Contexto Aleatorio de La Direccion de Plazos

Contexto aleatorio de la direccin de plazos

Metodologa, organizacin y gestin de proyectos

rea de Proyectos de Ingeniera

Proyectos (API) Leccin 6 1 / 58

Introduccin

ndice

1 Introduccin

2 Contexto aleatorio de la planificacin temporal

3 Conclusiones

4 Lecturas recomendadas


Introduccin Objetivos

Objetivos

Tras esta leccin, el alumno conocer:1 Lo aleatorio de la duracin de las actividades2 Las distribuciones aleatorias ms utilizadas3 Los parmetros de las distribuciones pert-Beta4 Las dificultad de estimacin de estos parmetros5 El carcter aleatorio de la duracin del proyecto6 El mtodo de aproximacin a la normal7 Las condiciones de uso del tlc8 El mtodo de los momentos9 El mtodo basado en pert--path10 El mtodo de Monte Carlo


Contexto aleatorio de la planificacin temporal

ndice

1 Introduccin


3 Conclusiones



Contexto aleatorio de la planificacin temporal La duracin de las actividades como una variable aleatoria

La duracin de las actividades como una variable aleatoriaLos enfoques determinista y aleatorio

El enfoque Determinista vs. AleatorioHemos considerado al cronograma segn unenfoque deterministaNo hay certeza en la estimacin de laduracin de una actividad por realizar.Es bueno incorporar el carcter aleatorio dela duracin de las actividades a los modelosutilizados.



La duracin de las actividades como una variable aleatoriaLa ley BETA

ta m b

= 5 = 2f(

t)

La ley BETA

f (t) =

0 si t aK (t a)(b t) si a < t < b0 si b t

y : son los parmetros de formaa y b: son las estimaciones optimista y

pesimista

K = 1 ba (t a) (b t) dt



La duracin de las actividades como una variable aleatoriaLa ley BETA

La ley BETASu forma no es simtrica:

asimetra hacia la derecha si a+b2 > masimetra hacia la izquierda si a+b2 < m

No es asinttica con el eje de abscisas

ta m b

f(t) = 2

= 5

ta m b

= 5 = 2f(

t)



La duracin de las actividades como una variable aleatoriaLas leyes BETA y PERT-BETA

La ley BETA

D = a + ( + )m + b + + 2

2 =(b a)2( + 1)(+ 1)

( + + 2)2( + + 3)

La ley PERTBETADe todas las Betas, la que mejor ajusta la duracin de las actividades

2 =(b a

6

)2Se delimita el conjunto de curvas de la familia Beta



La duracin de las actividades como una variable aleatoriaLa ley PERT-BETA

Tambin tenamos:

2 =(b a)2( + 1)(+ 1)

( + + 2)2( + + 3)

2 =(b a

6

)2De donde:

( + 1)(+ 1)( + + 2)2( + + 3) =

136

Clculo de la moda

dfdt = (b t) (t a)

dfdt (m) = 0 m =

a+ b +

De donde:a+ b +

= m




As, y quedn fijados:

=

{2 +2 si m > a+b2

22 si m < a+b2

=

{22 si m > a+b22 +2 si m < a+b2

Conocidos a, b y m resulta sencillo determinar D y 2

D = a + 4m + b6

2 =(b a

6

)2




As, y quedn fijados:

=

{2 +2 si m > a+b2

22 si m < a+b2

=

{22 si m > a+b22 +2 si m < a+b2

Conocidos a, b y m resulta sencillo determinar D y 2

D = a + 4m + b6

2 =(b a

6

)2Proyectos (API) Leccin 6 10 / 58



InconvenientesLa estimacin de a, b y m:

Resulta complejaEs subjetivaEs ambiguaLa gente no es buena estimadora de valores extremos

Pero ademsRepresentar la duracin de las actividades mediante valores mediossupone un sesgo peligroso hacia el optimismo,

Porque el valor ms probable de esta duracin, la moda, pueda sersuperior,Por el resultado obtenido en los nodos donde converjan variasactividades.



La duracin de las actividades como una variable aleatoriaOtras leyes: la ley Normal

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

x

f(x)

f (x ; = {, }) = 12pi e 12( x )

2



La duracin de las actividades como una variable aleatoriaOtras leyes: la ley Lognormal

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

x

f(x)

f (x ; = {, }) = 1x2pi e 12( ln x )

2



La duracin de las actividades como una variable aleatoriaOtras leyes: la ley Weibull

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.05

0.10

0.15

x

f(x)

f (x) = k( x

)k1 e(x/)k


Contexto aleatorio de la planificacin temporal La duracin del proyecto como una variable aleatoria

La duracin del proyecto como una variable aleatoriaMtodo de la aproximacin normal

teorema del lmite centralLa suma de n variables aleatorias independientes e idnticamentedistribuidas, converge en distribucin, cuando n tiende a infinito, a unavariable aleatoria que sigue una distribucin normal que tiene por media lasuma de las medias y por varianza la suma de las varianzas de las nvariables aleatorias.

Para las tareas del camino crtico:

= 1 + 2 + + i + + n

N = n

i=1i , =

ni=1

2i




Ventaja:Estimacin de la probabilidad de completar el proyecto en un determinadoplazo: F () = p ( )

x

f(x)

F ( ; = {, }) =

12pi e 12( x )

2dx



La duracin de las actividades como una variable aleatoriaOtras leyes: la ley Normal

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.53590.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.57530.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.61410.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.65170.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.68790.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.72240.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.75490.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.78520.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.81330.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.83891.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.86211.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.88301.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015




Tipificacin:

= rs ; r , s |

N (0, 1)

E()

= E( rs

)=

1s E ( r) =

1s (E () r)

=1s ( r) = 0

de donde

r =




Tipificacin:

= s ; s |

N (0, 1)

Var()

= Var( s

)=

1s2Var ( )

=1s2 (Var () Var ()) =

1s2(2 0

)=

2

s2 = 1

de donde

s = Proyectos (API) Leccin 6 19 / 58



Tipificacin:

=

N (0, 1)

Determinar probabilidad de un dado

F ( ; = {, }) = p ( ; = {, })= p

(

; = {0, 1}

)= F

(

; = {0, 1})




Determinar para superar un dado:

| p ( ; = {, }) =

F ( ; = {, }) = F(

; = {0, 1})

=

=

= +




InconvenientesNo siempre se cumplirn las premisas del TLCLa duracin del proyecto no siempre vendr determinada por el mismocamino crtico



La duracin del proyecto como una variable aleatoriaMtodo basado en PERTpath

A partir del grafo pert o Roy1 Se identifican los posibles estados de ejecucin2 Se traza el grafo de sus transiciones3 Se despliega este grafo en forma de un rbol4 Se caracteriza la duracin asociada a cada transicin.5 Se determina la distribucin correspondiente a la duracin de cada

camino6 El conjunto de caminos determinar la distribucin de la duracin del

proyecto




f =r

i=1fip (pii)

=r

i=1p (pii)pii

=r

i=1p (pii)2pii +

ri=1

p (pii)2pii 2

2 =r

i=1p (pii)

[2pii + [pii ]2

]




Primer ejemploA

B

a y b siguen exponenciales negativas de parmetros A y B ,




La ley exponencial negativa de parmetro tiene esperanza igual a 1 ,varianza igual a

(1

)2y sigue el modelo impuesto por la f.d.p. siguiente:

f (x) ={ex x 00 x < 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.1

x

f(x)

f (x) = ex




A

B0,0

1,0

0,1

1,1s1

s2

s3

s40,0

1,0

0,1

1,1

1,1

s1

s2

s3

s4




Probabilidad de la transicin s1

p (A < B) =

f (A, B)

0,0

1,0

0,1

1,1

1,1

s1

s2

s3

s4A

B

B= A





p (A < B) = 0

A0

AeAABeBBdBdA

p (A < B) =B

A + B

0,0

1,0

0,1

1,1

1,1

s1

s2

s3

s4

Duracin de s1S1 = A





p (B < A) = 1 p (A < B)

p (B < A) =A

A + B

0,0

1,0

0,1

1,1

1,1

s1

s2

s3

s4

Duracin de s2S2 = B




0,0

1,0

0,1

1,1

1,1

s1

s2

s3

s4

Probabilidad de latransicin s3

p (S3) = 1

Duracin de s3

fsc = fBA =

fA (sc + u) fB (u) du




Duracin de s3

fsc =

0BeBuAeA(sc +u)du si sc 0

s3

BeBuAeA(sc +u)du si sc < 0




Duracin de s3

fsc =

ABA+B

eBsc si sc 0

ABA+B

e+Asc si sc < 0




Duracin de s3

fs3 = fsc | +sc(sc | +sc

)=

fsc , +sc(s3 ,

+sc)

f+sc(+sc)

=

ABA+B

eBs3 0

ABA+B

eBsc dsc




Duracin de s3

fs3 = B eBs3

Ausencia de memoria!!

s3

s3 = 0

s3fs3ds3

=

0

s3B eBs3 ds3

s3 =1B

2s3

2s3 =

2s3fs3ds3

=

0

2s3BeBs3 ds3

2s3 =( 1B

)2Proyectos (API) Leccin 6 35 / 58



0,0

1,0

0,1

1,1

1,1

s1

s2

s3

s4

Probabilidad de latransicin s4

p (S4) = 1

Duracin de s4Gracias a la ausencia de memoria de la ley exponencial:

fs4 = A eAs4 s4 =

1A

2s4 =( 1A

)2




Transicin 2 p (Si)s1 1A

(1A

)2 BA+B

s2 1B(

1B

)2 AA+B

s3 1B(

1B

)21

s4 1A(

1A

)21




Probabilidad del camino pi1

p (pi1) = p (s1) p (s3) = p (s1) =(

BA + B

)

Duracin del camino pi1

pi1 = s1 + s3

fpi1 =

fs1 (k) fs3 (pi1 k) dk

=

pi10

AeAkBeB(pi1k) dk




Duracin del camino pi1

fpi1 =

ABBA

(eApi1 eBpi1

)si A 6= B

2Api1eApi1 si A = B

pi1 =1A

+1B

2pi1 =( 1A

)2+

( 1B

)2




Anlogamente, podramos obtener los valores correspondientes al caminopi2. As, tendramos:

pii pii 2pii p (pii)

pi11A+ 1B

(1A

)2+(

1B

)2 ( BA+B

)pi2

1A+ 1B

(1A

)2+(

1B

)2 ( AA+B

)




Utilizando:

f =r

i=1fip (pii)

=r

i=1p (pii)pii

=r

i=1p (pii)2pii +

ri=1

p (pii)2pii 2

2 =r

i=1p (pii)

[2pii + [pii ]2

]




Esperanza de la duracin del proyecto

=

( 1A

+1B

)(B

A + B

)+

( 1A

+1B

)(A

A + B

)

=1A

+1B

Varianza de la duracin del proyecto

2 =( 1A

)2+

( 1B

)2




Segundo ejemplo

i i1 22 23 14 2

A1

A2

A3

A4




E00

E11

E21

E31

E12

E22

E32

E13

E23

E14




Designacin EstadoE00 (0,0,0,0)E11 (1,0,0,0)E21 (0,1,0,0)E31 (0,0,1,0)E12 (1,1,0,0)E22 (1,0,1,0)E32 (0,1,1,0)E13 (1,1,1,0)E23 (1,1,0,1)E14 (1,1,1,1)




pii Estadospi1 (0,0,0,0) ; (1,0,0,0) ; (1,1,0,0) ; (1,1,1,0) ; (1,1,1,1)pi2 (0,0,0,0) ; (1,0,0,0) ; (1,1,0,0) ; (1,1,0,1) ; (1,1,1,1)pi3 (0,0,0,0) ; (1,0,0,0) ; (1,0,1,0) ; (1,1,1,0) ; (1,1,1,1)pi4 (0,0,0,0) ; (0,1,0,0) ; (1,1,0,0) ; (1,1,1,0) ; (1,1,1,1)pi5 (0,0,0,0) ; (0,1,0,0) ; (1,1,0,0) ; (1,1,0,1) ; (1,1,1,1)pi6 (0,0,0,0) ; (0,1,0,0) ; (0,1,1,0) ; (1,1,1,0) ; (1,1,1,1)pi7 (0,0,0,0) ; (0,0,1,0) ; (1,0,1,0) ; (1,1,1,0) ; (1,1,1,1)pi8 (0,0,0,0) ; (0,0,1,0) ; (0,1,1,0) ; (1,1,1,0) ; (1,1,1,1)




pii 2pii 2pii p (pii)

pi1 1.3667 0.5122 4/45pi2 1.8667 1.2622 8/45pi3 1.5333 0.6511 2/15pi4 1.3667 0.5122 4/45pi5 1.8667 1.2622 8/45pi6 1.5333 0.6511 2/15pi7 1.4500 0.6025 1/10pi8 1.4500 0.6025 1/10

ResultadoMtodo PERTPATH: = 1,606 y 2 = 0,935 .Mtodo pert estndar: = 1 , Error: 37.5%



La duracin del proyecto como una variable aleatoriaMtodo de los momentos

Mtodo de los momentosSe consideran funciones de distribucin Erlang

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.050.100.150.200.250.300.350.400.45

x

f(x)

f (x) =( c

)cxc1 exp{x c

}(c1)!




Mtodo de los momentosTienen expresin analtica para los primeros cuatro momentos,tambin para las actividades en serie o en paralelo

f (x ; = {c, }) =(c

)cx c1 exp

{x c

}(c 1)! 0 < x



Actividad Api equivalente a dos A y A en paralelo

pij = Aj +j j1

i=0

c + ic

1 pc+j c1i=0

(C c+i+j1i qi

)++

j j1i=0

c + ic

[1 pc+j c1i=0

(C c+i+j1i pi

)]




Actividad Api equivalente a dos A y A en paralelo

C ji =(

ji

)=

j!(j i)!i!

p = cc + cq = cc + c

A1 = 0A2 = 2pi1A3 = 3pi1pi2 + 3pi1A4 = 4pi1pi3 + 62pi1pi2 + 4pi1




Actividad A equivalente a dos A y A en serie

j =

{j + j si j = 1, 2, 34 + 6 22 + 4 si j = 4

Distribuciones WeibullRecientemente, y de forma anloga a la expuesta, Abdelkader hapropuesto una solucin vlida para distribuciones Weibull.



La duracin del proyecto como una variable aleatoriaMtodo de Monte Carlo

Mtodo de Monte CarloSimulacin mltiple por fuerza bruta hasta alcanzar la estabilidad delresultado


Conclusiones

ndice

1 Introduccin


3 Conclusiones



Conclusiones

ConclusionesPuntos tratados

1 Distribucin aleatoria de la duracin

2 Distribuciones normal, log-normal, Beta,pertBeta, Erlang

3 Duracin optimista, pesimista y modal4 Teorema del lmite central5 Mtodo de aproximacin a la normal6 Mtodo de los momentos7 Mtodo basado en pertpath8 Mtodo basado en simulaciones de Monte

Carlo


Conclusiones


1 Distribucin aleatoria de la duracin2 Distribuciones normal, log-normal, Beta,pertBeta, Erlang


Carlo


Conclusiones



3 Duracin optimista, pesimista y modal

4 Teorema del lmite central5 Mtodo de aproximacin a la normal6 Mtodo de los momentos7 Mtodo basado en pertpath8 Mtodo basado en simulaciones de Monte

Carlo


Conclusiones



3 Duracin optimista, pesimista y modal4 Teorema del lmite central

5 Mtodo de aproximacin a la normal6 Mtodo de los momentos7 Mtodo basado en pertpath8 Mtodo basado en simulaciones de Monte

Carlo


Conclusiones



3 Duracin optimista, pesimista y modal4 Teorema del lmite central5 Mtodo de aproximacin a la normal

6 Mtodo de los momentos7 Mtodo basado en pertpath8 Mtodo basado en simulaciones de Monte

Carlo


Conclusiones



3 Duracin optimista, pesimista y modal4 Teorema del lmite central5 Mtodo de aproximacin a la normal6 Mtodo de los momentos

7 Mtodo basado en pertpath8 Mtodo basado en simulaciones de Monte

Carlo


Conclusiones



3 Duracin optimista, pesimista y modal4 Teorema del lmite central5 Mtodo de aproximacin a la normal6 Mtodo de los momentos7 Mtodo basado en pertpath

8 Mtodo basado en simulaciones de MonteCarlo


Conclusiones




Carlo


Conclusiones

ConclusionesPreguntas abiertas

1 Qu problema aparece en el PERT estndarcuando varias actividades convergen a unmismo nodo?

2 Aplique el mtodo de los momentos y/o elbasado en pertpath a un ejemplo sencillo.

3 Aplique el mtodo de Monte Carlo alejemplo anterior y comente los resultados.


Lecturas recomendadas

ndice

1 Introduccin


3 Conclusiones





ORDIERES MER, J.B.Programacin de proyectosServicio de publicaciones de la U.R. 1999PONTRANDOLFO, P.Project duration in stochastic networks by thePERTpath technique.International Journal of Project Management, vol.18, pp. 215222, 2000BENDELL, A; SOLOMON, D.; CARTER, J.M.Evaluating project completion times when activitytimes are Erlang distributed.Journal of the Operational Research Society, vol.46, no. 7, pp. 867882, 1995.


IntroduccinObjetivos

Contexto aleatorio de la planificacin temporalLa duracin de las actividades como una variable aleatoriaLa duracin del proyecto como una variable aleatoria

ConclusionesLecturas recomendadas

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