta.

Pasos para anlisis de datos

Organizar los datos.



15

Primero se anota un comando DATA.

Existen comandos PROC para analizar los datos.

Sintaxis

Los enunciados siempre terminan con punto y coma ;

Luego el programa espera otro enunciado.

Cuando el programa no entiende algo marca un error.

Espaciamiento

Se puede colocar mas de un enunciado en una lnea o cada enunciado en diferente lnea.

Se usan MAYSCULAS o minsculas.

Ejemplo: tres enunciados en una sola lnea.

data new; input x; cards;

O bien: cada enunciado en una lnea diferente

data new;

input x;

Cards;

Reglas bsicas de escritura

Los nombres de las bases de datos y de las variables deben iniciar con letra, luego se

pueden incluir nmeros.

El nombre no debe ser mayor de 8 caracteres.

El nombre no puede llevar espacios intermedios.



16

Ejemplo

options nodate pagesize=70 linesize= 70; data grasac; input sexo $ pctgr; cards; m 13.3 f 22 f 23.2 m 20 F . m 16 ; proc print data= grasac; title 'datos de grasa corporal'; run; proc sort data=grasac; by sexo; run; proc means data=grasac ; by sexo; var pctgr; title 'promedio de grasa corporal' ; run;

Que significa cada lnea?

Options: algunas opciones.

Nodate nonumber: no anotar fecha ni nmeros de pgina.

Pagesize = 50: 50 lneas (renglones) por hoja.

Linesize = 70: 70 espacios por lnea.

Data: se crear una base de datos.

Data grasac: la base de datos se llamar grasac

Input: nombres y tipo de variables y orden en que aparecern en columnas.



17

Input sexo $ pctgr; La variable sexo ocupar la primera columna y la variable pctgr

ocupar la segunda columna.

La variable sexo es categrica o alfanumrica. Despus de escribirla se anota el signo $.

la variable pctgr es numrica.

Datos perdidos se anotan como punto.

Cards; indica que en seguida se anotan las lneas de datos.

Al final de la captura se anota una lnea con solo punto y coma ;

Proc print data = grasac; le indica imprimir los datos de la base llamada grasac en la

primera hoja de resultados

Title datos de grasa corporal; es el ttulo

Run; le indica ejecutar los comandos escritos

proc sort data=grasac; by sexo; reordena los datos de dicha base por categora de sexo

para que luego se haga el anlisis

proc means data=grasac ; by sexo; var pctgr;

Se pide que obtenga las medias de la variable pctgr por categora de sexo para la base de

datos creada

Programa para anlisis de varianza de dos factores (diseo bloques al azar)

Options nodate nonumber; Se pide que no ponga la fecha ni nmero de pgina.

Data pino; La base de datos se llamar pino.

Input bloque origen alt; Tres columnas: bloque, origen, altura.

Cards;



18

AQU SIGUEN LAS LNEAS DE DATOS

;

PROC ANOVA; Se har anlisis de varianza.

CLASS bloque origen; Son las fuentes de variacin planeada.

Model alt = bloque origen; Alt (altura) es la variable respuesta.

Todo lo que no se incluye en el modelo ser parte del error.

Means origen / Tukey lines; Prueba de Tukey (comparacin de medias)

Run; Corre el programa.

Para anlisis de varianza de un factor (diseo completamente al azar)

Lo nico que cambia respecto al diseo bloques al azar es que el modelo no incluye

bloques.

Model alt = origen; Altura (alt) es la variable respuesta.

Fuente de variacin planeada es solamente origen.

Lo que no incluye el modelo ser el error.

Todo lo dems es igual al diseo bloques al azar.

Anlisis de regresin

Options nodate; Se pide que no ponga la fecha.

Data pino; La base de datos se llamar pino.

Input bloque origen alt db d130; Cinco columnas: bloque, origen, altura dimetro basal

y dimetro a 1.30.



19

Cards;

AQU SIGUEN LAS LNEAS DE DATOS

;

PROC Reg; Se har anlisis de regresin.

Model alt = db d130; Altura es la variable dependiente.

db y d130 son las variables independientes.

Run; Corre el programa.

Captura de datos y programa

Recordando. Se captura en Excel. Se copia todo y se pega en el block de notas.

Se guarda con un nombre de no mas de 8 caracteres y sin espacios.

En el block de notas los archivos tienen la extensin .txt. Se guarda fuera de cualquier

carpeta en la memoria USB o en el disco duro C.

Para abrir el archivo en SAS

Se abre en la ventana del PROGRAM EDITOR. Si el cursor estuviera fuera de la lnea de

comando se presiona la tecla Inicio (Home).

Utilizar el comando include seguido de la ruta de acceso. Luego dar Enter.

INCLUDE E:examen.txt. Significa que en la computadora la memoria aparece como E y

que el archivo se llama examen. Es necesario anotar la extensin .txt.

Notas importantes

Es comn que el teclado cambie su configuracin y que no coincidan las teclas con los

smbolos. En este caso habr que buscar donde aparece cada uno.



20

Si el archivo que se abrir est guardado en la carpeta SAS la instruccin ser

Include examen.txt. Si est en una memoria USB registrada por la PC como E.

Si est guardado en el disco duro

Include c:examen.txt. En seguida presionamos la tecla Enter.

Guardando

Despus de correr el programa presionando la tecla F10, aparece el resultado en la

ventana OUTPUT. Vamos all con la tecla F5.

Para guardar el resultado se usa el comando file.

file ruta:nombre.ext y se presiona Enter.



21

Se puede utilizar la extensin txt para crear archivo de texto para block de notas o rtf o

doc para archivo perfectamente compatible con Word.

Ejemplo file e:examenr.txt

Queda guardado en la memoria e.

File pinus.txt lo guarda en la carpeta SAS.

Figuras antes y despus de presionar la tecla Enter



22

La instruccin es que guarde los resultados en la carpeta SAS en un archivo llamado

examenr con la extensin txt, que es archivo de texto y se abre con el block de notas.

Para borrar cada ventana se usa el comando clear y se presiona Enter. Luego se puede

abrir otro archivo.

Si tenemos la versin de SAS para Windows

En este caso copiamos todo el programa desde Excel y lo pegamos en la ventana del

editor. Para correr el programa damos click en el dibujo del monito, donde en la figura

aparece en un cuadrito blanco la palabra submit.



23

DISEO COMPLETAMENTE AL AZAR (UN FACTOR, ONE WAY)

El Diseo Completamente al Azar o de un solo factor es de los ms sencillos y consiste en

la asignacin al azar de los tratamientos en estudio a un conjunto de unidades

experimentales. Algunas condiciones en las que se puede usar esta distribucin son:

Cuando el lugar y las unidades experimentales son muy uniformes; suelo homogneo,

laboratorio, invernadero, o cuando solamente interesa poner a prueba un cierto nmero

de niveles de un factor que provoque variacin, como por ejemplo las estaciones del ao

o varios sitios de muestreo, etc. y el conjunto de las observaciones en cada nivel son las

repeticiones. Es uno de los mas utilizados en experimentacin con animales.

Puede probarse cualquier nmero de tratamientos, asignando preferentemente el mismo

nmero de unidades experimentales a cada tratamiento (aunque esto no es esencial). El

nmero de unidades experimentales ser igual al nmero de tratamientos multiplicado

por el nmero de veces que stos se repitan.

Modelo lineal aditivo

El modelo para este diseo es:

yij = + ti + ij

donde,

yij = Variable respuesta

= Media general (alrededor de la cual oscilan todas las observaciones)

ti = Efecto del tratamiento i

ij = Variacin debida al azar (causas no pertinentes) = error experimental

Al considerar la variacin total, las causas parciales de variacin sern: 1) Variacin entre

tratamientos y 2) variacin dentro de tratamientos (variacin atribuible al error

experimental). Lo anterior se resume en el cuadro siguiente:



24


Tratamientos t 1 SCt CMt CMt/CMe

Error (rep/trat) t(r-1) Por diferencia CMe

Total tr 1 SCTot

Ejemplo (datos de Jos Lpez Medina, Fac. de Agrobiologa, UMSNH):

Supongamos que queremos probar el efecto de fertilizante fosforado sobre la

produccin de fresa en Zamora. Para ello, al momento de preparar las camas, previo a

la plantacin, adicionamos tres dosis de superfosfato triple de calcio equivalentes a 25,

50 y 100 Kg/ha, respectivamente e incluyendo un cuarto tratamiento sin fertilizante.

Las especificaciones del experimento son:

- Nmero de tratamientos: 4 (A= 0; B = 25; C = 50; D = 100 Kg/ha de P2O5) - Nmero de repeticiones: 4 - Tamao de u. exp.: 5 m de surco (1.2 m ancho x 5 m largo = 6 m2)

La distribucin de los tratamientos dentro de las unidades experimentales se puede

hacer de la forma siguiente:

1) Se enumeran las unidades experimentales (ya sea, de manera progresiva o al azar).

2) Se distribuyen los tratamientos al azar dentro de las unidades experimentales, tal

como se presenta a continuacin:

1

B4

2

C4

3

A3

4

A2

8

C3

7

C2

6

D3

5

B2

9

D4

10

D2

11

A4

12

B3

16

A1

15

B1

14

D1

13

C1



25

Los nmeros del 1 al 16 son las unidades experimentales y el subndice de las letras o

niveles del factor tratamientos denota el nmero de repeticin.

En una libreta de campo se llevar el registro de los frutos obtenidos cada vez que

stos se cosechen. A continuacin se presentan los datos finales:

No. de

U. Exp.

Tratamiento

Rep.

Rendimiento

acumulado

(Kg/parcela)

1 B 4 9.0

2 C 4 9.0

3 A 3 9.5

4 A 2 8.5

5 B 2 8.7

6 D 3 10.7

7 C 2 8.6

8 C 3 10.2

9 D 4 9.2

10 D 2 9.8

11 A 4 8.4

12 B 3 10.0

13 C 1 9.0

14 D 1 8.7

15 B 1 8.3

16 A 1 8.0

Los datos obtenidos se concentran en un cuadro de la forma siguiente:

Trat. P2O5 Repeticiones

(kg/ha) I II III IV Total Media

A 0 8.0 8.5 9.5 8.4 34.4 8.6

B 25 8.3 8.7 10.0 9.0 36.0 9.0

C 50 9.0 8.6 10.2 9.0 36.8 9.2

D 100 8.7 9.8 10.7 9.2 38.4 9.6

G = 145.6 9.1

Hiptesis:



26

Ho: ti = 0; es decir, no hay efecto de tratamientos, o todos los tratamientos son

iguales, o las diferencias de medias de tratamientos no son

significativas.

Ha: ti 0; es decir, al menos uno de los tratamientos es diferente de los dems.

Construccin del anlisis de varianza

1) Determinacin de los grados de libertad

F.V. G.L.

Tratamientos t 1 = 4-1 = 3

Error t(r-1) = 15-3 = 12

Total tr 1 = (4x4)-1 = 15

2) Clculo del factor o trmino de correccin (C): El gran total elevado al cuadrado y

dividido entre el nmero total de datos.

rt

XC

2..)(= =

rt

G 2

16

6.145 2= = 1,324.96

3) Sumas de cuadrados: Recordar que la variacin total tiene dos componentes que

son tratamientos y error. El esquema del huevo se aplica tambin a las sumas de

cuadrados y grados de libertad. Si a la suma de cuadrados total le restamos la de

tratamientos queda la suma de cuadrados del error.

menos igual a



27

Para la suma de cuadrados total ocupamos cada uno de los datos de las unidades

experimentales elevados al cuadrado. Como son datos individuales no se dividen. Se resta

el factor de correccin.

CxSCTot ij = 2)(

= (82 + 8.32 + . . . + 9.22) 1,324.96 = 8.54

Para la suma de cuadrados de tratamientos ocupamos los totales de cada uno de ellos

elevado al cuadrado. Como son el resultado de sumar cuatro repeticiones se dividen entre

cuatro. Se resta el factor de correccin.

Cr

XSCtrat

i = 2.)(

96.324,14

)4.388.360.364.34( 2222

+++= = 2.08

La suma de cuadrados del error la calculamos por diferencia.

SCe = SCTot SCtrat

= 8.54 2.08 = 6.46

4) Cuadrados medios. Suma de cuadrados entre sus correspondientes grados de libertad.

1=

t

SCCMtrat trat = 2.08/3 = 0.693

elg

SCeCMe

..= = 6.46/12 = 0.538

5) Relacin F (Fc) y comparacin con F de tablas. Los valores de cuadrado medio son

varianzas y se compara la variacin planeada correspondiente a los tratamientos



28

con la variacin no planeada correspondiente al error experimental. Esto se hace

con una divisin que nos dice la magnitud relativa de la variacin planeada

respecto a la no planeada.

e

t

CM

CMFc = = 0.693/0.538 = 1.288

La variacin provocada por los niveles del factor fertilizacin fosfrica es 1.29 veces mayor

que la variacin provocada por causas no planeadas.

Expresada en porcentaje la variacin por el factor planeado

es el 56.3 % de la variacin total. Para rechazar la hiptesis

nula de igualdad entre tratamientos se requiere un

porcentaje sensiblemente mayor que este.

Nuestro cuadro del anlisis de varianza queda como sigue:

FV GL SC CM Fc F0.05 F0.01

Trats. 3 2.08 0.693 1.288 ns 3.49 5.95

Error 12 6.46 0.538

TOTAL 15 8.54

ns = no significativo al 5% de probabilidad

Ahora comparamos el valor de F calculada con un valor de

tabla para 3 y 12 grados de libertad respectivamente para el

numerador (tratamientos) y el denominador (error) a los

niveles de significancia de 0.05 y 0.01 en el extremo derecho

inferior del fragmento de la tabla de la distribucin F que aqu se presenta.

Interpretacin. Como la F calculada es menor que el valor de F de tablas al lmite de

significancia determinado (5% de probabilidad), podemos concluir que nuestra

hiptesis de igualdad es cierta; por lo tanto, las dosis de fsforo evaluadas no

incrementaron el rendimiento de fresa de manera significativa.

Tratamientos

Error



29

Conclusin: Se acepta nuestra hiptesis nula; los tratamientos son iguales, tienen el

mismo efecto en la variable respuesta medida (kg).

Clculo del coeficiente de variacin

100.. xX

CMVC

e=

= 1001.9

538.0x = 100

1.9

733.0x = 8.0%

Resolviendo con la hoja de clculo Excel

Para llevar a cabo las operaciones podemos auxiliarnos de la hoja de clculo.

Excel tiene funciones de suma y suma de cuadrados que pueden facilitarnos las

operaciones aritmticas. Para ello los datos se capturan igual que en el cuadro de

concentracin de datos

Para calcular los totales de tratamientos, de repeticiones y gran total se utiliza la funcin

suma sealando el rango de celdas que contienen los datos que se desea sumar. En la

figura se muestra como se obtiene el total de las cuatro repeticiones del tratamiento A.



30

Estamos calculando .1x

Si queremos una suma de cuadrados utilizamos la funcin suma.cuadrados.

Estamos calculando 2)( ijx

De esta forma podemos ir calculando todos los componentes necesarios para construir el

cuadro de anlisis de varianza.

Sin embargo, Excel puede realizar todos los clculos si previamente se instala el

complemento anlisis de datos (para su instalacin ver ayuda de Excel; no se requiere el

disco de instalacin del programa).

Entonces entramos al men datos y al submen anlisis de datos.



31

Aparece el siguiente cuadro de dilogo, donde seleccionamos Anlisis de varianza de un

factor.

Se da click en aceptar y aparece otro cuadro de dilogo. Seleccionamos como rango de

entrada a todos los datos del experimento

Como el factor o tratamientos est ordenado en filas (hileras o renglones), seleccionamos

agrupado por filas.

Alfa es el nivel de significancia o riesgo de error que deseamos aplicar. Por omisin

aparece 0.05 pero puede modificarse.



32

El rango de salida ser por defecto en una hoja nueva, pero podemos modificarlo. Si

optamos por Rango de salida seleccionamos una celda y a partir de ah se despliega el

resultado. Si seleccionamos la celda A8.

Podemos editar el contenido para presentar el cuadro de anlisis de varianza como sigue:

ANLISIS DE VARIANZA

Fuentes de

variacin

Sumas de

cuadrados G. L.

Cuadrados

medios

F

calculada P > F

Valor

crtico para

F

Tratamientos 2.08 3 0.69333333 1.2879257 0.32320003 3.49029482

Error 6.46 12 0.53833333

Total 8.54 15

Comparando con el cuadro anterior vemos que el valor crtico de F calculada es el que

corresponde al valor tabulado para el nivel de significancia de 0.05.

FV GL SC CM Fc F0.05 F0.01

Trats. 3 2.08 0.693 1.288 ns 3.49 5.95

Error 12 6.46 0.538

TOTAL 15 8.54



33

El valor de Probabilidad, que editamos como P > F, nos dice directamente el riesgo de

cometer un error si rechazamos la hiptesis nula de igualdad entre tratamientos. En este

ejemplo Excel nos dice que ese riesgo es 0.32 o 32%; siempre que el valor de P sea mayor

de 0.05 se considera que debemos aceptar la hiptesis nula de igualdad.

Anlisis de varianza con Sas

Para el paquete SAS y otros programas de anlisis estadstico los datos se manejan en la

forma en que vienen en el libro de campo que aqu se repite.

No. de U. Exp.

Tratamiento

Rep.

Rendimiento acumulado

(Kg/parcela)

1 B 4 9.0

2 C 4 9.0

3 A 3 9.5

4 A 2 8.5

5 B 2 8.7

6 D 3 10.7

7 C 2 8.6

8 C 3 10.2

9 D 4 9.2

10 D 2 9.8

11 A 4 8.4

12 B 3 10.0

13 C 1 9.0

14 D 1 8.7

15 B 1 8.3

16 A 1 8.0

Las instrucciones como se vieron anteriormente, son las siguientes:

data fresa; input ue trat $ rep Kg; cards; 1 B 4 9 2 C 4 9 3 A 3 9.5 4 A 2 8.5 5 B 2 8.7 6 D 3 10.7



34

7 C 2 8.6 8 C 3 10.2 9 D 4 9.2 10 D 2 9.8 11 A 4 8.4 12 B 3 10 13 C 1 9 14 D 1 8.7 15 B 1 8.3 16 A 1 8 ; proc anova; class trat; model Kg = trat; run;

Despus de correr el programa la salida es la siguiente:

SAS Analysis of Variance Procedure Class Level Information Class Levels Values TRAT 4 A B C D Number of observations in data set = 16 Dependent Variable: KG Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr > F Model 3 2.08000000 0.69333333 1.29 0.3232 Error 12 6.46000000 0.53833333 Corrected Total 15 8.54000000 R-Square C.V. Root MSE KG Mean 0.243560 8.062769 0.733712 9.10000000

NOTA: PRIMERAMENTE SE MUESTRA EL RESULTADO PARA EL MODELO COMPLETO Y EL ERROR. LUEGO APARECEN LOS COMPONENTES DEL MODELO. En este caso el modelo incluye solo a tratamientos. Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > F TRAT 3 2.08000000 0.69333333 1.29 0.3232



35

El nico factor (tratamientos) tiene una P > F superior a 0.05 y como conclusin se acepta

la hiptesis nula concluyendo que los diferentes tratamientos de fertilizacin no modifican

sensiblemente el rendimiento en Kg de fresa.

Anlisis de varianza con Minitab, versin 13

Este programa requiere el mismo arreglo de datos que el SAS. Se anotan las etiquetas

(rtulos, encabezados, ttulos, labels) en una primera fila

destinada para ese fin. Los datos pueden capturarse en Excel y

luego copiarlos y pegarlos en Minitab.

Para llevar a cabo el anlisis se sigue la siguiente ruta dentro

del men: Stat > Anova > One way.

Y aparece el siguiente cuadro de dilogo:



36

Debemos anotar la columna de la variable respuesta, en este caso Kg/parcela (c4) y el

factor de variacin planeada, en este caso los tratamientos (c2). Puede escribirse el

nombre de columna que aparece en el cuadro de dilogo o puede darse doble click sobre

ese mismo cuadro de dilogo en las filas que hacen referencia a las columnas

correspondientes y en seguida seleccionar dando click en Select. Luego se da click en OK y

aparece el resultado.

One-way ANOVA: (Kg/parcela) versus Tratamiento Analysis of Variance for (Kg/parc

Source DF SS MS F P

Tratamie 3 2.080 0.693 1.29 0.323

Error 12 6.460 0.538

Total 15 8.540

Individual 95% CIs For Mean

Based on Pooled StDev

Level N Mean StDev ---+---------+---------+---------+---

A 4 8.600 0.638 (--------*---------)

B 4 9.000 0.726 (---------*--------)

C 4 9.200 0.693 (---------*---------)

D 4 9.600 0.860 (---------*---------)

---+---------+---------+---------+---

Pooled StDev = 0.734 8.00 8.80 9.60 10.40

Ejemplo 2



37

En el zoolgico se prueban tres frmulas de alimento enriquecido para murcilagos. Se

tiene a la dieta actual como testigo y se alimenta a tres murcilagos con cada una de las

cuatro. Se pesan los doce animales un mes despus de alimentarlos con las cuatro

frmulas.

Peso de Murcilagos con dieta normal y con tres frmulas enriquecidas

Dieta normal Enriquecida 1 Enriquecida 2 Enriquecida 3

Murcilago 1 98 120 130 140

Murcilago 2 105 123 118 135

Murcilago 3 110 115 120 138

El factor es la dieta con cuatro niveles y tres repeticiones (individuos) por nivel.

Procedemos a calcular las sumas de cuadrados con la ayuda de Excel. Primero

necesitamos el factor de correccin, gran total al cuadrado entre el nmero de unidades

experimentales, 12 en este caso.

Ahora la suma de cuadrados de total, todos los datos al cuadrado menos el factor de

correccin.



38

Seguimos con la suma de cuadrados de tratamientos. Ocupamos el total de

cada una de las dietas.

Como son la suma de tres murcilagos dividimos entre 3.

Finalmente la suma de cuadrados del error, restando a la total la de tratamientos, C15 -

C16.



39

El cuadro de anlisis de varianza ser el siguiente, resuelto por el mismo Excel con la

herramienta Anlisis de datos.

Ntese que se toma la opcin agrupado por columnas y luego se da click en aceptar.

F. de V. S. C. g. l. C. M. Fc P F 0.05

Dietas 1683.33 3 561.11 22.37 0.00 4.07

Error 200.67 8 25.08 Total 1884.00 11

Conclusin: como el valor de F calculada es mucho mayor que el de tabla a nivel de 0.05

(22.37 > 4.07) y el valor de P es prcticamente de cero, podemos afirmar que hay

diferencias en el peso de los murcilagos alimentados con las diferentes frmulas.



40

Si ahora deseamos resolver con Sas o Minitab debemos acomodar los datos tal y como

vienen en el libro de campo, o sea que cada una de las 12 medidas de peso ocupa una fila

con toda la informacin referente a la misma.

Peso Dieta Sujeto

98 Normal 1

120 E1 4

130 E2 7

140 E3 10

105 Normal 2

123 E1 5

118 E2 8

135 E3 11

110 Normal 3

115 E1 6

120 E2 9

138 E3 12

Podemos prescindir de la columna del sujeto porque no es un factor de variacin

planeada. Hay que notar que los murcilagos sometidos a cada dieta fueron diferentes, es

decir estn anidados dentro de las dietas.

Copiando los datos en Minitab seguimos la ruta Stat > Anova > One way y luego en el

cuadro de dilogo seleccionamos como respuesta al peso y como factor a la dieta.



41

Para tener el resultado.

Analysis of Variance for Peso

Source DF SS MS F P

Dieta 3 1683.3 561.1 22.37 0.000

Error 8 200.7 25.1

Total 11 1884.0

En Sas tendramos lo siguiente en el block de notas:

data murci; input peso dieta $ sujeto; cards;

98 Normal 1

120 E1 4

130 E2 7

140 E3 10

105 Normal 2

123 E1 5

118 E2 8

135 E3 11

110 Normal 3

115 E1 6

120 E2 9

138 E3 12

proc anova; class dieta; model peso = dieta;

run;



42

Con el resultado siguiente:

Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr > F Model 3 1683.333333 561.111111 22.37 0.0003 Error 8 200.666667 25.083333 Corrected total 11 1884.000000

Omitimos el resto del resultado porque el modelo incluye solamente al factor dieta.

La variacin causada por el factor dieta es 22.37 veces mayor que la causada por factores

no planeados.



43

DISEO BLOQUES COMPLETOS AL AZAR (DOS FACTORES, TWO WAY)

Generalidades

El DBCA es quizs el de mayor uso en los experimentos de campo. Las unidades

experimentales se agrupan en estratos o bloques (segundo factor, comnmente llamado

repeticiones), dentro de los cuales se asignan aleatoriamente los tratamientos en estudio.

Nota: En la experimentacin agrcola en suelo es comn que se divida el terreno en partes

iguales y cada una de ellas es un bloque. El factor que est actuando es la variabilidad

natural del suelo. La experiencia ha demostrado que comnmente s hay diferencias entre

los bloques de suelo.

El error se reduce en comparacin con el diseo completamente al azar, por lo que debe

haber una verdadera influencia del factor de bloqueo para justificar su implementacin.

Es necesario mantener la variabilidad entre unidades experimentales dentro de un bloque

lo mas pequea posible, pero maximizando a la vez las diferencias entre bloques. Esto

resulta en minimizacin del error experimental.

El DBCA resulta til en los casos siguientes:

1) Cuando el nmero de tratamientos es de 3 a 15. En caso de que el nmero de

tratamientos sea de 3 a 5, deben tenerse como mnimo seis bloques a fin de

contar con suficientes grados de libertad para el error experimental.

2) Cuando se tiene un gradiente de variabilidad o productividad, en cuyo caso

deben observarse los cuidados siguientes:

Los bloques deben orientarse de manera perpendicular al gradiente.

Las unidades experimentales (tratamientos) dentro de cada bloque

deben disponerse en la misma direccin del gradiente.



44


yij = + ti + bj + ij

donde,

yij = Variable respuesta.

= Media general (alrededor de la cual oscilan todas las observaciones).

ti = Efecto del tratamiento i

bj = Efecto del bloque j

ij = Variacin debida al azar (causas no pertinentes) = error experimental

Modelo del anlisis de varianza

Al considerar la variacin total, las causas parciales de variacin sern: 1) Variacin entre

tratamientos, 2) variacin entre bloques y 3) variacin dentro de unidades

experimentales (variacin atribuible al error experimental, o interaccin de los dos

factores). Lo anterior se resume en el cuadro siguiente:


Tratamientos t 1 SCt CMt CMt/CMe

Bloques b 1 SCb CMb CMb/CMe

Error (t-1)(b-1) SCT (SCt + SCb) CMe

Total tb 1 SCT

Ejemplo (datos de Juan Paulo Rojas Murillo, Fac. de Agrobiologa, UMSNH)



45

Se aplicaron cinco dosis de fertilizacin a plantas de zarzamora en cinco bloques que

fueron variaciones naturales de suelo. Los resultados para la variable de respuesta altura

de planta fueron los siguientes:

Dosis Fert B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 1 2.45 3.4 2.87 3.52 3.52 2 3.75 3.1 3.37 3.42 3.25 3 2.2 2.37 3.27 3.45 2.77 4 4 2.62 3.52 2.92 3.65 5 3.22 3.42 3.9 2.75 3.62

Este arreglo nos sirve para hacer el anlisis de datos con Excel.

El procedimiento es igual al del

diseo Completamente al Azar, con

la diferencia de que se selecciona

anlisis de varianza para dos

factores con una sola muestra por

grupo

En este ejemplo

Desplegando el siguiente resultado

ANLISIS DE VARIANZA

Origen de las

variaciones

Suma de

cuadrados

Grados de

libertad

Promedio de los

cuadrados Fc P > F

Valor crtico

para F

Fertilizacin 1.184744 4 0.296186 1.2567108 0.32737056 3.00691728

Bloques 0.567064 4 0.141766 0.60151008 0.66700923 3.00691728

Error 3.770936 16 0.2356835

Total 5.522744 24



46

Como al capturar los datos en Excel las filas correspondieron a las dosis de fertilizacin y

las columnas a los bloques, se edita el cuadro de resultados anotando dichos nombres en

el lugar correspondiente.

Interpretacin de los resultados

Dado que los valores de P > F son

superiores a 0.05, tanto para dosis de

fertilizacin como para bloques se

concluye que cualquiera de las dosis

utilizadas produce el mismo crecimiento

en altura de planta y que en este caso

los bloques en realidad no

representaron un segundo factor. El factor fertilizacin fue responsable del 44 % de la

variacin total y los bloques del 21 %, mientras que el error contiene el 35 %.

Anlisis con Sas

El arreglo necesario es el mismo que tiene la libreta de campo. De este modo el programa

quedar como se muestra a continuacin:

data zarza; input fer bloq alt ; cards; 1 1 2.45 1 2 3.75 1 3 2.2 1 4 4 1 5 3.22 2 1 3.4 2 2 3.1 2 3 2.37 2 4 2.62 2 5 3.42 3 1 2.87 3 2 3.37 3 3 3.27 3 4 3.52 3 5 3.9 4 1 3.52

Fertilizacin

Bloques

Error



47

4 2 3.42 4 3 3.45 4 4 2.92 4 5 2.75 5 1 3.52 5 2 3.25 5 3 2.77 5 4 3.65 5 5 3.62 ; proc anova; classes fer bloq; model alt = fer bloq; run;

Que al correrlo muestra la siguiente salida

SAS Analysis of Variance Procedure Class Level Information Class Levels Values FER 5 1 2 3 4 5 BLOQ 5 1 2 3 4 5 Number of observations in data set = 25 SAS Analysis of Variance Procedure Dependent Variable: ALT Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr > F Model 8 1.75180800 0.21897600 0.93 0.5192 Error 16 3.77093600 0.23568350 Corrected Total 24 5.52274400 R-Square C.V. Root MSE ALT Mean 0.317199 15.10869 0.485472 3.21320000

COMPONENTES DEL MODELO. En este caso el modelo incluye a tratamientos y bloques.

Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > F FER 4 0.56706400 0.14176600 0.60 0.6670 BLOQ 4 1.18474400 0.29618600 1.26 0.3274

Anlisis con Minitab

El procedimiento es igual al del diseo anterior con la diferencia de que ahora en el men

se sigue la ruta

Stat > ANOVA > Two-way



48

Luego aparece el cuadro de dilogo donde hay que seleccionar la variable respuesta y los

dos factores.

Y al dar click en OK aparece el siguiente resultado

Two-way ANOVA: Altura versus Dosis Fert, Bloque

Analysis of Variance for Altura

Source DF SS MS F P

Dosis Fe 4 0.567 0.142 0.60 0.667

Bloque 4 1.185 0.296 1.26 0.327

Error 16 3.771 0.236

Total 24 5.523



49

ANLISIS DE VARIANZA DE UNA Y DOS VAS O FACTORES (DISEOS COMPLETAMENTE

AL AZAR Y BLOQUES COMPLETOS AL AZAR) CON R.

Primero que nada hay que sealar que debemos situarnos en la carpeta (directorio) en

donde tenemos el archivo de datos en formato txt o block de notas, y que all mismo se

guarda el archivo de instrucciones o script. Para esto seguimos la ruta Archivo > cambiar

dir

Una vez que estamos en la carpeta deseada podemos crear el script. Hay varias

alternativas para realizar el anlisis de varianza, aqu se muestra una de ellas.

Ejemplo de script para anlisis de varianza de dos vas o factores

o



50

flecha hacia la izquierda



51

odf



52

> print(names(odf)) [1] "trat" "rep" "yield" > > mod1 print(summary(mod1)) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)

trat 4 4995 1248.7 11.233 0.000503 ***

rep 3 2004 668.0 6.009 0.009681 **

Residuals 12 1334 111.2

Interpretacin: La variacin por

tratamientos es 11.2 veces mayor que

la atribuida a causas no planeadas, y la

variacin por repeticiones 6 veces. Hay

diferencias entre tratamientos (Pr>F =

0.0005) y tambin entre repeticiones

(Pr>F = 0.0009). Recordar que la

hiptesis nula de igualdad se rechaza cuando P < 0.05, como en este caso. Los

tratamientos son causantes del 62 % de la variacin total, las repeticiones del 33 % y el

error de solo el 5 %.

Anlisis de varianza de un factor

Al medir la longitud del cuerpo de una especie de insecto en tres sitios y dos repeticiones,

el resultado fue el siguiente.

Sitio

Repeticin A B C

R1 45 63 70 R2 57 77 74

Y el archivo de datos tendra la siguiente forma:

repeticion sitio longitud R1 A 45 R1 B 63 R1 C 70

1248.7

668

111.2

Tratamientos

Repeticiones

Error



53

R2 A 57 R2 B 77 R2 C 74

El script es el siguiente:

oF = 0.124.

Como el mximo admitido para

rechazar la hiptesis nula de igualdad es

0.05, se concluye que se acepta H0 y por

lo tanto no hay diferencias en el tamao

de los insectos en los sitios

muestreados. La variacin atribuida a los sitios fue 4.5 veces mayor que la variacin por

otras causas. Esto es el 82 % del total.

Sitios

Error



54

COMPARACIONES MLTIPLES DE MEDIAS

Como la prueba de F solamente nos dice si hay diferencias entre los tratamientos o niveles

de un factor, pero no nos dice cuales son los mejores o si algunos de ellos son iguales

entre s pero diferentes del resto, es necesario realizar una comparacin entre los

tratamientos para determinar las diferencias especficas al compararlos. A continuacin se

describen las frmulas para algunas de las mas utilizadas. Todas las que se mencionan

requieren que el tamao de muestra sea uniforme, es decir que el nmero de repeticiones

o bloques sea el mismo para todos los tratamientos o niveles del factor.

a) Prueba de t (DMS, LSD)

r

CMetSMD

*2*... )(=

Donde D.M.S. quiere decir diferencia mnima significativa entre dos

tratamientos para que puedan considerarse realmente diferentes.

CMe es el cuadrado medio del error experimental.

r es el nmero de repeticiones o bloques.

)(t es un valor tabulado para un nivel de significancia y grados de

libertad del error.

b) Prueba de Tukey (DSH, HSD)

r

CMeqHSD

it*... ),( =



55

Donde D.S.H. quiere decir diferencia mnima significativa honesta entre dos

tratamientos para que puedan considerarse realmente diferentes.

CMe es el cuadrado medio del error experimental.


Importante: Si existe submuestreo, es decir, cada unidad experimental contiene

mas de un individuo, sustituimos r (ere) por n (ene). Por ejemplo, si se tomaron

medidas en tres ramas de cada una de cinco plantas n = 15.

),( itq es un valor tabulado para un nivel de significancia , un nmero t de

tratamientos y grados de libertad del error.

Igual que la anterior, esta prueba solo debe usarse cuando el tamao de las

muestras es igual.

c) Prueba de rango mltiple de Duncan

Esta prueba fue diseada para determinar diferencias entre pares especficos

de medias. Las medias se ordenan en orden ascendente. Existe un valor de

diferencia mnima significativa para la comparacin de dos medias,

determinado por el nmero de medias que se incluyen en la comparacin de

stas.

M1 M2 M3 M4 M5

Si comparamos la media 1 con la 5 habr un valor de DMS para cinco medias

involucradas; si comparamos la media 2 con la 4 o la 1 con la 3 habr un valor

de DMS para tres medias involucradas.

)11

(*)2

(*21

)(rr

CMetLS +=



56

Donde LS es la diferencia mnima significativa entre un par de tratamientos que

involucra n medias, para que estos puedan ser considerandos realmente

diferentes.

CME es el cuadrado medio del error experimental


)(t es un valor tabulado para un nivel de significancia y grados de

libertad del error.

d) Prueba de Scheff

ftr

CMeSD )1(*

2.. =

Donde t = nmero de promedios (tratamientos o niveles) que se comparan

CMe es el cuadrado medio del error experimental

r es el nmero de repeticiones

f0,05 es un valor tabulado. Utiliza la distribucin F.

En general, la prueba de Scheff es mas rigurosa que la de Tukey para detectar

diferencias significativas. En experimentos de mejoramiento de plantas, cuando se

comparan cultivares es comn utilizar la prueba de Tukey, mientras que en experimentos

mas complicados como pruebas de fertilizacin, se aplica la prueba de Scheff.

Ejemplo con SAS

El siguiente conjunto de datos corresponde a la prueba de cinco tratamientos de

hormonas promotoras de crecimiento en zarzamora en cinco repeticiones midiendo como

variable respuesta la longitud de tres ramas laterales (Datos de Juan Paulo Rojas Murillo,

fac. de Agrobiologa, UMSNH).



57

data edgar; input trat rep lateral long; cards; 3 1 1 221 3 1 2 171 3 1 3 194 2 2 1 237.5 2 2 2 240 2 2 3 122.5 4 2 1 89 4 2 2 76.5 4 2 3 45 3 3 1 159 3 3 2 193 3 3 3 82 5 3 1 100.63 5 3 2 94.38 5 3 3 90.5 1 4 1 126.67 1 4 2 136.67 1 4 3 56.67 3 4 1 140 3 4 2 138 3 4 3 108 4 5 1 63.25 4 5 2 81.25 4 5 3 115.88 1 1 1 166.67 1 1 2 128.33 1 1 3 53.33 4 1 1 102.5 4 1 2 161.25 4 1 3 89.63 5 2 1 79.38 5 2 2 47.5 5 2 3 72.25 1 3 1 265 1 3 2 250 1 3 3 190 4 3 1 116.25 4 3 2 93.13 4 3 3 88.75 2 3 1 111.25 2 3 2 110 2 3 3 62.75 4 4 1 75.83 4 4 2 178 4 4 3 107 3 5 1 180 3 5 2 92 3 5 3 99



58

2 5 1 125 2 5 2 133.25 2 5 3 236.67 2 1 1 91 2 1 2 152.5 2 1 3 128.25 5 1 1 47.25 5 1 2 47.75 5 1 3 31.75 1 2 1 220 1 2 2 190 1 2 3 120 3 2 1 86.6 3 2 2 104 3 2 3 144.6 5 4 1 74.88 5 4 2 80.38 5 4 3 87.63 2 4 1 113.75 2 4 2 110 2 4 3 157.5 1 5 1 223.33 1 5 2 131.67 1 5 3 336.67 5 5 1 76.38 5 5 2 57.5 5 5 3 72.13 proc anova; class trat rep; model long = trat rep; means trat / tukey lsd duncan scheffe lines; run;

Las prueba de separacin de medias de Tukey, T (lsd), Duncan y Scheff se solicitan en el

penltimo rengln del programa y la salida que proporciona SAS es la siguiente:

SAS

Analysis of Variance Procedure

Class Level Information

Class Levels Values

TRAT 5 1 2 3 4 5

REP 5 1 2 3 4 5

Number of observations in data set = 75

SAS


Dependent Variable: LONG

Sum of Mean



59

Source DF Squares Square F Value Pr > F

Model 8 102611.8610 12826.4826 4.96 0.0001

Error 66 170663.7746 2585.8148

Corrected Total 74 273275.6355

R-Square C.V. Root MSE LONG Mean

0.375489 40.64760 50.85091 125.101867

Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > F

TRAT 4 97194.56034 24298.64008 9.40 0.0001

REP 4 5417.30063 1354.32516 0.52 0.7186

HASTA AQU SE CONCLUYE QUE HAY DIFERENCIAS ENTRE LOS TRATAMIENTOS. AHORA HAY QUE DETERMINAR CUALES

TRATAMIENTOS SON IGUALES ENTRE S Y CUALES SON DIFERENTES.

SAS


T tests (LSD) for variable: LONG

NOTE: This test controls the type I comparisonwise error rate not

the experimentwise error rate.

Alpha= 0.05 df= 66 MSE= 2585.815

Critical Value of T= 2.00

Least Significant Difference= 37.072

Means with the same letter are not significantly different.

T Grouping Mean N TRAT

A 173.00 15 1

A

A 142.13 15 2

A

A 140.81 15 3

B 98.88 15 4

B

B 70.69 15 5

SAS


Duncan's Multiple Range Test for variable: LONG

NOTE: This test controls the type I comparisonwise error rate, not

the experimentwise error rate

Alpha= 0.05 df= 66 MSE= 2585.815

Number of Means 2 3 4 5

Critical Range 37.10 39.01 40.27 41.17




60

Duncan Grouping Mean N TRAT

A 173.00 15 1

A

A 142.13 15 2

A

A 140.81 15 3

B 98.88 15 4

B

B 70.69 15 5

SAS


Tukey's Studentized Range (HSD) Test for variable: LONG

NOTE: This test controls the type I experimentwise error rate, but

generally has a higher type II error rate than REGWQ.

Alpha= 0.05 df= 66 MSE= 2585.815

Critical Value of Studentized Range= 3.966

Minimum Significant Difference= 52.076


Tukey Grouping Mean N TRAT

A 173.00 15 1

A

B A 142.13 15 2

B A

B A 140.81 15 3

B

B C 98.88 15 4

C

C 70.69 15 5

SAS


Scheffe's test for variable: LONG

NOTE: This test controls the type I experimentwise error rate but

generally has a higher type II error rate than REGWF for all

pairwise comparisons

Alpha= 0.05 df= 66 MSE= 2585.815

Critical Value of F= 2.51083

Minimum Significant Difference= 58.845


Scheffe Grouping Mean N TRAT



61

A 173.00 15 1

A

B A 142.13 15 2

B A

B A 140.81 15 3

B

B C 98.88 15 4

C

C 70.69 15 5

Las pruebas de Tukey y Scheff dan resultados similares.



62

TRANSFORMACIN DE DATOS

Debemos estar conscientes de que los supuestos del anlisis de varianza no siempre se

cumplen y que de llevarse a cabo un anlisis estadstico con resultados que no cumplan

con dichos supuestos se puede llegar a una conclusin equivocada. Aunque todava no es

prctica generalizada, es muy conveniente aplicar pruebas de bondad de ajuste,

homocedasticidad e independencia antes de realizar un anlisis de varianza. No las

abarcaremos en este texto, sino en una prxima versin. Por ahora nos limitamos a

mencionar que suele utilizarse la chi cuadrada para distribuciones discretas como la

binomial o la de Piosson, y la de Anderson Darling para distribuciones continuas como la

normal, o la de Shapiro Wilk especficamente para esta ltima.

Mediante una transformacin adecuada puede conseguirse que una variable que no se

distribuye normalmente pase a tener una distribucin cercana a la normal. Las

poblaciones con varianzas desiguales pueden convertirse en homocedsticas (varianzas

homogneas) mediante una transformacin apropiada. Las transformaciones mas usadas

son las siguientes:

Transformacin logartmica

El modelo lineal indica que los efectos del bloque, el tratamiento y el error experimental,

son aditivos. Si los niveles de los factores provocan un aumento o disminucin de las

variables medidas en proporcin que tiende a ser geomtrica, entonces se dice que los

efectos son multiplicativos y no aditivos. Una transformacin logartmica transformar en

aditiva la relacin multiplicativa. Log(x), es til cuando los datos crecen en sentido

exponencial o cuando las desviaciones estndares de las muestra son aproximadamente

proporcionales a los promedios o hay evidencia de efectos principales multiplicativos de

los tratamientos en vez de aditivos. Cuando hay muchos ceros, dado que log(0) no est

definido se acostumbra utilizar log(x+1).

Transformacin raz cuadrada



63

Se aconseja cuando los datos estn dados por nmeros enteros procedentes de conteo

(distribucin discreta), como por ejemplo el nmero de manchas en una hoja o el nmero

de bacterias en una placa, el nmero de insectos de una especie, los das a floracin, etc.,

los nmeros observados tienden a presentar una distribucin de Poisson. La

transformacin X + 0.5 es til cuando los nmeros observados son pequeos (0 10), por

ejemplo son acontecimientos pocos comunes, tienen una posibilidad muy baja de ocurrir

en cualquier individuo. Si las cifras de los conteos estn generalmente por arriba de 100 es

probable que no se requiera transformacin.

Normalmente esta transformacin determina que las varianzas de los grupos sean ms

homogneas. Tambin es aplicable a las distribuciones sesgadas porque acorta la cola

larga.

Transformacin arco-seno raz cuadrada del porcentaje o proporcin

La transformacin Arcoseno X /100 es til cuando los datos son expresados en por ciento

o son proporciones de la muestra total, como por ejemplo el porcentaje de individuos

enfermos, porcentaje de plantas sobrevivientes, proporcin de plantas con doble

mazorca, etc. Por lo general estos datos tienen una distribucin binomial. La

transformacin arcoseno tiende a igualar las varianzas y a normalizar los datos. Esta

transformacin asume que todas las proporciones transformadas tienen el mismo valor de

n. Si n es aproximadamente igual para los distintos grupos an se puede utilizar esta

transformacin. Si los valores de porcentaje estn entre 30 y 70 no se requiere

transformacin,y si todos estn por debajo de 20 puede utilizarse la raz cuadrada.



64

PRUEBAS NO PARAMTRICAS

Las transformaciones de datos van dirigidas a forzar a que los supuestos del anlisis de

varianza se cumplan cuando esto no ocurre, pero puede darse el caso de que los datos

transformados sigan sin ajustarse a uno o mas de los supuestos.

Bajo esta situacin muchos opinan que en lugar de transformar los datos hay que trabajar

con ellos conservndolos como son. Para ello existe la alternativa de las pruebas no

paramtricas, que se consideran menos precisas y que no han tenido el mismo desarrollo

que el anlisis de varianza, pero se espera que pronto lo tengan.

Estas pruebas se pueden aplicar bajo cualquier distribucin de probabilidad y en ausencia

de independencia entre variables; en lugar de trabajar con la media utilizan la mediana y

por lo tanto son menos afectadas por valores extremos (atpicos, outliers). En este texto

solo mencionaremos dos de ellas y como aplicarlas con el programa Minitab.

Prueba de Kruskal-Wallis

Es el equivalente no paramtrico del anlisis de varianza de un factor (diseo

completamente al azar) y se prueba la diferencia entre medianas de tres o mas grupos de

datos.

La hiptesis a probar es

Ho: Xmed0 = Xmed1 = Xmed2 =

Ha:Xmed0 Xmed1 Xmed2

En Minitab se sigue la ruta Stat>nonparametrics> Kruskal-Wallis.

Ejemplo: Se cuenta el nmero de insectos polinizadores que visitan una especie en tres

diferentes horarios. Se desea saber si hay diferencias en la cantidad de polinizadores entre

horarios.



65

El resultado se muestra a continuacin

Kruskal-Wallis Test on Num inse

horario N Median Ave Rank Z

1 4 70.00 2.8 -2.55

2 4 85.00 10.5 2.72

3 4 76.50 6.3 -0.17

Overall 12 6.5

H = 9.27 DF = 2 P = 0.010

* NOTE * One or more small samples

Como el valor de P es de 0.01 se rechaza la hiptesis nula y se concluye que el nmero de

insectos polinizadores que visitan las flores es diferente en los tres horarios muestreados.

Prueba de Friedman

Es el equivalente no paramtrico del diseo bloques completos al azar o anlisis de

varianza de dos factores. Se aplica a observaciones pareadas.

La hiptesis a probar es

Ho: Xmed0 = Xmed1 = Xmed2 =

Ha:Xmed0 Xmed1 Xmed2

Ejemplo: Se mide la produccin diaria de leche en 7 vacas bajo tres tratamientos: Sin

sonidos, con ruido y con msica clsica.

Los datos aparecen a continuacin



66

Vaca 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7

Litros 14 16 12 18 10 14 16 10 8 12 10 10 8 8 16 16 16 16 14 18 18

Tratamiento Sin Sin Sin Sin Sin Sin Sin Ruido Ruido Ruido Ruido Ruido Ruido Ruido Clasica Clasica Clasica Clasica Clasica Clasica Clasica

Se capturan los datos en columnas. Se sigue la ruta Stat > Nonparametrics > Friedman. En

el cuadro de dilogo se seleccionan las variables Response para la produccin de leche,

Treatment para el tratamiento y blocks para las repeticiones o bloques.

Como el valor de P es de 0.009, recordando que el mximo aceptable es de 0.05 se

rechaza la hiptesis nula y se concluye que hay diferencias en la produccin de leche

como respuesta a los tratamientos evaluados.



67

DISEO CUADRADO LATINO

El Diseo Cuadrado Latino corresponde al efecto de tres factores sin tomar en cuenta las

interacciones entre ellos. Agrupa los tratamientos (factor 1) tanto en filas (hileras, factor

2) como en columnas (bloques, factor 3), dentro de las cuales stos se distribuyen de

manera aleatoria. Ello permite eliminar la variabilidad asociada con estas fuentes de

variacin, reduciendo a la vez el error experimental. Se tienen las siguientes

caractersticas:

El nmero de tratamientos (t) ser igual tanto al nmero de hileras como al

nmero de columnas.

Cada hilera o columna constituye una repeticin completa de los

tratamientos.

La distribucin de tratamientos debe ser de tal forma que no se repita

ningn tratamiento en filas ni en columnas.

El nmero total de unidades experimentales ser un cuadrado perfecto, es

decir, t2.

El DCL resulta til en los casos siguientes:

Cuando el nmero de tratamientos es de 4 a 10.

Cuando en experimentos agrcolas se tiene un gradiente de variabilidad del

suelo en dos sentidos perpendiculares (razn por la cual se forman filas y

columnas).

Desventajas del DCL:

1) El nmero total de unidades experimentales se incrementa considerablemente a

medida que aumenta el nmero de tratamientos en estudio. No se recomienda

este diseo para casos en que se prueban mas de 10 tratamientos.

2) El nmero de grados de libertad para el error experimental se reduce.




68

yijk = + hi + cj + tk(ij) + ijk

donde,

yijk = Variable respuesta

= Media general (alrededor de la cual oscilan todas las observaciones)

hi = Efecto de la hilera i

cj = Efecto de la columna j

tk = Efecto del tratamiento k (siendo k una funcin de i e j)

ijk = Variacin debida al azar (causas no planeadas) = error experimental

Modelo del anlisis de varianza

Al considerar la variacin total, las causas parciales de variacin sern las que se

muestran en el cuadro siguiente:


Hileras h-1 SCh CMh CMh/CMe

Columnas c-1 SCc CMc CMc/CMe

Tratamientos t-1 SCt CMt CMt/CMe

Error (t-1)(t-2) SCT (SCh + SCc + SCt) CMe

Total t 2 1 SCT



69

Ejemplo (Datos de Jos Lpez Medina, fac. de Agrobiologa, UMSNH)

En un experimento realizado en Plant City, Florida, se evalu el efecto del nitrgeno sobre

el rendimiento de fresa cultivar Sweet Charlie. Para ello, semanalmente se suministraron

dos unidades del elemento va sistema de riego a partir de la floracin, utilizando cuatro

fuentes de fertilizante nitrogenado e incluyendo un tratamiento sin fertilizante. El

experimento se condujo bajo un diseo en cuadrado latino 5 x 5.

Las especificaciones de la plantacin fueron: camas de 1.22 m de ancho; 30 cm entre

plantas y 2 hileras por cama, 2. Esto equivale a una poblacin de 55,556 plantas/ha.

Las especificaciones del experimento fueron:

Nmero de tratamientos: 5

Trat. A: Sulfato de amonio [(NH4)2SO4]

Trat. B: Nitrato de amonio [NH4NO3]

Trat. C: Nitrato de Calcio [Ca(NO3)2]

Trat. D: Nitrato de sodio [NaNO3]

Trat. E: Sin fertilizante (testigo)

Tamao de unidades experimentales: parcelas de 3 m de largo, con un total de 21

plantas.

La distribucin de los tratamientos dentro de hileras y columnas se hizo de la manera

siguiente:

Se trazaron las hileras siguiendo el sentido de las camas.

Se trazaron las columnas de manera perpendicular a las hileras.



70

Se distribuyeron los tratamientos de tal forma que ninguno de ellos se repitiera ni

en hileras ni en columnas, tal como se muestra en el cuadro siguiente:

Columnas

Hileras I II III IV V

1 A B C D E

2 E A B C D

3 D E A B C

4 C D E A B

5 B C D E A

A fin de evitar que los tratamientos estn juntos de manera sistemtica (ej.: AB,

CD, etc.), se sortean las hileras y luego las columnas; finalmente, se enumeran las

unidades experimentales de manera progresiva. Ejemplo del cuadro final:

Columnas

Hileras III V II I IV

5

1

D

2

A

3

C

4

B

5

E

2

10

B

9

D

8

A

7

E

6

C

4

11

E

12

B

13

D

14

C

15

A

1

20

C

19

E

18

B

17

A

16

D

3

21

A

22

C

23

E

24

D

25

B



71

Toma de datos. Se sugiere recopilar los datos del experimento de la manera siguiente:

No. u. exp.

Hilera

Columna

Trat.

Rendimiento

(kg/parcela)

1 5 3 D 30.3

2 5 5 A 33.3

3 5 2 C 30.3

4 5 1 B 29.9

5 5 4 E 25.8

6 2 4 C 33.0

7 2 1 E 24.8

8 2 2 A 32.6

9 2 5 D 29.0

10 2 3 B 29.5

11 4 3 E 26.7

12 4 5 B 32.8

13 4 2 D 29.9

14 4 1 C 31.4

15 4 4 A 30.4

16 1 4 D 31.1

17 1 1 A 32.1

18 1 2 B 33.1

19 1 5 E 28.2

20 1 3 C 29.1

21 3 3 A 31.9

22 3 5 C 30.6

23 3 2 E 21.7

24 3 1 D 28.8

25 3 4 B 30.1



72

Resultados:

El rendimiento acumulado por ao durante el primer ao de evaluacin se presenta en los

cuadros siguientes:

Rendimiento acumulado (en ton/ha) por hileras y columnas

Columnas

Total

hileras

Hileras III V II I IV (h)

5 30.3 33.3 30.3 29.9 25.8 149.6

2 29.5 29 32.6 24.8 33 148.9

4 26.7 32.8 29.9 31.4 30.4 151.2

1 29.1 28.2 33.1 32.1 31.1 153.6

3 31.9 30.6 21.7 28.8 30.1 143.1

Total

colum. (c) 147.5 153.9 147.6

Notas de Matemáticas III -...

Documents

Transcript of Notas de Matemáticas III -...