Tema 2. Muestreo Aleatorio Simple -...

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Tema 2. Muestreo Aleatorio Simple Contenido 1) Definición, selección y notación 2) Estimadores de la media y el total. Propiedades. Varianzas y error de estimación. Límites de confianza. 3) Muestreo simple con restitución 4) Estimadores de la proporción y el total. Varianzas y formas de distribución. Límites de confianza. 5) Tamaño de la muestra para la proporción, la media y el total, con una y varias características. 6) Estimaciones sobre dominios, medias, totales y proporciones.

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Tema 2. Muestreo Aleatorio SimpleContenido1) Definición, selección y notación2) Estimadores de la media y el total. Propiedades.

Varianzas y error de estimación. Límites de confianza.

3) Muestreo simple con restitución4) Estimadores de la proporción y el total. Varianzas y

formas de distribución. Límites de confianza.5) Tamaño de la muestra para la proporción, la media

y el total, con una y varias características.6) Estimaciones sobre dominios, medias, totales y

proporciones.

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La garantía de equiprobabilidad de la muestra la da la forma aleatoria como se selecciona cada elemento de la muestra. El muestreo aleatorio simple puede ser también con restitución.Probar que la equiprobabilidad de selección de un elemento específico en la muestra es n/N en el m.a.s. con y sin restitución.

Muestreo Aleatorio Simple: DefiniciónEl muestreo aleatorio simple, muestreo irrestricto aleatorio o muestreo aleatorio sin restitución, en poblaciones finitas, consiste en seleccionar una muestra de n elementos entre los N que forman la población, de modo que cada una de las muestras distintas tenga la misma probabilidad

de ser seleccionada.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

nN

C nN ,

( )!

!!1N

nNnnN −

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

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¿Cómo seleccionar la muestra?1. Tabla de números aleatorios

¿Qué es una tabla de números aleatorios?¿Cómo se construye?¿Cómo se conoce su bondad?¿Cómo se emplean?

2. Números seudo-aleatoriosGeneradores de números aleatoriosPosibilidades de los paquetes estadísticos

Ejemplos: elegir muestras aleatorias de los:a. alumnos de la Escuela de Estadísticab. suscriptores de teléfono en Ejidoc. pacientes del Hospital Universitariod. usuarios del mercado principal

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Notación:

Poblacional m uestra lM edia __

Y__y

Total Y ^Y

R azón__

__

XY

XYR ==

__

__^

xyR =

ProporciónN

AP = nap =

N tamaño de la poblaciónn tamaño de la muestraf=n/N fracción de muestreoN/n factor de expansión (elevación o inflación)

A número de elementos en la población que poseen la característicaa número de elementos en la muestra que poseen la característicaUi unidad muestral i-ésimaX,Y,Z características o atributos que estamos interesados en observar

en cada unidad Ui

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si n=N y

Estimación de la media y el total poblacional

Propiedades de yny

y i∑=__

yNY =__^

1. Consistencia en el sentido de Cochran____

Yyn ≡→ YY ≡^

2. Estimadores insesgados y (probar)____YyE =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ YYE =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ^

3. Varianza de los estimadoresNotación (población): varianza

cuasivarianza

NYyN

i∑ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

2__2σ

( )12__

2 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=∑ NYyS

N

i

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Estimación de la varianza de la media y el total poblacional

Pruebe que:( ) ( ) ( )

11)(

2222______

−−

=−=−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

NnN

nf

nS

NnN

nSYyEyV σ

ayuda

( )1),( 2 −−= NyyCov ji σ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∑

____ 1 yn

VyV

Error estándar de __y es f

nS

y−= 1__σ

Determine )(^YV y el error estándar de ^

^

YY σ=

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Corrección por población finitaEn ( )

NnN

nyV −

=2__

)( σ ; el término ( )N

nN − es el factor de

corrección por poblaciones finitas

Si n/N<0.05 se puede ignorar f.c.p.f.

Pruebe que si Xi y Yi son variables definidas en cada una delas unidades de la población

∑ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ________

11, XxYy

NnNnNxyCov ii

ayuda: crear variable auxiliar ui=yi + xi y determine V(__

u )

luego 2____

)( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= XxYyEuV

desarrolle y elimine términos ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ __

yV y ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ __

xV

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Estimación del error estándar en la muestra

En el m.a.s. 22 )( SsE = donde 1

2__

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=∑

n

yys

n

i

Ayuda: introduzca en s2, ____YY+− desarrolle y tome la esperanza

Las estimaciones insesgadas de las varianzas de __y y de

^Y son:

( )fnsyV −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ 1

2__ ( )f

nsNYV −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ 1

22^ y los errores estándar

( )fnss

y−= 1__ ( )f

nNss

Y−= 1^

El error estándar de la estimación sirve para1. Comparar la presición obtenida en el m.a.s. con los de otros diseños

muestrales2. Estimar el tamaño de la muestra3. Estimar la presición obtenida en la muestra seleccionada

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Límites de confianza

¿Cómo se distribuyen __

y y ^

Y ? Bajo condiciones muygenerales podemos considerar que se distribuyennormal.Luego los límites inferior L y superior U de losintervalos son:

fnstyYU −+= 1

__^

__

αf

nstyYL −−= 1

__^

__

α

fn

NstyNYL −−= 1__^

αf

nNstyNYU −+= 1

__^

α

Luego de obtenidas de la muestra las estimaciones de __

y ,^

Y y s se estiman intervalos de confianza.

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Límites de confianza

αt es el desvío de la distribución normal(0,1)correspondiente a la confianza asignada

α−1 0.50 0.80 0.90 0.95 0.99

αt 0.67 1.28 1.64 1.96 2.58

Si n<50 se puede usar la distribución t de studentcon n-1 g.l., pero el ajuste es bueno sii yi~n yN ∞

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Método alternativo de prueba:Comprobación de los resultados del m.a.s.Cornfield (1944)Creamos una v.a. dicotómica auxiliar ai i=1,2,...,nai = 1 si ui esta en la muestra ai = 0 si ui no esta en la muestra

así ahora

de esta forma las ai son v.a. y los yi sonnúmeros fijos. Determine ahora

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ __

yE y ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ __

yV (Cochran pag. 54)

ii

N

yan

y ∑=1__

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Muestreo aleatorio simple con restitución

i

n

yn

y ∑=1__

____YyE =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

( )N

NnS

nyV 122__ −

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σ

Ayuda: Sea ti una v.a. auxiliar que indica el número de veces que la i-esima unidad aparece en la muestra, ti = 0,1,2,....,n i=1,2,...,NEntonces las yi son números fijos y asi:

Este diseño es igual que el anterior con la diferencia que una unidad cualquiera ui puede aparecer en la muestra 1,2,...,n veces.Determinación de la esperanza y varianza de

ii

N

ytn

y ∑=1__

ti~b(n,p) p=1/N ( )NnnptE i == ( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −==

NNnnpqtV i

11 y

( ) 2NnpnpttCov jiji −=−=

Nota: Compare la ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ __

yV en los m.a.s. con y sin reemplazo. Discútalo.

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Muestreo para proporciones y porcentajes

Es muy frecuente que en estudios por muestreosdeseemos estudiar el número total, proporción oel porcentaje de unidades que poseen algunacaracterística o atributo o caen en una clasepredefinida.Ejemplos:

La clasificación puede ser introducida en elcuestionario o en las tabulaciones.

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Muestreo para proporciones y porcentajesNotación:

Población MuestraNº de unidades

en C A a

Proporción PNA= p

na=

Todas y cada una de las unidades caen en una de las posibles clases C y C(C=poseen la características y C =no poseen la característica).

Estimadores:

napP ==

^

naNNpA ==

^

¿Cómo se distribuye p en el m.a.s. (con y sin reemplazo) de maneraexacta y de modo aproximado?¿Binomial?, ¿Hipergeométrico?, ¿Normal?, ¿Otra?

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Propiedades de los estimadores de P y de A:Varianza de los estimadores

Demostrar:(1) que p y Np son estimadores insesgados de P y de A

respectivamente

(2) Que 12

−=

NNPQS p y 1

2

−=

nnpqs p

(3) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

=1NnN

nPQPV y ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1

2^

NnN

nPQNAV

(4) Que ( ) ( ) pqNnnNspV p 1

2^

−−

== es insesgada de V(P)

y ( )( ) pqn

nNNAV1

^^

−−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

(5) Qué sucede con los porcentajes?Ayuda:Crear una v.a. auxiliar yi, yi=1 si u i∈ C, yi=0 si ui ∉ C y aplicar lo obtenido enm.a.s. para variables continuas. Tener en cuenta que ∑∑ = ii yy 2

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Efecto de P en el error estándar:

Sabemos que ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

=1NnN

nPQPV

si ignoramos el factor de corrección entonces( )

nPQPV = si ignoramos n (es decir, n=1)

P 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100PQ 0 900 1600 2100 2400 2500 2400 2100 1600 900 0PQ 0 30 40 46 49 50 49 46 40 30 0

PQ y PQ son simétricos y su máximo es en 50Para 50=PQ se requiere n=100 para que %5)( =pV

y n=2500 para que %1)( =pV

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Efecto de P en el error estándar (Continuación)Si estamos interesados en estimar el número total de unidadesA=NP, el anterior enfoque no es el adecuado (P = proporción)¿Es posible que la estimación sea correcta módulo un error,digamos 5% del valor verdadero?Es decir

NPNPσ

; nN

NNPPQ

nN

NPNP

−−

=1σ es decir el coeficiente de

variación de la estimación

si ignoramos el f.c.p.f. nPQCV = y n=1

P 0 0.1 0.5 1 5 10 20 30 40 50 60 70 80 90

PQ ∞ 31.6 14.1 9.9 4.4 3.0 2.0 1.5 1.2 1.0 0.8 0.7 0.5 0.3

CV disminuye consistentemente al incremento de P, alto para CV<5%Se requiere n grande si el atributo es raro.

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HIPERGEOMÉTRICA:En el m.a.s. sin reemplazo la distribución exacta de a (número de elementosde la muestra que poseen la característica) es una hipergeométrica.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟

⎜⎜

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

nN

aA

aA

AAaa

__

__

____,/,Pr

Nos da la Pr de que a=np, la distribución de p es tal que Pr(p)=Pr(a)

BINOMIAL:

Si A y ANA −=__

son suficientemente grande al tamaño de n, equivalea suponer que P es constante y en este

anaQPan

a −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=)Pr(

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NORMAL:La distribución normal se puede utilizar como una aproximación a ladistribución de p (convergencia) dependiendo fundamentalmente de lacantidad np. La siguiente tabla da los valores mínimos de np para haceruso de la normal

P Np (clase máspequeña)

n

0.5 15 30

0.4 20 50

0.3 24 80

0.2 40 200

0.1 60 600

0.05 70 1400

~ 0 80 ∞

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Límites de confianza:Hipergeométrica

Queremos estimar por intervalos el valor de A, UA^

el límite superior delintervalo es tal que la probabilidad de obtener a o menos individuos de C

en la muestra es uα )05.0025.0( =uα

∑=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

a

jUUU ANAjnj

0

^^,/,Prα

uA^

se selecciona como el entero más pequeño que la satisface.El límite inferior es de modo similar el entero más grande que la satisface:

∑=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

a

jLLL ANAjnj

0

^^,/,Prα

así ( )LUUL AAA αα +−≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ << 1Pr

^^

y para P NU

P UU

^^= y N

UP LL

^^=

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Límites de confianza: (continuación)

NormalLos límites de confianza para P utilizando la aproximación a la normal

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−±

nnpqftp

21

11α

donde ( )1

^

−−

=npq

NnNpV ,

αt es el desvío normal,

Nnf =

y n21

es un factor de corrección por continuidad.

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Estimación del tamaño de la muestra:¿Cómo determinar n?1. Fijar el grado de precisión deseado en términos del error de

estimación de acuerdo a los objetivos de la encuesta?2. Encontrar una ecuación que relacione a n con la precisión

deseada3. Pre-estimar los valores de los parámetros de la ecuación que

contiene a n.4. Si se desean resultados válidos por dominio debe fijarse el error

para cada uno y calcular el tamaño de muestra como suma de lostamaños de los dominios.

5. Cuando se miden varios atributos y se precisa el error para cadauno de ellos, esto origina varios tamaños de n, hay quereconciliarlos en uno sólo.

6. Buscar un compromiso entre la precisión (tamaño de n) y elcosto.

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Especificación de la precisión:

La precisión deseada en una encuesta se establece al definir lacantidad de error tolerable en las estimaciones obtenidas

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ≤− e^θθ

La precisión se debe fijar, en función de los objetivos y usos a losque se destinen los resultados de la investigación. En ocasiones le esdifícil al encargado del estudio fijar la cantidad de error tolerable. Elestadístico debe hacer un esfuerzo para explicar y dar elementospara ayudar a decidir el tamaño de la muestra.Una tabla que muestre tamaño de error, muestra y costos alternospuede ser de mucha utilidad.

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Tamaño de muestra para la proporción:Sea e el margen máximo de error admisible en la estimación de P.

α el riesgo de que el error sea mayor a e ( α−1 el coeficiente de confianza)

N el tamaño de la población y pσ la varianza de p (o su estimación)

( ) α=≥− ePpPr

conocemos que: n

PQN

nNp 12

−−

la formula que liga a n con la precisión deseada nPQ

NnNte12/ −

−= α

2/αt absisa de la normal al resolver para n

( ) PQtNePQNtn 22

2

1 +−= o equivalente

( )111111 2

2

2

2

−+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=

o

o

nN

n

ePQt

N

ePQt

n

Como P es desconocida se sustituye por un estimación anticipada

Si N es grande Vpq

epqtn == 2

2

0 donde npqV = la varianza deseada

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25

Tamaño de la muestra para el total A=NP con error relativo:

Al estimar el número total de unidades en la clase C podemos desear controlarel error relativo r en lugar del absoluto e. En este caso:

( ) αα =≥−→=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≥

−rPpr

NPNPNp

PrPr

ptrP σ= ( ) QtNPrQNtn 22

2

1 +−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=111 2

2

2

2

PrQt

N

PrQt

n

Cuando N es lo suficientemente grande

prqtn 2

2

0 = ( ) ( )Nnn

Nnn

n/1/11 0

0

0

0

+≅

−+=

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Tamaño de la muestra para la media y el total:Al calcular el tamaño de la muestra para datos continuos se pueden presentardos casos: (1) se desea controlar el error relativo r ó (2) el error es dado entérminos absolutos de e

1. Se desea controlar el error relativo r , 0 < r < 1

α=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≥−=

⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜

≥−

=⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜

≥−

______

__

____

__

____

PrPrPr YrYyrYN

YNyNr

Y

Yy

; 10 << α

como n

SN

nNY

−=__σ

nS

NnNttYr

Y

−== __

__σ

resolviendo para n

2

__

2

__

11⎟⎟

⎜⎜

⎛+

⎟⎟

⎜⎜

=

Yr

tSN

Yr

tS

n o

Nn

nn

0

0

1+= donde 2__

2

22

0

Yr

Stn =

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Tamaño de la muestra para la media y el total:

2. El error a controlar es e

α=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≥− eYy

____

Pr __Y

te σ=

2

2

11 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

etS

N

etS

n oNn

nn

0

0

1 +=

donde VS

etSn

22

0 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ,

V es la varianza deseada de __y

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Comportamiento de N:Es de interés ver como es el comportamiento del tamaño de lamuestra n en función de la población N. La función:

representa una hipérbole equilátera que pasa por elorigen y tiene una asintota en no paralela al eje de lasabscisas

Este resultado es importante puesnos dice que la misma precisiónpuede dar una muestra de tamañon para una población de porejemplo N1=5000 elementos quepara otro de N2=100000. (siempreque verifique que N1>no(no-1)

Es de interés ver que n es inversamente proporcional al cuadrado delerror absoluto y por lo tanto para, por ejemplo aumentar la precisiónen el doble (error en la mitad) haría necesario aumentar la muestraen 4 veces.

Nn

nn0

0

1+=

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Tamaño de la muestra para estudiar mas de una carcaterística:

En la mayoría de las encuestas se recoge información sobre más deuna característica. En este caso el calculo de n es el siguiente:

1) Especificar los márgenes de error para las características masimportantes.

2) Estimar los tamaños de muestra para las característicasseleccionadas.

3) Tomar decisión sobre el valor de n de acuerdo a:a) Los n requeridos están suficientemente próximos.b) El n más grande está dentro de los límites del presupuestoc) Hay mucha variación entre los n, decidir por valores

intermedios perdiendo precisión para algunas características.4) Debe tomarse en cuenta que el tipo de diseño muestral puede

mejorar la eficiencia o precisión de la muestra con n menores.

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Estimación de la razón:En algunas oportunidades es necesario estimar la razón entre dos variablesapareadas en las unidades de la población donde se realizó el m.a.s.

La razón se define como: ∑∑

= Ni

Ni

x

yR y su estimador: __

__

^

^^

x

y

X

Yx

yR n

i

ni

===∑∑

La distribución de ^R es complicada dada su estructura y la no independencia

entre X e y.En muestras pequeñas la distribución es asimetrica y ^

R es por lo generalligeramente sesgada de R. En muestras grandes la distribución de ^

R tiende a lanormalidad y el sesgo es despreciable.

Pruebe que ( )

11

2

__

.^.^

−−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∑

NRxy

Xn

fRVRECM ii

Ayuda: __

__.^

x

xRyRR −=− es insesgado; en

2__

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − xRyE haga iii Rxyd −= .

Defina __d y 0

__=D , )(

__dV y ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

^

2__

__

REMCxn

dV

11

^

__

^

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∑

n

xRy

xn

fRs

ii

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Estimación de la media en dominios de estudioEn muchos muestreos se requieren estimaciones en Dominios de Estudioj-ésimo dominio; Nj unidades en la población; nj unidades en la muestrayjk k-ésimo elemento del j-ésimo dominio,

∑ =j

j NN y ∑ =j

j nn ; j

kjk

j n

yy

∑=

__

nj constantes de muestra en muestra

Si nj y n son fijos: La probabilidad de sacar un conjunto específico de nj

unidades de las Nj del dominio j es ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

j

j

nN1

.

Luego si las nj es constante de nuestra a muestra todo lo visto en el m.a.s. paray es aplicable a jy

( ) jj YyE = es insesgado; ( )

12

j

jjkj N

Yys ∑ −

=

error estándar de jy es jj

j fnS

−1 su estimación es jj

j fns

−1

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Estimación de totales en dominios de estudio:

Si estamos interesados en estimar totales de dominios de estudio Y sedistinguen tres situaciones:

1) Nj conocido, entonces jj yNY =^

y su error estándar es Nj veces el de jy2) Si conocemos el total Y podemos utilizar un estimador de razón

^

^

Y

Y j y multiplicarlo por Y.

3) Si no se conoce Nj ni Y se usa el estimador nyN

Y jkj

∑=__

el cual es insesgado

y su varianza es ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Nn

nsN

jY 12'22^

^σ donde ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−= ∑Nj j

i NY

yN

s2

2'

11

Una estimación del error estádar de jY^

es: Nn

nNsYs J −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ 1

'

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Proporciones y totales sobre dominios de estudio:

Si queremos hacer estimaciones de proporciones o totales endominios de una población observada por m.a.s. Los elementos de lamuestra se clasifican así:

Dominio1

Dominio2

...

Dominioi

...

Dominiok

Total

Clase C C’ C C’ C C’ C C’Nº unidades a1 a’1 a2 a’2 ai a’i ak a’k n

n1 n2 ni nk n

pi=ai/(ai+a’i)

El intervalo de confianza (bajo normalidad) para pi es

( ) ⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡+

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−±

ii

ii

i

ii nn

qpNn

tp 11

1

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Proporciones y totales sobre dominios de estudio (continuación)

El total si Ni es el número de elementos en el dominio en el

dominio i es: '

^

ii

iiiii

aaaNpNA+

==

su error estándar ( ) ( )1//1)(^

−−= iiiiii nqpNnNAs

S Ni es conocido nNa

A ii =*

^

y ( )1//1)(^

−−= npqNnNAs i

Como las proporciones en los dominios son estimadosindependientemente las comparaciones entre los dominiosdifrentes se puede hacer usando pruebas de contingencia.

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Tamaño de la muestra para dominios de estudio

Para cada dominio de estudio tenemos que Vsn ii /2=

y el tamaño de la muestra global será ∑= inn

Las 2is individuales seran en promedio menores que

2s ,pero a menudo solo un poco más, si hay k dominios

Vksn /2≅ , en tanto para obtener estimacionespoblacionales Vsn /2=

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Ejemplo 1.En el Centro Medico La Trinidad hay 484 pacientes que tienen deudaspendientes. De ellos se toma una m.a.s. de tamaño 9 y se obtienen lossiguientes valores (expresados en miles de Bs)

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9yi 33.50 32.00 52.00 43.00 40.00 41.00 45.00 42.50 39.00

a) Estimar Y y ∧

Y , y determinar ambos intervalos de confianza para 05.0=αy 01.0=α .

b) Calcular el tamaño de la muestra para Y suponiendo que 362 =s con e=5 ye=10, y 05.0=α y 1.0=α .

Y para ∧

Y con e=2000 y e=1500 y 05.0=α y 1.0=α .Respuesta:

∑ = 368iy , ∑ = 5.332,152iy , 89.409/368 ==y ,

67.1979089.40*484 ==∧

Y , ( ) ( )

67.3511

222

2 =−

−=

−−

= ∑∑∑∧

nnyy

nyy

s iii

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( ) ( ) ( ) 89.3967.35

48494842

=−

=−

=

∧∧

ns

NnNyV , 972.1=

ys

( ) ( ) ( ) 84.91125589.3484 22 ====⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∧∧∧∧

yVNyNVYV , 60.954=∧∧

Ys

Los intervalos de confianza son:

Para la media: ysty∧

αm

05.0=α 96.1=αt 972.196.189.40 xm ( )76.44;03.37

01.0=α 58.2=αt 972.158.289.40 xm ( )98.45;80.35

Para el total: ∧

∧∧

YstY αm

05.0=α 96.1=αt 60.95496.176.790,19 xm ( )78.661,21;74.919,17

01.0=α 58.2=αt 60.95458.276.790,19 xm ( )63.253,22;89.327,17b) Tamaño de la muestra∧

Y ; s2=36 e=5 e=10 58,201,096.105,0 ==== αα αα tt

Nn

nn

0

0

1 += donde

( ) ( ) 1995

3696.12

22

2

22

0 ===estn ( ) ( ) 140

53664.1

2

22

0 ==n

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( ) ( ) 5010

3696.12

22

0 ==n ( ) ( ) 35

103664.1

2

22

0 ==n 0n e=5 e=10

64.1=αt 140 35 96.1=αt 199 50

Ejemplo 2. Un sondeo sobre una muestra de 2000 personas da como resultado de cara a las próximas elecciones:

No tienen intención de votar 800 personas Si tienen intención de votar 1200 personas

Entre estos últimos la intención de voto es: 500 personas por A, 400 personas por B, 300 personas por C a) Con una probabilidad del 95% estimar el porcentaje de abstención, de

participación y los de cada una de las opciones A, B y C. b) Suponiendo que la población total sea de 9,000,000 de votantes y utilizando

la dispersión obtenida en la primera parte calcule el tamaño de muestra para estimar la abstención y el porcentaje de votantes que sufragarían por B y por A, tome e=5 y 10%, , 05.0=α y 01.0=α . Calcule los costos de cada opción si cada encuesta es de Bs. 1,500 y los costos fijos son de 2,000,000 + 5% del costo de trabajo de campo.