Cuadrado Latino Investigacuion

7/23/2019 Cuadrado Latino Investigacuion

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Cuadrado latino

Un cuadrado latinoes una matrizde nnelementos en la que cada casilla est ocupada por

uno de los nsmbolos de tal modo que cada uno de ellos aparece exactamente una vez en

cada columna y en cada fila.

Las siguientes matrices son cuadrados latinos:

Los cuadrados latinos se dan como una tabla de multiplicar(tabla ayley! de quasigrupos"

los cuales se aplican en el dise#o de experimentos.

Historia y terminologa$l nombre cuadrado latinose origina con Leon%ard $uler" quien utiliz& caracteres latinos

como smbolos.

Un cuadrado latino se dice que est reducido (o 'normalizado' o 'de forma estandarizada'!

si la primera fila y la primera columna estn en orden natural. or e)emplo" el primer

cuadrado est reducido" porque la primera fila y la primera columna son *" +" ,.

$s posible %acer un cuadrado latinopermutando(reordenando! las filas y las columnas.

Representacin a travs de un arreglo ortogonal-i cada entrada de un cuadrado latino de n nse escribe como una tripleta (f" c"s!" dondef

es la fila" cla columna ysel smbolo (para nuestro caso un nmero!" se obtendrn n+

tripletas" llamado arreglo ortogonal del cuadrado. or e)emplo" para el primer cuadrado

latino de todos estos e)emplos" el arreglo ortogonal ser as:

/ (*"*"*!"(*"+"+!"(*",",!"(+"*"+!"(+"+",!"(+","*!"(,"*",!"(,"+"*!"(,","+! 0"

donde" por e)emplo" la tripleta (+","*! representa que el valor en la fila + columna , es *. La

representaci&n de un cuadrado latino puede escribirse en t1rminos del arreglo ortogonal" y

queda as:

existen n2tripletas de la forma (f, c, s), donde 1 f, c, s n;
http://es.wikipedia.org/wiki/Tabla_de_multiplicarhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tabla_de_multiplicarhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Tabla_Cayley&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Cuasigrupohttp://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Eulerhttp://es.wikipedia.org/wiki/Alfabeto_latinohttp://es.wikipedia.org/wiki/Permutaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Permutaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Tabla_Cayley&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Cuasigrupohttp://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Eulerhttp://es.wikipedia.org/wiki/Alfabeto_latinohttp://es.wikipedia.org/wiki/Permutaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tabla_de_multiplicar


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todos los pares (f, c) son diferentes, todos los pares (f, s) son diferentes,y todos los pares (c, s) son diferentes.

La representaci&n por arreglos ortogonales muestra que las filas" columnas y smbolos

representan un papel muy similar.

Clases equivalentes de cuadrados latinos2uc%as operaciones sobre un cuadrado latino produce otro cuadrado latino (por e)emplo"

alternar filas!.

-i permutamos las filas" permutamos las columnas" y permutamos los smbolos de un

cuadrado latino obtenemos un nuevo cuadrado latino que decimos que es isot&pico del

primero. $l isotopismoes una relaci&n de equivalencia3 basndose en esto" se dice que

todos los cuadrados latinos estn divididos en subgrupos" llamados clases isotpicas3 segn

esto" dos cuadrados de la misma clase se dice que son isotpicos" y dos de clases diferentes

son no isotpicos.

4tro tipo de operaci&n puede explicarse fcilmente usando la representaci&n de estos por

arreglos ortogonales. -i se reorganizan consciente y sistemticamente los tres elementos de

cada tripleta (f" c"s! por (c"f"s!" lo cual corresponde a una transposici&n del cuadrado

(refle)ado en la diagonal principal!" o es posible reemplazar cada tripleta (f" c"s! por (c"s"

f!" lo que es una operaci&n ms complicada. 5odas )untas dan 6 posibilidades" incluida la de

no %acer nada" lo que da 6 cuadrados latinos llamados conjugados del cuadrado original.

7inalmente" es posible combinar estas dos operaciones equivalentes: dos cuadrados latinos

son parat&picos si uno de ellos es con)ugado del otro. $sto es nuevamente una relaci&n de

equivalencia" con la clase de equivalencia principal llamada clase principal" especies o clase

parat&pica. ada clase contiene 6 clases isot&picas.

El nmero de cuadrados latinos8o se conoce una f&rmula para el clculo fcil del nmero de cuadrados latinos de n n

son para n9*"+"..."n. Los lmites superiores e inferiores ms exactos conocidos para nms

grande estn demasiado separados. qu se dispone de todos los valores exactos conocidos.

$s posible notar que los nmeros crecen exageradamente rpido.

ara cada n" el nmero de cuadrados latinos disponibles (secuencia ;;+ (n?*!> veces el nmero de cuadrados latinos reducidos (secuencia ;;;,*@en 4$=-!.

El nmero de cuadrados latinos de distintos tamaos

n Cuadrados latinos reducidos Todos los cuadrados latinos de tamao n
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Isotopismo&action=edit&redlink=1http://oeis.org/A002860http://es.wikipedia.org/wiki/OEIShttp://oeis.org/A000315http://es.wikipedia.org/wiki/OEIShttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Isotopismo&action=edit&redlink=1http://oeis.org/A002860http://es.wikipedia.org/wiki/OEIShttp://oeis.org/A000315http://es.wikipedia.org/wiki/OEIS


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de tamao n

1 1 1

2 1 2

3 1 12

4 4 576

5 56 161280

6 408 812851200

7 1642080 61474104000

8 535281401856 1087760324508256800

3775757064258816 55247514615682842531225600

1

0

7580721483160132811482

80

82437658213038717250647562032

0000

1

1

53633777327737128116

73540771840

77666836171770144107444346734230

682311065600000

ara cada n" cada clase isot&pica (secuencia ;A;;!,

cuadrados latinos (el nmero exacto varia!" y cada clase principal (secuencia;;,;B;en

4$=-! contiene alguna de las *" +" , o 6 clases isot&picas.

Clases equivalentes de cuadrados latinos

n clases principales clases isotpicas

1 1 1

2 1 1

3 1 1
http://oeis.org/A040082http://es.wikipedia.org/wiki/OEIShttp://oeis.org/A003090http://oeis.org/A003090http://es.wikipedia.org/wiki/OEIShttp://oeis.org/A040082http://es.wikipedia.org/wiki/OEIShttp://oeis.org/A003090http://es.wikipedia.org/wiki/OEIS


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4 2 2

5 2 2

6 12 22

7 147 564

8 283657 1676267

1270853541 115618721533

10 348173784743 20804371354363006

Aplicaciones$l estadstico ingl1s Conald 7is%erse vali& del uso de los cuadrados latinos para me)orar

significativamente los m1todos agrcolas" cuando se %allaba investigando la eficacia de los

fertilizantes en el rendimiento de las cosec%as. Dusc& la manera de plantar cosec%as en

similares condiciones de suelo de modo que la calidad de la tierra no fuese un factor

indeseable que influyese en el rendimiento de la cosec%a. -i bien la nica manera de

asegurarse de tener condiciones id1nticas de tierra era utilizar siempre el mismo suelo" en laprctica esto es casi imposible" pues se deberan desenterrar y volver a plantar las cosec%as

varias veces.*

or otra parte" aunque s se pudiera %acer esto ltimo" las condiciones meteorol&gicas

seran otro factor indeseable. ara evitar esto" por e)emplo en un caso en que se tuviese un

campo cuadrado dividido en *6 parcelas" se puede concebir un cuadrado latino en que la

descripci&n del campo sea tal que la calidad del suelo vare EverticalF y E%orizontalmenteF.

$ntonces se aplican al azar los A fertilizantes (EaF" EbF" EcF" y EdF! con la nica condici&n

de que cada fertilizante aparece una sola vez en cada fila y en cada columna. Ge esta

manera se busca eliminar la variaci&n de la calidad de tierra. -i %ubiese otro factor quepudiese influir en el rendimiento" por e)emplo" el momento del da (" D" " G! en que se

aplica el tratamiento" entonces puede utilizarse uncuadrado latino ortogonalal anterior

donde se identifiquen dic%os momentos del da. Ge esta manera cada pare)a momento?

fertilizante se aplicar en una nica parcela.*

s" un plan podra ser:*
http://es.wikipedia.org/wiki/Ronald_Fisherhttp://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado_latino#cite_note-50COSAS-1http://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado_greco-latinohttp://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado_greco-latinohttp://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado_latino#cite_note-50COSAS-1http://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado_latino#cite_note-50COSAS-1http://es.wikipedia.org/wiki/Ronald_Fisherhttp://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado_latino#cite_note-50COSAS-1http://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado_greco-latinohttp://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado_latino#cite_note-50COSAS-1http://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado_latino#cite_note-50COSAS-1


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plan, MME!"

a, A #, $ c, C d, %

#, C a, % d, A c, $

c, % d, C a, $ #, A

d, $ c, A #, % a, C

Cuadrados latinos y rompeca#e&as matem'ticos$l popular rompecabezas Sudokues un caso especial de cuadrado latinos3 toda soluci&n de

un Sudokues un cuadrado latino. Un Sudokuimpone una restricci&n adicional a los

subgrupos de ,," estos s&lo deben contener los dgitos del * al B (en la versi&n estndar!.

$l rompecabezas conocido como Giamante *6 (Giamond *6 uzzle! ilustra un concepto

generalizado de la ortogonalidad de los cuadrados latinos: el cuadrado ortogonal (H*I" *BJ6!

o '2atrices ortogonales'?? ortogonal en el sentido combinatorio y no en un sentido

algebraico?lineal (. $. DrouKer" *BB*!.

ara una comparaci&n con la geometra finita" v1aseeometra del cuadrado latino(en

ingl1s!.

5.6 Fracciones factoriales. El cuadrado latino.Los modelos de diseo de experimentos expuestos en las secciones previas sondiseos completos o equilibrados. En estos diseos se obtienen pruebas cruzandolos niveles de los factores de todas las formas posibles, por ello, en estos diseoslos factores son ortogonales.

El concepto de ortogonalidad de factores.

En un diseo de experimentos los factores T , con I niveles, y T , con J niveles,son ortogonales si en las pruebas del diseo en cada uno de los niveles i del

factor T aparecen en idnticas proporciones los J niveles del factor T .

La propiedad de ortogonalidad permite separar los efectos de cada uno de losfactores sobre la variable de inters.

!i los efectos simples de todos los factores estudiados en el diseo de

experimentos son ortogonales, la estimaci"n del efecto del nivel i del factor
http://es.wikipedia.org/wiki/Sudokuhttp://finitegeometry.org/sc/16/puzzle/http://finitegeometry.org/sc/gen/dth/DiamondTheory.htmlhttp://finitegeometry.org/sc/gen/Denes.htmlhttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_finitahttp://finitegeometry.org/sc/gen/ortho.htmlhttp://finitegeometry.org/sc/gen/ortho.htmlhttp://finitegeometry.org/sc/gen/ortho.htmlhttp://es.wikipedia.org/wiki/Sudokuhttp://finitegeometry.org/sc/16/puzzle/http://finitegeometry.org/sc/gen/dth/DiamondTheory.htmlhttp://finitegeometry.org/sc/gen/Denes.htmlhttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_finitahttp://finitegeometry.org/sc/gen/ortho.html


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T se obtiene como la diferencia entre la media de los resultados obtenidoscuando el factor T est# al nivel i y la media general de todos los resultados.

Las estimaciones as$ obtenidas para los efectos de un factor no est#n afectadaspor los efectos de los otros factores, lo que permite separar los efectos simplesde todos los factores estudiados.

En los diseos equilibrados el n%mero de pruebas que &ay que realizar crece muyrapidamente con el n%mero de factores, a%n en el caso de que se supongan nulaslas interacciones y no sea necesario replicar el diseo. En estas situaciones sonde gran utilidad los diseos de experimentos denominados fracciones factoriales,que permitan estudiar la influencia de los factores sin necesidad de realizartodas las pruebas pero manteniendo la propiedad de ortogonalidad de los efectos

a estudiar. 'omo e(emplo de este tipo de modelos se expone a continuaci"n lafracci"n factorial denominada cuadrado latino.

5.6.1 El modelo de cuadrado latino.

En un diseo de experimentos completo de tres factores, todos ellos con )niveles, necesita )*observaciones, n%mero elevado si ) es grande. +n diseo m#seficaz que solo utiliza )observaciones para el mismo problema es el cuadradolatino. Este modelo se basa en aprovec&ar la simetr$a del experimento factorial

seleccionando un con(unto de condiciones experimentales con la condici"n deque cada nivel de un factor aparezca una vez con cada uno de los niveles de losotros factores. -or tanto, el diseo de cuadrado latino se puede utilizar si severifican las siguientes condiciones

/. Es un diseo de experimentos con tres factores.

. Los tres factores tienen el mismo n%mero de niveles ).

*. 0o &ay interacciones entre los tres factores.

El diseo en cuadrado latino est# especialmente indicado para estudiar unfactor1tratamiento con ) niveles y con dos factores1bloque de ) bloques cadauno. Este diseo se basa en el concepto de cuadrado latino que es el siguiente

2+n cuadrado latino ) 3 ) es una disposici"n de ) letras en una matriz ) 3 ) deforma que todas las letras aparecen una vez en cada fila y una vez en cadacolumna.


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-or e(emplo, un cuadrado latino * 3 * es el siguiente

4 5 '

5 ' 4

' 4 5

Tabla 6.6. 'uadrado latino * 3 *.

+n cuadrado latino es un cuadrado latino est#ndar cuando las letras de la primera fila yde la primera columna est#n dispuestas en orden alfabtico.

+n cuadrado latino es un cuadrado latino c$clico si las letras de cada fila segeneran c$clicamente de la anterior seg%n el orden alfabtico.

El cuadrado latino * 3 * de la Tabla 6.6 es est#ndar y c$clico.

Existe un %nico cuadrado latino * 3 * est#ndar, sin embargo &ay cuatro cuadradoslatinos 7 3 7 est#ndar que se presentan en la Tabla 6.8.

'uadro / 'uadro 'uadro * 'uadro 7

4 5 ' 9 4 5 ' 9 4 5 ' 9 4 5 ' 9

5 ' 9 4 5 4 9 ' 5 4 9 ' 5 9 4 '

' 9 4 5 ' 9 4 5 ' 9 5 4 ' 4 9 5

9 4 5 ' 9 ' 5 4 9 ' 4 5 9 ' 5 4

Tabla 6.8 'uatro posibles cuadrados latinos 7 3 7 est#ndar.

2+n diseo en cuadrado latino es un diseo de un factor tratamiento con )niveles y )unidades experimentales agrupadas en ) bloques fila y ) bloquescolumna, de forma que unidades experimentales de un mismo bloque fila sonseme(antes, unidades experimentales de un mismo bloque columna sonseme(antes y unidades experimentales de distintos bloques fila y distintosbloques columna son sustancialmente diferentes:.

-ara cualquier n%mero de tratamientos ) existe siempre al menos un diseo encuadrado latino est#ndar c$clico.

;bsrvese que si en un diseo en cuadrado latino se ignora el bloque columna setiene un diseo en bloques completamente aleatorizado


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factor bloque= y, an#logamente, si se ignora el bloque fila se tiene un diseo enbloques completamente aleatorizado odelo matem#tico.

!e tiene un diseo en cuadrado latino de dos factores bloque y un factortratamiento, el primer factor bloque se denota por 5 y se coloca en filas, elsegundo factor bloque se denota por 5 y se coloca en columnas, el factortratamiento se denota por T y sus niveles se colocan seg%n el cuadrado latino.-or tanto, el cuadrado latino condiciona el nivel de T que se utiliza en la casillai(


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A @es el efecto


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Tabla 40;4.

9e la descomposici"n de la variabilidad se obtiene la tabla 40;4


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O >;9EL; '+4949; L4TI0; O

Duente de

ariaci"n

!uma de

'uadrados

g.l. scm

5loques


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'uadrado latino replicado. !i se replica el modelo del cuadrado latino, a%nmanteniendo las mismas condiciones de experimentaci"n, es posible que existacierta &eterogeneidad entre las rplicas por lo que es conveniente considerar lasrplicas como bloques. El modelo matem#tico de este diseo es


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Los resultados del experimento diseado seg%n la tcnica del cuadrado latino sonlos de la tabla ad(unta, tambin se presenta el cuadrado latino utilizado. Suconclusiones se deducen del experimentoU:

!eat Dord ;pel enault

'/ / 4/ 8 4 C 47 6 4*

' * 47 8 4* C 4/ F 4

'* /6 4 /* 47 /8 4* /8 4/

'7 /F 4* /6 4/ C 4 C 47

'. Latino

/ 7 *

7 * /

7 * /

* / 7

!oluci"n.


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Estimaci"n de los par#metros. !e obtienen los siguientes estimadores

Estimaciones

iV i .Vi( ..@

* * /W 1/ / 1

7 7 C C

/6 16 /W 1/ / /

/ 1 /W 1/

.. ? ? C

Los residuos del modelo son

esiduos

!eat Dord ;pel enault

'/ / 4/ / 4 1/ 47 1/ 4*

' / 47 / 4* 1/ 4/ 1/ 4

'* 1/ 4 1/ 47 / 4* / 4/


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'7 1/ 4* 1/ 4/ / 4 / 47

Tabla 40;4. +tilizando las estimaciones y residuos obtenidos se obtiene la siguientetabla 40;4

Tabla 40;4

Duentes de !uma de Qrados de arianza p 1 valor

variaci"n cuadrados libertad

Dactor conductor /8 * F F CXCCCF

Dactor coc&e 7 * * CX///F

Dactor aditivo 7C * /*X** 6 CXC76

ariab. Explicada C W

esidual /8 8 X88

Qlobal W8 /6 /WXF*

9e esta tabla se deducen los siguientes contrastes

G/H El contraste de la &ip"tesis 2el factor


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se tienen dudas acerca de si aceptar o no esta &ip"tesis ya que su p1valorCXC6. Es el contraste m#s interesante ya que se contrasta la posibleinfluencia del factor tratamiento en el que se est# interesado.

GH El contraste de la &ip"tesis 2el factor


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Duentes de !uma de. Qrados arianza p 1 valor

ariaci"n 'uadrados libertad

Dactor conductor /8 * FXCC /8XC CXCCC8

Dactor aditivo 7C * /*X** *XCC CXCFF

ariab. Exp. Total 68 8

esidual 7C W 7X77

Qlobal W8 /6 /WXF*

Traba(ando con un nivel de significaci"n de ? CXC6 se acepta la no influencia del factortratamiento 2tipo de aditivo:.

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