1.5.- CONTINUIDAD

7/21/2019 1.5.- CONTINUIDAD

1/33

Aplicaciones del Clculo Diferencial e

Integral

LIMITES Y CONTINUIDAD


2/33

Normas de

convivencia en elaula:

PuntualidadRespeto

Solidaridad

CompromisoResponsabilidad

Sistema deevaluacin:

Nota Final = 70%PC +30%EF

PC: Practica Califcada

EF: Examen Final

Uso de tecnologas:Calculadora grafcador!"o#$are eoge&ra'


3/33

Clculo de Lmites

x

xLimax +

2

22.

2

1

1.

5

3

1

x

xLimbx

20

22.

x

senxxsenLimc

x

1

1.

21 x

Limdx

2

4.

2

2

+ x

xLimex

2

4.

xLimfx


4/33

Analice las siguientes a!rmacionesen cada caso

Si

"#$Cmo puede ser % el limitecuando el cociente no esta

de!nido en &'

%#$Cmo se puede a!rmar(ue % es el limite )"#************* no'

Si

"#$+, no se -ace.arbitrariamente cercano/a ese n0mero cuando ,

se apro,ima %'

%# $Cmo puede a!rmarse(ue "1 es el lmite )"1#&&&&&&&&&&&&&&&"no'

()u* es el lmite

0010000000000.147xLim2x

2

2xxLim

2

0x=+

x


5/33

2,ploracin "3n galn de agua sedivide en partes iguales) se vierte en ta4as det5# Determine la

cantidad en cada ta4a )la cantidad total entodas las ta4as si -a):

a# "& ta4as

b# "&& ta4asc# 6il millones de ta4as

d# 3n n0mero in!nito deta4as#

2n el lengua7e de los lmites:

a# La cantidad de agua encada ta4a se vera as

b# La cantidad de total deagua en un n0mero in!nito

de ta4as galn1)n1(nLim

n=

galn0)

n

1(Lim

n

=


6/33

Lmites ) Continuidad


7/33

Al !nali4ar la sesin el alumno estar encapacidad de:

Calcular el lmite in!nito de una funcin# Anali4ar el comportamiento asinttico A8:

asntota vertical de una funcin9utili4ando los lmites#


8/33

Lmite In!nito

Anali4ar el comportamiento de: "#; "#* "#** "#*** % %#&&" %#&" %#" %#;

f? >@& >@&& >@&&&

@&&& @&& @& ?

2x

3f(x)

=


9/33

Calcular los siguientes lmites:

2

2

5)(x

1d)

2x

1xc)

12xx

1xb)

3xxa)

+

+

+

+

+

5

2

1

3

x

x

x

x

Lim

Lim

Lim

Lim


10/33

,sntota -ertical:

Para (ue f


11/33

Anali4ar el lmite de las siguientesfunciones en 9 e identi!car si es una

asntota vertical#

2

2

1)(x

1f(x)d)

1x

1

f(x)c)

1)(x1f(x)b)

1x

1f(x)a)

=

=

=

=


12/33

Asntotas 8erticales

.eorema:

Dado

entonces -


13/33

Propiedades de los lmitesin!nitos

Sean c ) L n0meros reales9 f ) g funcionestales (ue:

entonces

+=

f(x)L!"cx

Lg(x)L!"cx

=

[ ]

[ ]

0f(x)

g(x)Limc)

0L;

0L;g(x)f(x)Limb)

g(x)f(x)Lima)

cx

cx

cx

=

+=

+=+


14/33


Calcular el lmite en el in!nito de una

funcin# Anali4ar el comportamiento asinttico A:

asntota -ori4ontal de una funcin9

utili4ando los lmites# Aplicar la regla de L-ospital para resolver

indeterminaciones de funciones mascomple7as#


15/33

Lmite en el In!nito

Anali4ar el comportamiento de: >"&& >"& >" & " "& "&&

f


16/33

Calcular los siguientes lmites:

2

2

2)(x

1d)

2x

1x-c)

12xx

1xb)

4xxa)

+

+

+

x

x

x

x

Lim

Lim

Lim

Lim


17/33

,sntota /oriontal:Para (ue f


18/33

Determinar las asntotas -ori4ontales de lassiguiente funciones si las -a)#

1x

x1f(x)d)

1x

x1f(x)c)

12x

34x

f(x)b)

1-2x

34xf(x)a)

4

2

4

2

+=

++=

+

=

+=


19/33

Asntotas ori4ontal

.eorema:Si n es un n0meroracional ) c escual(uier numeroreal9 se cumple:

Determinar:

0x

cLim

nx=

+

13x

xLime)

23x

32x

Limd)

13x

52xLimc)

1x

2xLimb)

x

43Lima)

2

3

x

2

2

x

2x

x

2x

+++

++

++

+

+

+

+

+

6

1

0x

cLim

nx

=


20/33

Eunciones con dos asntotas-ori4ontales

Determinar cadalmite: Determinar lasasntotas de cadafuncin:

12x

23xLimb)

12x

23xLima)

2x

2x

+

+

+

12x

29xf(x)d)

2x

53xf(x)c)

3x

8xf(x)b)

54x

6xf(x)a)

2

2

2

2

+

=

+

+=

=

+

=


21/33

2sbo4ar las gra!cas de las siguientes funciones9

Indicando el dominio9 Intercepto con los e7escoordenados ) asntotas verticales ) -ori4ontales#

Aplicaciones

2x334xf(x)d)

x1xf(x)c)

4xxf(x)b)2x 1xf(x)a)

2

2

2

==

=

+=


22/33


Diferenciar los tipos de continuidad (ue

presenta una funcin# Anali4ar la continuidad de una funcin en

un punto o intervalo9 utili4ando los lmites

de una funcin#


23/33

Continuidad de una funcin

3na funcin escontinua en si secumplen las trescondiciones:

"#

(En 1u* 2untos la

#uncin esdiscontinua (2or1u*


24/33

Continuidad de una funcin

D!#co$t!$%!dad

&'"o!b'

D!#co$t!$%!dad

$o &'"o!b'

D!#co$t!$%!dad

&'"o!b'

Nota: los siguientes tipos de funciones son continuos en todosu dominio: Polinomicas9 racionales9 ra49 trigonom5tricas9e,ponenciales logartmicas


25/33

Ejemplo e la g!"fica #e la f$ncinf% #e&e!mine lo' alo!e' #exenlo' $e la f$ncin no e' con&in$a.

2*

1 2 3 4 5 x

1

2

3

4

5

*1*2*3*4*5*6

*1

*2

*3

*4

y

f


26/33

Anali4ar la continuidad de lassiguientes funciones#

>+

+=

=

=

+x1,x

+ x-1x(x)c)

1x1xg(x)b)

x

1f(x)a)

2

2


27/33

a#a la' g!"fica' #e la' f$ncione' no con&in$a'+

31

,!"fica 3 ,!"fica 4

x

y

a

L

f

x

y

a

L

f

x

y

a

L

f (a)f

Exi'&ef(a)

-$"le' #e la' 'ig$ien&e' con#icione' no 'e

c$mplen/

Exi'&e

)()( afxflimax

=

)(xflimax


28/33

a#a la' g!"fica' #e la' f$ncione' no con&in$a'+

32

Exi'&ef(a)

x

y

a

L

M

f

x

y

a

L

M

f (a)f

-$"le' #e la' 'ig$ien&e' con#icione' no 'e

c$mplen/

,!"fica 1 ,!"fica 2

Exi'&e

)()( afxflimax

=

)(xflimax


29/33

Ejemplo +

e&e!mineAyBpa!a

$ef'ea con&in$a

33

2 2 'i 1

( ) 'i 1

2 'i 1

A x x

f x B x

x A x

+

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