Bloques al azar cuadrado latino

Diseño de experimentos – p. 1/25

Diseño de Bloques al azar


Introducción

En cualquier experimento, la variabilidad proveniente de unfactor de ruido puede afectar los resultados.

Un factor de ruido es un factor que probablemente tiene unefecto en la respuesta pero que no nos interesa estudiar.

Si el factor de ruido es desconocido y no controlable , lasolución es la aleatorización, que tiende a distribuir los nivelesy efectos de este factor entre todas las u.e.

Si el factor de ruido es conocido y no controlable , pero porlo menos podemos medir su valor en cada corrida delexperimento, entonces podemos compensarlo usando análisisde convarianza.

Si el factor de ruido es conocido y controlable , se utilizanbloques para eliminar su efecto en la comparación estadísticade los tratamientos.


Bloques al azar

Nuestro objetivo es tener comparaciones precisas entre lostratamientos bajo estudio. Utilizar bloques es una forma dereducir y controlar la varianza del error experimental para tenermayor precisión.

En el diseño completamente al azar se supone que las u.e.son relativamente homogéneas con respecto a factores queafectan la variable de respuesta. Sin embargo, algunas vecesno tenemos disponibles suficiente número de u.e.homogéneas.

Cualquier factor que afecte la variable de respuesta y quevaríe entre u.e. aumentará la varianza del error experimental ydisminuirá la precisión de las comparaciones.

Factores como la edad y el peso de los animales, diferenteslotes de material, sexo de las personas y parcelas alejadasson ejemplos de variables externas a los tratamientos quepueden incrementar la variación entre las observaciones de lavariable de respuesta.


Bloques al azar

Usar bloques estratifica a las u.e. en grupos homogéneos.Una buena elección del criterio de bloqueo resulta en menorvariación entre las u.e. dentro de los bloques comparada conla variación entre u.e. de diferentes bloques. Generalmente loscriterios de bloqueo son:

■ proximidad (parcelas vecinas)■ características físicas (edad, peso, sexo)■ tiempo■ manejo de las u.e. en el experimento


Bloques al azar

Suponga que se tienen t tratamientos que se quierencomparar en b bloques.

Bloque 1 Bloque 2 ... Bloque b

y11 y12 ... y1b

y21 y22 ... y2b

... ... ... ...

... ... ... ...

... ... ... ...yt1 yt2 ... ytb

El diseño de bloques (completos) al azar implica que en cadabloque hay una sola observación de cada tratamiento. Elorden en que se “corren” los tratamientos dentro de cadabloque es aleatorio (restricción en la aleatorización).


Bloques al azar

El modelo estadístico para este diseño es:

yij = µ + τi + βj + ǫij i = 1, . . . , t j = 1, . . . , b

µ media generalτi efecto del i-ésimo tratamientoβj efecto del j-ésimo bloqueǫij error experimental del tratamiento i en el bloque jǫij ∼ NID(0, σ2).

Se supone que los efectos de tratamientos y bloques sonaditivos. La aditividad significa que no hay interacción entretratamientos y bloques. Es decir, la relación entre lostratamientos es la misma en cada uno de los bloques.


Bloques al azar

bloque medias detratamiento 1 2 ... b tratamientos

1 y11 y12 ... y1b y1.

2 y21 y22 ... y2b y2.

.. .. .. .. ... ..

.. .. .. .. ... ..t yt1 yt2 ... ytb yt.

medias de y.1 y.2 ... y.b y..

bloque


Bloques al azar

El Análisis de Varianza para este diseño se basa en una descomposición de lavariabilidad de las observaciones.

yij − y.. = (yij − yi. − y.j + y..) + (yi. − y..) + (y.j − y..)

desviación desviación desviación desviacióntotal = debida + debida + debida

al error a tratamientos a bloques

t∑

i=1

b∑

j=1

(yij − y..)2

= b

t∑

i=1

(yi. − y..)2+ t

b∑

j=1

(y.j − y..)2+

t∑

i=1

b∑

j=1

(yij − yi. − y.j + y..)2

SStotal = SStrat + SSbloque + SSerror

bt − 1 = (t − 1) + (b − 1) + (b − 1)(t − 1)


Bloques al azar

Suponiendo normalidad en los errores, se puede demostrarque

SStrat

σ2,SSbloques

σ2,SSE

σ2

son v.a. independientes con distribución χ2 con suscorrespondientes grados de libertad.


Tabla de Análisis de Varianza

F.V. g.l. SS CM F E(CM)

trat’s t − 1 b∑ t

i=1(yi. − y..)

2 SStrat/(t − 1)CMtrat

CMEσ2 + b

∑ ti=1

τ2

it−1

bloques b − 1 t∑ b

j=1(y.j − y..)

2 SSbloques/(b − 1)

error (t − 1)(b − 1)∑ ∑

(yij − yi. − y.j + y..)2 SSE/(t − 1)(b − 1) σ2

total bt − 1∑

i

∑j(yij − y..)

2

Si Fc > Fαt−1,(t−1)(b−1) se rechaza H0 : τ1 = τ2 = . . . = τt = 0


Bloques al azar

No se deben probar bloques.

La aleatorización se aplicó solamente a tratamientos dentro debloques, esto es, los bloques representan una restricción a laaleatorización.

Si se tiene un grupo de u.e. donde se supone que ocurre unefecto β en todas las u.e. simultáneamente, esto no equivalea la ocurrencia independiente de β en cada u.e.


Bloques al azar

Los residuales en este caso son:

eij = yij − yij

yij = yi. + y.j − y..

eij = yij − yi. − y.j + y..

Los contrastes y comparaciones múltiples se hacen igual queantes, considerando este nuevo CME.


Diseños con bloques

Bloques al azar: bloques de tamaño t (número de tratamientos)

Bloques al azar generalizados: se repiten los tratamientos en cada bloque

Bloques incompletos: los bloques no contienen a todos los tratamientos


Ejemplo con bloques

Se realizó un experimento para estudiar el funcionamiento decuatro diferentes detergentes quita manchas. Las lecturas de“blancura” (valor mayor=más limpio) se obtuvieron usando unaparato especial en tres diferentes tipos de manchascomunes. Hay diferencia significativa entre los detergentes?

Mancha 1 Mancha 2 Mancha 3

Detergente 1 45 43 51Detergente 2 47 46 52Detergente 3 48 50 55Detergente 4 42 37 49


Diseño en Cuadro Latino

El diseño de Cuadro Latino se usa para eliminar dos fuentesde variabilidad que no interesa estudiar por si mismas. Sehace un bloqueo en dos direcciones. Los renglones y lascolumnas representan dos restricciones en la aleatorización.

En general, un cuadro latino p× p es un cuadrado que contienep renglones y p columnas. Cada una de las p2 celdas contieneuna de las p letras que corresponden a los tratamientos, ycada letra ocurre una sola vez en cada renglón y columna.Ejemplo:

4 × 4 5 × 5

A B D C A D B E CB C A D D A C B EC D B A C B E D AD A C B B E A C D

E C D A B


Diseño en cuadro latino

El modelo es:

yij = µ + ρi + γj + τk + ǫij

i = 1, . . . , t j = 1, . . . , t k = 1, . . . , t

yij medición de la observación del renglón i-ésimode la columna j-ésima

ρi efecto del renglón iγj efecto de la columna jτk efecto del tratamiento kǫij error

El número de tratamientos debe ser igual de número derenglones y de columnas.



La partición de suma de cuadrados se deriva de la identidadalgebraica:

yij − y.. = (yi. − y..) + (y.j − y..) + (yk − y..)

+ (yij − yi. − y.j − yk + 2y..)

La desviación de una observación de la media global (yij − y..)se expresa como la suma de:

■ una desviación renglón (yi. − y..)

■ una desviación columna (y.j − y..)

■ una desviación de tratamientos (yk − y..)

■ error experimental (yij − yi. − y.j − yk + 2y..)


Tabla de Análisis de Varianza

F.V. g.l. SS CM F E(CM)

trat’s t − 1 t∑t

k=1(yk − y..)2 SStrat/(t − 1) CMtrat

CMEσ2 + tθ2

t

renglones t − 1 t∑t

i=1(yi. − y..)2 SSreng/(t − 1)

columnas t − 1 t∑t

j=1(y.j − y..)2 SScol/(t − 1)

error (t − 1)(t − 2) SSE SSE/(t − 1)(t − 2) σ2

total t2 − 1∑

i

∑j(yij − y..)2

Si Fc > Fαt−1,(t−1)(t−2) se rechaza H0 : τ1 = τ2 = . . . = τt = 0


Ejemplo de cuadro latino

Un ingeniero industrial está investigando el efecto de cuatrométodos de ensamblado (A,B,C,D) en el tiempo deensamblado de una componente de televisión a color.

Seleccionó a cuatro operadores para el estudio. Además, elingeniero sabe que cada método de ensamblado producecierta fatiga, de tal manera que el tiempo requerido para elúltimo ensamblado puede ser mayor que el tiempo requeridopara el primero, independientemente del método.

Para tomar en cuenta estas dos fuentes de variabilidad(operador, orden de ensamblado), el ingeniero decide usar undiseño en Cuadro Latino, cuyos resultados se presentan acontinuación.


Ejemplo de cuadro latino

orden de Operadorensamblado 1 2 3 4

1 C=10 D=14 A=7 B=82 B=7 C=18 D=11 A=83 A=5 B=10 C=11 D=94 D=10 A=10 B=12 C=14



La generación de un arreglo aleatorio en, por ejemplo, uncuadro 5 × 5:

Se constuye un cuadro básico:

(1) A B C D E(2) B C D E A(3) C D E A B(4) D E A B C(5) E A B C D

Se aleatoriza el orden de los renglones y después el de lascolumnas. Y se aleatorizan los tratamientos a las letras.



(1) (2) (3) (4) (5)(5) E A B C D(3) C D E A B(1) A B C D E(2) B C D E A(4) D E A B C

(3) (2) (4) (1) (5)(5) B A C E D(3) E D A C B(1) C B D A E(2) D C E B A(4) A E B D C


Residuales

El residual para la observación en el tratamiento k en elrenglón i y columna j es

eij = yij − yi. − y.j − yk + 2y..


Diseño Grecolatino

Una compañía que produce procesadores de alimentos deseadeterminar el efecto del diseño de empaque en las ventas deuno de sus productos. Se tienen 5 diseños para probar:A,B,C,D y E. Hay algunas fuentes de variación:

1. día de la semana

2. diferencia entre tiendas

3. efecto de la altura del entrepaño

Se realiza un experimento en diseño cuadro grecolatino conlos cinco días de la semana como clasificación renglón, cincodiferentes tiendas como clasificación columna y cinco alturasdel entrepaño como clasificación de letra griega.

La siguiente tabla contiene los resultados del experimento. Lamedición es el número de ventas en el día.


Diseño Grecolatino

TiendaDía 1 2 3 4 5

Lunes Eα(238) C δ (228) B γ (158) D ǫ (188) A β (74)

Martes Dδ (149) B β (220) Aα(92) Cγ(169) Eǫ(282)

Miérc Bǫ(222) Eγ(295) Dβ(104) Aδ(54) Cα(213)

Jueves Cβ(187) Aǫ(66) Eδ(242) Bα(122) Dγ(90)

Viernes Aγ(65) Dα(118) Cǫ(279) Eβ(278) Bδ(176)

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