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IntroduccionLımites

ContinuidadTeoremas importantes sobre continuidad

Lımites y continuidad. Teoremas sobre continuidad.

Juan Ruiz1 Marcos Marva1

1Departamento de Matematicas. Universidad de Alcala de Henares.

Matematicas (Grado en Biologıa)

Juan Ruiz Alvarez Matematicas (Grado en Biologıa)



Contenidos

1 Introduccion

2 Lımites

3 Continuidad

4 Teoremas importantes sobre continuidad




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1 Introduccion

2 Lımites

3 Continuidad





Introduccion

¿Podemos saber que ocurrio en la que imagen que falta?




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1 Introduccion

2 Lımites

3 Continuidad





Recordatorio sobre lımites

Definicion informal:

El lımite de f (x) cuando x tiende a c , es igual a L, significa quef (x) puede tomar valores arbitrariamente cercanos a L, siempreque x este suficientemente cerca de c (pero no sea igual a c). Estose indica como:

lımx→c

f (x) = L

o f (x)→ L cuando x → c .

Si lımx→c f (x) = L y L es un numero finito, se dice que el lımiteexiste y que f (x) converge a L. Si el lımite no existe, se dice quef (x) diverge cuando x → c .




Recordatorio sobre lımites

Conviene aclarar que x siempre sera cercano a c pero nunca igual.Por lo tanto, no vale unicamente con sustituir x por c. De hecho elvalor de f (c) es irrelevante para calcular lımx→c f (x). Veremosejemplos en los que f (c) no esta definida.x puede aproximarse a c por la derecha o por la izquierda.Utilizaremos la notacion:

Lımite por la derecha: lımx→c+ f (x) cuando x se acerca a cpor la derecha.

Lımite por la izquierda: lımx→c− f (x) cuando x se acerca a cpor la izquierda.




Ejemplos de lımites que existen

lımx→2 x2

lımx→3x2−9x−3




Ejemplos de lımites que no existen

lımx→0|x |x

lımx→01x2

lımx→0 sin(πx

)




Propiedades sobre lımites

Sea a una constante y supongamos que lımx→c f (x) y lımx→c g(x)existen. Se cumplen entonces las siguientes reglas:

lımx→c af (x) = a lımx→c f (x).

lımx→c [f (x) + g(x)] = lımx→c f (x) + lımx→c g(x).

lımx→c [f (x) · g(x)] = lımx→c f (x) · lımx→c g(x).

lımx→cf (x)g(x) = lımx→c f (x)

lımx→c g(x) , suponiendo que lımx→c g(x) 6= 0.




Propiedades sobre lımites

Si f (x) es un polinomio, entonces

lımx→c

f (x) = f (c)

Si f (x) es una funcion racional, es decir:

f (x) =p(x)

q(x)

siendo p(x) y q(x) polinomios y q(c) 6= 0, entonces

lımx→c

f (x) = lımx→c

p(x)

q(x)=

p(c)

q(c)= f (c)




Lımites infinitos

Lımites infinitos en un punto

Estos lımites estan relacionados con la presencia de una asıntotavertical en x = a.

lımx→a f (x) = ±∞lımx→a− f (x) = ±∞lımx→a+ f (x) = ±∞

Lımites infinitos en el infinito

lımx→±∞ f (x) = ±∞




Lımites finitos

Lımites finitos en un punto

lımx→a f (x) = L

lımx→a− f (x) = L

lımx→a+ f (x) = L

Lımites finitos en el infinito

Estos lımites estan relacionados con la presencia de una asıntotahorizontal:

lımx→±∞ f (x) = b




Ejemplos de calculo de lımites

lımx→3x2−4x+3x2+x−12

lımx→2x2−x+5x−2 (Nota: hacer lımites laterales.)

lımx→π2

tg(x)sec(x)

lımx→4

√x−2x−4

lımx→1

(1

x−1 −2

x2−1

)lımx→∞

3x4−7x+97x4−4

lımx→∞3x3−7x+9

7x4−4

lımx→−∞3x8−7x+9

7x3−4

lımx→∞ x3

lımx→∞ x−3




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Defnicion de continuidad

Definicion:

Se dice que una funcion es continua en x = c si

lımx→c

f (x) = f (c).

Para comprobar si una funcion es continua en x = c , es necesariocomprobar las tres condiciones siguientes:

f (x) esta definida en x = c .

Existe el lımite lımx→c f (x).

lımx→c f (x) es igual a f (c).

Si falla alguna de las tres condiciones, la funcion es discontinua enx = c .




Continuidad por la derecha y por la izquierda

Definicion:

Se dice que una funcion es continua por la derecha en x = c si

lımx→c+

f (x) = f (c).

y continua por la izquierda en x = c si

lımx→c−

f (x) = f (c).




Combinacion de funciones continuas

Propiedades

Sea a una constante y sean las funciones f y g continuas en x = c .Entonces las funciones siguientes son continuas en x = c:

a · ff + g

f · g .fg con tal de que g(c) 6= 0.




Combinacion de funciones continuas

Teorema

Si g(x) es continua en x = c con g(c) = L y f (x) es continua enx = L, entonces la funcion (f ◦ g)(c) es continua en x = c . Enparticular,

lımx→0

(f ◦ g)(x) = lımx→c

f [g(x)] = f [g(c)] = f (L)




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3 Continuidad





Teorema del valor intermedio

Teorema

Sea f una funcion continua en el intervalo cerrado [a, b]. Si L es unnumero real tal que f (a) < L < f (b) o f (b) < L < f (a), existe almenos un numero c en el intervalo abierto (a, b) tal que f (c) = L.




Teorema de Bolzano

Teorema

Sea f una funcion continua en el intervalo cerrado [a, b] con f (a) yf (b) no nulos y de signos opuestos. Entonces f (x) tiene algun ceroen (a,b).




Claudia Neuhaser. Matematicas para ciencias. Ed. Pearson-Prentice Hall.


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