REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

UNIVERSIDAD DE ORIENTE

NÚCLEO ANZOÁTEGUI

ESCUELA DE INGENIERÍA Y CIENCIAS APLICADAS

DEPARTAMENTO DE SISTEMAS INDUSTRIALES

ESTADISTICA II

Profesor: Integrantes:

José Elías González. Malaver, José CI: 21.514.740

Maldonado, Jonatan CI: 20.106.224

Pante, Héctor CI: 19.316.516

Rivero, Francisco CI: 20.762.999

Barcelona, 22 de Marzo de 2013.

INTRODUCCION

En este trabajo se conocerán los diseños que utilizan más de una variable de bloque para reducir el error experimental.

Así, si se consideran simultáneamente dos variables de bloque, un diseño completo en bloques aleatorizados consistiría en formar un bloque para cada combinación de niveles de dichas variables y después aplicar todos los niveles del factor principal en cada uno de los bloques obtenidos. Por ejemplo, supongamos un experimento en el que se quiere estudiar el efecto de distintos tipos de semilla en el rendimiento del trigo y se considera que en dicho rendimiento también pueden influir los tipos de abonos e insecticidas empleados.

Para realizar dicho estudio, es posible utilizar un diseño completo en bloques aleatorizados, donde el factor principal es el tipo de semilla y las variables de bloque los tipos de abono e insecticida.

El diseño en cuadrados latinos de estos diseños es el de fracción; es decir, seleccionar una parte del diseño completo de forma que, bajo ciertas hipótesis generales, permita estimar los efectos que interesan. Uno de los diseños en bloques incompletos aleatorizados más importante con dos factores de control es el modelo en cuadrado latino, dicho modelo requiere el mismo número de niveles para los tres factores.

En este informe se van estudiar además del diseño en cuadrado latino, todas sus características, aplicaciones y cálculos a utilizar, e incluso conoceremos otros diseños relacionados con él, como son los cuadrados greco-latinos que utilizan tres variables de bloque y los cuadrados de latinos replicados que se pueden considerar como una variante de los cuadrados latinos. En primer lugar, estudiaremos el diseño en cuadrado latino.

CUADRADO LATINO

Un diseño en cuadrado latino es un diseño de un factor tratamiento con K niveles y K2 unidades experimentales agrupadas en K bloques fila y K bloques columna, de forma que unidades experimentales de un mismo bloque fila son semejantes, unidades experimentales de un mismo bloque columna son semejantes y unidades experimentales de distintos bloques fila y distintos bloques columna son sustancialmente diferentes.

En un diseño de experimentos completo de tres factores, todos ellos con K niveles, necesita K3 observaciones, número elevado si K es grande. Un diseño más eficaz que solo utiliza K2 observaciones para el mismo problema es el cuadrado latino. Este modelo se basa en aprovechar la simetría del experimento factorial seleccionando un conjunto de condiciones experimentales con la condición de que cada nivel de un factor aparezca una vez con cada uno de los niveles de los otros factores.

PARA QUE SIRVEN LOS CUADRADO LATINO

El diseño de cuadrado latino se puede utilizar si se verifican las siguientes condiciones:

1. Es un diseño de experimentos con tres factores. 2. Los tres factores tienen el mismo número de niveles: K. 3. No hay interacciones entre los tres factores.

El diseño en cuadrado latino está especialmente indicado para estudiar un factor-tratamiento con K niveles y con dos factores-bloque de K  bloques cada uno. Este diseño se basa en el concepto de cuadrado latino que es el siguiente

“Un cuadrado latino K × K es una disposición de K  letras en una matriz  K × K  de forma que todas las letras aparecen una vez en cada fila y una vez en cada columna.

Por ejemplo, un cuadrado latino 3 × 3 es el siguiente

A B C

B C A

C A B

Tabla 1. Cuadrado latino 3 × 3.

Un cuadrado latino es un cuadrado latino estándar cuando las letras de la primera fila y de la primera columna están dispuestas en orden alfabético.

Un cuadrado latino es un cuadrado latino cíclico si las letras de cada fila se generan cíclicamente de la anterior según el orden alfabético.

El cuadrado latino 3 × 3 de la Tabla 5.5 es estándar y cíclico.

Existe un único cuadrado latino 3 × 3 estándar, sin embargo hay cuatro cuadrados latinos 4 × 4 estándar que se presentan en la Tabla 5.6.

Cuadro 1  Cuadro 2  Cuadro 3  Cuadro 4

A B C D  A B C D  A B C D  A B C D

B C D A  B A D C  B A D C  B D A C

C D A B  C D A B  C D B A  C A D B

D A B C  D C B A  D C A B  D C B A

Tabla 2. Cuatro posibles cuadrados latinos 4 × 4 estándar.

Para cualquier número de tratamientos K existe siempre al menos un diseño en cuadrado latino estándar cíclico.

Obsérvese que si en un diseño en cuadrado latino se ignora el bloque columna se tiene un diseño en bloques completamente aleatorizado (el bloque fila es el factor bloque) y, análogamente, si se ignora el bloque fila se tiene un diseño en bloques completamente aleatorizado (el bloque columna es el factor bloque). Además se trata de un diseño equireplicado: cada tratamiento aparece un mismo número K de veces en el diseño.

CUALES SON LOS FUNDAMENTOS ESTADISTICO Y MATEMATICOS

MODELO ESTADÍSTICO

Tabla 4.

Tanto la hipótesis nula como la alternativa, siguen siendo las mismas, a saber:

Cada observación del experimento es expresado como una relación lineal de los efectos involucrados (tratamiento, fila y columna ), así:

yij(k)l = + i + j + k + l + ij(k)l

Para i, j, k = 1, 2, …, n y l = 1, 2, …, r

Con las restricciones:

Donde:

yij(k)l es el resultado del bloque i-ésimo, i = 1,...,K del factor bloque B y

del bloque j-ésimo, j = 1,...,J del factor-bloque B , y del nivel k-ésimo del factor T . Se denota la k entre paréntesis, para indicar que este índice no se elige sino que viene condicionado por el par ij.

es un parámetro general para todas las observaciones llamado media

global.

i es el efecto de la i-ésima fila o renglón (X).

j es el efecto de la j-ésima columna (Y).

k es el efecto del k-ésimo tratamiento o bloque latino.

l es el efecto de la l-ésima repetición.

ij(k)l es la variable aleatoria independiente normal con = 0 y

varianza común 2. (Es el error experimental).

Nótese que por los “efectos de los renglones” y los “efectos de las columnas” se entienden los efectos de las dos variables extrañas y que se incluyen los “efectos de la repetición” como una tercera variable extraña. k está entre paréntesis ya que para un diseño de Cuadro Latino dado, k es automáticamente determinada cuando i y j se conocen.

La hipótesis principal a probar es la Hipótesis Nula k = 0, para toda k, es decir la Hipótesis Nula de que no existe diferencia en la eficacia de n tratamientos.

También se puede probar si i = 0, para todo i y j = 0, para todo j con el fin de comprobar si las dos variables extrañas tienen algún efecto sobre el fenómeno que se está considerando.

Mas aún, se puede probar es la Hipótesis Nula l = 0, para toda l, contra la alternativa que no todas las l son iguales a cero, y esta prueba del efecto de las repeticiones puede ser importante si las partes del experimento , que representan los Cuadros Latinos individuales, fueron realizados en distintos días, a diferentes temperaturas, etc.

Las fórmulas a aplicar son:

SSE = SST – SS(Tr) – SSR – SSC – SS(Rep)

Donde: SCT, suma total de cuadrados. SCF, suma de cuadrados debida al efecto fila. SCC, suma de cuadrados debida al efecto columna. SCL, suma de cuadrados debida a la letra latina. SCR, suma de cuadrados del error. Ti.. total de las r.n observaciones en todos los i-ésimos renglones. T.j. total de las r.n observaciones en todas las j-ésimas columnas. T..ltotal de las n2 observaciones en todos las l-ésimas repeticiones. T(k)total de las r.n observaciones relativas a los j-ésimos tratamientos. T… es el gran total de las r.n2 observaciones.

Lo que lleva al siguiente cuadro de análisis:

Fuente de Variación

Grados delibertad

Suma decuadrados

Cuadrados Medios F

Tratamientos n –1 SS(Tr) MS(Tr)=SS(Tr)/(n-1) MS(Tr)/MSERenglón n –1 SSR MSR=SSR/(n-1) MSR/MSEColumna n –1 SSC MSC=SSC/(n-1) MSC/MSE

Repetición r –1 SS(Rep) MS(Rep)=SS(Rep)/(r-1)MS(Rep)/MSE

Error (n-1)(r.n+r-3) SSEMSE=SSE/[(n-1).( r.n+r-3)

Total r.n2 - 1 SSTTabla 5.

TABLA ANOVA

Una comparación simultánea: ANOVA.

Necesitamos poder comparar simultáneamente todas las medias. El test que lo permite es el test ANOVA (de ANalysis Of VAriance). Como su nombre indica, compara varianzas aunque lo que contrastamos sean medias. Para ello parte de 3 requisitos previos:

Independencia: las K muestras son independientes.

Normalidad:

Homocedasticidad:

La tabla ANOVA: Todo se reduce a obtener el valor del estadístico que bajo las condiciones iníciales de independencia, normalidad y homocedasticidad, se distribuye como una Fk−1,n−k. La comparación con el valor teórico correspondiente nos diría si debemos aceptar o rechazar H0. Un método computacional conocido como tabla ANOVA facilita los cálculos. Se trata de disponer en forma de tabla ciertas cantidades que conducen a la obtención de F. El método esta incorporado en los paquetes estadísticos más habituales.

De la descomposición de la variabilidad se obtiene la tabla ANOVA (Tabla 6) de donde se deducen los siguientes contrastes:  

CUADRO DEL ANÁLISIS DE LA VARIANZA — MODELO CUADRADO LATINO —

Fuente de Variación

Suma de Cuadrados

Gradosde libertad  

Cuadrados medios

  

Bloques (B )

 

scBF =

K i  i2

K - 1scmB = =

(scmB ) / (scmR)

Bloques (B )

scBC =

K j j2

K - 1scmB = =

(scmB ) / (scmR)

Factor T (T )

scTL =

K k 2

K - 1 scmT =

= (scmB ) / (scmR)

Residual scR =

i j eij(k)2

(K-1)(K-2) scmR =

GlobalscG =

i j 2 K2 - 1

scmG =  

Rechazar H0( ) : 1 = 2 = ... = k, según p = P( < )

Rechazar H0( ) : 1 = 2 = ... = K, según p = P( < )

Rechazar H0( ) : 1 = 2 = ... = K, según p = P( < )

Tabla 6. Cuadro del análisis de la varianza para un diseño de cuadrado latino.

CARACTERÍSTICAS DE UN CUADRADO LATINO

1) Las unidades experimentales se distribuyen en grupos, bajo dos criterios de homogeneidad dentro de la fila y dentro de la columna y heterogeneidad en otra forma.

2) En cada fila y en cada columna, el número de unidades es igual al número de tratamientos.

3) Los tratamientos son asignados al azar en las unidades experimentales dentro de cada fila y dentro de cada columna.

4) El número de filas = número de columnas = número de tratamientos.5) Los análisis estadísticos T-student, Duncan, Tuckey y en pruebas de

contraste se procede como el diseño completo al azar y el diseño de bloques.

6) La desviación estándar de la diferencia de promedios y la desviación estándar del promedio, están en función del cuadrado medio del error experimental.

APLICACIONES DEL MODELO EN CUADRADO LATINO

El estadístico inglés Ronald Fisher se valió del uso de los cuadrados latinos para mejorar significativamente los métodos agrícolas, cuando se hallaba investigando la eficacia de los fertilizantes en el rendimiento de las cosechas. Buscó la manera de plantar cosechas en similares condiciones de suelo de modo que la calidad de la tierra no fuese un factor indeseable que influyese en el rendimiento de la cosecha. Si bien la única manera de asegurarse de tener condiciones idénticas de tierra era utilizar siempre el mismo suelo, en la práctica esto es casi imposible, pues se deberían desenterrar y volver a plantar las cosechas varias veces.

Por otra parte, aunque sí se pudiera hacer esto último, las condiciones meteorológicas serían otro factor indeseable. Para evitar esto, por ejemplo en un caso en que se tuviese un campo cuadrado dividido en 16 parcelas, se puede concebir un cuadrado latino en que la descripción del campo sea tal que la calidad del suelo varíe «vertical» y «horizontalmente». Entonces se aplican al azar los 4 fertilizantes («a», «b», «c», y «d») con la sola condición de que hay un único tipo de fertilizante en cada fila y en cada columna. De esta manera se busca eliminar la variación de la calidad de tierra. Si hubiese otro factor que pudiese influir en el rendimiento, por ejemplo, el momento del día (A, B, C, D) en que se aplica el tratamiento, entonces puede utilizarse un cuadrado latino ortogonal al anterior donde se identifiquen dichos momentos del día. De esta manera cada pareja momento-fertilizante se aplicará en una única parcela.

EJEMPLO APLICACIONES DE CUADRADO LATINO 4 EJEMPLOS

EJEMPLOS:

EJEMPLO 1: Suponer que se efectúan repeticiones del experimento de soldadura empleando el siguiente arreglo:

Los resultados, que señalan el número de kilogramos fuerza de tensión requeridos para separar los puntos soldados, fueron como se indica a continuación:

Analizar el experimento como un Cuadro Latino y probar con un nivel de significación de 0.01 si existen diferencias en los métodos, en los operadores, los fundentes o las repeticiones.

1) 12 = 3 = 0; 12 = 3 = 0 ; 12 = 3 = 0; 12 = 0Hipótesis Alternativa: no todas las , , , iguales a 0.2) Nivel de significancia: =0.01. 3) Para tratamientos, renglones y columnas se rechaza Ho si F > 7.56 (este valor

corresponde a F0.01 con 1y2Para repeticiones se rechaza Ho si F > 10.0 (este valor corresponde a F0.01 con 1y24) Cálculos:n = 3 r = 2 T1.. = 81 T2.. = 79.5 T3.. = 75.5 T.1. = 70.0T.2. = 92.0 T.3 . = 78.0 T..1 = 119.5 T..2 = 120.5 T(A) = 87.5

T(B) = 86.5 T(C) = 66.0 T… = 240.8 yij(k)l2 = 3304.5

C = 2402 / 18 = 3200.0SST = 142 + 16.52 +…+ 11.52 – 3200.0 = 104.5SS(Tr) = ( 87.52 + 86.52 + 66.02 ) / 6 – 3200.0 = 49.1

SSR = ( 812 + 79.52 +79.52 ) / 6 – 3200.0 = 0.2SSC = ( 702 + 922 +782 ) / 6 – 3200.0 = 41.2SSE = 104.5 – 49.1 – 0.2 - 41.2 = 13.8

La Tabla queda: Fuentes de Variación

Grados de Libertad

Suma de Cuadrados

Media Cuadrada

F

Tratamientos(Métodos)

2 49.1 24.6 17.6

Renglones(Operadores)

2 0.2 0.1 0.1

Columnas(Fundentes)

2 41.3 20.6 14.7

Repeticiones 1 0.1 0.1 0.1Error 10 13.8 1.4Total 17 104.5

5) En lo que respecta a tratamientos (métodos) y a columnas (fundentes) dado que F = 17.6 y 14.7 sobrepasan a 7.56 se rechazan las Hipótesis Nulas correspondientes.

Para renglones (operarios) dado que F = 0.1 no excede a 7.56, no se rechaza Ho.

En otras palabras, se concluye que las diferencias en los métodos y en los fundentes, pero no en los operadores y las repeticiones, afectan a la resistencia mecánica de la soldadura.

Más aún, la prueba del Rango Múltiple de Duncan da el siguiente patrón de decisión, con = 0.01:

Método C Método B Método AMedia 11.0 14.4 14.6

En consecuencia, se concluye que el Método C produce uniones con soldaduras más débiles que los Métodos A y C.

EJEMPLO 2: Evaluación del sistema de riego por exudación utilizando cuatro variedades de melón, bajo modalidad de siembra, SIMPLE HILERA.". Se desea probar el comportamiento de tres variedades híbridas de melón y uno estándarVariedades:V1 : Híbrido MissionV2 : Híbrido Mark.V3 : Híbrido Topfligth.V4 : Híbrido Hales Best Jumbo.

Hipótesis : Ho : Efecto de variedades de melon en estudio es nulo.H1 : Al menos dos variedades tienen efectos distintos.

Datos: Rendimiento en Kgs. por parcela.

C1 C2 C3 C4 C1 C2 C3 C4F1 45 50 43 35 F1 V1 V2 V3 V4F2 29 53 41 63 F2 V4 V3 V2 V1F3 37 41 41 63 F3 V2 V4 V1 V3F4 38 40 35 41 F4 V3 V1 V4 V2

Solución: C1 C2 C3 C4 Y.jF1 45 50 43 35 173F2 29 53 41 63 186F3 37 41 41 63 182F4 38 40 35 41 154Yi.149 184 160 202 695 V1 V2 V3 V4 189 169 197 140 695

Estimación de parámetros:μ : 695/16 = 43.4375τ1 : 189/4 – 43.4375 = 3.81 ; τ2 : -1.18 ; τ3 : 7.57 ; τ4 : -8.4375c1 : 149/4 – 43.4375 =-6.1875 ;c2 : 2.5625 ; c3 : -3.4375 ; c4 : 7.0625f1 : 173/4 – 43.4375 = -0.1875 ; f2 : 3.0625 ; f3 : 2.0625 ; f4 : -4.9375

CALCULO DE SUMAS DE CUADRADOS

Termino de corrección TC = 695 ² /16 = 30189.1

SC(Total) = 45 ² + 50 ² + . . . 41 ² - TC = 1359.9375SC(Filas) = (173 ² + … + 154 ² ) / 4 - TC = 152.18750SC(Columna) = ( 149 ² + … + 202 ² ) / 4 – TC = 426.18750SC(Melon) = ( 189 ² + … + 140 ²) / 4 – TC = 483.68750SC(error) = SC(total) – SC(filas) – SC(columnas) = 297.8750Promedio = 695 /16 = 43.438CM (error) = SC(error) / [(t-1)(t-2)] = 49.6458CV = Raíz (CM error) *100 / Promedio = 16.2 %

Análisis de Variancia:Fuente Gl S.C. C.M. Fc Pr > FFILA 3 152.1875 50.7291 1.02 0.4466COLUMNA 3 426.1875 142.0625 2.86 0.1264MELON 3 483.6875 161.2291 3.25 0.1022Error 6 297.8750 49.6458Total 15 1359.9375

Se acepta la Hp, a un riesgo de rechazar la Hp de 0.05Por lo tanto, no existe diferencias en el rendimiento de las variedades de melón tratadas con el sistema de riego por exudación.

El coeficiente de variacion es de 16% aceptable para evaluación en campo.El rendimiento promedio del melon en condiciones experimentales resulto 43.3 kilos por parcela experimental.

El rendimiento por hibrido fue el siguiente:V1: Híbrido Mission 47.3 kilosV2: Híbrido Mark. = 42.3 kilosV3: Híbrido Topfligth. 49.3 kilosV4: Híbrido Hales Best Jumbo. = 35.0 kilos

EJEMPLO 3: En este apartado se desarrolla un problema de diseño de experimentos de cuadrado latino. El enunciado del problema es el siguiente:

Se quiere estudiar la posible influencia de los aditivos de combustible (factor tratamiento, T ) en la reducción de óxidos de nitrógeno en las emisiones de los automóviles (variable respuesta) controlando la influencia del conductor (factor-bloque B ) y del  tipo de coche (factor-bloque, B ).

Se consideran cuatro conductores: C1, C2, C3, C4.

Cuatro tipos de coche: Seat, Ford, Opel, Renault.

Cuatro aditivos de combustible: A1, A2, A3, A4.

Los resultados del experimento diseñado según la técnica del cuadrado latino son los de la tabla adjunta, también se presenta el cuadrado latino utilizado. ¿Qué conclusiones se deducen del experimento?”.

Seat Ford Opel Renault

C1 21 A1 26 A2 20 A4 25 A3

C2 23 A4 26 A3 20 A1 27 A2

C3 15 A2 13 A4 16 A3 16 A1

C4 17 A3 15 A1 20 A2 20 A4

Cuadrado Latino1 2 4 34 3 1 22 4 3 13 1 2 4

Solución.

Estimación de los parámetros. Se obtienen los siguientes estimadores:

Estimaciones

i· i .·i j ..k

23 3 19 -1 18 -2

24 4 20 0 22 2

15 -5 19 -1 21 1

18 -2 22 2 19 -1

.. = = 20

Los residuos del modelo son:

ResiduosSeat Ford Opel Renault

C1 1 A1 1 A2 -1 A4 -1 A3

C2 1 A4 1 A3 -1 A1 -1 A2

C3 -1 A2 -1 A4 1 A3 1 A1

C4 -1 A3 -1 A1 1 A2 1 A4

Tabla ANOVA. Utilizando las estimaciones y residuos obtenidos se obtiene la siguiente tabla ANOVA

Tabla ANOVAFuentes de Suma de Grados de Varianza p - valorvariación cuadrados libertad

Factor conductor 216 3 72 27 0'0007 Factor coche 24 3 8 3 0'1117

Factor aditivo 40 3 13'33 5 0'0452 Variab. Explicada 280 9

Residual 16 6 2'66 Global 296 15 19'73

De esta tabla se deducen los siguientes contrastes:  

1. El contraste de la hipótesis: “el factor (aditivo) no influye”. Se realiza por el estadístico

se tienen dudas acerca de si aceptar o no esta hipótesis ya que su p-valor 0'05. Es el contraste más interesante ya que se contrasta la posible influencia del factor tratamiento en el que se está interesado.

  2. El contraste de la hipótesis: “el factor (conductor) no influye”.

Se rechaza esta hipótesis de no influencia del factor “conductor”.

3. El contraste de la hipótesis: “el factor (coche) no influye”.

Se acepta, a un nivel inferior razonable (< 0'11) la no influencia del factor “coche”.

De los contrastes anteriores se deduce que ha sido conveniente bloquear  el tipo de “conductor” pero no conviene bloquear  el tipo de “coche”. Se puede eliminar el factor “coche”, basta con sumar la fila correspondiente al factor “coche” con la fila de la variabilidad residual, aunque se pueden hacer críticas al diseño resultante. Se obtiene la siguiente tabla ANOVA

Tabla ANOVA 2Fuentes de Suma de. Grados Varianza p - valorVariación Cuadrados libertadFactor conductor 216 3 72'00 16'20 0'0006 Factor aditivo 40 3 13'33 3'00 0'0877 Variab. Exp. Total 256 6 Residual 40 9 4'44 Global 296 15 19'73

Trabajando con un nivel de significación de = 0'05 se acepta la no influencia del factor tratamiento “tipo de aditivo”.

EJEMPLO 4: Se probaran 5 raciones respecto a sus diferencias en el engorde de novillos. Se dispone de 20novillos para el experimento, que se distribuyen en 4 bloques (5 novillos por bloque) con base a sus pesos, al iniciar la prueba de engorde. Los 5 tratamientos (raciones) se asignaron al azar dentro de cada bloque. Los novillos más pesados se agruparon en un bloque, en otro se agruparon los 5 siguientes más pesados y así sucesivamente. Se obtuvieron los siguientes datos:

CONCLUSIONES

- La utilización de cuadrado latino para la resolución de problemas estadísticos requiere de muchas herramientas como lo son la formulación y verificación de hipótesis, la tabla anova, estimación de parámetros, residuos, entre otros.

- Un cuadrado latino se dice que está reducido (o "normalizado" o "de forma estandarizada") si la primera fila y la primera columna están en orden natural. Por ejemplo, el primer cuadrado está reducido, porque la primera fila y la primera columna son 1, 2, 3.

- Es posible hacer un cuadrado latino permutando (reordenando) las filas y las columnas.

- Un inconveniente que presentan a veces estos diseños es el de requerir excesivas unidades experimentales para su realización. Un diseño en bloques completos con un factor principal y dos factores de bloque, con K1, K2 y K3 niveles en cada uno de los factores, requiere K1 ×K2 ×K3 unidades experimentales.

- Podemos evidenciar cuadrados latinos presentes en nuestro día a día. El popular rompecabezas Sudoku es un caso especial de cuadrado latinos; toda solución de un Sudoku es un cuadrado latino. Un Sudoku impone una restricción adicional a los subgrupos de 3×3, estos sólo deben contener los dígitos del 1 al 9 en la versión estándar. El rompecabezas conocido como Diamante 16 (Diamond 16 Puzzle) ilustra un concepto generalizado de la ortogonalidad de los cuadrados latinos: el cuadrado ortogonal o "Matrices ortogonales”.