Continuidad

Mag. Evelio Vigo Lecca

CONTINUIDAD DE FUNCIONES Idea Intuitiva:

Si f y g son dos funciones definidas en un mismo intervalo cuyas gráficas se muestran a continuación:

Y y )(xg )(xf )( 0xf )( 0xg

x x

x0 x0

Las funciones tienen un comportamiento distinto en el punto 0x , se puede decir que la función f es

continua en 0x (es ininterrumpida, no presenta saltos), mientras que la función g es discontinua en el

punto 0x (ya que presenta un salto en 0x )

Definición: (Función Continua en un punto)

Sea RRf : , f es continua en 0xx , si y solo si, cumple:

a. Existe )(xf

b. Existe )(lim0

xfxx

c. )()(lim 00

xfxfxx

Propiedades sobre continuidad Consideremos dos funciones f y g continuas en 0xx , entonces:

1) gf es continua en 0xx

2) kf es continua en 0xx , Rk

3) gf . es continua en 0xx

Ejemplos explicativos

1) Dada

2

2

9, 0 5, 3

2 3( )3

32

xsi x x

x xf x

si x

Analizar la continuidad de la función en 3x

Rpta: Es continua en 3x

MATEMATICA I FACULTAD DE INGENIERÍA


2) Si,

1,23

12,3

2,2

)(

xkx

xkcx

xcx

xf

Hallar c y k de tal modo que f sea continua en 20 x y 10 x

Rpta: 1 23 3

;c k

3) Si

1,8

1,1

1

)(

3

x

xx

x

xf

Analizar la continuidad en 10 x

Rpta: No es continua en 1x

Ejemplos para el aula:

1) Si

2

3

6 1 1 2

( ) 2 6 2 3

15 3 5

x x si x

f x x si x

x si x

Analizar la continuidad de la función en 20 x y 30 x

Rpta: No es continua en 2x pero si es continua en 3x

2) Dada,

0,2

0,2)(

x

xxx

xf

Estudiar la continuidad de la función en el punto 00 x

Rpta: No es continua en 0x

3) Si

2,

2,2

4

)(

2

xA

xx

x

xf

Determinar el valor de A, para que la función sea continua en 20 x

Rpta: 4A

EJERCICOS PROPUESTOS

I. Analizar la continuidad de las siguientes funciones, en los puntos dados:

1)

2,2

2,2)(

3

xx

xx

xf , en 20 x 2)

3,2

3,2)(

xx

xxxf , en 30 x

3)

2,12

22,2

2,1

)(

xx

xx

xx

xf , en 20 x y en 20 x

4)

3 2 2 2, 1

( ) 1

4, 1

x x xx

f x x

x

, en 10 x 5)

0,3

0,2

273

)(

2

x

xx

xx

xf , en 00 x


6.-

3,

3,9)(

2

xx

xxxf , en 30 x 7.-

3,12

3,)(

2

xx

xxxf , en 30 x

8.-

3,3

31,38

1,32

)(

xx

xx

xx

xf , en 10 x y , en 30 x

9.-

0,0

0),1

()(

x

xx

xsenxf , en 00 x 10.-

0,2

0,2

)(

2

xx

senx

xx

xf , en 00 x

II. Determinar los valores de A y/o B para que las funciones sean continuas en los puntos dados:

1)

2,3

2,)(

2

x

xAxxf , en 20 x 2)

4,166

4,)(

2

xx

xAxxf , en 40 x

3)

5,2

53,

3,12

)(

2

2

xx

xBAx

xx

xf , en 30 x y, en 50 x

4)

1,26

12,3

2,2

)(

xBx

xBAx

xAx

xf , en 20 x y, en 10 x

5)

2,1

21,2

1,1

)(

2

xx

xBAx

xBxAx

xf , en 20 x y, en 10 x

DERIVADAS DE FUNCIONES

Interpretación Geométrica de la Derivada y

SL

TL

x

Consideremos la curva )(: xfyC y un punto fijo ),( 000 yxP de dicha curva, sea SL la recta secante

que pasa por ),( 000 yxP y por CyxM ),( .

La pendiente de la recta secante que pasa por los puntos 0P y M es:

M

P

0


0

0

0

0

0 ,)()(

tan xxxx

yy

xx

xfxfmLS

Si ),( yxM se acerca a ),( 000 yxP resulta que x se acerca a 0x , luego 0xxh se acerca a 0, con lo

cuál se está haciendo uso del límite.

Por lo tanto cuando ),( yxM se acerca a ),( 000 yxP la recta SL se transforma en TL , lo cual indica que

el ángulo tiende a convertirse en y:

h

xfhxf )()(tan 00

Se convertirá en )(')()(

limtan 0

00

0xf

h

xfhxf

h

Luego la derivada de f en ),( 000 yxP es )(' 0xf y representa la pendiente de la recta tangente a la

curva en el punto ),( 000 yxP .

Definición: (Derivada de una Función)

Sea RRf : , si fDa , la derivada de f con respecto al punto “ a ” está definido por:

h

afhafaf

h

)()(lim)('

0

Lo que es equivalente a:

ax

afxfaf

ax

)()(lim)('

Notación:

dx

dyyxffD

dx

dfxf x ')()('

Ejemplos explicativos:

Usando la definición, hallar la derivada de las siguientes funciones:

a) xxf 3)( b) 5)( xf c) xxf )(


Hallar la derivada de:

a) 2)( xxf b) baxxf )( c) kxf )( c)x

xxf

2)(

Derivadas Laterales Definición.- (Derivada por la Derecha)

Sea RRf : una función y fDa , f es derivable por la izquierda, si existe el siguiente límite:

h

afhafaf

h

)()(lim)('

0

ó ax

afxfaf

ax

)()(lim)('


Definición.- (Derivada por la Izquierda)

Sea RRf : una función y fDa , f es derivable por la derecha, si existe el siguiente límite

h

afhafaf

h

)()(lim)('

0

ó ax

afxfaf

ax

)()(lim)('

OBSERVACIÓN

Si en un punto x = a las derivadas laterales son distintas, entonces '( )f a no existe. En consecuencia la

función no es diferenciable en el punto x = a.


Calcular las derivadas laterales de la funciones en los puntos dados:

1) xxf )( , en 0a

Rpta: '(0 ) 1f y '(0 ) 1f

2) 2 1, 3

( )8 , 3

x xf x

x x

, en 3a

Rpta: '(3 ) 1f y '(3 ) 2f

3)

1,12

1,)(

2

xx

xxxf , en 1a

Rpta: '(1 ) 2f y '(1 ) 2f

4)

1, 2

( )1

1 , 24

xx

f x

x x

, en 2a

Rpta: 14

'(2 )f y 14

'(2 )f


Hallar la derivada de:

1)

0,

0,)(

2 xx

xxxf , en 0a Rpta: '(0 ) 0f y '(0 ) 1f

2)

2,118

2,32)(

2

xx

xxxf , en 2a Rpta: '(2 ) 8f y '(2 ) 8f

Ejercicios propuestos

Hallar las derivadas laterales, si existen, de las siguientes funciones:

1)

4,6

4,2)(

xx

xxxf , en 4a 2)

2,2

2,4)(

2

xx

xxxf , en 2a

3)

1,)1(

1,1)(

2 xx

xxxf , en 1a 4)

1,21

1,)(

2

xx

xxxf , en 1a

5)

2,24

2,2)(

2

2

xxx

xxxf , en 2a 6)

0,5

0,54)(

2

2

xx

xxxxf , en 0a


Reglas de derivación Funciones algebraicas

1. 0)( kdx

d, k: constante

2. 1)( xdx

d

3. 1)( nn nxxdx

d

4. )()( xfdx

dkxkf

dx

d

5. )()()()( xgdx

dxf

dx

dxgxf

dx

d

6. )()()()()().( xgdx

dxfxf

dx

dxgxgxf

dx

d

7. 2)]([

)()()()(

)(

)(

xg

xgdx

dxfxf

dx

dxg

xg

xf

dx

d

Fórmulas de diferenciación

En estas fórmulas, u y v representan funciones de x ; a , b y n representan constantes; e 2. 71828.. . . y 3. 14159.. . ; y Todos los ángulos son medidos en radianes. Funciones algebraicas 1)

ddxau bv a du

dx b dv

dx

2) ddxun nun1 du

dx Funciones Trigonométricas 1)

ddxsin u cos u du

dx

2) ddxcos u sin u du

dx

3) ddxtan u sec2u du

dx

4) ddxcot u csc2u du

dx

5) ddxsecu secu tan u du

dx

6) ddxcscu cscu cot u du

dx

7) ddxvers u sin u du

dx Funciones trigonométricas inversas

1) ddxarcsin u 1

1u2

dudx

2) ddxarccos u 1

1u2

dudx

3) ddxarctan u 1

1u2

dudx

4) ddxarccot u 1

1u2

dudx

5) ddxarcsec u 1

u u21

dudx , arcsec u

2 , 0 arcsec u 2

6) ddxarccsc u 1

u u21

dudx , arccsc u

2 , 0 arccsc u 2


Funciones exponencial y Logarítmica 1)

ddxeu eu du

dx

2) ddxau au ln a du

dx

3) ddxln u 1

ududx

4) ddxlogau

logaeu

dudx

5) ddxuv vuv1 du

dx uv ln u dv

dx Funciones hiperbólicas 1)

ddxsinh u cosh u du

dx

2) ddxcosh u sinh u du

dx

3) ddxtanh u sech2u du

dx

4) ddxcoth u csch2u du

dx

5) ddxsech u sech u tanh u du

dx

6) ddxcsch u csch u coth u du

dx Funciones Hiperbólicas inversas 1)

2

1

1arcsenh

u

d duu

dx dx

2) 2

1

1arccosh

u

d duu

dx dx , u 1

3) 2

1

1arctanh

u

d duu

dx dx

4) 2

1

1arccoth

u

d duu

dx dx

5) 2

1

1arcsech

u u

d duu

dx dx , u 0

6) 2

1

1arccsch

u u

d duu

dx dx


Utilizando las propiedades de las derivadas, hallar la derivada de:

1) 135)( 345 xxxxf

2) x

xxf

2

3)( ,

3) 4

3)(

xxf

4) )15)(3()( 2 xxxxf

5) xxx

xxxf

34

23 72)(

6) xxxf 3)(


Utilizando correctamente las reglas de derivación, derivar:

1) 35)( 24 xxxf , 9.- xxxsenxxf cos)2(2)( 2 2)

xxx

xxf4

52

3cos3)( 2

3

10.- 22

6

)(ba

baxxf

3)

2

2

1

1)(

x

xxf


11.- 5ln)( 3 22 xxxf 4) senxexf x)( 12.- 3

ln)(3

3 xxxxf

5) 2ln)( 2 xxxf 13.- x

xx

xxf

lnln2

1)( 6)

32

321)(

xxxxf

14.-55

32)(

2

xx

xxf 10.-

1

1)(

2

2

x

xxf

7) xxx

xf tan2

)( 5 2 15.-xx

xf1

12

2)(

8)

1)(

2

xx

senxxf

1.- 523)( 2 xxxf 6.- xxxf 4)( 3 2.- 3)( xxf

7.- 2

1)(

xxf 3.- 2)( xxf 8.- 15)( 2 xxxf

4.- 29)( xxf 9.- x

xf3

1)( 5.-

23

32)(

x

xxf

HOJA DE PRÁCTICA

V.- Hallar la derivada de las siguientes funciones:

1) xsenx

xsenxxf

cos

cos)(

2) xxxxf )843()( 2

3) x

xsenxxf

cos)(

4) 2

3)(

2

3

x

xxxf

5) 1

tan)(

2

x

xexf

x

6) 5

3 245)(

xxxxf

7) 4.cos3)( xxxf

8) x

xsenxxf

cos1

1)(

9) x

xxxf

secln5)(

10) ))((ln)( 52 xxxexxf x

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