Cuadrado Latino

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REPBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD DE ORIENTE NCLEO ANZOTEGUI ESCUELA DE INGENIERA Y CIENCIAS APLICADAS DEPARTAMENTO DE SISTEMAS INDUSTRIALES ESTADISTICA II

Profesor: Jos Elas Gonzlez.

Integrantes: Malaver, Jos CI: 21.514.740 Maldonado, Jonatan CI: 20.106.224 Pante, Hctor CI: 19.316.516 Rivero, Francisco CI: 20.762.999

Barcelona, 22 de Marzo de 2013.

INTRODUCCIONEn este trabajo se conocern los diseos que utilizan ms de una variable de bloque para reducir el error experimental. As, si se consideran simultneamente dos variables de bloque, un diseo completo en bloques aleatorizados consistira en formar un bloque para cada combinacin de niveles de dichas variables y despus aplicar todos los niveles del factor principal en cada uno de los bloques obtenidos. Por ejemplo, supongamos un experimento en el que se quiere estudiar el efecto de distintos tipos de semilla en el rendimiento del trigo y se considera que en dicho rendimiento tambin pueden influir los tipos de abonos e insecticidas empleados. Para realizar dicho estudio, es posible utilizar un diseo completo en bloques aleatorizados, donde el factor principal es el tipo de semilla y las variables de bloque los tipos de abono e insecticida. El diseo en cuadrados latinos de estos diseos es el de fraccin; es decir, seleccionar una parte del diseo completo de forma que, bajo ciertas hiptesis generales, permita estimar los efectos que interesan. Uno de los diseos en bloques incompletos aleatorizados ms importante con dos factores de control es el modelo en cuadrado latino, dicho modelo requiere el mismo nmero de niveles para los tres factores. En este informe se van estudiar adems del diseo en cuadrado latino, todas sus caractersticas, aplicaciones y clculos a utilizar, e incluso conoceremos otros diseos relacionados con l, como son los cuadrados greco-latinos que utilizan tres variables de bloque y los cuadrados de latinos replicados que se pueden considerar como una variante de los cuadrados latinos. En primer lugar, estudiaremos el diseo en cuadrado latino.

CUADRADO LATINOUn diseo en cuadrado latino es un diseo de un factor tratamiento con K niveles y K2 unidades experimentales agrupadas en K bloques fila y K bloques columna, de forma que unidades experimentales de un mismo bloque fila son semejantes, unidades experimentales de un mismo bloque columna son semejantes y unidades experimentales de distintos bloques fila y distintos bloques columna son sustancialmente diferentes. En un diseo de experimentos completo de tres factores, todos ellos con K niveles, necesita K3 observaciones, nmero elevado si K es grande. Un diseo ms eficaz que solo utiliza K2 observaciones para el mismo problema es el cuadrado latino. Este modelo se basa en aprovechar la simetra del experimento factorial seleccionando un conjunto de condiciones experimentales con la condicin de que cada nivel de un factor aparezca una vez con cada uno de los niveles de los otros factores.

PARA QUE SIRVEN LOS CUADRADO LATINOEl diseo de cuadrado latino se puede utilizar si se verifican las siguientes condiciones: 1. Es un diseo de experimentos con tres factores. 2. Los tres factores tienen el mismo nmero de niveles: K. 3. No hay interacciones entre los tres factores. El diseo en cuadrado latino est especialmente indicado para estudiar un factortratamiento con K niveles y con dos factores-bloque de K bloques cada uno. Este diseo se basa en el concepto de cuadrado latino que es el siguiente Un cuadrado latino K K es una disposicin de K letras en una matriz K K de forma que todas las letras aparecen una vez en cada fila y una vez en cada columna. Por ejemplo, un cuadrado latino 3 3 es el siguiente A B C B C A C A B Tabla 1. Cuadrado latino 3 3. Un cuadrado latino es un cuadrado latino estndar cuando las letras de la primera fila y de la primera columna estn dispuestas en orden alfabtico. Un cuadrado latino es un cuadrado latino cclico si las letras de cada fila se generan cclicamente de la anterior segn el orden alfabtico.

El cuadrado latino 3 3 de la Tabla 5.5 es estndar y cclico. Existe un nico cuadrado latino 3 3 estndar, sin embargo hay cuatro cuadrados latinos 4 4 estndar que se presentan en la Tabla 5.6. Cuadro 1 Cuadro 2 Cuadro 3 Cuadro 4

A B C D A B C D A B C D A B C D B C D A B A D C B A D C B D A C C D A B C D A B C D B A C A D B D A B C D C B A D C A B D C B A

Tabla 2. Cuatro posibles cuadrados latinos 4 4 estndar. Para cualquier nmero de tratamientos K existe siempre al menos un diseo en cuadrado latino estndar cclico. Obsrvese que si en un diseo en cuadrado latino se ignora el bloque columna se tiene un diseo en bloques completamente aleatorizado (el bloque fila es el factor bloque) y, anlogamente, si se ignora el bloque fila se tiene un diseo en bloques completamente aleatorizado (el bloque columna es el factor bloque). Adems se trata de un diseo equireplicado: cada tratamiento aparece un mismo nmero K de veces en el diseo.

CUALES SON LOS FUNDAMENTOS ESTADISTICO Y MATEMATICOS MODELO ESTADSTICO

Tabla 4.

Tanto la hiptesis nula como la alternativa, siguen siendo las mismas, a saber:

Cada observacin del experimento es expresado como una relacin lineal de los efectos involucrados (tratamiento, fila y columna ), as:

yij(k)lPara i, j, k = 1, 2, , n 0.0015 0.0112 Con 12 las restricciones:

i

j

k

l

ij(k)l

y l = 1, 2, , r

i 1

n

i

0

j 1

n

j

0

k1

n

k

0

l 1

r

l

0

Donde:

yij(k)l

es el resultado del bloque i-simo, i = 1,...,K del factor bloque B

y

del bloque j-simo, j = 1,...,J del factor-bloque B , y del nivel k-simo del factor T . Se denota la k entre parntesis, para indicar que este ndice no se elige sino que viene condicionado por el par ij.

es un parmetro general para todas las observaciones llamado media global.i es el efecto de la i-sima fila o rengln (X).

j es el efecto de la j-sima columna (Y).k es el efecto del k-simo tratamiento o bloque latino. l es el efecto de la l-sima repeticin.

es la variable aleatoria independiente normal con ij(k)l varianza comn 2. (Es el error experimental).

y

Ntese que por los efectos de los renglones y los efectos de las columnas se entienden los efectos de las dos variables extraas y que se incluyen los efectos de la repeticin como una tercera variable extraa. k est entre parntesis ya que para un diseo de Cuadro Latino dado, k es automticamente determinada cuando i y j se conocen.

Hiptesis Nula de que no existe diferencia en la eficacia de n tratamientos. Tambin se p comprobar si las dos variables extraas tienen algn efecto sobre el fenmeno que se est considerando.

alt repeticiones puede ser importante si las partes del experimento , que representan los Cuadros Latinos individuales, fueron realizados en distintos das, a diferentes temperaturas, etc. Las frmulas a aplicar son:

SSE = SST SS(Tr) SSR SSC SS(Rep) Donde: SCT, suma total de cuadrados. SCF, suma de cuadrados debida al efecto fila. SCC, suma de cuadrados debida al efecto columna. SCL, suma de cuadrados debida a la letra latina. SCR, suma de cuadrados del error. Ti.. total de las r.n observaciones en todos los i-simos renglones. T.j. total de las r.n observaciones en todas las j-simas columnas. T..ltotal de las n2 observaciones en todos las l-simas repeticiones. T(k)total de las r.n observaciones relativas a los j-simos tratamientos. T es el gran total de las r.n2 observaciones. Lo que lleva al siguiente cuadro de anlisis: Fuente de Grados de Variacin libertad Tratamientos n 1 Rengln n 1 Columna n 1 Repeticin Error Total r 1 (n-1)(r.n+r-3) r.n2 - 1 Suma de cuadrado s SS(Tr) SSR SSC SS(Rep) SSE SST Tabla 5.

Cuadrados Medios MS(Tr)=SS(Tr)/(n-1) MSR=SSR/(n-1) MSC=SSC/(n-1) MS(Rep)=SS(Rep)/(r-1) MSE=SSE/[(n-1).( r.n+r3)

F MS(Tr)/MSE MSR/MSE MSC/MSE MS(Rep)/ MSE

TABLA ANOVAUna comparacin simultnea: ANOVA. Necesitamos poder comparar simultneamente todas las medias. El test que lo permite es el test ANOVA (de ANalysis Of VAriance). Como su nombre indica, compara varianzas aunque lo que contrastamos sean medias. Para ello parte de 3 requisitos previos: Independencia: las K muestras son independientes. Normalidad: Homocedasticidad:

La tabla ANOVA: Todo se reduce a obtener el valor del estadstico que bajo las condiciones inciales de independencia, normalidad y homocedasticidad, se distribuye como una Fk1,nk. La comparacin con el valor terico correspondiente nos dira si debemos aceptar o rechazar H0. Un mtodo computacional conocido como tabla ANOVA facilita los clculos. Se trata de disponer en forma de tabla ciertas cantidades que conducen a la obtencin de F. El mtodo esta incorporado en los paquetes estadsticos ms habituales. De la descomposicin de la variabilidad se obtiene la tabla ANOVA (Tabla 6) de donde se deducen los siguientes contrastes: CUADRO DEL ANLISIS DE LA VARIANZA MODELO CUADRADO LATINO Grados Cuadrados de libertad medios Suma de Cuadrados scBF = Ki i 2

Fuente de Variacin Bloques (B ) Bloques (B ) Factor T (T )

scmB K-1 scmBj 2

=

= (scmB ) / (scmR) = (scmB ) / (scmR) = (scmB ) / (scmR)

scBC = K-1 Kj

=

scTL = Kk 2

scmT = K-1

scR = Residuali 2 j eij(k)

scmR = (K-1)(K-2) scmG =

scG = Globali j 2

K -1 segn p = P( segn p = P( segn p = P( < < < ) ) )

2

Rechazar H0( Rechazar H0( Rechazar H0(

) ) )

: : :

1 1 1

= = =

2 2 2

= ... = = ... = = ... =

k, K, K,

Tabla 6. Cuadro del anlisis de la varianza para un diseo de cuadrado latino.

CARACTERSTICAS DE UN CUADRADO LATINO1)