GUÍA DE ESTUDIO MODULAR - davidausubel.edu.ec · 1.3 Teoremas sobre continuidad 1.4 Continuidad...

INSTITUTO TECNOLOacuteGICO

SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo

SEMIPRESENCIAL

VICERRECTORADO ACADEacuteMICO

1

GUIacuteA DE ESTUDIO MODULAR

MATEMAacuteTICA APLICADA

SEGUNDO NIVEL

SEMIPRESENCIAL

TECNOLOGIacuteAS EN

ADMINISTRACIOacuteN DE EMPRESAS MENCIOacuteN

CONTABILIDAD Y AUDITORIA

AUTOR ING MYRIAM MONTEROS

Correccioacuten Comisioacuten de Redaccioacuten

Aprobado Vicerrectorado Acadeacutemico

Edicioacuten Instituto Superior Tecnoloacutegico ldquoDavid Ausubelrdquo

PERIacuteODO Octubre 2015 ndash abril 2016

QUITO - ECUADOR



SEMIPRESENCIAL


2

PARA USTED APRECIADO ESTUDIANTE

NO OLVIDE QUE EL ESFUERZO Y LA PERSEVERANCIA MAacuteS EL ESTUDIAR Y TRABAJAR ENGRANDECE AL SER HUMANO Y USTED

DEPENDE EL ENGRANDECERSE

El Instituto Tecnoloacutegico Superior ldquoDavid Ausubelrdquo da la bienvenida a este

su moacutedulo de Matemaacutetica Aplicada y espera que el desarrollo del mismo

aporte para su vida profesional



SEMIPRESENCIAL


3

NOTA

EN ESTE TEXTO GUIA SE ENCUENTRA DESARROLLADOS LOS TEMAS

QUE CORRESPONDEN A ESTE MOacuteDULO Y LAS TAREAS QUE USTED

DEBE DESARROLLAR CON LA AYUDA DEL TUTOR USTED LLEGARAacute A

DOMINAR EL CONOCIMIENTO

1 EL ESTUDIANTE TIENE LAS OPORTUNIDADES QUE SEAN

NECESARIAS PARA ACLARAR LOS TEMAS QUE NO COMPRENDA

MEDIANTE LA EXPLICACIOacuteN DEL TUTOR YA SEA DE MANERA

PRESENCIAL O MEDIANTE EL CORREO ELECTRONICO

2 LAS TAREAS SERAN ENVIADAS POR EL TUTOR DE ACUERDO A

LAS FECHAS DEL CALENDARIO Y DE ACUERDO AL DESARROLLO

DEL MOacuteDULO

3 ES OBLIGACION DEL ESTUDIANTE ASISTIR A CADA UNA DE LAS

TUTORIacuteAS PRESENCIALES PROGRAMADAS EN EL CALENDARIO

DE ACTIVIDADES

4 TODO TRABAJO DEL ESTUDIANTE SERAacute EVALUADO

CUANTITATIVAMENTE

5 AL FINAL EL TUTOR EVALUARA EL MOacuteDULO EN SU TOTALIDAD

6 DE REQUERIR CUALQUIER INFORMACION DIRIGIRSE AL

CORREO DE LA DIRECCION ACADEMICA Y SERA ATENDIDO

INMEDIATAMENTE EN SU CONSULTA

Galo Jaacutecome galojp65hotmailcom Docente

Vicerrectoradoacademicodavidausubeleduec



SEMIPRESENCIAL


4

GRACIAS

1 PERFIL DE CARRERA ADMINISTRACIOacuteN DE EMPRESAS

MENCIOacuteN CONTABILIDAD Y AUDITORIA

a) OBJETIVO DE FORMACION INTEGRAL DEL PROFESIONAL

Formar profesionales con personalidad definida altos valores eacuteticos morales

culturales y espiacuteritu emprendedor preparados cientiacutefica y tecnoloacutegicamente

para iniciar y administrar pequentildeas y medianas empresas con aplicacioacuten del

Mercadeo Finanzas Produccioacuten y Administracioacuten comprometido con el

desarrollo sostenido y sustentable del paiacutes

b) PERFIL DEL TECNOacuteLOGO EN CONTABILIDAD Y AUDITORIacuteA

Es un profesional emprendedor capaz de aplicar sistemas contables y

mecanismos de control contable y financiero sobre bases cientiacutefico-

metodoloacutegicas y legales demostrando espiacuteritu emprendedor y altos valores

eacuteticos y morales

c) COMPETENCIAS DEL TECNOacuteLOGO EN CONTABILIDAD Y

AUDITORIacuteA

Demostrar eficiencia en el manejo contable y financiero en el sector

empresarial y puacuteblico

Participar en auditoriacuteas de la actividad contable y financiera en empresas

y organizaciones

Adoptar decisiones oportunas en el manejo contable y financiero en

funcioacuten de la eficiencia y eficacia empresarial

Desarrollar los mecanismos de control interno que promuevan la

eficiencia reduzcan los riesgos de peacuterdida de activos asegurar la

confiabilidad de los estados financieros dentro del marco de

cumplimiento de las leyes y regulaciones



SEMIPRESENCIAL


5

Administrar su propia microempresa de servicios contables y de

auditoriacutea

SISTEMATIZACIOacuteN DE LAS COMPETENCIAS DEL TECNOacuteLOGO EN

CONTABILIDAD Y AUDITORIacuteA

d) NIVEL COMPETENCIA PRINCIPAL

Aplicar correctamente sus conocimientos micro y macro econoacutemicos en

una planificacioacuten estrateacutegica

Llevar a cabo proyectos de auditoriacutea en su propia microempresa

F) ESCENARIOS DE ACTUACION

El tecnoacutelogo en Contabilidad y Auditoriacutea podraacute desenvolverse en

Empresas del Sector puacuteblico o privado

Empresas nacionales o internacionales

Pymes

Industrias

Bancos

Financieras

ONG

Centros educativos

Su propia microempresa de servicios administrativos

Tecnologiacutea en Administracioacuten de Empresas

G) OCUPACIONES PROFESIONALES

El tecnoacutelogo en Contabilidad y Auditoriacutea podraacute desempentildearse como

Administrador de pequentildeas y medianas empresas

Director departamental

Jefe de oficina

Asesor de pequentildeas y medianas empresas

Funcionario bancario

Administrador de su propia microempresa



SEMIPRESENCIAL


6

INTRODUCCIOacuteN

La Matemaacutetica Aplicada es una rama de la Matemaacutetica muy utilizada para la

resolucioacuten de problemas praacutecticos que se presentan con frecuencia en la vida

cotidiana Es indispensable que los interesados en incursionar en este estudio

tengan las nociones fundamentales del algebra geometriacutea analiacutetica y

trigonometriacutea Por otro lado es necesario que el alumno este familiarizado con

el manejo de los nuacutemeros reales y haya adquirido cierta praacutectica en la

realizacioacuten de operaciones elementales tanto de igualdad como de

desigualdad

Si usted como estudiante desea aprender esta asignatura es fundamental que

se le dedique el tiempo necesario todos los diacuteas para que exista una

asimilacioacuten correcta de los contenidos

La guiacutea estaacute estructurada en cuatro capiacutetulos que permitiraacuten una mejor

compresioacuten de los conceptos necesarios para dominar la asignatura



SEMIPRESENCIAL


7

CONTENIDOS

Capiacutetulo I CONTINUIDAD

11 Definicioacuten

12 Continuidad

13 Teoremas sobre continuidad

14 Continuidad uniforme

15 Funciones casi continuas

Capitulo II DERIVADAS

21 Definiciones baacutesicas

22 Interpretacioacuten geomeacutetrica

23 Regla general para derivar funciones

24 Derivadas de funciones algebraicas

25 Derivadas de funciones logariacutetmicas y exponenciales

26 Derivadas de funciones compuestas

27 Derivadas de funciones inversas

Capitulo III INTEGRAL INDEFINIDA

31 Definicioacuten

32 Reglas para integrar funciones elementales e integracioacuten de potencias

33 Potencia

34 Propiedades de integracioacuten

Capitulo IV MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN

41 Integracioacuten por sustitucioacuten

42 Integracioacuten por partes

BIBLIOGRAFIacuteA



SEMIPRESENCIAL


8

COMPETENCIAS

COMPETENCIAS GENERALES

Comprender y aplicar los procesos correspondientes en la

determinacioacuten del la continuidad de una funcioacuten

Aplicar el concepto de la derivada en la diferenciacioacuten de funciones


determinacioacuten del la integracioacuten de funciones

Utilizar y aplicar la integracioacuten de una funcioacuten en la resolucioacuten de

problemas praacutecticos

Entregar las herramientas necesarias de las ciencias exactas para

permitir que el estudiante llegue a un dominio en cuanto al

conocimiento de las matemaacuteticas

COMPETENCIAS POR UNIDADES

Determinar la continuidad o discontinuidad de una funcioacuten

Resolver problemas relativos a la pendiente recta tangente

diferenciabilidad y continuidad de una funcioacuten

Aplicar los teoremas de la diferenciabilidad de funciones algebraicas

en la resolucioacuten de problemas praacutecticos

Calcular las derivadas de funciones trigonomeacutetricas logariacutetmicas

exponenciales y funciones compuestas

Determinar la integracioacuten de funciones con potencias

Integrar funciones por diferentes meacutetodos



SEMIPRESENCIAL


9

Desarrollar habilidades de interpretar y desarrollo de los procesos

matemaacuteticos

Lograr en el alumno el desarrollo de capacidades para el manejo de

las matemaacuteticas

Avalizar en el estudiante el principio de aprendizaje su capacidad

para receptar y practicar problemas



SEMIPRESENCIAL


10

REPASO SOBRE LIgraveMITES

El liacutemite es un concepto que describe la tendencia de una sucesioacuten o una funcioacuten a medida que los paraacutemetros de esa sucesioacuten o funcioacuten se acercan a determinado valor En caacutelculo (especialmente en anaacutelisis real y matemaacutetico) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia continuidad derivacioacuten integracioacuten entre otros

LIMITES DE FUNCIONES

Definicioacuten rigurosa

Informalmente se dice que el liacutemite de la funcioacuten f(x) es L cuando x tiende a c y se escribe

Si se puede encontrar para cada ocasioacuten un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan proacuteximo a L como se desee

Ejemplos

1 Determine )54(lim3

xx

7

512

)5)3(4(lim3

x

2 Encuentre 3

6lim

2

3

x

xx

x

5

)23(lim

)2(lim

3

)2)(3(lim

3

3

3

x

x

x

x

x

xx

Teoremas principales sobre los liacutemites



SEMIPRESENCIAL


11

ncx

n

cx

n

cx

n

cx

cx

cx

cx

cxcxcx

cxcxcx

cxcxcx

cxcx

cx

cx

xfxf

xfxf

xg

xf

xg

xf

xgxfxgxf

xgxfxgxf

xgxfxgxf

xfkxkf

cx

kk

)(lim)(lim

)(lim)(lim

)(lim

)(lim

)(

)(lim

)(lim)(lim)()(lim

)(lim)(lim)()(lim

)(lim)(lim)()(lim

)(lim)(lim

lim

lim

Teorema de sustitucioacuten

Sea f una funcioacuten polinomial o una funcioacuten racional entonces

)()(lim cfxfcx

Liacutemites infinitos

Para calcular liacutemites al infinito es necesario dividir cada teacutermino de la

expresioacuten para el x con el mayor exponente y recordar que 01

y

0

1

Ejemplos

Calcular cada uno de los siguientes liacutemites



SEMIPRESENCIAL


12

054

2510lim

10

0

5)5(45

25)5(105lim

5)5(45

25)5(105lim

54

2510lim)

2

2

5

2

2

5

2

2

5

2

2

5

xx

xx

xx

xxa

x

x

x

x

24

13

49

214lim

48

26

49)1(

21)1(4)1(lim

49

214lim

2

2

1

2

2

1

2

2

1

x

xx

x

xx

x

x

x

14

86lim

01

001

4

86

lim

4

86lim)

2

2

22

2

222

2

2

2

xx

xx

x

x

x

x

xx

x

x

x

xx

xxc

x

x

x



SEMIPRESENCIAL


13

CAPITULO I

1 CONTINUIDAD

11 Definicioacuten Sea f definida en un intervalo abierto que contiene a c

Decimos que f es continua en c si

)()(lim cfxfcx

12 CONTINUIDADA

13 TEOREMAS SOBRE CONTINUIDAD

A Continuidad de funciones polinomiales y racionales

Una funcioacuten polinomial es continua en todo nuacutemero real c Una funcioacuten

racional es continua en todo nuacutemero real c en su dominio esto es en

todas partes excepto en donde el denominador es cero

B Continuidad de las funciones valor absoluto y raiacutez n-eacutesima

La funcioacuten valor absoluto es continua en todo valor real c Si n es impar

la funcioacuten raiacutez n-eacutesima es continua en todo valor real c si n es par la

raiacutez n-eacutesima es continua en todo valor positivo real c

C Continuidad de funciones trigonomeacutetricas

Las funciones seno y coseno son continuas en todo nuacutemero real c Las

funciones tan ctan csc sec son continuas en todo nuacutemero real c en

sus dominio

D Teorema del valor medio

Si f es una funcioacuten definida en un intervalo [ a b ] y sea W un nuacutemero

entre f(a) y f(b) Si f es continua en [ a b ] entonces existe al menos un

nuacutemero c entre a y b tal que f(c) = W

Ejemplos

Determinar la continuidad de las siguientes funciones



SEMIPRESENCIAL


14

a 52)( 2 xxxf

Por ser polinomial es continua en todos los nuacutemeros reales

b 1

1)(

xxf

Como se trata de una funcioacuten racional se puede notar que si x = 1 el

denominador se hace cero y por lo tanto existiriacutea una indeterminacioacuten

entonces es continua en todos los nuacutemeros reales excepto en 1

c 3

32)(

2

x

xxxf

Como podemos observar si x = -3 en el denominador la funcioacuten no

existe por lo tanto podriacuteamos decir que la funcioacuten es discontinua todos

los nuacutemeros reales excepto en -3 pero si facturamos el numerador y

simplificamos

13

)1)(3()(

x

x

xxxf

Podemos concluir que la funcioacuten es polinomial y por lo tanto es continua

en todos los reales (El factoreo es de mucha ayuda en las funciones

polinomiales)

14 CONTINUIDAD UNIFORME

Las funciones polinomiales valor absoluto sen (x) y cos (x) son continuas

de forma uniforme

15 FUNCIONES CASI CONTINUAS

Cualquier otra funcioacuten que no sean las nombradas anteriormente son casi

continuas ya que tienen por lo meno un nuacutemero real donde la funcioacuten no

existe



SEMIPRESENCIAL


15

EJERCICIOS


a 5263)( 2 xxxf

b 4

3)(

x

xxf

c 5)( xxf

d 5 4)( xxf

e )2(

)4()(

2

x

xxf

f 2

44)(

2

x

xxxf

g 3

)65()(

2

x

xxxf



SEMIPRESENCIAL


16

CAPITULO II

2 DERIVADAS

21 DEFINICIOacuteN BAacuteSICA E INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA

En matemaacutetica la derivada de una funcioacuten es uno de los dos conceptos centrales del caacutelculo Las derivadas se definen tomando el liacutemite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente La derivada de una funcioacuten en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una funcioacuten cambia conforme un argumento se modifica Esto es una derivada involucra en teacuterminos matemaacuteticos una tasa de cambio Una derivada es el caacutelculo de las pendientes instantaacuteneas de f(x) en cada punto x Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la graacutefica de dicha funcioacuten en el punto dado dichas tangentes pueden ser aproximadas por una secante que pase por dos puntos muy cercanos al punto bajo el que se desea obtener la tangente Las funciones no tienen derivadas en los puntos en donde hay una tangente vertical (la cual tiene una pendiente infinita) una discontinuidad o bien un pico

La Diferenciacioacuten puede ser usada para determinar el cambio que se produce como resultado de otro cambio si estaacute determinada una relacioacuten matemaacutetica entre dos objetos



SEMIPRESENCIAL


17

Una funcioacuten es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto una funcioacuten es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto x perteneciente al intervalo Si una funcioacuten no es continua en c entonces no puede ser diferenciable en c sin embargo aunque una funcioacuten sea continua en c puede no ser diferenciable Es decir toda funcioacuten diferenciable en un punto C es continua en C pero no toda funcioacuten continua en C es diferenciable en C (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0)

22 REGLA GENERAL PARA DERIVAR FUNCIONES

Es difiacutecil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una funcioacuten porque soacutelo conocemos un punto de eacutesta el punto donde ha de ser tangente a la funcioacuten Por ello aproximaremos la recta tangente por rectas secantes Cuando tomemos el liacutemite de las pendientes de las secantes proacuteximas obtendremos la pendiente de la recta tangente Para obtener estas pendientes tomemos un nuacutemero arbitrariamente pequentildeo que llamaremos h h representa una pequentildea variacioacuten en x y puede ser tanto positivo como negativo La pendiente de la recta entre los puntos (xf(x)) y (x + hf(x + h)) es

Esta expresioacuten es un cociente diferencial de Newton La derivada de f en x es el liacutemite del valor del cociente diferencial conforme las liacuteneas secantes se acercan maacutes a la tangente

Si la derivada de f existe en cada punto x podemos definir la derivada de f como la funcioacuten cuyo valor en el punto x es la derivada de f en x Puesto que la inmediata sustitucioacuten de h por 0 da como resultado una divisioacuten por cero calcular la derivada directamente puede ser poco intuitivo Una teacutecnica es simplificar el numerador de modo que la h del denominador pueda ser cancelada Esto resulta muy sencillo con funciones poli noacutemicas pero para la mayoriacutea de las funciones resulta demasiado complicado Afortunadamente



SEMIPRESENCIAL


18

hay reglas generales que facilitan la diferenciacioacuten de la mayoriacutea de las funciones descritas ver abajo Algunos ejemplos de coacutemo utilizar este cociente Ejemplo 1 Consideremos la siguiente funcioacuten

Entonces

Esta funcioacuten es constante para cualquier punto de su dominio vale 5 (por eso f(x+h)=5) Noacutetese el uacuteltimo paso donde h tiende a cero pero no lo toca Si pensamos un poco observaremos que la derivada ademaacutes de ser la pendiente de la recta tangente a la curva es a la vez la recta secante a la misma curva

2 Consideremos la graacutefica de Esta recta tiene una pendiente igual a 2 en cada punto Utilizando el cociente mostrado arriba (junto a los conceptos de liacutemite secante y tangente) podremos determinar las pendientes en los puntos 4 y 5

Entonces



SEMIPRESENCIAL


19

El valor de la funcioacuten derivada de una recta es igual a la pendiente de la misma 3 Mediante esta diferenciacioacuten se puede calcular la pendiente de una curva Consideremos que

Entonces

Para cualquier punto x la pendiente de la funcioacuten es

NOTACIOacuteN

La notacioacuten maacutes simple para la diferenciacioacuten que se utiliza en la actualidad se debe a Lagrange y utiliza un apoacutestrofo o comilla prime De esta manera se expresan las derivadas de la funcioacuten f(x) en el punto x = a se escribe Para la primera derivada

Para la segunda derivada

Para la tercera derivada y luego de forma general

Para la n-eacutesima derivada (donde normalmente se da que n gt 3)



SEMIPRESENCIAL


20

Para la funcioacuten cuyo valor en cada x es la derivada de se escribe

De forma similar para la segunda derivada de f se escribe y asiacute sucesivamente La otra notacioacuten comuacuten para la diferenciacioacuten se debe a Leibniz Para la funcioacuten cuyo valor en x es la derivada de f en x se escribe

Se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos formas distintas

Si la resultante de f(x) es otra variable por ejemplo si y=f(x) se puede escribir la derivada como

La notacioacuten de Newton para la diferenciacioacuten consiste en poner un punto sobre el nombre de la funcioacuten

y asiacute sucesivamente La notacioacuten de Newton se utiliza principalmente en la mecaacutenica normalmente para las derivadas con respecto al tiempo tales como la velocidad y la aceleracioacuten y en la teoriacutea de ecuaciones diferenciales ordinarias Normalmente soacutelo se utilizan para la primera y segunda derivadas Otra notacioacuten consiste en colocar una letra D mayuacutescula para indicar la operacioacuten de diferenciacioacuten con un subiacutendice que indica la variable sobre la que se derivaraacute

Dxf



SEMIPRESENCIAL


21

que es equivalente a la expresioacuten

En ese contexto se considera a la diferenciacioacuten como una operacioacuten sobre

funciones de modo que los siacutembolos y Dx son llamados operadores diferenciales

DERIVADAS DE FUNCIONES

NOMBRE FUNCIOacuteN DERIVADA

CONSTANTE kxf )( 1)( xf

ALGEBRAICA nxxf )( 1 )( nnxxf

LOGARIacuteTMICA

xxf alog)( )ln(

1)(

axxf

xxf ln)( x

xf1

)(

EXPONENCIAL

xaxf )( )ln()( aaxf x

xexf )( xexf )(

TRIGONOMEacuteTRICAS

xxf sin)( xxf cos)(

xxf cos)( xxf sin)(

xxf tan)( xxf 2 sec)(

xxf sec)( xxxf tansec)(

xxf cot)( xxf 2 csc)(

xxf csc)( xxxf cotcsc)(

FUNCIONES COMPUESTAS


SUMA o

DIFERENCIA )()()( xhxgxf )()()( xhxgxf

PRODUCTO )()()( xhxgxf )()()()()( xhxgxhxgxf



SEMIPRESENCIAL


22

COCIENTE )(

)()(

xh

xgxf

)(

)()()()()(

2

xh

xhxgxhxgxf

FUNCIONES INVERSAS


xxf 1sin)( 2

1

1)(

xxf

xxf 1cos)( 2

1

1)(

xxf

xxf 1tan)( 2

1

1)(

xxf

Ejemplos

Derivar las siguientes funciones

a

b

c

NOTA El desarrollo algebraico de lo deja al estudiante ELERCICIOS Derivar las siguientes funciones

1 453)( 25 xxxf

2 xxxxf 464)( 42

3 )1)(()( 32 xxxxf (es un producto)

16)(

1)3)(2()(

13)(

2

xxf

xxf

xxf

1128)(

42)(

23

34

xxxf

xxxxf

22

2

22

2

2

)3(

2

)3(

)1)(23()3)(1()(

3

1)(

xx

xx

xx

xxxxxf

xx

xxf



SEMIPRESENCIAL


23

4 3

23)(

x

xxf

5 xxf 3log)(

6 xexf )(

7 xxf 12)(

DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIOacuteN Regla de la cadena Definicioacuten Sea y = f(u) u = g(x) si g es diferenciable en x y f f es diferenciable en u = g(x) entonces la funcioacuten compuesta definida por f(g(x)) es diferenciable en x y

)()( xgxgfdx

xgdf

En palabras decimos que La derivada de una funcioacuten compuesta es la derivada de la funcioacuten exterior evaluada en la funcioacuten interna por la derivada de la funcioacuten interna DERIVADAS SUPERIORES Las derivadas de orden superior aparecen desde la segunda derivada en adelante consisten en derivar la funcioacuten inmediatamente anterior cuantas veces sea necesario

oacute

para la n-eacutesima derivada de f(x) o y respectivamente Histoacutericamente esto proviene del hecho de que por ejemplo la tercera derivada es

que se puede escribir sin mucho rigor como



SEMIPRESENCIAL


24

Eliminando las llaves nos da la notacioacuten que estaacute arriba



SEMIPRESENCIAL


25

CAPITULO III

3 INTEGRAL INDEFINIDA

31 Definicioacuten Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x)

= f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I

Teorema 1 Regla de la potencia

Si r es cualquier nuacutemero racional excepto -1 entonces

Cr

xdxx

rr

1

1

Corolario Regla generalizada de la potencia

Cr

xgdxxgxg

rr

1

)()()(

1

Teorema 2 La integral definida es un operador lineal

Sean f y g antiderivadas (integrales indefinidas) y sea k una constante

Entonces

a dxxfkdxxkf )()(

b dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

c dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

32 PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA ANTIDIFERENCIACIOacuteN

Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral



SEMIPRESENCIAL


26



SEMIPRESENCIAL


27



SEMIPRESENCIAL


28

CAPITULO IV

4 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN

Teorema 1 Regla de sustitucioacuten

Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada de f

Entonces u = g(x)

CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(

Teorema 2 Integracioacuten por partes

dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()(

Teorema 3 Integraciones trigonomeacutetricas

Ejercicios resueltos

Efectuacutee las operaciones de antidiferenciacioacuten que se indican aplicando las

propiedades correspondientes en cada caso



SEMIPRESENCIAL


29

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

2 Solucioacuten

3 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


30

4 Solucioacuten

5 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


31

6 Solucioacuten

7 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


32



SEMIPRESENCIAL


33

AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2

Realice las integrales indicadas

dxx

xf

x

xxe

dtt

d

dxxxc

dxxxb

dxxa

2

2

2

5

5

cos

tan)

1

23)

12

5)

1)

5)

5)

dxxk

dtt

tj

dxxxi

dxxeh

dxxxg

x

2

5

csc)

ln)

1)

)

cos)

Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios

32)

1

32)

53)

169)

23)

2

2

22

2

tt

dte

dxx

xxd

dxxxc

x

dxb

dxxxa

TABLA DE INTEGRALES



SEMIPRESENCIAL


34



SEMIPRESENCIAL


35



SEMIPRESENCIAL


36



SEMIPRESENCIAL


37

BIBLIOGRAFIacuteA

PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral

Pearson Prentice Hall Ecuador

GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral

Uteha Meacutexico



SEMIPRESENCIAL


2

PARA USTED APRECIADO ESTUDIANTE

NO OLVIDE QUE EL ESFUERZO Y LA PERSEVERANCIA MAacuteS EL ESTUDIAR Y TRABAJAR ENGRANDECE AL SER HUMANO Y USTED

DEPENDE EL ENGRANDECERSE

El Instituto Tecnoloacutegico Superior ldquoDavid Ausubelrdquo da la bienvenida a este

su moacutedulo de Matemaacutetica Aplicada y espera que el desarrollo del mismo

aporte para su vida profesional



SEMIPRESENCIAL


3

NOTA











DEL MOacuteDULO



DE ACTIVIDADES


CUANTITATIVAMENTE









SEMIPRESENCIAL


4

GRACIAS















AUDITORIacuteA




y organizaciones









SEMIPRESENCIAL


5


auditoriacutea











Pymes

Industrias

Bancos

Financieras

ONG

Centros educativos







Jefe de oficina






SEMIPRESENCIAL


6

INTRODUCCIOacuteN








desigualdad








SEMIPRESENCIAL


7

CONTENIDOS


11 Definicioacuten

12 Continuidad













31 Definicioacuten


33 Potencia





BIBLIOGRAFIacuteA



SEMIPRESENCIAL


8

COMPETENCIAS
























SEMIPRESENCIAL


9


matemaacuteticos







SEMIPRESENCIAL


10







Ejemplos


xx

7

512

)5)3(4(lim3

x

2 Encuentre 3

6lim

2

3

x

xx

x

5

)23(lim

)2(lim

3

)2)(3(lim

3

3

3

x

x

x

x

x

xx




SEMIPRESENCIAL


11

ncx

n

cx

n

cx

n

cx

cx

cx

cx

cxcxcx

cxcxcx

cxcxcx

cxcx

cx

cx

xfxf

xfxf

xg

xf

xg

xf

xgxfxgxf

xgxfxgxf

xgxfxgxf

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0

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Ejemplos




SEMIPRESENCIAL


12

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10

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13

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SEMIPRESENCIAL


13

CAPITULO I

1 CONTINUIDAD



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12 CONTINUIDADA













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Ejemplos




SEMIPRESENCIAL


14

a 52)( 2 xxxf


b 1

1)(

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2

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13

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x

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polinomiales)



de forma uniforme




existe



SEMIPRESENCIAL


15

EJERCICIOS


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b 4

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x

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SEMIPRESENCIAL


16

CAPITULO II

2 DERIVADAS






SEMIPRESENCIAL


17








SEMIPRESENCIAL


18


Entonces



Entonces



SEMIPRESENCIAL


19


Entonces


NOTACIOacuteN







SEMIPRESENCIAL


20







Dxf



SEMIPRESENCIAL


21








LOGARIacuteTMICA

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EXPONENCIAL


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SEMIPRESENCIAL


22

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FUNCIONES INVERSAS


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Ejemplos


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6 xexf )(

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SEMIPRESENCIAL


24




SEMIPRESENCIAL


25

CAPITULO III






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1

1


Cr

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1



Entonces

a dxxfkdxxkf )()(







SEMIPRESENCIAL


26



SEMIPRESENCIAL


27



SEMIPRESENCIAL


28

CAPITULO IV




Entonces u = g(x)










SEMIPRESENCIAL


29

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

2 Solucioacuten

3 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


30

4 Solucioacuten

5 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


31

6 Solucioacuten

7 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


32



SEMIPRESENCIAL


33



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2

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TABLA DE INTEGRALES



SEMIPRESENCIAL


34



SEMIPRESENCIAL


35



SEMIPRESENCIAL


36



SEMIPRESENCIAL


37

BIBLIOGRAFIacuteA




Uteha Meacutexico



SEMIPRESENCIAL


3

NOTA











DEL MOacuteDULO



DE ACTIVIDADES


CUANTITATIVAMENTE









SEMIPRESENCIAL


4

GRACIAS















AUDITORIacuteA




y organizaciones









SEMIPRESENCIAL


5


auditoriacutea











Pymes

Industrias

Bancos

Financieras

ONG

Centros educativos







Jefe de oficina






SEMIPRESENCIAL


6

INTRODUCCIOacuteN








desigualdad








SEMIPRESENCIAL


7

CONTENIDOS


11 Definicioacuten

12 Continuidad













31 Definicioacuten


33 Potencia





BIBLIOGRAFIacuteA



SEMIPRESENCIAL


8

COMPETENCIAS
























SEMIPRESENCIAL


9


matemaacuteticos







SEMIPRESENCIAL


10







Ejemplos


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7

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2 Encuentre 3

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11

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12

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13

CAPITULO I

1 CONTINUIDAD



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12 CONTINUIDADA













sus dominio





Ejemplos




SEMIPRESENCIAL


14

a 52)( 2 xxxf


b 1

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simplificamos

13

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polinomiales)



de forma uniforme




existe



SEMIPRESENCIAL


15

EJERCICIOS


a 5263)( 2 xxxf

b 4

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x

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c 5)( xxf

d 5 4)( xxf

e )2(

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2

x

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SEMIPRESENCIAL


16

CAPITULO II

2 DERIVADAS






SEMIPRESENCIAL


17








SEMIPRESENCIAL


18


Entonces



Entonces



SEMIPRESENCIAL


19


Entonces


NOTACIOacuteN







SEMIPRESENCIAL


20







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21








LOGARIacuteTMICA

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22

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24




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25

CAPITULO III






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SEMIPRESENCIAL


26



SEMIPRESENCIAL


27



SEMIPRESENCIAL


28

CAPITULO IV




Entonces u = g(x)










SEMIPRESENCIAL


29

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

2 Solucioacuten

3 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


30

4 Solucioacuten

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31

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SEMIPRESENCIAL


32



SEMIPRESENCIAL


33



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TABLA DE INTEGRALES



SEMIPRESENCIAL


34



SEMIPRESENCIAL


35



SEMIPRESENCIAL


36



SEMIPRESENCIAL


37

BIBLIOGRAFIacuteA




Uteha Meacutexico



SEMIPRESENCIAL


4

GRACIAS















AUDITORIacuteA




y organizaciones









SEMIPRESENCIAL


5


auditoriacutea











Pymes

Industrias

Bancos

Financieras

ONG

Centros educativos







Jefe de oficina






SEMIPRESENCIAL


6

INTRODUCCIOacuteN








desigualdad








SEMIPRESENCIAL


7

CONTENIDOS


11 Definicioacuten

12 Continuidad













31 Definicioacuten


33 Potencia





BIBLIOGRAFIacuteA



SEMIPRESENCIAL


8

COMPETENCIAS
























SEMIPRESENCIAL


9


matemaacuteticos







SEMIPRESENCIAL


10







Ejemplos


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7

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11

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13

CAPITULO I

1 CONTINUIDAD



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Ejemplos




SEMIPRESENCIAL


14

a 52)( 2 xxxf


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x

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simplificamos

13

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SEMIPRESENCIAL


15

EJERCICIOS


a 5263)( 2 xxxf

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SEMIPRESENCIAL


16

CAPITULO II

2 DERIVADAS






SEMIPRESENCIAL


17








SEMIPRESENCIAL


18


Entonces



Entonces



SEMIPRESENCIAL


19


Entonces


NOTACIOacuteN







SEMIPRESENCIAL


20







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SEMIPRESENCIAL


21








LOGARIacuteTMICA

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22

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Ejemplos


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SEMIPRESENCIAL


23

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SEMIPRESENCIAL


24




SEMIPRESENCIAL


25

CAPITULO III






Cr

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Cr

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1



Entonces

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SEMIPRESENCIAL


26



SEMIPRESENCIAL


27



SEMIPRESENCIAL


28

CAPITULO IV




Entonces u = g(x)










SEMIPRESENCIAL


29

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

2 Solucioacuten

3 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


30

4 Solucioacuten

5 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


31

6 Solucioacuten

7 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


32



SEMIPRESENCIAL


33



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TABLA DE INTEGRALES



SEMIPRESENCIAL


34



SEMIPRESENCIAL


35



SEMIPRESENCIAL


36



SEMIPRESENCIAL


37

BIBLIOGRAFIacuteA




Uteha Meacutexico



SEMIPRESENCIAL


5


auditoriacutea











Pymes

Industrias

Bancos

Financieras

ONG

Centros educativos







Jefe de oficina






SEMIPRESENCIAL


6

INTRODUCCIOacuteN








desigualdad








SEMIPRESENCIAL


7

CONTENIDOS


11 Definicioacuten

12 Continuidad













31 Definicioacuten


33 Potencia





BIBLIOGRAFIacuteA



SEMIPRESENCIAL


8

COMPETENCIAS
























SEMIPRESENCIAL


9


matemaacuteticos







SEMIPRESENCIAL


10







Ejemplos


xx

7

512

)5)3(4(lim3

x

2 Encuentre 3

6lim

2

3

x

xx

x

5

)23(lim

)2(lim

3

)2)(3(lim

3

3

3

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x

x

x

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xx




SEMIPRESENCIAL


11

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n

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Ejemplos




SEMIPRESENCIAL


12

054

2510lim

10

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25)5(105lim

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13

CAPITULO I

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Ejemplos




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14

a 52)( 2 xxxf


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simplificamos

13

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de forma uniforme




existe



SEMIPRESENCIAL


15

EJERCICIOS


a 5263)( 2 xxxf

b 4

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x

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SEMIPRESENCIAL


16

CAPITULO II

2 DERIVADAS






SEMIPRESENCIAL


17








SEMIPRESENCIAL


18


Entonces



Entonces



SEMIPRESENCIAL


19


Entonces


NOTACIOacuteN







SEMIPRESENCIAL


20







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SEMIPRESENCIAL


21








LOGARIacuteTMICA

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EXPONENCIAL


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SUMA o





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22

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FUNCIONES INVERSAS


xxf 1sin)( 2

1

1)(

xxf

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1

1)(

xxf

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1

1)(

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Ejemplos


a

b

c


1 453)( 25 xxxf

2 xxxxf 464)( 42


16)(

1)3)(2()(

13)(

2

xxf

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1128)(

42)(

23

34

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22

2

22

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2

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2

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SEMIPRESENCIAL


23

4 3

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x

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5 xxf 3log)(

6 xexf )(

7 xxf 12)(


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SEMIPRESENCIAL


24




SEMIPRESENCIAL


25

CAPITULO III






Cr

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1

1


Cr

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rr

1

)()()(

1



Entonces

a dxxfkdxxkf )()(







SEMIPRESENCIAL


26



SEMIPRESENCIAL


27



SEMIPRESENCIAL


28

CAPITULO IV




Entonces u = g(x)










SEMIPRESENCIAL


29

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

2 Solucioacuten

3 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


30

4 Solucioacuten

5 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


31

6 Solucioacuten

7 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


32



SEMIPRESENCIAL


33



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x

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2

2

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2

22

2

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x

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TABLA DE INTEGRALES



SEMIPRESENCIAL


34



SEMIPRESENCIAL


35



SEMIPRESENCIAL


36



SEMIPRESENCIAL


37

BIBLIOGRAFIacuteA




Uteha Meacutexico



SEMIPRESENCIAL


6

INTRODUCCIOacuteN








desigualdad








SEMIPRESENCIAL


7

CONTENIDOS


11 Definicioacuten

12 Continuidad













31 Definicioacuten


33 Potencia





BIBLIOGRAFIacuteA



SEMIPRESENCIAL


8

COMPETENCIAS
























SEMIPRESENCIAL


9


matemaacuteticos







SEMIPRESENCIAL


10







Ejemplos


xx

7

512

)5)3(4(lim3

x

2 Encuentre 3

6lim

2

3

x

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5

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11

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0

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Ejemplos




SEMIPRESENCIAL


12

054

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10

0

5)5(45

25)5(105lim

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24

13

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21)1(4)1(lim

49

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2

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14

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01

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x

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x

x



SEMIPRESENCIAL


13

CAPITULO I

1 CONTINUIDAD



)()(lim cfxfcx

12 CONTINUIDADA













sus dominio





Ejemplos




SEMIPRESENCIAL


14

a 52)( 2 xxxf


b 1

1)(

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c 3

32)(

2

x

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simplificamos

13

)1)(3()(

x

x

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polinomiales)



de forma uniforme




existe



SEMIPRESENCIAL


15

EJERCICIOS


a 5263)( 2 xxxf

b 4

3)(

x

xxf

c 5)( xxf

d 5 4)( xxf

e )2(

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2

x

xxf

f 2

44)(

2

x

xxxf

g 3

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2

x

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SEMIPRESENCIAL


16

CAPITULO II

2 DERIVADAS






SEMIPRESENCIAL


17








SEMIPRESENCIAL


18


Entonces



Entonces



SEMIPRESENCIAL


19


Entonces


NOTACIOacuteN







SEMIPRESENCIAL


20







Dxf



SEMIPRESENCIAL


21








LOGARIacuteTMICA

xxf alog)( )ln(

1)(

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EXPONENCIAL


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SEMIPRESENCIAL


22

COCIENTE )(

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2

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FUNCIONES INVERSAS


xxf 1sin)( 2

1

1)(

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1

1)(

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1

1)(

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Ejemplos


a

b

c


1 453)( 25 xxxf

2 xxxxf 464)( 42


16)(

1)3)(2()(

13)(

2

xxf

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1128)(

42)(

23

34

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22

2

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SEMIPRESENCIAL


23

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5 xxf 3log)(

6 xexf )(

7 xxf 12)(


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SEMIPRESENCIAL


24




SEMIPRESENCIAL


25

CAPITULO III






Cr

xdxx

rr

1

1


Cr

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rr

1

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1



Entonces

a dxxfkdxxkf )()(







SEMIPRESENCIAL


26



SEMIPRESENCIAL


27



SEMIPRESENCIAL


28

CAPITULO IV




Entonces u = g(x)










SEMIPRESENCIAL


29

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

2 Solucioacuten

3 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


30

4 Solucioacuten

5 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


31

6 Solucioacuten

7 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


32



SEMIPRESENCIAL


33



dxx

xf

x

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2

2

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22

2

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TABLA DE INTEGRALES



SEMIPRESENCIAL


34



SEMIPRESENCIAL


35



SEMIPRESENCIAL


36



SEMIPRESENCIAL


37

BIBLIOGRAFIacuteA




Uteha Meacutexico



SEMIPRESENCIAL


7

CONTENIDOS


11 Definicioacuten

12 Continuidad













31 Definicioacuten


33 Potencia





BIBLIOGRAFIacuteA



SEMIPRESENCIAL


8

COMPETENCIAS
























SEMIPRESENCIAL


9


matemaacuteticos







SEMIPRESENCIAL


10







Ejemplos


xx

7

512

)5)3(4(lim3

x

2 Encuentre 3

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2

3

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5

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11

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Ejemplos




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12

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10

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25)5(105lim

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SEMIPRESENCIAL


13

CAPITULO I

1 CONTINUIDAD



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12 CONTINUIDADA













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Ejemplos




SEMIPRESENCIAL


14

a 52)( 2 xxxf


b 1

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simplificamos

13

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SEMIPRESENCIAL


15

EJERCICIOS


a 5263)( 2 xxxf

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SEMIPRESENCIAL


16

CAPITULO II

2 DERIVADAS






SEMIPRESENCIAL


17








SEMIPRESENCIAL


18


Entonces



Entonces



SEMIPRESENCIAL


19


Entonces


NOTACIOacuteN







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20







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21








LOGARIacuteTMICA

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22

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Ejemplos


a

b

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1 453)( 25 xxxf

2 xxxxf 464)( 42


16)(

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13)(

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xxf

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1128)(

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23

34

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SEMIPRESENCIAL


24




SEMIPRESENCIAL


25

CAPITULO III






Cr

xdxx

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1

1


Cr

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rr

1

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1



Entonces

a dxxfkdxxkf )()(







SEMIPRESENCIAL


26



SEMIPRESENCIAL


27



SEMIPRESENCIAL


28

CAPITULO IV




Entonces u = g(x)










SEMIPRESENCIAL


29

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

2 Solucioacuten

3 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


30

4 Solucioacuten

5 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


31

6 Solucioacuten

7 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


32



SEMIPRESENCIAL


33



dxx

xf

x

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2

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x

dxb

dxxxa

TABLA DE INTEGRALES



SEMIPRESENCIAL


34



SEMIPRESENCIAL


35



SEMIPRESENCIAL


36



SEMIPRESENCIAL


37

BIBLIOGRAFIacuteA




Uteha Meacutexico



SEMIPRESENCIAL


8

COMPETENCIAS
























SEMIPRESENCIAL


9


matemaacuteticos







SEMIPRESENCIAL


10







Ejemplos


xx

7

512

)5)3(4(lim3

x

2 Encuentre 3

6lim

2

3

x

xx

x

5

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SEMIPRESENCIAL


11

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12

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10

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24

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13

CAPITULO I

1 CONTINUIDAD



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12 CONTINUIDADA













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Ejemplos




SEMIPRESENCIAL


14

a 52)( 2 xxxf


b 1

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c 3

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x

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simplificamos

13

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x

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polinomiales)



de forma uniforme




existe



SEMIPRESENCIAL


15

EJERCICIOS


a 5263)( 2 xxxf

b 4

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c 5)( xxf

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SEMIPRESENCIAL


16

CAPITULO II

2 DERIVADAS






SEMIPRESENCIAL


17








SEMIPRESENCIAL


18


Entonces



Entonces



SEMIPRESENCIAL


19


Entonces


NOTACIOacuteN







SEMIPRESENCIAL


20







Dxf



SEMIPRESENCIAL


21








LOGARIacuteTMICA

xxf alog)( )ln(

1)(

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)(

EXPONENCIAL


xexf )( xexf )(


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SUMA o





SEMIPRESENCIAL


22

COCIENTE )(

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xh

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2

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FUNCIONES INVERSAS


xxf 1sin)( 2

1

1)(

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1

1)(

xxf

Ejemplos


a

b

c


1 453)( 25 xxxf

2 xxxxf 464)( 42


16)(

1)3)(2()(

13)(

2

xxf

xxf

xxf

1128)(

42)(

23

34

xxxf

xxxxf

22

2

22

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3

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xx

xx

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SEMIPRESENCIAL


23

4 3

23)(

x

xxf

5 xxf 3log)(

6 xexf )(

7 xxf 12)(


)()( xgxgfdx

xgdf


oacute





SEMIPRESENCIAL


24




SEMIPRESENCIAL


25

CAPITULO III






Cr

xdxx

rr

1

1


Cr

xgdxxgxg

rr

1

)()()(

1



Entonces

a dxxfkdxxkf )()(







SEMIPRESENCIAL


26



SEMIPRESENCIAL


27



SEMIPRESENCIAL


28

CAPITULO IV




Entonces u = g(x)










SEMIPRESENCIAL


29

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

2 Solucioacuten

3 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


30

4 Solucioacuten

5 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


31

6 Solucioacuten

7 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


32



SEMIPRESENCIAL


33



dxx

xf

x

xxe

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2

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22

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tt

dte

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xxd

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x

dxb

dxxxa

TABLA DE INTEGRALES



SEMIPRESENCIAL


34



SEMIPRESENCIAL


35



SEMIPRESENCIAL


36



SEMIPRESENCIAL


37

BIBLIOGRAFIacuteA




Uteha Meacutexico



SEMIPRESENCIAL


9


matemaacuteticos







SEMIPRESENCIAL


10







Ejemplos


xx

7

512

)5)3(4(lim3

x

2 Encuentre 3

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Ejemplos




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12

054

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2

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24

13

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49

214lim

2

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14

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x

x

x



SEMIPRESENCIAL


13

CAPITULO I

1 CONTINUIDAD



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12 CONTINUIDADA













sus dominio





Ejemplos




SEMIPRESENCIAL


14

a 52)( 2 xxxf


b 1

1)(

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2

x

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simplificamos

13

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x

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polinomiales)



de forma uniforme




existe



SEMIPRESENCIAL


15

EJERCICIOS


a 5263)( 2 xxxf

b 4

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x

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c 5)( xxf

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2

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SEMIPRESENCIAL


16

CAPITULO II

2 DERIVADAS






SEMIPRESENCIAL


17








SEMIPRESENCIAL


18


Entonces



Entonces



SEMIPRESENCIAL


19


Entonces


NOTACIOacuteN







SEMIPRESENCIAL


20







Dxf



SEMIPRESENCIAL


21








LOGARIacuteTMICA

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EXPONENCIAL


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SEMIPRESENCIAL


22

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2

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FUNCIONES INVERSAS


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Ejemplos


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1 453)( 25 xxxf

2 xxxxf 464)( 42


16)(

1)3)(2()(

13)(

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23

34

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SEMIPRESENCIAL


23

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5 xxf 3log)(

6 xexf )(

7 xxf 12)(


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SEMIPRESENCIAL


24




SEMIPRESENCIAL


25

CAPITULO III






Cr

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1

1


Cr

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1

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1



Entonces

a dxxfkdxxkf )()(







SEMIPRESENCIAL


26



SEMIPRESENCIAL


27



SEMIPRESENCIAL


28

CAPITULO IV




Entonces u = g(x)










SEMIPRESENCIAL


29

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

2 Solucioacuten

3 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


30

4 Solucioacuten

5 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


31

6 Solucioacuten

7 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


32



SEMIPRESENCIAL


33



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x

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2

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TABLA DE INTEGRALES



SEMIPRESENCIAL


34



SEMIPRESENCIAL


35



SEMIPRESENCIAL


36



SEMIPRESENCIAL


37

BIBLIOGRAFIacuteA




Uteha Meacutexico



SEMIPRESENCIAL


10







Ejemplos


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7

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x

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Ejemplos




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12

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10

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24

13

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49

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x



SEMIPRESENCIAL


13

CAPITULO I

1 CONTINUIDAD



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12 CONTINUIDADA













sus dominio





Ejemplos




SEMIPRESENCIAL


14

a 52)( 2 xxxf


b 1

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simplificamos

13

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polinomiales)



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15

EJERCICIOS


a 5263)( 2 xxxf

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c 5)( xxf

d 5 4)( xxf

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SEMIPRESENCIAL


16

CAPITULO II

2 DERIVADAS






SEMIPRESENCIAL


17








SEMIPRESENCIAL


18


Entonces



Entonces



SEMIPRESENCIAL


19


Entonces


NOTACIOacuteN







SEMIPRESENCIAL


20







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21








LOGARIacuteTMICA

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EXPONENCIAL


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22

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FUNCIONES INVERSAS


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Ejemplos


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b

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1 453)( 25 xxxf

2 xxxxf 464)( 42


16)(

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23

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SEMIPRESENCIAL


23

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6 xexf )(

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SEMIPRESENCIAL


24




SEMIPRESENCIAL


25

CAPITULO III






Cr

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1

1


Cr

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1



Entonces

a dxxfkdxxkf )()(







SEMIPRESENCIAL


26



SEMIPRESENCIAL


27



SEMIPRESENCIAL


28

CAPITULO IV




Entonces u = g(x)










SEMIPRESENCIAL


29

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

2 Solucioacuten

3 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


30

4 Solucioacuten

5 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


31

6 Solucioacuten

7 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


32



SEMIPRESENCIAL


33



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TABLA DE INTEGRALES



SEMIPRESENCIAL


34



SEMIPRESENCIAL


35



SEMIPRESENCIAL


36



SEMIPRESENCIAL


37

BIBLIOGRAFIacuteA




Uteha Meacutexico



SEMIPRESENCIAL


11

ncx

n

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Ejemplos




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12

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13

49

214lim

48

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21)1(4)1(lim

49

214lim

2

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14

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x



SEMIPRESENCIAL


13

CAPITULO I

1 CONTINUIDAD



)()(lim cfxfcx

12 CONTINUIDADA













sus dominio





Ejemplos




SEMIPRESENCIAL


14

a 52)( 2 xxxf


b 1

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x

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simplificamos

13

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polinomiales)



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existe



SEMIPRESENCIAL


15

EJERCICIOS


a 5263)( 2 xxxf

b 4

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x

xxf

c 5)( xxf

d 5 4)( xxf

e )2(

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SEMIPRESENCIAL


16

CAPITULO II

2 DERIVADAS






SEMIPRESENCIAL


17








SEMIPRESENCIAL


18


Entonces



Entonces



SEMIPRESENCIAL


19


Entonces


NOTACIOacuteN







SEMIPRESENCIAL


20







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SEMIPRESENCIAL


21








LOGARIacuteTMICA

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EXPONENCIAL


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22

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FUNCIONES INVERSAS


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Ejemplos


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SEMIPRESENCIAL


23

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6 xexf )(

7 xxf 12)(


)()( xgxgfdx

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SEMIPRESENCIAL


24




SEMIPRESENCIAL


25

CAPITULO III






Cr

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rr

1

1


Cr

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rr

1

)()()(

1



Entonces

a dxxfkdxxkf )()(







SEMIPRESENCIAL


26



SEMIPRESENCIAL


27



SEMIPRESENCIAL


28

CAPITULO IV




Entonces u = g(x)










SEMIPRESENCIAL


29

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

2 Solucioacuten

3 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


30

4 Solucioacuten

5 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


31

6 Solucioacuten

7 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


32



SEMIPRESENCIAL


33



dxx

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x

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TABLA DE INTEGRALES



SEMIPRESENCIAL


34



SEMIPRESENCIAL


35



SEMIPRESENCIAL


36



SEMIPRESENCIAL


37

BIBLIOGRAFIacuteA




Uteha Meacutexico



SEMIPRESENCIAL


12

054

2510lim

10

0

5)5(45

25)5(105lim

5)5(45

25)5(105lim

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SEMIPRESENCIAL


13

CAPITULO I

1 CONTINUIDAD



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12 CONTINUIDADA













sus dominio





Ejemplos




SEMIPRESENCIAL


14

a 52)( 2 xxxf


b 1

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simplificamos

13

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polinomiales)



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existe



SEMIPRESENCIAL


15

EJERCICIOS


a 5263)( 2 xxxf

b 4

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d 5 4)( xxf

e )2(

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SEMIPRESENCIAL


16

CAPITULO II

2 DERIVADAS






SEMIPRESENCIAL


17








SEMIPRESENCIAL


18


Entonces



Entonces



SEMIPRESENCIAL


19


Entonces


NOTACIOacuteN







SEMIPRESENCIAL


20







Dxf



SEMIPRESENCIAL


21








LOGARIacuteTMICA

xxf alog)( )ln(

1)(

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)(

EXPONENCIAL


xexf )( xexf )(


xxf sin)( xxf cos)(

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SUMA o





SEMIPRESENCIAL


22

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FUNCIONES INVERSAS


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Ejemplos


a

b

c


1 453)( 25 xxxf

2 xxxxf 464)( 42


16)(

1)3)(2()(

13)(

2

xxf

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1128)(

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23

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6 xexf )(

7 xxf 12)(


)()( xgxgfdx

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SEMIPRESENCIAL


24




SEMIPRESENCIAL


25

CAPITULO III






Cr

xdxx

rr

1

1


Cr

xgdxxgxg

rr

1

)()()(

1



Entonces

a dxxfkdxxkf )()(







SEMIPRESENCIAL


26



SEMIPRESENCIAL


27



SEMIPRESENCIAL


28

CAPITULO IV




Entonces u = g(x)










SEMIPRESENCIAL


29

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

2 Solucioacuten

3 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


30

4 Solucioacuten

5 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


31

6 Solucioacuten

7 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


32



SEMIPRESENCIAL


33



dxx

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x

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TABLA DE INTEGRALES



SEMIPRESENCIAL


34



SEMIPRESENCIAL


35



SEMIPRESENCIAL


36



SEMIPRESENCIAL


37

BIBLIOGRAFIacuteA




Uteha Meacutexico



SEMIPRESENCIAL


13

CAPITULO I

1 CONTINUIDAD



)()(lim cfxfcx

12 CONTINUIDADA













sus dominio





Ejemplos




SEMIPRESENCIAL


14

a 52)( 2 xxxf


b 1

1)(

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c 3

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2

x

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simplificamos

13

)1)(3()(

x

x

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polinomiales)



de forma uniforme




existe



SEMIPRESENCIAL


15

EJERCICIOS


a 5263)( 2 xxxf

b 4

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x

xxf

c 5)( xxf

d 5 4)( xxf

e )2(

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2

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2

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SEMIPRESENCIAL


16

CAPITULO II

2 DERIVADAS






SEMIPRESENCIAL


17








SEMIPRESENCIAL


18


Entonces



Entonces



SEMIPRESENCIAL


19


Entonces


NOTACIOacuteN







SEMIPRESENCIAL


20







Dxf



SEMIPRESENCIAL


21








LOGARIacuteTMICA

xxf alog)( )ln(

1)(

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)(

EXPONENCIAL


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SEMIPRESENCIAL


22

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2

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FUNCIONES INVERSAS


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1

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Ejemplos


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2 xxxxf 464)( 42


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23

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6 xexf )(

7 xxf 12)(


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SEMIPRESENCIAL


24




SEMIPRESENCIAL


25

CAPITULO III






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1

1


Cr

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1

)()()(

1



Entonces

a dxxfkdxxkf )()(







SEMIPRESENCIAL


26



SEMIPRESENCIAL


27



SEMIPRESENCIAL


28

CAPITULO IV




Entonces u = g(x)










SEMIPRESENCIAL


29

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

2 Solucioacuten

3 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


30

4 Solucioacuten

5 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


31

6 Solucioacuten

7 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


32



SEMIPRESENCIAL


33



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TABLA DE INTEGRALES



SEMIPRESENCIAL


34



SEMIPRESENCIAL


35



SEMIPRESENCIAL


36



SEMIPRESENCIAL


37

BIBLIOGRAFIacuteA




Uteha Meacutexico



SEMIPRESENCIAL


14

a 52)( 2 xxxf


b 1

1)(

xxf




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2

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13

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SEMIPRESENCIAL


15

EJERCICIOS


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SEMIPRESENCIAL


16

CAPITULO II

2 DERIVADAS






SEMIPRESENCIAL


17








SEMIPRESENCIAL


18


Entonces



Entonces



SEMIPRESENCIAL


19


Entonces


NOTACIOacuteN







SEMIPRESENCIAL


20







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21








LOGARIacuteTMICA

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EXPONENCIAL


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22

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FUNCIONES INVERSAS


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Ejemplos


a

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1 453)( 25 xxxf

2 xxxxf 464)( 42


16)(

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13)(

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SEMIPRESENCIAL


24




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CAPITULO III






Cr

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1

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Cr

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Entonces

a dxxfkdxxkf )()(







SEMIPRESENCIAL


26



SEMIPRESENCIAL


27



SEMIPRESENCIAL


28

CAPITULO IV




Entonces u = g(x)










SEMIPRESENCIAL


29

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

2 Solucioacuten

3 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


30

4 Solucioacuten

5 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


31

6 Solucioacuten

7 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


32



SEMIPRESENCIAL


33



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TABLA DE INTEGRALES



SEMIPRESENCIAL


34



SEMIPRESENCIAL


35



SEMIPRESENCIAL


36



SEMIPRESENCIAL


37

BIBLIOGRAFIacuteA




Uteha Meacutexico



SEMIPRESENCIAL


15

EJERCICIOS


a 5263)( 2 xxxf

b 4

3)(

x

xxf

c 5)( xxf

d 5 4)( xxf

e )2(

)4()(

2

x

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2

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2

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SEMIPRESENCIAL


16

CAPITULO II

2 DERIVADAS






SEMIPRESENCIAL


17








SEMIPRESENCIAL


18


Entonces



Entonces



SEMIPRESENCIAL


19


Entonces


NOTACIOacuteN







SEMIPRESENCIAL


20







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21








LOGARIacuteTMICA

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Ejemplos


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24




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1

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SEMIPRESENCIAL


26



SEMIPRESENCIAL


27



SEMIPRESENCIAL


28

CAPITULO IV




Entonces u = g(x)










SEMIPRESENCIAL


29

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

2 Solucioacuten

3 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


30

4 Solucioacuten

5 Solucioacuten



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31

6 Solucioacuten

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SEMIPRESENCIAL


32



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33



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TABLA DE INTEGRALES



SEMIPRESENCIAL


34



SEMIPRESENCIAL


35



SEMIPRESENCIAL


36



SEMIPRESENCIAL


37

BIBLIOGRAFIacuteA




Uteha Meacutexico



SEMIPRESENCIAL


16

CAPITULO II

2 DERIVADAS






SEMIPRESENCIAL


17








SEMIPRESENCIAL


18


Entonces



Entonces



SEMIPRESENCIAL


19


Entonces


NOTACIOacuteN







SEMIPRESENCIAL


20







Dxf



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21








LOGARIacuteTMICA

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22

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Ejemplos


a

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24




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25

CAPITULO III






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1

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Cr

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1

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Entonces

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SEMIPRESENCIAL


26



SEMIPRESENCIAL


27



SEMIPRESENCIAL


28

CAPITULO IV




Entonces u = g(x)










SEMIPRESENCIAL


29

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

2 Solucioacuten

3 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


30

4 Solucioacuten

5 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


31

6 Solucioacuten

7 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


32



SEMIPRESENCIAL


33



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TABLA DE INTEGRALES



SEMIPRESENCIAL


34



SEMIPRESENCIAL


35



SEMIPRESENCIAL


36



SEMIPRESENCIAL


37

BIBLIOGRAFIacuteA




Uteha Meacutexico



SEMIPRESENCIAL


17








SEMIPRESENCIAL


18


Entonces



Entonces



SEMIPRESENCIAL


19


Entonces


NOTACIOacuteN







SEMIPRESENCIAL


20







Dxf



SEMIPRESENCIAL


21








LOGARIacuteTMICA

xxf alog)( )ln(

1)(

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)(

EXPONENCIAL


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SUMA o





SEMIPRESENCIAL


22

COCIENTE )(

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FUNCIONES INVERSAS


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Ejemplos


a

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16)(

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SEMIPRESENCIAL


23

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6 xexf )(

7 xxf 12)(


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24




SEMIPRESENCIAL


25

CAPITULO III






Cr

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1

1


Cr

xgdxxgxg

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1

)()()(

1



Entonces

a dxxfkdxxkf )()(







SEMIPRESENCIAL


26



SEMIPRESENCIAL


27



SEMIPRESENCIAL


28

CAPITULO IV




Entonces u = g(x)










SEMIPRESENCIAL


29

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

2 Solucioacuten

3 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


30

4 Solucioacuten

5 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


31

6 Solucioacuten

7 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


32



SEMIPRESENCIAL


33



dxx

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TABLA DE INTEGRALES



SEMIPRESENCIAL


34



SEMIPRESENCIAL


35



SEMIPRESENCIAL


36



SEMIPRESENCIAL


37

BIBLIOGRAFIacuteA




Uteha Meacutexico



SEMIPRESENCIAL


18


Entonces



Entonces



SEMIPRESENCIAL


19


Entonces


NOTACIOacuteN







SEMIPRESENCIAL


20







Dxf



SEMIPRESENCIAL


21








LOGARIacuteTMICA

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22

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Ejemplos


a

b

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1 453)( 25 xxxf

2 xxxxf 464)( 42


16)(

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23

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7 xxf 12)(


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SEMIPRESENCIAL


24




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25

CAPITULO III






Cr

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1

1


Cr

xgdxxgxg

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1

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1



Entonces

a dxxfkdxxkf )()(







SEMIPRESENCIAL


26



SEMIPRESENCIAL


27



SEMIPRESENCIAL


28

CAPITULO IV




Entonces u = g(x)










SEMIPRESENCIAL


29

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

2 Solucioacuten

3 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


30

4 Solucioacuten

5 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


31

6 Solucioacuten

7 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


32



SEMIPRESENCIAL


33



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TABLA DE INTEGRALES



SEMIPRESENCIAL


34



SEMIPRESENCIAL


35



SEMIPRESENCIAL


36



SEMIPRESENCIAL


37

BIBLIOGRAFIacuteA




Uteha Meacutexico



SEMIPRESENCIAL


19


Entonces


NOTACIOacuteN







SEMIPRESENCIAL


20







Dxf



SEMIPRESENCIAL


21








LOGARIacuteTMICA

xxf alog)( )ln(

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EXPONENCIAL


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SUMA o





SEMIPRESENCIAL


22

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FUNCIONES INVERSAS


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Ejemplos


a

b

c


1 453)( 25 xxxf

2 xxxxf 464)( 42


16)(

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CAPITULO III






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1

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Cr

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1

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Entonces

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SEMIPRESENCIAL


26



SEMIPRESENCIAL


27



SEMIPRESENCIAL


28

CAPITULO IV




Entonces u = g(x)










SEMIPRESENCIAL


29

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

2 Solucioacuten

3 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


30

4 Solucioacuten

5 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


31

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SEMIPRESENCIAL


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TABLA DE INTEGRALES



SEMIPRESENCIAL


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SEMIPRESENCIAL


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SEMIPRESENCIAL


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SEMIPRESENCIAL


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BIBLIOGRAFIacuteA




Uteha Meacutexico



SEMIPRESENCIAL


20







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SEMIPRESENCIAL


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LOGARIacuteTMICA

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EXPONENCIAL


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SEMIPRESENCIAL


22

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SEMIPRESENCIAL


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CAPITULO IV




Entonces u = g(x)










SEMIPRESENCIAL


29

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

2 Solucioacuten

3 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


30

4 Solucioacuten

5 Solucioacuten



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TABLA DE INTEGRALES



SEMIPRESENCIAL


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SEMIPRESENCIAL


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SEMIPRESENCIAL


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SEMIPRESENCIAL


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BIBLIOGRAFIacuteA




Uteha Meacutexico



SEMIPRESENCIAL


21








LOGARIacuteTMICA

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22

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CAPITULO IV




Entonces u = g(x)










SEMIPRESENCIAL


29

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

2 Solucioacuten

3 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


30

4 Solucioacuten

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TABLA DE INTEGRALES



SEMIPRESENCIAL


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SEMIPRESENCIAL


35



SEMIPRESENCIAL


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SEMIPRESENCIAL


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BIBLIOGRAFIacuteA




Uteha Meacutexico



SEMIPRESENCIAL


22

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Ejemplos


a

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c


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2 xxxxf 464)( 42


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23

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SEMIPRESENCIAL


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SEMIPRESENCIAL


27



SEMIPRESENCIAL


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CAPITULO IV




Entonces u = g(x)










SEMIPRESENCIAL


29

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

2 Solucioacuten

3 Solucioacuten



SEMIPRESENCIAL


30

4 Solucioacuten

5 Solucioacuten



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TABLA DE INTEGRALES



SEMIPRESENCIAL


34



SEMIPRESENCIAL


35



SEMIPRESENCIAL


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SEMIPRESENCIAL


37

BIBLIOGRAFIacuteA




Uteha Meacutexico



SEMIPRESENCIAL


23

4 3

23)(

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5 xxf 3log)(

6 xexf )(

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CAPITULO III






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SEMIPRESENCIAL


26



SEMIPRESENCIAL


27



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CAPITULO IV




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SEMIPRESENCIAL


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S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

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30

4 Solucioacuten

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BIBLIOGRAFIacuteA




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SEMIPRESENCIAL


24




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CAPITULO III






Cr

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S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

2 Solucioacuten

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TABLA DE INTEGRALES



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BIBLIOGRAFIacuteA




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SEMIPRESENCIAL


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CAPITULO III






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CAPITULO IV




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29

S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

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SEMIPRESENCIAL


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SEMIPRESENCIAL


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SEMIPRESENCIAL


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BIBLIOGRAFIacuteA




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SEMIPRESENCIAL


26



SEMIPRESENCIAL


27



SEMIPRESENCIAL


28

CAPITULO IV




Entonces u = g(x)










SEMIPRESENCIAL


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S o l u c i o n e s

1 Solucioacuten

2 Solucioacuten

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SEMIPRESENCIAL


30

4 Solucioacuten

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Entonces u = g(x)










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1 Solucioacuten

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Entonces u = g(x)










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