Tema 2. Muestreo Aleatorio Simple - .El muestreo aleatorio simple, muestreo irrestricto aleatorio

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  • Tema 2. Muestreo Aleatorio SimpleContenido1) Definicin, seleccin y notacin2) Estimadores de la media y el total. Propiedades.

    Varianzas y error de estimacin. Lmites de confianza.

    3) Muestreo simple con restitucin4) Estimadores de la proporcin y el total. Varianzas y

    formas de distribucin. Lmites de confianza.5) Tamao de la muestra para la proporcin, la media

    y el total, con una y varias caractersticas.6) Estimaciones sobre dominios, medias, totales y

    proporciones.

  • La garanta de equiprobabilidad de la muestra la da la forma aleatoria como se selecciona cada elemento de la muestra. El muestreo aleatorio simple puede ser tambin con restitucin.Probar que la equiprobabilidad de seleccin de un elemento especfico en la muestra es n/N en el m.a.s. con y sin restitucin.

    Muestreo Aleatorio Simple: DefinicinEl muestreo aleatorio simple, muestreo irrestricto aleatorio o muestreo aleatorio sin restitucin, en poblaciones finitas, consiste en seleccionar una muestra de n elementos entre los N que forman la poblacin, de modo que cada una de las muestras distintas tenga la misma probabilidad

    de ser seleccionada.

    =

    nN

    C nN ,( )

    !!!1

    NnNn

    nN

    =

  • Cmo seleccionar la muestra?1. Tabla de nmeros aleatorios

    Qu es una tabla de nmeros aleatorios?Cmo se construye?Cmo se conoce su bondad?Cmo se emplean?

    2. Nmeros seudo-aleatoriosGeneradores de nmeros aleatoriosPosibilidades de los paquetes estadsticos

    Ejemplos: elegir muestras aleatorias de los:a. alumnos de la Escuela de Estadsticab. suscriptores de telfono en Ejidoc. pacientes del Hospital Universitariod. usuarios del mercado principal

  • Notacin:

    Poblacional m uestra lM edia __

    Y__y

    Total Y ^YR azn

    __

    __

    XY

    XYR ==

    __

    __^

    xyR =

    ProporcinN

    AP = nap =

    N tamao de la poblacinn tamao de la muestraf=n/N fraccin de muestreoN/n factor de expansin (elevacin o inflacin)

    A nmero de elementos en la poblacin que poseen la caractersticaa nmero de elementos en la muestra que poseen la caractersticaUi unidad muestral i-simaX,Y,Z caractersticas o atributos que estamos interesados en observar

    en cada unidad Ui

  • si n=N y

    Estimacin de la media y el total poblacional

    Propiedades de yny

    y i=__

    yNY =__^

    1. Consistencia en el sentido de Cochran____

    Yyn YY ^

    2. Estimadores insesgados y (probar)____YyE =

    YYE =

    ^

    3. Varianza de los estimadoresNotacin (poblacin): varianza

    cuasivarianza

    NYyN

    i

    =

    2__2

    ( )12__

    2

    = NYyS

    N

    i

  • Estimacin de la varianza de la media y el total poblacional

    Pruebe que:( ) ( ) ( )

    11)(

    2222______

    ==

    =

    =

    NnN

    nf

    nS

    NnN

    nSYyEyV

    ayuda

    ( )1),( 2 = NyyCov ji

    =

    ____ 1 yn

    VyV

    Error estndar de __y es f

    nS

    y= 1__

    Determine )(^YV y el error estndar de ^

    ^

    YY =

  • Correccin por poblacin finitaEn ( )

    NnN

    nyV =

    2__)( ; el trmino ( )

    NnN es el factor de

    correccin por poblaciones finitas

    Si n/N

  • Estimacin del error estndar en la muestra

    En el m.a.s. 22 )( SsE = donde 1

    2__

    2

    =

    n

    yys

    n

    i

    Ayuda: introduzca en s2, ____YY+ desarrolle y tome la esperanza

    Las estimaciones insesgadas de las varianzas de __y y de

    ^Y son:

    ( )fnsyV =

    1

    2__ ( )f

    nsNYV =

    1

    22^ y los errores estndar

    ( )fnss

    y= 1__ ( )f

    nNss

    Y= 1^

    El error estndar de la estimacin sirve para1. Comparar la presicin obtenida en el m.a.s. con los de otros diseos

    muestrales2. Estimar el tamao de la muestra3. Estimar la presicin obtenida en la muestra seleccionada

  • Lmites de confianza

    Cmo se distribuyen __

    y y ^

    Y ? Bajo condiciones muygenerales podemos considerar que se distribuyennormal.Luego los lmites inferior L y superior U de losintervalos son:

    fnstyYU += 1

    __^

    __

    f

    nstyYL = 1

    __^

    __

    fn

    NstyNYL = 1__^

    f

    nNstyNYU += 1

    __^

    Luego de obtenidas de la muestra las estimaciones de __

    y ,^

    Y y s se estiman intervalos de confianza.

  • Lmites de confianza

    t es el desvo de la distribucin normal(0,1)correspondiente a la confianza asignada

    1 0.50 0.80 0.90 0.95 0.99

    t 0.67 1.28 1.64 1.96 2.58

    Si n

  • Mtodo alternativo de prueba:Comprobacin de los resultados del m.a.s.Cornfield (1944)Creamos una v.a. dicotmica auxiliar ai i=1,2,...,nai = 1 si ui esta en la muestra ai = 0 si ui no esta en la muestra

    as ahora

    de esta forma las ai son v.a. y los yi sonnmeros fijos. Determine ahora

    __yE

    y

    __yV

    (Cochran pag. 54)

    ii

    N

    yan

    y = 1__

  • Muestreo aleatorio simple con restitucin

    i

    n

    yn

    y = 1__

    ____YyE =

    ( )N

    NnS

    nyV 1

    22__ ==

    Ayuda: Sea ti una v.a. auxiliar que indica el nmero de veces que la i-esima unidad aparece en la muestra, ti = 0,1,2,....,n i=1,2,...,NEntonces las yi son nmeros fijos y asi:

    Este diseo es igual que el anterior con la diferencia que una unidad cualquiera ui puede aparecer en la muestra 1,2,...,n veces.Determinacin de la esperanza y varianza de

    ii

    N

    ytn

    y = 1__

    ti~b(n,p) p=1/N ( ) NnnptE i == ( )

    ==

    NNnnpqtV i

    11 y

    ( ) 2NnpnpttCov jiji ==

    Nota: Compare la

    __yV en los m.a.s. con y sin reemplazo. Disctalo.

  • Muestreo para proporciones y porcentajes

    Es muy frecuente que en estudios por muestreosdeseemos estudiar el nmero total, proporcin oel porcentaje de unidades que poseen algunacaracterstica o atributo o caen en una clasepredefinida.Ejemplos:

    La clasificacin puede ser introducida en elcuestionario o en las tabulaciones.

  • Muestreo para proporciones y porcentajesNotacin:

    Poblacin MuestraN de unidades

    en C A a

    Proporcin PNA= pn

    a=

    Todas y cada una de las unidades caen en una de las posibles clases C y C(C=poseen la caractersticas y C =no poseen la caracterstica).

    Estimadores:

    napP ==

    ^

    naNNpA ==

    ^

    Cmo se distribuye p en el m.a.s. (con y sin reemplazo) de maneraexacta y de modo aproximado?Binomial?, Hipergeomtrico?, Normal?, Otra?

  • Propiedades de los estimadores de P y de A:Varianza de los estimadores

    Demostrar:(1) que p y Np son estimadores insesgados de P y de A

    respectivamente

    (2) Que 12

    =

    NNPQS p y 1

    2

    =

    nnpqs p

    (3) ( )

    =1NnN

    nPQPV y

    =

    1

    2^

    NnN

    nPQNAV

    (4) Que ( ) ( ) pqNnnNspV p 1

    2^

    == es insesgada de V(P)

    y ( )( ) pqn

    nNNAV1

    ^^

    =

    (5) Qu sucede con los porcentajes?Ayuda:Crear una v.a. auxiliar yi, yi=1 si u i C, yi=0 si ui C y aplicar lo obtenido enm.a.s. para variables continuas. Tener en cuenta que = ii yy 2

  • Efecto de P en el error estndar:

    Sabemos que ( )

    =1NnN

    nPQPV

    si ignoramos el factor de correccin entonces( )

    nPQPV = si ignoramos n (es decir, n=1)

    P 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100PQ 0 900 1600 2100 2400 2500 2400 2100 1600 900 0PQ 0 30 40 46 49 50 49 46 40 30 0

    PQ y PQ son simtricos y su mximo es en 50Para 50=PQ se requiere n=100 para que %5)( =pV

    y n=2500 para que %1)( =pV

  • Efecto de P en el error estndar (Continuacin)Si estamos interesados en estimar el nmero total de unidadesA=NP, el anterior enfoque no es el adecuado (P = proporcin)Es posible que la estimacin sea correcta mdulo un error,digamos 5% del valor verdadero?Es decir

    NPNP ;

    nNN

    NPPQ

    nN

    NPNP

    =1 es decir el coeficiente de

    variacin de la estimacin

    si ignoramos el f.c.p.f. nPQCV = y n=1

    P 0 0.1 0.5 1 5 10 20 30 40 50 60 70 80 90

    PQ 31.6 14.1 9.9 4.4 3.0 2.0 1.5 1.2 1.0 0.8 0.7 0.5 0.3

    CV disminuye consistentemente al incremento de P, alto para CV

  • HIPERGEOMTRICA:En el m.a.s. sin reemplazo la distribucin exacta de a (nmero de elementosde la muestra que poseen la caracterstica) es una hipergeomtrica.

    =

    nN

    aA

    aA

    AAaa

    __

    __

    ____,/,Pr

    Nos da la Pr de que a=np, la distribucin de p es tal que Pr(p)=Pr(a)

    BINOMIAL:

    Si A y ANA =__

    son suficientemente grande al tamao de n, equivalea suponer que P es constante y en este

    anaQPan

    a

    =)Pr(

  • NORMAL:La distribucin normal se puede utilizar como una aproximacin a ladistribucin de p (convergencia) dependiendo fundamentalmente de lacantidad np. La siguiente tabla da los valores mnimos de np para haceruso de la normal

    P Np (clase mspequea)

    n

    0.5 15 30

    0.4 20 50

    0.3 24 80

    0.2 40 200

    0.1 60 600

    0.05 70 1400

    ~ 0 80

  • Lmites de confianza:Hipergeomtrica

    Queremos estimar por intervalos el valor de A, UA^

    el lmite superior delintervalo es tal que la probabilidad de obtener a o menos individuos de C

    en la muestra es u )05.0025.0( =u

    =

    =

    a

    jUUU ANAjnj

    0

    ^^,/,Pr

    uA^

    se selecciona como el entero ms pequeo que la satisface.El lmite inferior es de modo similar el entero ms grande que la satisface:

    =

    =

    a

    jLLL ANAjnj

    0

    ^^,/,Pr

    a