consolidacion teoria de probabilidad

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Teoría de Probabilidad

Y

Variable Aleatoria

Nivel de Consolidación

Teoría de probabilidad y variable aleatoria

Nivel consolidación

e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l

2

1. Tres hombres A, B, C intervienen en un torneo de ajedrez organizado por la

Federación de Chile, pero intervienen también cuatro mujeres W1, W2, W3,

W4.

Si ambos quieren ganar pero cada mujer tiene el doble de Posibilidades de ganar

que un hombre, pero entre le mismo sexo las mismas.

a) Hallar Probabilidad de que un hombre gane el torneo

Sol.:

PAP )( Entonces PCPBP )()(

Además PWPWPWPWP 2)4()3()2()1(

La suma de todos las probabilidades tanto de hombres como mujeres debe ser

igual a 1 (Por axioma)

12222 PPPPPPP

11

1

111

P

P

Ahora

A1) )()()(),,( CPBPAPCBAP

= 11

3

11

1

11

1

11

1

11

3

11

1

11

2)()1(),1( APWPAWP




3

2. Sean ocho artículos escogidos al azar de un total de 27 artículos de los cuales

trece son defectuosos

Sea A= {ocho artículos defectuosos}

B= {ocho artículos no defectuosos}

Hallar )()( BPyAP

Sol.:

Q puede suceder de 22200758

27

Maneras para escoger 8 artículos entre 27.

A puede suceder de 12878

13

Maneras que se puede escoger 8 defectuosos entre

20.

B puede suceder de 30038

14

Maneras que se puede escoger 8 no defectuosos

entre 14.

Luego se tiene:

2220075

1287)( AP

2220075

3003)( BP




4

3. Se escogen al azar 5 ampolletas entre 18 de las cuales 6 son defectuosas.

Hallar la probabilidad P de que:

a) Ninguna sea defectuosa

b) Dos exactamente sean defectuosas

c) Dos por lo menos sean defectuosas

Sol.:

Sabemos 85685

18

Maneras de escoger 5 ampolletas entre 18.

a) ya que 18-6=12 ampolletas no defectuosas entonces hay 7925

12

Maneras

de escoger 5 ampolletas no defectuosas.

Así que 119

11

1071

99

2142

198

8568

792P

b) Se tienen 6 ampolletas defectuosas y 2202

12

.Por consiguiente se tiene 6

220=1320 Maneras de escoger 5 ampolletas de las cuales 2 sean

defectuosas.

8568

1320P

c) El evento que sean por lo menos 2 defectuosas es el complemento del

evento de que ninguna sea defectuosa.




5

Por lo Tanto

Probabilidad no defectuosa es 119

11 entonces

119

108

119

111 P

4. En el liceo María Luisa Bombal hay un curso que consta de 28 hombres

Y 16 mujeres, de las cuales la mitad de los hombres y mujeres tienen los ojos

verdes.

Hallar la probabilidad P de que una persona escogida al azar sea Mujer y tenga

los ojos verdes.

Sol.:

A= {la persona es una mujer} B= {la persona tiene ojos verdes}

Buscamos )(AUBP

Luego 11

4

44

16)( AP ;

2

1

44

22)( BP

11

2

44

8)( BAP

Por regla aditiva

)()()()( BAPBPAPAUBPP

= 22

15

11

2

2

1

11

4




6

5. En el interior de un círculo se selecciona un punto al azar. Hallar la probabilidad

P de que el punto quede más cercano al centro que a la circunferencia.

Sol.:

4

1

1

4

16

1

4

116

1

)2

1(

)4

1(

)(2

2

2

2

r

r

r

r

TdeArea

UdeAreaAPP

6. Una clase de cálculo diferencial está formada por 12 estudiantes de primero, 7

de segundo, 5 de tercero y 2 de cuarto año de Universidad.

Se escoge un estudiante al azar para representar al curso.

Hallar la probabilidad que el estudiante.

a) Sea de tercero

b) Sea de segundo o cuarto año

Sol.:

T ½ r

U

¼ r

11

4/1




7

a) 26

5)( AP El alumno sea de tercer año.

b) 26

9

26

2

26

7)()()( DPBPBUDP

)()()( DPBPBUDP

Eventos Disjuntos

7. Una Universidad tiene 4 Carreras Leyes, Medicina, Ingeniería, Pedagogía.

- El 20% de los alumnos son de Pedagogía.

- El 30% de los alumnos son de Ingeniería.

- El 40% de los alumnos son de Medicina.

- El 10% de los alumnos son de Leyes.

El % de alumnos becados son:

- 35% de los alumnos de Pedagogía.

- 30% de los alumnos de Medicina.

- 20% de los alumnos de Ingeniería.

- 15% de los alumnos de Leyes

¿Cual es la probabilidad que un alumno de esta Universidad tenga Beca?

Sol.:

P: Alumnos de Pedagogía

I : Alumnos de Ingeniería.

L: Alumnos de Leyes




8

M: Alumnos de Medicina.

4,0)(1,0)(%3,0)(%2,0)( MPLPIPPP

%15,0)/(20,0)/(%3,0)(%35,0)()( LBPJBPM

BPP

BPBP

Entonces

)()/()()/()()/()()/()( LPLBPIPIBPMPMBPBPPBPBP

= 10,015,030,020,040,030,020,035,0

= 015,006,012,007,0

= 265,0

26% de probabilidades que un alumno tenga beca

8. Una caja de lápices de Colores contiene 26 unidades de las cuales 9 están

malos. Si se selecciona al azar 3 de estos sacándose de la caja en sucesión

sin reemplazo.

¿Cual es la Probabilidad que los 3 lápices estén malos?

Sol.:

A: El primer lápiz este malo

B: El segundo lápiz este malo

C: El tercer lápiz este malo.

Por Teorema eventos independientes

)/()/()()( BACPABPAPCBAP




9

Luego

24

7)/(

25

8)/(

26

9)( BACPABPAP

Se tiene

)/()/()()( BACPABPAPCBAP

= 650

21

24

7

25

8

26

9

9. 10 estudiantes A, B, C, D, E, F, G, H, I, J están en una clase de inglés se

escogen 3 al azar para una interrogación.

Hallar la probabilidad de que:

a) A sea interrogado por el profesor

b) B sea interrogado por el profesor.

c) A y C sean interrogados

d) A o C sean interrogados

Sol.:

a) 10

3)( AP c)

100

9

10

3

10

3)( CAP

b) 10

3)( BP d)

5

3

10

3

10

3)( AUCP




10

10. Dados los siguientes eventos Ay B con

6

1)(;

12

7)(;

6

5)( CAPBAPAUBP

Hallar )(),(),( CBAPBPAP

Sol.:

1)()( CAPAP (Teorema)

Luego

)(1)( CAPAP

6

5

6

11)( AP

Luego por

)()()()( BAPBPAPAUBP

12

7)(

6

5

6

5 BP

12

7)( BP

)()()( BAPAPBAP C = 4

1

12

3

12

7

6

5




11

11. Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la siguiente

distribución.

xi -4 -2 2 4

)(xif

4

1

3

1

2

1

1

42

12

3

12

4

14

2

xixi

= -1 - 413

2 =

3

10

162

14

3

14

4

116)(2 xifxi

= 3

70162

3

44

222 )( xifxi = 9

110

9

100

3

70

496,33

110

9

110

12. Una ciudad tiene 2 diarios: “El País” y “La Cuarterola” . Un estudio reciente a

mostrado que en los hombres el 30% lee El país, el 20% La Cuarterola y un

15% lee ambos. El mismo estudio revela que el 30% de las mujeres lee El País

y el 40% lee La Cuarterola y el 30% ninguno.

a) Encuentre la Probabilidad que el hombre lea al menos uno de los diarios.

b) Encuentre la probabilidad que una mujer lea solo A




12

Sol.:

A: Lee EL País

B: Lee La Cuarterola

C: Al menos un Diario

15,02,03,0)() CPa

= 0,65%

b) 30,0)( AP %

13. En un sorteo del KINO de un total de 25 bolitas, el que canta las bolitas extrae

2 de la tómbola ¿Que probabilidad existe que la primera bolilla sea múltiplo de

3 y la segunda múltiplo de 5?

Sol.:

Múltiplos de 3={3,6,9,12,15,18,21,24}

Múltiplos de 5= {5, 10, 15, 20, 25}

La probabilidad de sacar la primera bolita múltiplo de 3 entre 25 es:

25

8)3( P




13

La probabilidad de sacar la segunda bolita múltiplo de 5 entre 25 es:

5

1

25

5)5( P

Luego la probabilidad de obtener un múltiplo de 3 y un múltiplo de 5 es:

P (3y5)= 125

8

5

1

25

8

14. La probabilidad de que un Hombre vivirá 20 años mas es 3

1, la probabilidad

de que su esposa vivirá 20 años mas es 6

1. Hallar la probabilidad que:

a) Ambos estarán vivos dentro de 20 años

b) Al menos uno estará vivo en 20 años.

c) ninguno estará vivo en 20 años.

Rep.:

6

1)(

3

1)( EPHP

a) 18

1

6

1

3

1)()()( EPHPEHP

b) )()()()( EHPEPHPHUEP

= 9

4

18

8

18

1

6

1

3

1

c) )()()( CCCC EPHPEHP




14

= 9

5

6

5

3

2

15. En una caja hay tarjetas del mismo tipo con las letras de la palabra

MURCIELAGO luego se saca una tarjeta al azar, La probabilidad que en esta

halle una vocal es:

a) 10

1

Rep.:

b) 5

1

2

1

10

5)( AP

c)2

1

d)1

16. Si la densidad de probabilidad de la v aleatoria continúa está dada por:

42)1(

0

8

1)(

yparayyf




15

Determinar efectivamente que )(yf es una función de densidad de probabilidad.

Rep.:

18

182

2

44

2

16

28

1

8

1)1(

8

1)1(

8

1 24

2

4

2

4

2

4

2

y

ydydyydyydyy

Por la tanto podemos decir que efectivamente es una función de densidad

17. Se lanza un dado hasta que salga un 6 y se registra cada vez el numero de

lanzamientos necesarios y la suma de los valores obtenidos en el dado,

calcular:

a) La probabilidad de que la suma sea 10 , si se sabe que se lanza el dado no

más de 3 veces.

Rep.:

A= {Los dados suman 10}

B= { A lo más 3 lanzamientos}

)(

)3()2()1()/(

BP

BAPBAPBAPBAP




16

36

1

6

1

6

1)10,2()2( PBAP

72

1

216

13

6

13

6

1

6

1

6

1)3(

3333

BAP

)3()2()1()( BPBPBPBP

= 216

91

6

1

6

5

6

5

6

1

6

5

6

1

91

9

91

216

216

9

216

91216

3

36

10

)/(

BAP

18. Sea x una variable aleatoria continuaron distribución

50

0

23

)(

2

xsi

xk

xf

a) calcular el valor de k

b) Hallar )5()62()51( XPXPXP

Rep.:




17

a) 35

2

75

41

4

75

2

25

2

3

22

3

2

3

23 222

22

5

0

2

5

0

2

kkkkx

kdxxkdxx

k

b1)35

24

2

24

35

2

2

1

2

25

35

2

235

2

35

2

35

2)51(

25

1

xdxxdxxXP

b2) )62( XP

235

2 2x=

325

64

5

32

35

2

2

4

2

36

35

2

b3)3

5

2

25

35

2

235

2

35

2)5(

25

0

xdxxXP

19. Dada la siguiente función

xexf

x

025

1)( 25

Determinar

a) si la función anterior es una función de Probabilidad

Rep.:

12525

1

25

1

25

145

0

4545

0

2525

0

eeeeduedxedxe

x

uu

xx




18

20. Dada la siguiente función de probabilidad

12,.......3,2,1

0

36

76)(

x

xxf

Evaluar para cada valor la función acumulativa de la función antes dada

Rep.:

1)12()12(

36

35)11()11(

36

33)10()10(

36

30)9()9(

36

26)8()8(

36

21)7()7(

36

15)6()6(

36

10)5()5(

36

6)4()4(

36

3)3()3(

36

1)2()2(

0)1(

XPF

XPF

XPF

XPF

XPF

XPF

XPF

XPF

XPF

XPF

XPF

F




19

Calcular las siguientes probabilidades con respecto a lo antes calculado

36

26)5(1)5(1)5( FXPXP

9

1

36

6

36

10)4()5()4()5()5( FFXPXPXP

36

15

36

15

36

30)6()9()6()9()97( FFXPXPXP

21. En un test de lenguaje y comunicación un estudiante debe responder 7 de un

total de 9 preguntas.

Rep.:

a) De cuantas formas puede responder la prueba

36!7)!79(

!9

7

9

b) De cuantas formas puede responder si de las 4 primeras preguntas debe

responder 2 y de las 5 restantes 3.




20

161063

5

2

4

10!3)!35(

!5

3

5

6!2)!24(

!4

2

4

De 16 formas posibles se puede responder el Test.

22. En un instituto hay 1000 alumnos repartidos por cursos de acuerdo a una

tabla, calcular la probabilidad de:

1 2 3

Hombre 125 100 120

Mujer 370 180 105

Total 495 280 225

a) Ser hombre

b) Ser hombre o mujer de 1

c) Ser hombre de 2 o mujer de 3

Rep.:

a) 1000

345)( HP

b) 1000

495)( HoMP

c) 1000

205)( HoMP




21

23. La función densidad de probabilidad de una variable aleatoria x dada por:

0

10)1(3)(

xdxxxf

Determinar esperanza y Varianza

a) dxxdxxdxxxXE

1

0

2

1

0

1

0

33)1(3)(

= 2

1

32333

1

0

1

0

322

xxdxxdxx

)()()var( 22 xExEx

4

1)( 2 xE

Al desarrollar la integral de )( 2xE me da como resultado ¼

Ahora puedo calcular la varianza

)()()( 22 xExExVar

= 04

1

4

1

Al ser la Varianza igual a cero, quiere decir que la varianza es una constante.




22

24. Sea x una variable aleatoria que representa el numero de clientes que

llega a una tienda en un periodo de una hora. Dada la siguiente información.

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

)(xp 0,05 0,10 0,10 0,10 0,20 0,25 0,10 0,05 0,05

a) encontrar esperanza

05,0805,0710,0625,0520,0410,0310,0210,0105,00)( xE

=3,8

()( ExVar )() 22 xEx

05,06405,04910,03625,02520,01610,0910,0410,0105,00)( 2 xE

= 20,1

44,141,20)( xVar

= 5,66

25. Se dispone de 2 urnas en las cuales la probabilidad de ser seleccionada

son 0,2 y 0,5 respectivamente. La primera tiene 9 azules y 4 rojas y la segunda

3 azules y 6 rojos.

Si se extrae una bola y esta es de color rojo ¿Cuál es la probabilidad que sea

de la urna 1?

Rep.:




23

)1/()1()2/()2(

)1/()1()/1(

URPUPURPUP

URPUPRUP

(Por Bayes)

= 1840,0326,0

06,0

13

42,0

9

64,0

13

42,0

26. Si se elige al azar un número del 1-100 ¿Cuál es la probabilidad de

que ese número sea múltiplo de 3 y 5 a la vez?

Rep.:

Múltiplos de 3 y 5= {15,30,45,60,75,90}

50

3

100

6)( AP

27. Se lanza un dado y sale 4 ¿Que probabilidad hay que al lanzarlo nuevamente

sume con el primer resultado un número menor a 9?

a) 9

1

b) 6

5

c) 9

4

d) 3

2




24

28. Determinar la probabilidad que al lanzar un dado cuatro veces no se obtenga

ningún 5?

a) 625

10

b) 625

1296

c) 1296

625

d) 1296

1

Es la alternativa c y se resuelve por la regla multiplicativa

29. Calcular la probabilidad de ganar el loto con un solo cartón

000000306,0623.262.3

1

!6!)639(

!39

1

6

39

1)(

AP Probabilidad de ganar el Loto

30. Javier fue al hipódromo y le gustaron 2 caballos, el primero tiene una

probabilidad de perder de 8

5 y el segundo una probabilidad de ganar de

3

1

¿Qué probabilidad tiene de ganar si apuesta a los 2 caballos?




25

a) 24

17

b) 24

7

c) 26

35

d) 12

8

Por la regla aditiva se obtiene que la probabilidad de ganar si se apuesta a los 2

caballos es de 24

17

31. Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la siguiente distribución. xi - 3 -1 - 2 + 5

)(xif

4

1

3

1

2

1

2

1

2

5

2

12

3

11

4

13

2

xixi -

= -2

51

3

1

4

3 =

12

5

2

125

2

14

3

1

4

19)(2 xifxi

= 12

205

2

252

3

1

4

9




26

222 )( xifxi

= 12

350

12

5

12

205

08,412

200

32. Un examen consta de 5 temas numerados. Para elegir un tema la azar, se propone lanzar un dados sale 1 a 5 , el numero del tema es el resultado del dado ; si sale 6 se vuelve a tirar hasta que salga 1 a 5 . Demostrar que la probabilidad de elección de cada tema es 1/5.

Rep.:

Si sale el tema i (=1,….,5) , si se presenta una cualquiera de las siguientes secuencias

i; 6,i;6,6,i;6,……,6,i; de probabilidades

,......6

1......,,

6

1,

6

1;

6

132 n

La probabilidad es:

....

6

1............

6

1

6

1

6

132 n

= 5

1

6

11

6

1

33. En el colegio un niño tira un dado, le sale 6 y gana. Hallar la probabilidad de que haya hecho trampa. Resolver esto bajo un supuesto de que el 30% de los jugadores son tramposos.




27

Rep.: El niño puede ser tramposo o no. ahora el espacio muestral se descompone de la siguiente manera

cTT Siendo T = {el niño es tramposo} La probabilidad de que un jugador tramposo saque un 6 es 1. si no es tramposo la probabilidad es 1/6 . Entonces si 3,0)( TP

Cc TPTPTPTP

TPTPTP

()/6()()/6(

)()/6()6/(

=

7

6

)3,0(6

13,01

3,01

Si pTP )( donde p es un parámetro 10 p , entonces:

p

p

pp

pTP

51

6

16

11

1)6/(

34. Sea X una variable aleatoria continua de función de densidad de probabilidad:

2,0)1()( 3 xsixkxf

)2,0(0)( xsixf

a) Hallar la constante K y la función de distribución de probabilidad. b) Probabilidad se que X este comprendida entre 1 y 2

Rep.:

a) Se verifica

2

0

3 1)1(1)( dxxkdxxf




28

6

116

4

4

kkx

xk

x

xsi

xsix

x

xsi

dttfxF

21

2046

1

00

)()(4

b) 24

19)1(

6

1)21( 3

2

1

dxxXP

35. La función de probabilidad de X es el numero de defectos de cada 5 metros de una tela sintética en rollos continuos de ancho uniforme es xi 1 2 3 4 5

)(xif 0,27 0,33 0,09 0,06

a) 25,006,009,033,027,01

b) 06,0509,0425,0333,0227,012

xixi

= 27,0 + 30,036,075,066,0 = 2,34

= )(2 xifxi 06,02509,01625,0933,0427,01

= 78,65,144,125,232,127,0

c) 222 )( xifxi

= 47,578,6

= 1,31

d) )(

)(/)2/3(

BP

BAPBAPXXP




29

54,073,0

4,0

)2(

)3(

XP

XP

e) )2(

)2()4()2/4(

XP

XPXPXXP

=4,0

27,094,0

= 675,14,0

67,0

36. Verificar si la siguiente función dada por:

)(xf = 50

54 x para x= 1, 2, 3,4

Cumple con las condiciones como función de probabilidad de una variable aleatoria. Rep.: Al sustituir los diversos valores de x que se obtiene.

)1(f 50

9 , )2(f

50

13 , )3(f

50

17 , )4(f =

50

21

Se debe cumplir las siguientes condiciones f (x) 0

1)(

xfx

Luego

)4()3()2()1( ffff = 150

50

50

21

50

17

50

13

50

9

La función cumple con una de las condiciones para una función de probabilidad ya que su suma es igual a 1.además f (x) 0

37. Dado que la variable aleatoria es discreta x tiene la función de distribución.




30

Para 3x Para 63 x

Para 96 x

Para 129 x Para 12x Determinar

a) )106( xp = p12

17

4

3

3

2)6()10( xpx

b) 3

7)9( xp

38. Sea x una variable aleatoria que representa el número de mail que recibe una empresa a diario en un intervalo de 10 minutos y cuya función de probabilidad esta dado por:

!

)5()(

5

x

eXP

x

x= 0, 1, 2, 3, 4, 5

Determinar la probabilidad para los antes mencionados valores de x Rep.:

)0(P 00684,0166,146

1)5( 505 ee

)1(P 03420,0166,146

55)5( 515 ee

)2(P 08551,0332,292

25

2

25)5(

525

e

e

1

3

7

3

2

4

3

0

)(xf




31

)3(P 14253,0996,876

125

6

125)5(

535

e

e

)4(P 178165,0984,3507

625

24

625)5(

545

e

e

)5(P 178165,092,17539

3125

120

3125)5(

555

e

e

39. Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la siguiente distribución. xi -3 -1 1 3

)(xif

4

1

3

1

2

1

1

32

11

3

11

4

13

2

xixi

= 4

3 - 3

2

1

3

2 =

12

25

92

11

3

11

4

19)(2 xifxi

= 12

1459

2

1

3

1

4

9

222 )( xifxi

= 1012

120

12

25

12

145

1622,310




32

40. Probar que la familia de conjuntos },{ X es una ebraAlg

Rep.: Para probar que X es una ebraAlg , se debe ver que cumpla con los 3 axiomas

de una ebraAlg .

El primer axioma se cumple ya que X El segundo axioma se cumple ya que el complemento de todos los conjuntos de

X ( cc , ) son a su vez elementos de X

El tercer axioma se cumple ya que la unión entre cualquiera de los elementos de X es otro elemento de X .

41. Sea x una variable aleatoria que representa el número de clientes que llega a una tienda en un periodo de una hora. Dada la siguiente información.

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

)(xp 0,07 0,15 0,15 0,15 0,25 0,15 0,15 0,07 0,07

b) encontrar esperanza

07,0807,0715,0615,0525,0415,0315,0215,0107,00)( xE

=4,6


07,06407,04915,03615,02525,01615,0915,0415,0107,00)( 2 xE

= 23,16

16,2116,23)( xVar

= 2

42. Sea un dado tal que la probabilidad de las distintas caras es proporcional al número de puntos inscritos en ellas, Hallar la probabilidad de obtener con este dado un número par.




33

Rep.:

{1, 2, 3, 4, 5,6} y el algebra a= )(P

Cada suceso elemental es un suceso y su probabilidad es 6,5,4,3,2,1)( iiP

Constante de proporcionalidad Luego

6

1 21

11211

i

i

({P Que salga par})= })6,4,2({P

7

4

21

12

21

6

21

4

21

2

43. Sea x una variable aleatoria continua con distribución

50

0

23

)(

2

xsi

xk

xf

a) calcular el valor de k b) Hallar )5()62()51( XPXPXP

Rep.:

a) 35

2

75

41

4

75

2

25

2

3

22

3

2

3

23 222

22

5

0

2

5

0

2

kkkkx

kdxxkdxx

k

b1)35

24

2

24

35

2

2

1

2

25

35

2

235

2

35

2

35

2)51(

25

1

xdxxdxxXP




34

b2) )62( XP

235

2 2x=

325

64

5

32

35

2

2

4

2

36

35

2

b3)3

5

2

25

35

2

235

2

35

2)5(

25

0

xdxxXP

44. Un motor puede fallar por una y solo una de las siguientes causas : por obstrucción de los cojinetes , por combustión del embobinado o desgaste de las escobillas .Suponga que es doblemente probable que ocurra la obstrucción

Que la combustión, y es cuatro veces más probable que ocurra la combustión que la inutilización de las escobillas. Si la probabilidad de que el motor falle es 0,01 ¿Cuál es la probabilidad que el motor no funcione debido a cada una de las 3 causas posibles? Rep.: Primero se establecerán los eventos A: La falla ocurre por obstrucción de los cojinetes. B: La falla ocurre por combustión del embobinado C: La falla ocurre por desgaste de las escobillas. Evento: el motor falla equivale a la unión A CB Estos 3 eventos son mutuamente excluyentes esto es

CBCABA Y entonces

01,0)()()()( CPBPAPCBAP

Y como )(4)( CPBP y )(8)(2)( CPBPAP se sigue que

01,0)(13)()(4)(8 CPCPCPCP

Por lo que 130

8)(

130

4)(

130

1)( APBPCP

De lo visto anteriormente podemos decir que existen 3 elementos básicos: el espacio muestral , el ebraAlg X , y la medida de probabilidad P Definida sobre X .

Estos 3 elementos forman una terna que se denomina espacio de probabilidad.




35


0

10)1()(

2 xdxxxf


a) dxxdxxdxxxXE

1

0

3

1

0

1

0

2 )1()( =

4

1

4

1

2

1

42

1

0

1

0

423

xxdxxdxx

)()()var( 22 xExEx

)( 2XE dxxdxxdxxx

1

0

4

1

0

2

1

0

22 )1( =15

2

5

1

3

15

53

1

0

1

0

5342

xxdxxdxx

)()()( 22 xExExVar

= 240

17

16

1

15

2

46. Calcular la esperanza y varianza de la variable aleatoria continua, con función de densidad de probabilidad:

eoc

xsix

xf

0

)1,0(3

1)(

Rep.:

9

2

2

33

1

3)(

2

31

0

x

dxx

xXE

15

2

2

53

1

3)(

2

51

0

22

x

dxx

xXE




36

()( ExVar )() 22 xEx = 1215

102

1215

60162

81

4

15

2

47. Hacer el Grafico de la siguiente función xi -1 1 3

)(xif 1/6 1/3 1/2

Además encontrar esperanza, varianza y Desviación estándar en esta Distribución. Rep.:

2

13

3

11

6

11)( XE

= 3

5

2

3

3

1

6

1

2

19

3

11

6

1)1()( 22 XE

= 56

30

2

9

3

1

6

1

)()()( 22 XEXExiVar

= 2,29

20

9

255

Desviación Estándar

49,19

20)var( x

48. Dado },,,,{ uoiea espacio muestral y }},,{},,{},,,{},,{,,{ ueaoiuieoaT

ebraAlg

Veamos si }},,{},,{},,,{},,{,,{ ueaoiuieoaT

Cumple con las 3 condiciones para ser ebraAlg




37

Rep.: a) T se cumple con la primera condición

b) si TATA C cada elemento deT tiene su complemento

Por lo que se cumple esta condición. c)

},{ oa

},{ oi

},,{ uie

},{},{},,,{ oioauie

etc. T Es ebraAlg (tribu) para

49. Sea el conjunto de casos posibles que resultan de la tirada de un dado. Ver cuáles de las siguientes clases de conjuntos son ebraAlg

a) },{1 A

b) }},6,4,2{},5,3,1{,{2 A

c) }},1{,{3 A

d) ),(4 PA Conjunto de las partes de

Rep.:

a) Es un ebraAlg porque él y su complemento pertenecen a

ebraAlg y la unión

b) También porque 222 ,, AAA C

Y 2}6,4,2{}5,3,1{ A

c) No es ebraAlg ya que 3}6,5,4,3,2{}1{ Ac

d) Es ebraAlg ya cualquier operación entre conjuntos de )(P

Sera cerrada.




38

50. En una empresa de automóviles se ha encontrado la función de densidad de la variable

1501)6(86,2

1)(

2

x

xxf x

Encuentre la probabilidad de que una persona que maneje un automóvil

a) viaje más de 6 kilómetros b) viaje entre 3 y 6 kilómetros Rep.:

a) )7(xP 2360,086,2

785,0460,1

86,2

)1(tan)9(tan

1)6(

1

86,2

1 1115

7

2

x

Notar que 86,2)6(tan)15(tan 11

b) )73( xP 711,086,2

249,1785,0

86,2

)3(tan)1(tan

1)6(

1

86,2

1 117

3

2

x

51. Con respecto al ejemplo anterior , nos interesa conocer el gasto en viajes por el alza de la bencina .Así determinar la función de densidad por costo de bencina

El costo existentes depende de los kilómetros que recorra esto se basa en la siguiente regla

15950.3$

9650.2$

6000.2$

)(

xsi

xsi

xsi

xCZ

Encontrar la función de densidad Rep.: El rango del pasaje tiene solo 3 valores por lo que el rango




39

Es el siguiente:

}50.3,50.2,00.2zR

Para cada valor se tiene un subconjunto uA dado por:

)6,0(}2)(/{2 xcxA

)9,6[}50.2)(/{50.2 xcxA

]15,9[}50.3)(/{50.3 xcxA

En los 3 casos uA no es discreta

Finalmente los valores de la función de densidad en cuanto a los valores de la bencina

6

02

)()2( dxxfAf y1)6(86,2

12 x

4914,0dx

9

650.2

)()50.2( dxxfAf y1)6(86,2

12 x

4365,0dx

15

950.3

)()50.3( dxxfAf y 1)6(86,2

12 x

07380,0dx

52. Se lanza un dado hasta que salga un 5 y se registra cada vez el número de

lanzamientos necesarios y la suma de los valores obtenidos en el dado, calcular:

La probabilidad de que la suma sea 14, si se sabe que se lanza el dado no más de 3 veces.

Rep.: A= {Los dados suman 14}

B= {A lo más 3 lanzamientos}




40

)(

)3()2()1()/(

BP

BAPBAPBAPBAP

36

1

6

1

6

1)14,3()2( PBAP

72

1

216

13

6

13

6

1

6

1

6

1)3(

3333

BAP


= 216

91

6

1

6

5

6

5

6

1

6

5

6

1

91

9

91

216

216

9

216

91216

3

36

10

)/(

BAP

53. Si la función de distribución de la variable aleatoria x está dada por:

21

214

1

102

3

00

)(

xpara

xparax

xparax

xpara

XF

Obtener a) )9,0( XP

b) )1( XP

Rep.:

)9,0( XP = 6075,02

81,0

2

3

22

3

2

3

2

3 29,0

0

9,0

0

xdxxdx

x




41

)1( XP =4

5

4

1

2

1

2

12

4

1

24

1)

4

1(

22

1

2

1

2

1

x

xdxdxxdxx

54. si X ebraAlg

Xxxx ......,, 321 ........21 xx = Xxii

1

Demostración

Si Xxxx ......,, 321 ......., 21 Xxx Cc Y si ......., 21 Xxx Cc Xxc

ii i

1

Xxc

ii i

1 Xx cc

ii

)( 1

Luego por la ley de Morgan se tiene que:

Xx cc

ii

)( 1 =

11 )( i

c

ii x ix

Por lo que queda demostrado el teorema.

55. Un jugador lanza un dado. Si sale un número par gana dicho número de

euros, pero si no sale un número par pierde esa cantidad de euros. Calcular la esperanza. Los resultados posibles del juego con sus respectivas probabilidades es el siguiente:

Xi 2 -3 -5 4 8

f(xi)

8

1

8

1

8

1

8

1

8

1

Rep.:

)(XiE = )(xifxi




42

= 2 8

1 - 5

8

18

8

14

8

13

8

1

= 8

6

8

8

8

4

8

3

8

5

8

2 euros

56. La función de densidad de probabilidad de una variable

Aleatoria X está dada por:

eoc

xxxf

0

10)2(5

2

)(

Determinar a) )(xE

b) )(xVar

Rep.:

a) )(xE = 15

4

3

2

5

2

3

11

5

2

32

2

5

22

5

2)2(

5

2)2(

5

2 321

0

1

0

2

1

0

1

0

xxdxxdxxdxxxdxxx

b) )(xVar = )()( 22 xExE

)( 2xE6

1

12

5

5

2

4

1

3

2

5

2

432

5

22

5

2)2(

5

2)2(

5

2 431

0

1

0

32

1

0

1

0

22

xxdxxdxxdxxxdxxx

)(xVar = )()( 22 xExE

= 1350

129

1350

96225

225

16

6

1




43

57. Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la siguiente distribución.

xi - 2 -1 2 3

)(xif

6

1

6

1

6

1

6

1

6

13

6

12

6

11

6

12

2

xixi -

= -2

1

3

1

6

1

3

1 =

3

1

6

19

6

14

6

11

6

14)(2 xifxi

= 26

18

6

9414

2

3

3

2

6

1

3

2

222 )( xifxi

= 9

17

9

118

9

12

374,13

17

9

17

58. Se sortea una rifa en beneficio a los damnificados del sur , la rifa posee un total de 13 números. Si su probabilidad es proporcional al número de la rifa comprado ¿Calcular la probabilidad que el numero ganador sea par?

Rep.:

{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13} y el algebra a= )(P

Cada suceso elemental es un suceso y su probabilidad es 13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)( iikkP




44

k Constante de proporcionalidad Luego

13

1 91

11911

i

kkki

({P Que numero ganador salga par})= })12,10,8,6,4,2({P

91

42

91

12

91

10

91

8

91

6

91

4

91

2


3,0)41(2

)( 3 xsixc

xf

)3,0(0)( xsixf

a) Hallar la constante c y la función de distribución de probabilidad. b) Probabilidad de que X este comprendida entre 0 y 1

Rep.:

a) Se verifica

3

0

3 1)41(2

1)( dxxc

dxxf

42

1142184

2244

2

44

ccc

xxcx

xc

x

xsi

xsixx

xsi

dttfxF

31

3042

1

00

)()( 4




45

b) 441

0

1

0

33

1

042

1

44

42

14

42

1)41(

42

1)10( xx

xxdxxdxdxxXP

21

12

42

1

60. La función de probabilidad de X es el numero de defectos de cada 5 metros de una tela sintética en rollos continuos de ancho uniforme es

xi 1 2 3 4 5 )(xif 0,12 0,18 0,05 0,09

a) 56,009,005,018,012,01

b) 09,0505,0456,0318,0212,012

xixi

= 12,0 + 81,245,02,068,136,0

= )(2 xifxi 09,02505,01656,0918,0412,01

= 93,825,28,004,572,012,0

c) 222 )( xifxi

= 89,793,8

= 04,1

d) )(

)(/)2/3(

BP

BAPBAPXXP

795,088,0

7,0

)2(

)3(

XP

XP

e) )2(

)2()4()2/4(

XP

XPXPXXP




46

= 89,088,0

79,0

88,0

12,091,0

61. Dado que la variable aleatoria es discreta x tiene la función de distribución.

Para 1x Para 31 x

Para 53 x

Para 75 x Para 8x

Determinar

a) )42( xp = p35

13

5

1

7

4)2()4( xpx

b) 3

5)6( xp


!

)3()(

4

x

eXP

x

x= 0, 1, 2, 3, 4


1

3

5

7

4

5

1

0

)(xf




47

)0(P 0185,093,53

1)3( 404 ee

)1(P 0556,093,53

33)3( 414 ee

)2(P 0834,086,107

9

2

9)3(

424

e

e

)3(P 0834,058,323

27

6

27)3(

434

e

e

)4(P 06258,032,1294

81

24

81)3(

444

e

e

)5(P 03754,06,6471

243

120

243)3(

454

e

e


xi -4 -2 1 3

)(xif

5

1

5

1

5

1

5

2

5

23

5

11

5

12

5

14

2

xixi

= 5

6

5

1

5

2

5

4

=

5

1

5

29

5

11

5

14

5

116)(2 xifxi




48

= 5

39

5

18

5

1

5

4

5

16

222 )( xifxi

= 76,725

194

25

1195

25

1

5

39

785,25

194

64. Sea }6,5,4,3,2,1{ el conjunto de los casos posibles que resultan de la tirada

de un dado decir cuáles de las siguientes clases de conjuntos son algebras.

a) 1a }}4,3{},5,4{},3,2,1{,,{

b) 2a }}6,5,4,3{},2,1{,,{

c) 3a }}6,5,4{},3,2,1{,{

Rep.:

a) no es un ebraAlg ya que c}3,2,1{ no pertenecen a 1a

b) Es ebraAlg ya que cada elemento de 2a posee su complemento

c) No lo es puesto que c no pertenecen a 3a

65. Si la función de densidad de la variable aleatoria X está dada por




49

eoc

cxparax

xparax

xf

0

15

102

3

)(

Determinar el valor de c

Rep.:

12

15

25

255)5(

22

1 1 1

cc

xxdxxdxdxx

c c c

2

15

25

2

c

c

2

9

25

2

c

c

910 2 cc

09102 cc

0)1)(9 cc

19 21 cc

66. Suponga que la función de distribución de la variable aleatoria X es:

0

2

3

00

)( 2

xparax

x

xpara

xF

a) Encontrar función de Densidad de X b) Calcular la Probabilidad )10( XP

Rep.:




50

a) Como X es una variable aleatoria continúa , entonces La función de densidad se encuentra al derivar la función de distribución

dx

x

xd

xf

)2

3(

)(

2

=

22

2

2

22

2

2

2

22

)2(

)34(3

)2(

912

2

3612

)2(

362

)2(

)2(3

)3()2(

x

xx

x

xx

x

xxx

x

xxx

x

dx

xdx

dx

xdx

b) 101)0()1(2

3)10()(

2

FFx

xXPxF

67. Un Grupo de personas juega al popular UNO este juega solo con las cartas de color verde ósea que espacio muestral va a ser igual a

}9,8,7,6,5,4,3,2,1,0{ ,

¿Cual es la probabilidad que al sacar una carta salga impar?

Rep.:

}9,8,7,6,5,4,3,2,1{ Y el algebra a= )(P

Cada suceso elemental es un suceso y su probabilidad es 9,8,7,6,5,4,3,2,1)( iiccP

c Constante de proporcionalidad Luego

9

1 45

11451

i

kcci

({P Que salga impar})= })9,7,5,3,1({P

9

5

45

25

45

9

45

7

45

5

45

3

45

1




51

68. Sea x una variable aleatoria que representa el número de personas que va a comprar a supermercado Jumbo. Dada la siguiente información.

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

)(xp 0,03 0,15 0,12 0,12 0,20 0,15 0,15 0,03 0,03

Encontrar esperanza

03,0803,0715,0615,0520,0412,0312,0215,0103,00)( xE

=3,65


03,06403,04915,03615,02520,01612,0912,0415,0103,00)( 2 xE

= 17,45

32,1345,17)( xVar

= 4,13


41

427

2

20

)(

xpara

xparax

xpara

XF

Obtener a) )3( XP

Rep.:




52

)3( XP =7

5

2

5

7

2

2

4

2

9

7

2

27

2

7

2

7

2 23

2

3

2

xdxxdx

x

70. Sea },,,,{ uoiea conjunto de vocales Veamos si

}},{},,,{},,{},,,{,,{ uaoieuoieaT

Compuesta por estas vocales. Cumple con las condiciones para ser ebraAlg

Rep.: a) T Cumple con esta condición

b) si TATA C cumple con la condición ya que cada elemento de T tiene un complemento

c)

},{ ea

},{ uo

},,{ oia

},{},{},,,{ oieaoie

etc. T es ebraAlg (tribu) para


a) },{1 A

b) }},4,2{},5,3,1{,{2 A

c) }}3,2,1{,{3 A




53

Rep.:


ebraAlg y la unión

b) NO, porque si bien, 222 ,, AAA C

a. 2}5,3,1{ Ac

c) No es ebraAlg ya que 3}6,5,4{}3,2,1{ Ac

72. Dado que x tiene la distribución de probabilidad

xxf

3

3

1)( para x=0,1,2,3

Determine la función generatriz de momentos de esta variable aleatoria y utilícela

para determinar 21 y

Rep.:

x

txtx xfeeEtMx )()()(

Se tiene que

x

txtx xfeeEtMx )()()( =

3

0

3

3

1

x

tx

xe

= )331(3

1 32 ttt eee

= 3)1(3

1 te

Por lo tanto como

0)(

2t

dt

tmd x

401)0(2

1 teem tt

x




54

84401)1(2)0(22

2 teeeem tttt

x

73. Si X es el número de puntos con un dado equilibrado Determinar el valor esperado de la variable aleatoria

34)( 2 xxh

Rep.:

Cada resultado posible tiene probabilidad 6

1se obtiene:

6

1)34())((

6

1

2 x

xxhE

= 6

1364.........

6

1)334(

6

1)324(

6

1)314( 2222

= ( )6

1147

6

1103

6

167

6

139

6

119

6

17

= 6

382

6

147

6

103

6

67

6

39

6

19

6

7

74. Sea el conjunto de los casos posibles que resultan de la tirada de un dado decir cuáles de las siguientes clases de conjuntos son algebras.

a) 1a }}6,5,2{},4,3,1{,{

b) 2a }}5,4{},3,2,1{,,{

c) 3a }}6,5,4{},3,2,1{,,{




55

Rep.:

a) no es un ebraAlg ya que c no pertenecen a 1a

b) no es ebraAlg ya que cada elemento de 2a no posee su complemento

c) Es ebraAlg puesto que cada elemento posee su complemento en 3a


41

423

2

206

5

00

)(2

xpara

xparax

xparax

xpara

XF

Obtener a) )1( XP

Rep.:

)1( XP =12

5

2

1

6

50

2

1

6

5

26

5

6

5

6

5 21

0

1

0

xdxxdx

x


},,,{},{},,,{},,{},{,,{ uoieuuoieaaT






56

b) si TATA C No cumple con la condición ya que cada elemento de Tno tiene un complemento

Por lo tanto no es un ebraAlg .


0

10)2

1(

5

4

)(

2 xdxxxxf


a) dxxdxxdxxxxXE

1

0

3

1

0

2

1

0

2

5

4

2

1

5

4)

2

1(

5

4)(

=

3

1

15

5

5

1

15

2

515

2

45

4

35

2

5

4

5

2 431

0

1

0

4332

xxxxdxxdxx

)()()var( 22 xExEx

)( 2xE dxxdxxdxxxx

1

0

4

1

0

3

1

0

22

5

4

2

1

5

4)

2

1(

5

4

50

13

250

65

25

4

10

1

25

4

1055

4

45

2

5

4

5

2 441

0

1

0

5443

xxxxdxxdxx

)()()( 22 xExExVar

= 450

67

450

50117

9

1

50

13

78. Sea x una variable aleatoria que representa el número de clientes que llega a una tienda en un periodo de una 2 horas. Dada la siguiente información.




57

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

)(xp 0,05 0,16 0,16 0,16 0,18 0,18 0,16 0,05 0,05

c) encontrar esperanza

05,0805,0716,0618,0518,0416,0316,0216,0105,00)( xE

= 29,4


05,06405,04916,03618,02518,01616,0916,0416,0105,00)( 2 xE

= 03,21

40,1803,21)( xVar

= 2,63


30

0

42

1

)(

2

xsi

xk

xf


Rep.:

a) 3

4

9

16

9

161

16

9

2

9

8

1

28

1

8

1

42

1 2222

2

3

0

2

3

0

2

kkkkx

kdxxkdxx

k

b1)9

84

9

2

2

1

2

9

9

2

29

2

9

2

9

2)31(

23

1

3

1

xdxxdxxXP




58

b2) )20( XP

2

0

2

09

2

9

2dxxdxx

29

2 2x=

9

40

2

4

9

2

b3)9

1

2

1

9

2

29

2

9

2)1(

21

0

xdxxXP


xexf

x

018

1)( 18

Determinar si la función anterior es una función de Probabilidad Rep.:

11818

1

18

1

18

118

0

1818

00

1818

0

eeeeduedxedxe

x

uu

xx

81. La función de densidad de probabilidad de una variable Aleatoria X está dada por:

eoc

xxxf

0

10)4(3

1

)(

Determinar a) )(xE

b) )(xVar

Rep.:




59

a) )(xE = 9

5

3

5

3

1

3

1

2

4

3

1

32

4

3

14

3

1)4(

3

1)4(

3

1 321

0

1

0

2

1

0

1

0

xxdxxdxxdxxxdxxx

b) )(xVar = )()( 22 xExE

)( 2xE36

13

12

13

3

1

4

1

3

4

3

1

434

3

14

3

1)4(

3

1)4(

3

1 431

0

1

0

32

1

0

1

0

22

xxdxxdxxdxxxdxxx

)(xVar = )()( 22 xExE

= 1458

153

1458

9001053

81

25

36

13


xi - 3 -1 1 4 )(xif

4

1

4

1

2

1

2

1

2

14

2

11

4

11

4

13

2

xixi -

= -2

4

2

1

4

1

4

3 =

2

3

2

116

2

11

4

11

4

19)(2 xifxi

= 114

44

4

32219

2

16

2

1

4

1

4

9

222 )( xifxi

= 4

35

4

944

4

911




60

9580,22

35

4

35


Rep.:

{1, 2, 3, 4, 5,6} y el algebra a= )(P

Cada suceso elemental es un suceso y su probabilidad es 6,5,4,3,2,1)( iipkP

p Constante de proporcionalidad

Luego

6

1 21

11211

i

pppi


7

4

21

12

21

6

21

4

21

2


1,0)2

11()( 4 xsixcxf

)1,0(0)( xsixf

a) Hallar la constante c y la función de distribución de probabilidad. b) Probabilidad de que X este comprendida entre ½ y 1

Rep.:

a) Se verifica

1

0

4 1)2

11(1)( dxxcdxxf




61

11

101

10

11

52

1 5

ccx

xc

x

xsi

xsix

x

xsi

dttfxF

11

101011

10

00

)()(5

b)

320

1

2

1

10

11

11

10

52

1

11

10

2

1

11

10)

2

11(

11

10)1

21(

51

2

1

1

2

1

44

1

2

1

xxdxxdxdxxXP

352

191

320

191

11

10

85. La función de probabilidad de X es el numero de defectos de cada 5 metros de una malla rachel continuos de ancho uniforme es

xi 1 2 3 4 5

)(xif 0,17 0,20 0,03 0,17

a) 43,017,003,020,017,01

b) 17,0503,0443,0320,0217,012

xixi

= 17,0 + 83,285,012,029,140,0

= )(2 xifxi 17,02503,01643,0920,0417,01

= 57,925,448,087,380,017,0




62

c) 222 )( xifxi

= 00,857,9

= 57,1

d) )(

)(/)2/4(

BP

BAPBAPXXP

240,083,0

2,0

)2(

)4(

XP

XP

e) )2(

)2()3()2/3(

XP

XPXPXXP

= 75,083,0

63,0

83,0

17,08,0


xi -2 -1 4

)(xif

3

1

3

1

3

1

3

14

3

11

3

12

2

xixi

= 3

4

3

1

3

2 =

3

1

3

116

3

11

3

14)(2 xifxi




63

= 73

21

3

16

3

1

3

4

Varianza

222 )( xifxi

= 8,69

62

9

163

9

17


624,23

62

87. Una variable Aleatoria tiene función de densidad 12

2

xcxf donde

x

a) Hallar el valor de c

b) Hallar la probabilidad de que 2x este entre 14

1y

Rep.:

a) 1

dxxf

1221

2122

2

cxtgcdxx

c

1c

b) sea 14

1 2 x entonces 12

1 x o

2

11 x

Por lo tanto la probabilidad pedida es:




64

12

2

64

2

2

11

2

1

2

1

1

1

1 11

1

2

12

1

2

12

1

2

12

tgtgx

dx

x

dx

x

dx

88. Si la función de distribución de la variable aleatoria x esta dada por:

2

51

2

5

2

1

4

1

2

10

4

00

)(

xpara

xparax

xparax

xpara

XF

Obtener

a) )12

1( XP

b) )4

1( XP

Rep.:

4

1

8

2

8

1

8

1

4

1

2

1

4

1

24

1

4

1 21

2

1

1

2

1

1

2

1

x

xdxdxxdxx

64

3

16

3

4

1]

16

1

4

1[

4

1

4

1

4

1

4)

4( 2

2

1

4

1

2

1

4

1

2

1

4

1

xdxxdxx

dxx

89. Dados los siguientes valores




65

X 1 2 3 4 5

fx 0,30 0,25 0,09 0,03

a) Determinar el valor de b) Representar Gráficamente la función de distribución de cuantía. c) )2( XP

d) )4/3( XXP

e) )(xE

f) )var(x

Rep.:

a) 33,003,009,025,030,01

b)

c) )2(1)2( XPXP

= 55,01

= 45,0

d) 477,088,0

42,0

)4(

)43()4/3(

XP

XPXXP

fx

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

1 2 3 4 5

x

f(x)

fx




66

e)

xx

fxxXE

)(

= 03,0509,0433,0325,0230,01

= 15,036,099,05,030,0

= 3,2

f) )()()var( 22 XEXEx

X

fxxXE 22 )(

= 03,02509,01633,0925,0430,0)1( 2

= 75,044,197,2130,0

= 46,6

29,546,6)var( x

= 17,1

90. Hacer el Grafico de la siguiente función xi 1 2 3 4

)(xif

8

1

4

1

2

1

8

1


8

14

2

13

4

12

8

11)( XE

= 8

21

8

4

2

3

4

2

8

1




67

8

116

2

19

4

14

8

11)( 2 XE

= 8

612

2

91

8

1

)()()( 22 XEXExiVar

= 7343,064

47

64

441

8

61


8569,07343,0)var( x

91. La función de distribución o acumulativa de una variable aleatoria dada por:

Grafica

0,125

0,25

0,5

0,125

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

1 2 3 4

x

f(x)

Serie2




68

21

202

13

00

)( 2

x

xxx

x

XF

Obtener )2

1( XP

Rep.:

a) 48

17

48

1

8

3

32

1

23

2

13)

2

13()

2

1(

322

1

0

2

1

0

22

1

0

2

xxdxxdxxdxxxXP

92. sea x una variable aleatoria cuya función de densidad esta dada por:

10)35

4()( 3

xparaxxcxf

a) Determinar el valor de c b) Calcular la Esperanza Rep.:

a)

2

345

43

5

4)3

5

4()3

5

4(

241

0

1

0

33

1

0

3

1

0

xxcdxxdxxcdxxxcdxxxc

= 13

101

10

13

2

3

5

1

2

13

4

1

5

4

cccc

b)

1

0

1

0

2424

1

0

3

1

0

3 35

4)3

5

4()3

5

4()3

5

4()( dxxdxxcdxxxcdxxxxcdxxxcxXE

13

8

13

10

5

4

5

4

3

13

5

1

5

4

33

55

4 35

cc

xxc




69

93. Si la densidad de probabilidad de la variable aleatoria continúa esta dada por:

31)

5

1(

0

136

15)( 2

xparaxxf

Determinar efectivamente que )(xf es una función de densidad de probabilidad.

Rep.:

115

136

136

15

5

1

3

1

5

39

5

1

3136

15

5

1

136

15)

5

1(

136

15)

5

1(

136

15 33

1

3

1

2

3

1

22

3

1

x

xdxdxxdxxdxx


xexf

x

09

1)( 18

3


199

1

9

1

9

19

0

99

00

99

0

eeeeduedxedxe

x

uu

xx

dxdu

xxu

9

1

918

3




70

95. Verificar si la siguiente función es de densidad

31

307

3

00

)(2

xsi

xsix

xsi

xF

Rep.:

7

27

3

27

7

3

37

3

7

3

7

3 33

0

2

3

0

2

x

dxxdxx

No es función de densidad de probabilidad

96. Sea }7,5,3,1{ Conjunto de números primos

Veamos si }}7,5{},3,1{},7,5,3{},1{,,{ T

Cumple con las condiciones para ser ebraAlg


b) si TATA C cumple con esta condición Ya que el complemento de cada elemento Se encuentran presentes Por lo tanto No es ebraAlg .

c) TAnINnAnA n

,,0

Por lo tanto cumple con 3 condiciones es un ebraAlg .




71

97. Sea },,,,{ asiul conjunto de letras que conforman un nombre femenino

Veamos si }}{},,,{},,,{},,{,,{ aiulasiulT

Compuesta por estas letras. Cumple con las condiciones para ser ebraAlg


b) si TATA C no cumple con la condición ya que cada elemento de T no

tiene un complemento Tiul c },,{

Por lo tanto NO cumple con 3 condiciones es un ebraAlg .


xi - 3 -1 1 3 4

)(xif

5

1

5

1

5

1

5

1

5

1

5

14

5

13

5

11

5

11

5

13

2

xixi -

= -5

4

5

3

5

1

5

1

5

3 =

5

4

)(22 xiExiExVar

5

116

5

19

5

11

5

11

5

192 xiE

5

36

5

16

5

9

5

1

5

1

5

9

)(22 xiExiExVar

25

164

25

16

5

36


561,25

164

25

164xVar




72

99. Se sortea una rifa en beneficio a Beneficio de la unidad de Oncologia del Hospital Carlos Van Buren, la rifa posee un total de 12 números. Si su probabilidad es proporcional al número de la rifa comprado ¿Calcular la probabilidad que el número ganador sea par?

Rep.:

{ 12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1 } y el algebra a= )(P

Cada suceso elemental es un suceso y su probabilidad es 12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)( iikkP


12

1 78

11781

i

kkki

({P Que numero ganador salga par})= })12,10,8,6,4,2({P

78

42

78

12

78

10

78

8

78

6

78

4

78

2


a) }{1 A

b) }},6,5,4{},3,2,1{,{2 A

c) }}3,2,1{,{3 A

d) }}6,5{},4,2,1{{1 A




73

101. La función de probabilidad de X es el numero de defectos de cada 5 casas construidas como mediaguas en el centro del pais

xi 1 2 3 4 5

)(xif 0,16 0,18 0,08 0,17

a) 41,017,008,018,016,01

b) )(

)(/)1/4(

BP

BAPBAPXXP

25,01

25,0

)1(

)4(

XP

XP

c) )3(

)3()4()3/4(

XP

XPXPXXP

= 7424,066,0

49,0

66,0

34,083,0

d)

Grafica Funcion Cuantia

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

1 2 3 4 5

x

f(x)

Serie2




74

102. Dado que la variable aleatoria es discreta x tiene la función de

distribución.

Para 0x Para 10 x

Para 21 x

Para 32 x Para 3x

Determinar

a) )2

31( xp = p

8

2

8

1

8

3)1()

2

3( xpx

b) 8

5)4( xp


41

4121

2

10

)(

2

xpara

xparax

xpara

XF

Obtener a) )3( XP

Rep.:

1

8

5

8

3

8

1

0

)(xf




75

)3( XP = 825,063

52

3

26

21

2

3

1

3

27

21

2

321

2

21

2

21

2 33

1

2

3

1

2

xdxxdx

x


2,0)21(5

)( 3 xsixc

xf

)2,0(0)( xsixf

a) Hallar la constante c y la función de distribución de probabilidad.

b) Probabilidad se que X este comprendida entre 0 y 2

1

Rep.:

a) Se verifica

2

1

0

3 1)21(5

1)( dxxc

dxxf

17

1601

32

17

5

11

32

1

2

1

52

1

542

5

44

ccc

xxcx

xc

x

xsi

xsix

x

xsi

dttfxF

21

204

287

160

00

)()(4




76

b)

4

42

1

0

2

1

0

332

1

02

1

87

160

42

87

1602

87

160)21(

87

160)

2

10( xx

xxdxxdxdxxXP

9770,02784

2720

32

17

87

160

32

1

2

1

87

160


2,0)32(4

)( 5 xsixc

xf

)2,0(0)( xsixf

a) Hallar la constante c y la función de distribución de probabilidad. b) Probabilidad se que X este comprendida entre 0,1

Rep.:

a) Se verifica

2

0

5 1)32(4

1)( dxxc

dxxf

9

119136

46

6434

4632

4

6

ccccx

xc

x

xsi

xsix

x

xsi

dttfxF

21

206

3236

1

00

)()(6




77

b)

72

5

2

5

36

1

2

12

36

1

632

36

132

36

1)32(

36

1)10(

61

0

1

0

55

1

0

xxdxxdxdxxXP


0

2

10)3

2

1(

6

1

)(

2 xdxxxxf


a) dxxdxxdxxxXE 2

1

0

22

1

0

32

1

0

23

2

1

12

1)3

2

1(

6

1)(

= 768

17

48

1

768

1

32

1

412

1 34

xx

)()()var( 22 xExEx

)( 2xE dxxdxxdxxxx 2

1

0

32

1

0

42

1

0

22 32

1

6

1)3

2

1(

6

1

1920

16

128

1

1920

1

86042

1

512

1

2

1

12

1 4521

0

21

0

4534

xxxxdxxdxx

)()()( 22 xExExVar

= 00784,01132462080

8882304

1132462080

5548809437184

589824

289

1920

16




78

107. Sea x una variable aleatoria que representa el número de clientes que llega a una tienda en un periodo de 9 horas. Dada la siguiente información.

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

)(xp 0,06 0,10 0,10 0,10 0,15 0,15 0,20 0,07 0,07

Encontrar esperanza

07,0807,0720,0615,0515,0410,0310,0210,0106,00)( xE

= 2,4


07,06407,04920,03615,02515,01610,0910,0410,0106,00)( 2 xE

= 66,22

64,1766,22)( xVar

= 5,02


10

0

24

9

)(

2

xsi

xk

xf


b) Hallar )12

1()

2

10( XPXP

Rep.:

a) 3

4

9

161

16

9

2

1

8

9

28

9

8

9

24

9 2222

2

1

0

2

1

0

2

kkkkx

kdxxkdxx

k




79

b1)4

1

8

120

8

12

2222)

2

10(

221

0

21

0

xdxxdxxXP

b2) )12

1( XP

1

21

1

21

22 dxxdxx

22

2x=

8

6

8

32

8

1

2

12

109. La función de distribución o acumulativa de una variable aleatoria dada

por:

31

305

00

)( 3

x

xxx

x

XF

Obtener )3

1()

4

1( XPXP

Rep.: a)

1552,01024

159

1024

1160

1024

1

32

5

4255)5()

4

1(

424

1

0

4

1

0

34

1

0

3

xxdxxdxxdxxxXP

b)

2746,0324

89

324

1

18

5

42555)5()

3

1(

423

1

0

3

1

0

33

1

0

3

1

0

3

1

0

33

xxdxxdxxdxxdxxxxXP




80


xi -3 -1 2 3

)(xif

4

1

4

1

4

1

4

1

4

13

4

12

4

11

4

13

2

xixi

= 4

3

4

2

4

1

4

3 =

4

1

4

13

4

12

4

11

4

19)(2 xifxi

= 4

15

4

3

4

2

4

1

4

9

222 )( xifxi

= 6875,316

59

16

160

16

1

4

15

920,16875,3

111. Sea }6,5,4,3,2,1{ el conjunto de los casos posibles que resultan de

la tirada de un dado decir cuales de las siguientes clases de conjuntos son algebras.

a) 1a }}3,5,1{},5,4{},2,1{,,{

b) 2a }}6,5,4{},3,2,1{,{

c) 3a }}6,2,1{},5,4,3{},6,5,4,3{},2,1{,,{




81

Rep.:

a) No es un ebraAlg ya que c}3,2,1{ no pertenecen a 1a

b) No lo es puesto que c no pertenecen a 2a

c) Es ebraAlg ya que cada elemento de 3a posee su complemento

112. Si la función de densidad de la variable aleatoria X esta dada por

eoc

cxparax

xparax

xf

0

2

14

2

10

5

4

)(


Rep.:

18

12

24

244)4(

22

2

1

2

1

2

1

cc

xxdxxdxdxx

c c c

18

15

24

2

c

c

815432 2 cc

23432 2 cc

023324 2 cc

8

61,2532

8

65632

8

368102432




82

20,71 c 79,02 c


0

3

4

00

)( 2

xparax

x

xpara

xF

a) Encontrar función de Densidad de X

b) Calcular la Probabilidad )2

10( XP

Rep.:

a) Como X es una variable aleatoria continúa , entonces La función de densidad se encuentra al derivar la función de distribución

dx

x

xd

xf

)3

4(

)(

2

=

x

x

x

xx

x

xx

x

xxx

x

xxx

x

dx

xdx

dx

xdx

2

12

)2(

)2(12

)3(

1224

3

4824

)3(

483

)3(

)3(4

)4()3(

22

2

2

22

2

2

2

22

b) 7

20

7

2)0()

2

1(

3

4)

2

10()(

2

FFx

xXPxF




83

114. Un Grupo de personas juega al poker este juega solo con las cartas de numéricas ósea que espacio muestral va a ser igual a }9,8,7,6,5,4,3,2,1,0{ ,

¿Cual es la probabilidad que al sacar una carta salga par?

Rep.:

}9,8,7,6,5,4,3,2,1{ Y el algebra a= )(P


c Constante de proporcionalidad

Luego

9

1 45

11451

i

kcci

({P Que salga impar})= })8,6,4,2({P

9

4

45

20

45

8

45

6

45

4

45

2

115. Sea x una variable aleatoria que representa el número de personas que va a comprar a supermercado Jumbo. Dada la siguiente información.

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

)(xp 0,05 0,15 0,15 0,10 0,20 0,15 0,10 0,05 0,05

Encontrar esperanza

05,0805,0710,0615,0520,0410,0315,0215,0105,00)( xE

= 65,3


05,06405,04910,03615,02520,01610,0915,0415,0105,00)( 2 xE

= 85,17

32,1385,17)( xVar




84

= 53,4

128,253,4)( xVar

116. Dado }.3,2,1{ .completar }}2{},1{{ para obtener un algebra. Agregar

más subconjuntos si es posible. Rep.:

}}3{},2,1{},3,2{},2{},2{},1{},3,2,1{,{F

Se conforma un total de 8 subconjuntos, los cuales cumplen con los requisitos para ser un ebraa lg .


31

304

00

)( 3

x

xxx

x

XF

Obtener )3

1()

4

1( XPXP

Rep.: a)

124,01024

127

1024

1128

1024

1

8

1

4244)4()

4

1(

424

1

0

4

1

0

34

1

0

3

xxdxxdxxdxxxXP




85

b)

219,0324

71

324

1

18

4

42444)4()

3

1(

423

1

0

3

1

0

33

1

0

3

1

0

3

1

0

33

xxdxxdxxdxxdxxdxxxXP


41

422

1

215

3

10

)(

xpara

xparax

xparax

xpara

XF

Obtener

a) )4

5( XP

Rep.:

)4

5( XP = 16875,0

160

27

32

9

5

3

2

1

32

25

5

3

25

3

5

3

5

3 245

1

45

1

xdxxdx

x

119. Sea }6,5,4,3,2,1{ conjunto de números que corresponden al sorteo

Del Loto Veamos si }}6,5,4,3,2{},6,5,4,1{},3,2{},6,5,4{},,3,2,1{},1{,,{ T



b) si TATA C Tanto el subconjunto Como su complemento pertenecen a T




86

Tc}6,5,4

c) TAnINnAnA n

,,0

Por lo tanto cumple con 3 condiciones para un ebraAlg .

120. La función de densidad de probabilidad de una variable Aleatoria X esta dada por:

eoc

xxxf

0

20)5(9

1

)(

Determinar a) )(xE

b) )(xVar

Rep.: a) )(xE =

27

22

3

22

9

1

3

810

9

1

32

5

9

15

9

1)5(

9

1)5(

9

1 322

0

2

0

2

2

0

2

0

xxdxxdxxdxxxdxxx

b) )(xVar = )()( 22 xExE

)( 2xE

120

112

12

112

10

1

4

16

3

40

10

1

435

10

15

10

1)5(

10

1)5(

10

1 432

0

2

0

32

2

0

2

0

22

xxdxxdxxdxxxdxxx

)(xVar = )()( 22 xExE

= 539,0108000

42720

108000

58080100800

900

484

120

112




87


xi - 4 -3 2 6

)(xif

4

1

4

1

4

1

4

1

4

16

4

12

4

13

4

14

2

xixi -

= -4

6

4

2

4

3

4

4 =

4

1

4

136

4

14

4

19

4

116)(2 xifxi

= 4

65

4

364916

4

36

4

4

4

9

4

16

Varianza

222 )( xifxi

= 16

259

16

1260

16

1

4

65


023,44

259




88

122. Se lanza un dado tal que la probabilidad de las distintas caras es proporcional al número de puntos inscritos en ellas, Hallar la probabilidad de obtener con este dado un número impar.

Rep.:

{1, 2, 3, 4, 5,6} y el algebra a= )(P

Cada suceso elemental es un suceso y su probabilidad es 6,5,4,3,2,1)( iikkP


6

1 21

11211

i

kkki

({P Que salga impar})= })5,3,1({P

7

3

21

9

21

5

21

3

21

1

123. Sea x una variable aleatoria que representa el número de mail que

recibe una empresa a diario en un intervalo de 3 minutos y cuya función de probabilidad esta dado por:

!

)2(3)(

2

x

eXP

x

x= 0, 1, 2, 3


)0(P 408,0344,7

33)2(3 202 ee

)1(P 816,0344,7

66)2(3 212 ee




89

)2(P 816,0688,14

12

2

12)2(3

222

e

e

)3(P 544,0064,44

24

6

24)2(3

232

e

e

124. Sea },,,{ conjunto de letras griegas Veamos si

}}{},,,{},,,{},{,,{ T

Compuesta por estas letras griegas. Cumple con las condiciones para ser ebraAlg



c) TAnINnAnA n

,,0


125. Determinar si la siguiente función es de densidad

01

05)(

5

xsi

xsiexF

x

Rep.:

115

55 5

00

5

eeduedxe xux

126. Suponga que una variable aleatoria Discreta X tiene función de densidad




90

eoc

xparaxcxf

0

3,2,1)(

32

a) Determinar el valor de la constante c b) Determine la función de Distribución de X Rep.:

a) Para encontrar el valor de c se debe recordar que 1)(xif entonces

136)2781( 223

1

23

1

cccfii

i

i

6

1c

b) La función de Distribución de X es

xpara

xpara

xpara

xpara

xF

31

326

9

216

1

10

)(

127. La probabilidad de recorrer todo el norte de Sudáfrica de ciudad del cabo hasta Johannesburgo sin pinchar gomas es 0,47; al hacer 5 viajes de ciudad del cabo a Johannesburgo ¿Cuál es el número más probable de viajes que se realizaran sin pinchadura de neumático?

Rep.:

235,2547,0)( xiE Viajes.




91

128. Determine la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x , cuya densidad de probabilidad esta dada por:

eoc

xparaxf

x

0

03

8

)(

6

Rep.:

)6(3

8

6

1

3

8

3

8

3

8

3

8)()(

0

)6(6

0

6

0

ttdxedxeedxeeeEtMx txxtxxtxtx

129. Si la densidad de probabilidad de la v aleatoria continúa esta dada por:

10)32(

0

17

5)( 4

xparaxyf


Rep.:

15

17

17

53

5

23

5

2

17

532

17

5)32(

17

5)32(

17

5 51

0

1

0

4

1

0

44

1

0

x

xdxdxxdxxdxx


2,0)54(7

)( 3 xsixc

xf




92

)2,0(0)( xsixf

a) Hallar la constante c y la función de distribución de probabilidad. b) Probabilidad de que X este comprendida entre 0,1/5

Rep.:

a) Se verifica

2

0

3 1)54(7

1)( dxxc

dxxf

4

114128

7208

7454

7

4

ccccx

xc

b)

x

xsi

xsix

x

xsi

dttfxF

21

204

5428

1

00

)()(4

0286,014000

401

500

401

28

1

500

1

5

4

28

1

454

28

154

28

1)54(

28

1)

510()

451

0

51

0

335

1

0

xxdxxdxdxxXPc


x 0 1 2 3 4 5 6 7

)(xp 0,09 0,18 0,14 0,16 0,20 0,17 0,05 0,01

Encontrar esperanza

01,0705,0617,0520,0416,0314,0218,0109,00)( xE

= 96,2





93

01,04905,03617,02520,01616,0914,0418,0109,00)( 2 xE

= 25,14

76,892,11)( xVar

= 16,3


10

0

94

25

)(

2

xsi

xk

xf


b) Hallar )15

1()

2

10( XPXP

Rep.: a)

5

24

25

32

25

321

32

25

2

1

36

25

236

25

36

25

94

25 2222

2

1

0

2

1

0

2

kkkkx

kdxxkdxx

k

b1)9

1

8

1

9

80

8

1

9

8

29

8

9

8

9

8)

2

10(

221

0

2

1

0

xdxxdxxXP

b2) )15

1( XP

1

51

1

51 9

8

9

8dxxdxx

29

8 2x=

450

192

50

24

9

8

50

1

2

1

9

8

133. La función de distribución o acumulativa de una variable aleatoria dada

por:




94

21

202

00

)( 3

x

xxx

x

XF

Obtener )3

1()

4

1( XPXP

Rep.: a)

061,01024

63

1024

164

1024

1

16

1

4222)2()

4

1(

4241

0

41

0

34

1

0

3

xxdxxdxxdxxxXP

b)

1080,0324

35

324

1

9

1

42222)2()

3

1(

423

1

0

3

1

0

33

1

0

3

1

0

3

1

0

33

xxdxxdxxdxxdxxxxXP


xi -4 -2 3 4

)(xif

4

1

4

1

4

1

4

1

4

14

4

13

4

12

4

14

2

xixi

= 4

4

4

3

4

2

4

4 =

4

1

4

116

4

19

4

14

4

116)(2 xifxi




95

= 4

45

4

16

4

9

4

4

4

16

222 )( xifxi

= 1875,1116

179

16

1180

16

1

4

45

3447,31875,11


30

0

216

1

)(

3

xsi

xk

xf

Calcular el valor de k

Hallar )1()3

10( XPXP

Rep.: a)

9

814

9

64

9

641

64

9

2

9

32

1

232

1

32

1

216

1 3

3333

23

3

0

3

3

0

3

kkkkx

kdxxkdxx

k

b1)81

1

18

1

9

2

18

1

9

2

29

2

9

2

184)

3

10(

23

1

0

3

1

0

xdxxdxx

xXP




96

b2) )1(XP

1

0

1

09

2

9

2dxxdxx

29

2 2x=

9

1

2

1

9

2

136. Sea un dado tal que la probabilidad de las distintas caras es

proporcional al número de puntos inscritos en ellas, Hallar la probabilidad de obtener con este dado un número par.

Rep.:

{1, 2,3, 4, 5,6} y el algebra a= )(P



6

1 21

11211

i

kkki


7

4

21

12

21

6

21

4

21

2

137. sea ebraAlg 2T y ( ),T un espacio medible. Cuál de las

siguientes opciones corresponden a una condición para ser espacio de probabilidad.

a) 1)(0 AP

b) 1)( P

c) )()(0

1

n

i AnPAnP

d) a y b




97

e) Todas las Anteriores

138. sea }39,25,22,,21,17,8{ conjunto de números sorteados en el juego

Loto de este día Domingo Veamos si }39,17,8{},25,22,21{},39,25,22{},21,7,8{,,{ T



b) si TATA C cumple con esta condición Ya que el complemento de cada elemento se encuentran presentes Por lo tanto es ebraAlg .

C) TAnINnAnA n

,,0

Cumple con las 3 condiciones por lo tanto es un ebraAlg .


eoc

xxc

xf 0

205

8

)(

22

Calcular c




98

8

15

64

15

64

151

15

641

5

8

3

8

35

8

5

8

5

8 2223

2

2

0

2

0

2222

cccc

xcdxxcdxxc


xexf

x

011

1)( 11


11111

1

11

1

11

111

0

1111

00

1111

0

eeeeduedxedxe

x

uu

xx

dxdu

xu

11

1

11

141. La función de probabilidad de X de defectos de cada 5 Edificios del centro de Santiago post Terremoto con ancho uniforme es

xi 1 2 3 4 5

)(xif 0,15 0,21 0,07 0,18

a) 39,018,007,021,015,01

b) 18,0507,0439,0321,0215,012

xixi




99

= 15,0 + 92,29,028,017,142,0

= )(2 xifxi 18,02507,01639,0921,0415,01

= 35,10212,173,251,384,015,0

c) 222 )( xifxi

= 58,835,10

= 77,1

d)Desviación Estándar

330,177,1)( xVar

e) )(

)(/)2/3(

BP

BAPBAPXXP

7529,085,0

64,0

)2(

)3(

XP

XP

f)

0,15

0,21

0,39

0,07

0,18

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

1 2 3 4 5

Series2




100


10

0

2

5

9

5

)(

2

xsi

xk

xf


b) Hallar )1()3

10( XPXP

Rep.: a)

5

6

25

36

25

361

36

25

18

25

2

1

218

25

18

25

2

5

9

5 2222

2

1

0

2

1

0

2

kkkkx

kdxxkdxx

k

b1)9

1

18

12

2222)

3

10(

23

1

0

3

1

0

xdxxdxxXP

b2) 12

12

222)1(

21

0

xdxxXP

143. Sea X una variable aleatoria continua de función de densidad de

probabilidad:

3,0)3

12(3)( 3 xsixcxf

)3,0(0)( xsixf

a) Hallar la constante c y la función de distribución de probabilidad. a) Probabilidad se que X este comprendida entre 0y 1/2

Rep.:




101

a) Se verifica

3

0

3 1)3

12(31)( dxxcdxxf

153

41

4

153

43

123

4

ccx

xc

x

xsi

xsix

x

xsi

dttfxF

31

3012

251

4

00

)()(4

b)

192

11

51

4

43

12

51

4

3

12

51

4)

3

12(

51

4)

2

10(

42

1

0

2

1

0

332

1

0

xxdxxdxdxxXP

2448

193

192

193

51

4

144. Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la

siguiente distribución. xi - 4 -1 6

)(xif

3

1

3

1

3

1

3

16

3

11

3

14

2

xixi -

= -3

6

3

1

3

4 =

3

1

3

136

3

11

3

116)(2 xifxi




102

= 3

53

3

36

3

1

3

16

222 )( xifxi

= 9

158

9

1159

9

1

3

53

189,43

158)( xVar

Tercer Momento

)(3 x3

3

s

3s3

1216

3

11

3

164)(3 xifxi

3

281

3

216

3

1

3

64

333 )( xifxi

3

281

27

2528

27

1

)(3 x2528

2529

2528

27

3

281

27

25283

281


eoc

xxxf

0

10)6(5

1

)(

Determinar a) )(xE




103

b) )(xVar

Rep.: a) )(xE =

15

8

3

8

5

1

3

13

5

1

32

6

5

16

5

1)6(

5

1)6(

5

1 321

0

1

0

2

1

0

1

0

xxdxxdxxdxxxdxxx

b) )(xVar = )()( 22 xExE

)( 2xE

20

7

4

7

5

1

4

12

5

1

436

5

16

5

1)6(

5

1)6(

5

1 431

0

1

0

32

1

0

1

0

22

xxdxxdxxdxxxdxxx

)(xVar = )()( 22 xExE

= 506,04500

295

4500

12801575

225

64

20

7

256,0065,0)( xVar

146. sea ebraAlg 2T y ( ),T un espacio medible. Cual de las

siguientes opciones no corresponden a una condición para ser espacio de probabilidad.

a) 1)(0 AP

b) 0)( P

c)

1

1 )(i

ni APAnP

d) b) y c) no corresponden e) Ninguna de las Anteriores




104

147. sea },,,,,{ INESCAROLINAKAROLANTONIOLUISMARCELO

estudiantes de la carrera de ingeniería civil Informática de la Universidad de Playa Ancha.

Veamos si }}{},,,{},{,,{ CAROLINAKAROLLUISANTONIOMARCELOT



b) si TATA C No cumple con esta condición Ya que el complemento de cada elemento

No se encuentran presentes TMARCELO C }{

Por lo tanto No es ebraAlg .


)(xf = 58

76 x para x= 1,2, 3, 4


)1(f 58

13 , )2(f

58

19 , )3(f

58

25 , )4(f =

58

31


1)(

xfx

Luego

)4()3()2()1( ffff = 188

88

88

31

88

25

88

19

88

13




105


41)1(

0

275

4)( 3

yparayyf


Rep.:

14

275

275

41

4

14

4

256

4275

4

275

4)1(

275

4)1(

275

4 44

1

4

1

3

4

1

33

4

1

y

ydydyydyydyy

150. La probabilidad de recorrer todo el norte de Chile de desde Parinacota hasta Pto. Montt sin quedar en pana es 0,62; al hacer 12 viajes de Parinacota a Pto. Montt ¿Cuál es el numero más probable de viajes que se realizaran sin quedar en pana?

Rep.:

744,71262,0)( xiE Viajes.

151. Sea },,,,{ elihc conjunto de letras de nuestro Pais Veamos si

}},{},,,{},,,,{},{,,{ elihcelihcT





106



c) TAnINnAnA n

,,0



xxf

2

3

1)( para x=0,

1,2,3 Determine la función generatriz de momentos de esta variable aleatoria y utilícela


Rep.:

x


Se tiene que

x


2

0

2

3

1

x

tx

xe

= )21(3

1 2tt ee

= 2)1(3

1 te

Por lo tanto como

0)(

2t

dt

tmd x

3

40)1(

3

2)0(1 teem tt

x

23

6

3

4

3

20)1(

3

2

3

2)0( 2

2 teeeem tttt

x




107

153. Si X es el número de puntos con un dardo Al apuntarle a un blanco de 1-8 puntos. Determinar el valor esperado de la variable aleatoria

45)( 2 xxh

Rep.:


1se obtiene:

8

1)45())((

8

1

2 x

xxhE

= 10

1485.........

10

1)435(

10

1)425(

10

1)415( 2222

= (10

1324

10

1249

10

1184

10

1129

10

184

10

149

10

124

10

19

= 10

1052

10

324

10

249

10

184

10

129

10

84

10

49

10

24

10

9

154. sea ebraAlg 2T y ( ),T un espacio medible. Diremos que la

medida P es una medida de probabilidad si satisface las siguientes condiciones

a) 1)(1 AP

b) 0)( P

c)

0

1 )()(n

ni APAnP

d) a y b e) Todas las anteriores




108

155. sea },,,,,,{ ParaguayArgentinaBrasilChileUruguay países

sudamericanos clasificados al mundial de fútbol. Veamos si }},{},,,{},{,,{ ArgentinaBrasilParaguayBrasilChileUruguayT



b) si TATA C No cumple con esta condición Ya que el complemento de cada elemento

No se encuentran presentes cArgentinaBrasil },{

Por lo tanto No es ebraAlg .

156. Si }10,8,6,4,2{ espacio muestral de números NO primos entre

el 1 -10 },},10,8{},8,6,4{},10,2{{ T

Para que cumpla con las condiciones de ser un ebraAlg

Cual es el elemento que falta en T

a) { 6,4,2 }

b) { 10,8,2 }

c) { 10,2 }

d) { 10,8,4 }

e) Ninguna de las anteriores.





109

eoc

xcx

xf 0

3012

5

)(

Calcular c

15

8

45

241

24

45

2

9

212

5

12

5

12

5 23

0

3

0

cc

xcdxxcdxcx


xi - 3 -1 - 2 + 5

)(xif

4

1

3

1

2

1

2

1

2

5

2

12

3

11

4

13

2

xixi -

= -2

51

3

1

4

3 =

12

5

2

125

2

14

3

1

4

19)(2 xifxi

= 12

205

2

252

3

1

4

9

222 )( xifxi

= 12

350

12

5

12

205




110

08,412

200

159. Un examen consta de 5 temas numerados. Para elegir un tema la azar, se propone lanzar un dados sale 1 a 5 , el numero del tema es el resultado del dado ; si sale 6 se vuelve a tirar hasta que salga 1 a 5 . Demostrar que la probabilidad de elección de cada tema es 1/5.

Rep.:

Si sale el tema i (=1,….,5) , si se presenta una cualquiera de las siguientes secuencias

i; 6,i;6,6,i;6,……,6,i; de probabilidades

,......6

1......,,

6

1,

6

1;

6

132 n

La probabilidad es:

....

6

1............

6

1

6

1

6

132 n

= 5

1

6

11

6

1

160. En el colegio un niño tira un dado, le sale 6 y gana. Hallar la

probabilidad de que haya hecho trampa. Resolver esto bajo un supuesto de que el 30% de los jugadores son tramposos.

Rep.: El niño puede ser tramposo o no. ahora el espacio muestral se descompone de la siguiente manera

cTT




111

Siendo T = {el niño es tramposo} La probabilidad de que un jugador tramposo saque un 6 es 1. si no es tramposo la probabilidad es 1/6 . Entonces si 3,0)( TP

Cc TPTPTPTP

TPTPTP

()/6()()/6(

)()/6()6/(

=

7

6

)3,0(6

13,01

3,01


p

p

pp

pTP

51

6

16

11

1)6/(

161. Sea X una variable aleatoria continua de función de densidad de

probabilidad:

2,0)1()( 3 xsixkxf

)2,0(0)( xsixf

a) Hallar la constante K y la función de distribución de probabilidad. b) Probabilidad se que X este comprendida entre 1 y 2

Rep.:

a) Se verifica

2

0

3 1)1(1)( dxxkdxxf

6

116

4

4

kkx

xk




112

x

xsi

xsix

x

xsi

dttfxF

21

2046

1

00

)()(4

b) 24

19)1(

6

1)21( 3

2

1

dxxXP


xi 1 2 3 4 5 )(xif 0,27 0,33 0,09 0,06

a) 25,006,009,033,027,01

b) 06,0509,0425,0333,0227,012

xixi

= 27,0 + 30,036,075,066,0 = 2,34

= )(2 xifxi 06,02509,01625,0933,0427,01

= 78,65,144,125,232,127,0

c) 222 )( xifxi

= 47,578,6

= 1,31

d) )(

)(/)2/3(

BP

BAPBAPXXP

54,073,0

4,0

)2(

)3(

XP

XP




113

e) )2(

)2()4()2/4(

XP

XPXPXXP

=4,0

27,094,0

= 675,14,0

67,0


)(xf = 50

54 x para x= 1, 2, 3,4


)1(f 50

9 , )2(f

50

13 , )3(f

50

17 , )4(f =

50

21


1)(

xfx

Luego

)4()3()2()1( ffff = 150

50

50

21

50

17

50

13

50

9

La función cumple con una de las condiciones para una función de probabilidad ya que su suma es igual a 1.además f (x) 0

164. Dado que la variable aleatoria es discreta x

tiene la función de distribución.

Para 3x

1

3

7

3

2

4

3

0

)(xf




114

Para 63 x

Para 96 x

Para 129 x Para 12x

Determinar

a) )106( xp = p12

17

4

3

3

2)6()10( xpx

b) 3

7)9( xp

165. Sea x una variable aleatoria que representa el número de mail que

recibe una empresa a diario en un intervalo de 10 minutos y cuya función de probabilidad esta dado por:

!

)5()(

5

x

eXP

x

x= 0, 1, 2, 3, 4, 5


)0(P 00684,0166,146

1)5( 505 ee

)1(P 03420,0166,146

55)5( 515 ee

)2(P 08551,0332,292

25

2

25)5(

525

e

e

)3(P 14253,0996,876

125

6

125)5(

535

e

e




115

)4(P 178165,0984,3507

625

24

625)5(

545

e

e

)5(P 178165,092,17539

3125

120

3125)5(

555

e

e


siguiente distribución. xi -3 -1 1 3

)(xif

4

1

3

1

2

1

1

32

11

3

11

4

13

2

xixi

= 4

3 - 3

2

1

3

2 =

12

25

92

11

3

11

4

19)(2 xifxi =

12

1459

2

1

3

1

4

9

222 )( xifxi = 1012

120

12

25

12

145

1622,310

167. Probar que la familia de conjuntos },{ X es una ebraAlg


de una ebraAlg .

El primer axioma se cumple ya que X




116

El segundo axioma se cumple ya que el complemento de todos los conjuntos de

X ( cc , ) son a su vez elementos de X

El tercer axioma se cumple ya que la unión entre cualquiera de los elementos de X es otro elemento de X .

168. Sea x una variable aleatoria que representa el numero de clientes que llega a una tienda en un periodo de una hora. Dada la siguiente información.

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

)(xp 0,07 0,15 0,15 0,15 0,25 0,15 0,15 0,07 0,07

Encontrar esperanza

07,0807,0715,0615,0525,0415,0315,0215,0107,00)( xE

=4,6


07,06407,04915,03615,02525,01615,0915,0415,0107,00)( 2 xE

= 23,16

16,2116,23)( xVar

= 2


Rep.:

{1, 2, 3, 4, 5,6} y el algebra a= )(P

Cada suceso elemental es un suceso y su probabilidad es 6,5,4,3,2,1)( iiP

Constante de proporcionalidad Luego




117

6

1 21

11211

i

i

({P Que salga par})= })6,4,2({P 7

4

21

12

21

6

21

4

21

2


50

0

23

)(

2

xsi

xk

xf


Rep.:

a) 35

2

75

41

4

75

2

25

2

3

22

3

2

3

23 222

22

5

0

2

5

0

2

kkkkx

kdxxkdxx

k

b1)35

24

2

24

35

2

2

1

2

25

35

2

235

2

35

2

35

2)51(

25

1

xdxxdxxXP

b2) )62( XP

235

2 2x=

325

64

5

32

35

2

2

4

2

36

35

2

b3)3

5

2

25

35

2

235

2

35

2)5(

25

0

xdxxXP

171. Un motor puede fallar por una y solo una de las siguientes causas : por

obstrucción de los cojinetes , por combustión del embobinado o desgaste de las escobillas .Suponga que es doblemente probable que ocurra la obstrucción

Que la combustión, y es cuatro veces más probable que ocurra la combustión que la inutilización de las escobillas. Si la probabilidad de que el motor falle es 0,01 ¿Cuál




118

es la probabilidad que el motor no funcione debido a cada una de las 3 causas posibles? Rep.: Primero se establecerán los eventos A: La falla ocurre por obstrucción de los cojinetes. B: La falla ocurre por combustión del embobinado C: La falla ocurre por desgaste de las escobillas.

Evento: el motor falla equivale a la unión A CB Estos 3 eventos son mutuamente excluyentes esto es

CBCABA Y entonces

01,0)()()()( CPBPAPCBAP

Y como )(4)( CPBP y )(8)(2)( CPBPAP se sigue que

01,0)(13)()(4)(8 CPCPCPCP

Por lo que 130

8)(

130

4)(

130

1)( APBPCP

De lo visto anteriormente podemos decir que existen 3 elementos básicos: el espacio muestral , el ebraAlg X , y la medida de probabilidad P Definida sobre X .

Estos 3 elementos forman una terna que se denomina espacio de probabilidad.


0

10)1()(

2 xdxxxf


a) dxxdxxdxxxXE

1

0

3

1

0

1

0

2 )1()( =

4

1

4

1

2

1

42

1

0

1

0

423

xxdxxdxx




119

)()()var( 22 xExEx

)( 2XE dxxdxxdxxx

1

0

4

1

0

2

1

0

22 )1( =15

2

5

1

3

15

53

1

0

1

0

5342

xxdxxdxx

)()()( 22 xExExVar

= 240

17

16

1

15

2

173. Calcular la esperanza y varianza de la variable aleatoria continua, con función de densidad de probabilidad:

eoc

xsix

xf

0

)1,0(3

1)(

Rep.:

9

2

2

33

1

3)(

2

31

0

x

dxx

xXE

15

2

2

53

1

3)(

2

51

0

22

x

dxx

xXE


= 1215

102

1215

60162

81

4

15

2




120

174. Hacer el Grafico de la siguiente función

xi -1 1 3

)(xif 1/6 1/3 1/2


2

13

3

11

6

11)( XE

= 3

5

2

3

3

1

6

1

2

19

3

11

6

1)1()( 22 XE

= 56

30

2

9

3

1

6

1

)()()( 22 XEXExiVar

= 2,29

20

9

255


49,19

20)var( x

175. Dado },,,,{ uoiea espacio muestral y

}},,{},,{},,,{},,{,,{ ueaoiuieoaT ebraAlg

Veamos si }},,{},,{},,,{},,{,,{ ueaoiuieoaT

Cumple con las 3 condiciones para ser ebraAlg

Rep.:




121

a) T se cumple con la primera condición

b) si TATA C cada elemento deT tiene su complemento

Por lo que se cumple esta condición. c)

},{ oa

},{ oi

},,{ uie

},{},{},,,{ oioauie

etc. T Es ebraAlg (tribu) para


a) },{1 A

b) }},6,4,2{},5,3,1{,{2 A

c) }},1{,{3 A

d) ),(4 PA Conjunto de las partes de

Rep.:


ebraAlg y la unión

b) También porque 222 ,, AAA C

a. Y 2}6,4,2{}5,3,1{ A

c) No es ebraAlg ya que 3}6,5,4,3,2{}1{ Ac

d) Es ebraAlg ya cualquier operación entre conjuntos de )(P

a. Sera cerrada.




122

177. En una empresa de automóviles se a encontrado la función de densidad de la variable

1501)6(86,2

1)(

2

x

xxf x

Encuentre la probabilidad de que una persona que maneje un automóvil

a) viaje más de 6 kilómetros b) viaje entre 3 y 6 kilómetros Rep.:

a) )7(xP 2360,086,2

785,0460,1

86,2

)1(tan)9(tan

1)6(

1

86,2

1 1115

7

2

x

Notar que 86,2)6(tan)15(tan 11

b) )73( xP 711,086,2

249,1785,0

86,2

)3(tan)1(tan

1)6(

1

86,2

1 117

3

2

x

178. Con respecto al ejemplo anterior , nos interesa conocer el gasto en viajes por el alza de la bencina .Así determinar la función de densidad por costo de bencina

El costo existentes depende de los kilómetros que recorra esto se basa en la siguiente regla

15950.3$

9650.2$

6000.2$

)(

xsi

xsi

xsi

xCZ

Encontrar la función de densidad Rep.: El rango del pasaje tiene solo 3 valores por lo que el rango Es el siguiente:




123

}50.3,50.2,00.2zR

Para cada valor se tiene un subconjunto uA dado por:

)6,0(}2)(/{2 xcxA

)9,6[}50.2)(/{50.2 xcxA

]15,9[}50.3)(/{50.3 xcxA

En los 3 casos uA no es discreta

Finalmente los valores de la función de densidad en cuanto a los valores de la bencina

6

02

)()2( dxxfAf y1)6(86,2

12 x

4914,0dx

9

650.2

)()50.2( dxxfAf y1)6(86,2

12 x

4365,0dx

15

950.3

)()50.3( dxxfAf y 1)6(86,2

12 x

07380,0dx

179. Se lanza un dado hasta que salga un 5 y se registra cada vez el

número de lanzamientos necesarios y la suma de los valores obtenidos en el dado, calcular:

La probabilidad de que la suma sea 14, si se sabe que se lanza el dado no mas de 3 veces.

Rep.: A= {Los dados suman 14}

B= {A lo más 3 lanzamientos}

)(

)3()2()1()/(

BP

BAPBAPBAPBAP




124

36

1

6

1

6

1)14,3()2( PBAP

72

1

216

13

6

13

6

1

6

1

6

1)3(

3333

BAP


= 216

91

6

1

6

5

6

5

6

1

6

5

6

1

91

9

91

216

216

9

216

91216

3

36

10

)/(

BAP


21

214

1

102

3

00

)(

xpara

xparax

xparax

xpara

XF

Obtener a) )9,0( XP

b) )1( XP

Rep.:

)9,0( XP = 6075,02

81,0

2

3

22

3

2

3

2

3 29,0

0

9,0

0

xdxxdx

x

)1( XP =4

5

4

1

2

1

2

12

4

1

24

1)

4

1(

22

1

2

1

2

1

x

xdxdxxdxx




125

181. si X ebraAlg

Xxxx ......,, 321 ........21 xx = Xxii

1

Demo

Si Xxxx ......,, 321 ......., 21 Xxx Cc Y si ......., 21 Xxx Cc Xxc

ii i

1

Xxc

ii i

1 Xx cc

ii

)( 1

Luego por la ley de Morgan se tiene que:

Xx cc

ii

)( 1 =

11 )( i

c

ii x ix

Por lo que queda demostrado el teorema.

182. Un jugador lanza un dado. Si sale un número par gana dicho número de euros, pero si no sale un número par pierde esa cantidad de euros.

Calcular la esperanza. Los resultados posibles del juego con sus respectivas probabilidades es el siguiente:

Xi 2 -3 -5 4 8

f(xi)

8

1

8

1

8

1

8

1

8

1

Rep.:

)(XiE = )(xifxi

= 2 8

1 - 5

8

18

8

14

8

13

8

1

= 8

6

8

8

8

4

8

3

8

5

8

2 euros

183. Sea x una variable aleatoria que representa el número de personas que

va a comprar a supermercado unimarc a fin de mes. Dada la siguiente información.




126

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

)(xp 0,02 0,11 0,11 0,14 0,18 0,10 0,10 0,04 0,04

encontrar esperanza

04,0804,0710,0610,0518,0414,0311,0211,0102,00)( xE

=3,17


04,06404,04910,03610,02518,01614,0911,0411,0102,00)( 2 xE

= 15,31

04,1031,15)( xVar

= 5,27


siguiente distribución. xi -3 -1 1 4

)(xif

4

1

4

1

4

1

4

1

4

14

4

11

4

11

4

13

2

xixi

= 4

4

4

1

4

1

4

3

=

4

1

4

116

4

11

4

11

4

19)(2 xifxi

= 4

27

4

16

4

1

4

1

4

9

222 )( xifxi




127

= 68,616

107

16

1108

16

1

4

27

586,24

107

185.

eoc

xxxf

0

10)3(3

1

)(

Determinar a) )(xE

b) )(xVar

Rep.:

a) )(xE = 18

11

6

11

3

1

3

1

2

3

3

1

32

3

3

13

3

1)3(

3

1)3(

3

1 321

0

1

0

2

1

0

1

0

xxdxxdxxdxxxdxxx

b) )(xVar = )()( 22 xExE

)( 2xE12

5

4

5

3

1

4

11

3

1

433

3

13

3

1)3(

3

1)3(

3

1 431

0

1

0

32

1

0

1

0

22

xxdxxdxxdxxxdxxx

)(xVar = )()( 22 xExE

= 324

14

324

121135

324

121

12

5





128

4,0)21(3

)( 4 xsixc

xf

)4,0(0)( xsixf

a) Hallar la constante c y la función de distribución de probabilidad. b) Probabilidad de que X este comprendida entre 1,2

Rep.:

a) Se verifica

4

0

4 1)21(3

1)( dxxc

dxxf

2068

151

15

20681

5

2068

35

20484

352

3

5

ccccx

xc

x

xsi

xsix

x

xsi

dttfxF

41

405

26204

15

00

)()(5

b)

5

21

5

642

2068

5

52

2068

52

2068

5)21(

2068

5)21(

52

1

2

1

44

2

1

xxdxxdxdxxXP

2068

67

5

67

2068

5


0

10)24

1(

2

1

)(

2 xdxxxxf





129

a) dxxdxxdxxxxXE

1

0

3

1

0

2

1

0

2

8

1)2

4

1(

2

1)(

= 24

7

4

1

24

1

424

43

xx

)()()var( 22 xExEx

)( 2xE dxxdxxdxxxx

1

0

4

1

0

3

1

0

22 24

1

2

1)2

4

1(

2

1

160

37

160

325

5

1

32

1

532548

1

8

1 541

0

1

0

5443

xxxxdxxdxx

)()()( 22 xExExVar

= 146,092160

13472

92160

784021312

576

49

160

37

188. Sea x una variable aleatoria que representa el número de clientes que llega a una tienda en un periodo de una 3 horas. Dada la siguiente información.

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

)(xp 0,03 0,14 0,14 0,14 0,16 0,16 0,15 0,07 0,07

Encontrar esperanza

07,0807,0715,0616,0516,0414,0314,0214,0103,00)( xE

= 23,4


07,06407,04915,03616,02516,01614,0914,0414,0103,00)( 2 xE

= 83,21

89,1783,21)( xVar




130

= 3,94


20

0

56

1

)(

2

xsi

xk

xf


Rep.: a)

872,3152

301

30

2

2

4

30

1

230

1

30

1

56

1 2222

2

2

0

2

2

0

2

kkkkx

kdxxkdxx

k

b1)4

3

2

3

2

1

2

1

2

4

2

1

22

1

2

1

2

1)21(

22

1

2

1

xdxxdxxXP

b2) )20( XP

2

0

2

02

1

2

1dxxdxx

22

1 2x= 10

2

4

2

1

b3)4

1

2

1

2

1

22

1

2

1)1(

21

0

xdxxXP


21

202

00

)( 2

x

xxx

x

XF




131

Obtener )5

1()

2

1( XPXP

Rep.: a)

3208,024

5

24

16

24

1

4

1

3222)2()

2

1(

322

1

0

2

1

0

22

1

0

2

xxdxxdxxdxxxXP

b)

3037,0375

14

375

1

25

1

32222)2()

5

1(

325

1

0

5

1

0

25

1

0

5

1

0

5

1

0

22

xxdxxdxxdxxdxxxxXP


71

742

1

417

4

10

)(

xpara

xparax

xparax

xpara

XF

Obtener a) )2( XP

b) )5( XP

Rep.:

)2( XP =7

6

2

3

7

4

2

1

2

4

7

4

27

4

7

4

7

4 22

1

2

1

xdxxdx

x

)5( XP =2

82

2

16

2

5

2

25

2

1

22

1)

2

1(

25

4

5

4

5

4

x

xdxdxxdxx




132

192. Sea }6,5,4,3,2,1{ conjunto de números que corresponden al sorteo

Del Loto Veamos si }}3,2{},6,5{},4,3,2,1{},1{,,{ T



b) si TATA C Tanto el subconjunto Como su complemento no pertenecen a T

Tc3,2

Por lo tanto no cumple con 3 condiciones para un ebraAlg .

193. Un jugador de un mazo de cartas toma 4 de las cuales si son números gana pero si son letras pierde. Calcular la esperanza.

Los resultados posibles del juego con sus respectivas probabilidades es el siguiente:

Xi -3 -1 3 4

f(xi)

4

1

4

1

4

1

4

1

Rep.:

)(XiE = )(xifxi

= -3 4

1 - 1

4

14

4

13

4

1

= 4

3

4

4

4

3

4

1

4

3




133


xxf

2

3

1)( para x=0,

1,2 Determine la función generatriz de momentos de esta variable aleatoria y utilícela


Rep.:

x


Se tiene que

x


2

0

2

3

1

x

tx

xe

= )21(3

1 2tt ee

= 2)1(3

1 te

195. La función de densidad de probabilidad de una variable Aleatoria X esta dada por:

eoc

xxxf

0

10)21(5

3

)(

2

Determinar a) )(xE




134

b) )(xVar

Rep.: a) )(xE

10

1

6

1

5

31

3

4

2

1

5

3

44

34

25

3

445

3441

5

3)21(

5

3)21(

5

3

432

1

0

1

0

3

1

0

2

1

0

2

1

0

1

0

22

xxx

dxxdxxdxxdxxxxdxxxdxxx

b) )(xVar = )()( 22 xExE

)( 2xE

1

0

22

1

0

22 )21(5

3)21(

5

3dxxxdxxx dxxxx 2

1

0

2 4415

3

1

0

1

0

4

1

0

32 445

3dxxdxxdxx

25

2

15

2

5

3

5

41

3

1

5

3

54

44

35

3 543

xxx

)(xVar = )()( 22 xExE

= 100

7

100

18

100

1

25

2

196. La función de probabilidad de X de defectos de cada 5 metros de la pavimentación de una calle con ancho uniforme es

xi 1 2 3 4 5

)(xif 0,14 0,22 0,06 0,18

a) 4,018,006,022,014,01

b) 18,0506,044,0322,0214,012

xixi

= 14,0 + 8,29,012,02,144,0




135

= )(2 xifxi 18,02506,0164,0922,0414,01

= 08,105,496,06,388,014,0

c) 222 )( xifxi

= 84,708,10

= 24,2

d) )(

)(/)2/3(

BP

BAPBAPXXP

744,086,0

64,0

)2(

)3(

XP

XP


21

213

1

105

8

00

)(2

2

xpara

xparax

xparax

xpara

XF

Obtener a) )1( XP

Rep.:

)1( XP =15

8

3

1

5

80

3

1

5

8

35

8

5

8

5

8 31

0

2

1

0

2

xdxxdx

x




136

198. Sea },,{ isoscelesequilateroescaleno conjunto de tipos de triángulos

Veamos si }}{},,{},,{},{,,{ isoscelesisoscelesequilateroisoscelesescalenoequilateroT



b) si TATA C No cumple con la condición ya que cada elemento de Tno tiene un complemento



0

10)5

1(

3

2

)(

2 xdxxxxf


a) dxxdxxdxxxxXE

1

0

2

1

0

3

1

0

2

3

2

5

1

3

2)

5

1(

3

2)(

=

52,0270

69

9

2

30

1

9

2

3033

2

415

2

3

2

15

2 341

0

1

0

3423

xxxxdxxdxx

)()()var( 22 xExEx

)( 2xE dxxdxxdxxxx

1

0

3

1

0

4

1

0

22

3

2

5

1

3

2)

5

1(

3

2

450

87

6

1

75

2

675

2

43

2

515

2

3

2

15

2 441

0

1

0

4534

xxxxdxxdxx




137

)()()( 22 xExExVar

= 128,072900

9333

72900

476114094

72900

4761

450

87

200. Sea x una variable aleatoria que representa el número de clientes que llega a una tienda en un periodo de unas 4 horas. Dada la siguiente información.

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

)(xp 0,01 0,11 0,11 0,21 0,19 0,19 0,21 0,06 0,06

a) encontrar esperanza

06,0806,0721,0619,0519,0421,0311,0211,0101,00)( xE

= 83,4

b) ()( ExVar )() 22 xEx

06,06406,04921,03619,02519,01621,0911,0411,0101,00)( 2 xE

= 57,24

32,2357,24)( xVar

= 25,1





138

20

0

93

4

)(

3

xsi

xk

xf

Calcular el valor de k Hallar )1()10()21( XPXPXP

Rep.: a)

2

3

8

27

8

271

27

82

27

4

227

4

27

4

93

43

3332

3

2

0

3

2

0

3

kkkkx

kdxxkdxx

k

b1)4

3

2

3

2

1

2

1

2

4

2

1

22

1

2

1

2

1)21(

22

1

2

1

xdxxdxxXP

b2) )10( XP

1

0

1

02

1

2

1dxxdxx

22

1 2x=

4

10

2

1

2

1

b3)4

1

2

1

2

1

22

1

2

1)1(

21

0

xdxxXP


eoc

xxxf

0

10)4(6

1

)(

Determinar a) )(xE

b) )(xVar




139

Rep.: a) )(xE =

18

5

6

10

6

1

3

1

2

4

6

1

32

4

6

14

6

1)4(

6

1)4(

6

1 321

0

1

0

2

1

0

1

0

xxdxxdxxdxxxdxxx

b) )(xVar = )()( 22 xExE

)( 2xE72

13

12

13

6

1

4

1

3

4

6

1

434

6

14

6

1)4(

6

1)4(

6

1 431

0

1

0

32

1

0

1

0

22

xxdxxdxxdxxxdxxx

)(xVar = )()( 22 xExE

= 23328

2412

23328

18004212

324

25

72

13


xi - 2 -1 2 3

)(xif

2

1

2

1

2

1

2

1

2

13

2

12

2

11

2

12

2

xixi -

= -2

3

2

2

2

1

2

2 = 1

2

19

2

14

2

11

2

14)(2 xifxi

= 92

18

2

9

2

4

2

1

2

4




140

222 )( xifxi

= 819

228

204. Sea un dado tal que la probabilidad de las distintas caras es proporcional al número de puntos inscritos en ellas, Hallar la probabilidad de obtener con este dado un número impar.

Rep.:

{1, 2, 3, 4, 5,6} y el algebra a= )(P



6

1 21

11211

i

kkki


7

4

21

12

21

6

21

4

21

2


!

)3(2)(

3

x

eXP

x

x= 0, 1, 2, 3, 4




141


)0(P 100,090,19

22)3(2 303 ee

)1(P 301,090,19

66)3(2 313 ee

)2(P 4522,090,19

9

2

18)3(2

323

e

e

)3(P 4522,090,19

9

6

54)3(2

333

e

e

)4(P 339,06,477

162

24

162)3(2

343

e

e

)5(P 1197,02388

286

120

286)3(2

253

e

e


}},{},,,{},,,,{},{,,{ oauieuoiaeT




c) TAnINnAnA n

,,0





142


01

03)(

3

xsi

xsiexF

x

Rep.:

113

33 3

00

3

eeduedxe xux


eoc

xparacxxf

0

4,3,2,1)(

3



110)4321(4

1

4

1

cccifiii

10

1c





143

41

4310

6

3210

3

2110

1

10

)(

xpara

xpara

xpara

xpara

xpara

xF

209. La probabilidad de recorrer todo el norte de Chile de desde Iquique

hasta Coquimbo sin pinchar gomas es 0,65; al hacer 8 viajes de Iquique a Coquimbo ¿Cuál es el numero más probable de viajes que se realizaran sin pinchadura de neumático?

Rep.:

62,5865,0)( xiE Viajes.

210. Determine la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x , cuya densidad de probabilidad está dada por:

eoc

xparaxf

x

0

05

2

)(

4

Rep.:

)4(5

2

4

1

5

2

5

2

5

2

5

2)()(

0

)4(4

0

4

0






144

21)5(

0

35

4)( 3

xparaxyf


Rep.:

14

35

35

45

4

110

4

165

435

45

35

4)5(

35

4)5(

35

4 42

1

2

1

3

2

1

33

2

1

x

xdxdxxdxxdxx


eoc

xxxf

0

10)3(4

1

)(

Determinar a) )(xE

b) )(xVar

Rep.:

a) )(xE = 24

7

6

7

4

1

3

1

2

3

4

1

32

3

4

13

4

1)3(

4

1)3(

4

1 321

0

1

0

2

1

0

1

0

xxdxxdxxdxxxdxxx

b) )(xVar = )()( 22 xExE

)( 2xE16

3

4

3

4

1

4

11

4

1

433

4

13

4

1)3(

4

1)3(

4

1 431

0

1

0

32

1

0

1

0

22

xxdxxdxxdxxxdxxx

)(xVar = )()( 22 xExE

= 576

59

576

49108

576

49

16

3




145


xi - 4 -1 1 5

)(xif

3

1

3

1

2

1

2

1

2

15

2

11

3

11

3

14

2

xixi -

= -2

5

2

1

3

1

3

4 =

6

8

2

125

2

11

3

11

3

116)(2 xifxi

= 6

113

6

753232

2

25

2

1

3

1

3

16

222 )( xifxi

= 18

307

36

614

36

64678

36

64

6

113

129,418

307

214. Sea un dado tal que la probabilidad de las distintas caras es proporcional al número de puntos inscritos en ellas, Hallar la probabilidad de obtener con este dado un número impar.

Rep.:

{1, 2, 3, 4, 5,6} y el algebra a= )(P





146


6

1 21

11211

i

kkki

({P Que salga impar})= })5,3,1({P

7

3

21

9

21

5

21

3

21

1


3,0)31()( 5 xsixcxf

)3,0(0)( xsixf


Rep.:

a) Se verifica

3

0

5 1)31(1)( dxxcdxxf

735

21

2

735

63

6

ccx

xc

x

xsi

xsix

x

xsi

dttfxF

31

302735

2

00

)()(6




147

b)

2

334

735

2

63

735

23

735

2)31(

735

2)21(

62

1

2

1

55

2

1

xxdxxdxdxxXP

735

71

2

71

735

2


xi 1 2 3 4 5

)(xif 0,16 0,23 0,01 0,16

a) 44,016,001,023,016,01

b) 16,0501,0444,0323,0216,012

xixi

= 16,0 + 78,280,004,032,146,0

= )(2 xifxi 16,02501,01644,0923,0416,01

= 2,9416,096,392,016,0

c) 222 )( xifxi

= 72,72,9

= 48,1

d) )(

)(/)3/4(

BP

BAPBAPXXP

278,061,0

17,0

)3(

)4(

XP

XP




148

e) )3(

)3()4()3/4(

XP

XPXPXXP

= 64,217,0

45,0

17,0

39,084,0

= 675,14,0

67,0

217. En un colegio determinado un alumno de notas insuficientes obtiene un

7. Hallar la probabilidad de que haya copiado. Resolver esto bajo un supuesto de que el 40% de los alumnos del curso regularmente copian.

Rep.: El niño puede haber copiado o no. ahora el espacio muestral se descompone de la siguiente manera

cTT Siendo T = {el alumno copio en la prueba} La probabilidad de que un alumno que copia saque un 7 es 1. Si no copio en la prueba la probabilidad es 1/7. Entonces si 4,0)( TP

Cc TPTPTPTP

TPTPTP

()/7()()/7(

)()/7()7/(

=

875,0

457,0

4,0

)4,0(7

14,01

4,01


p

p

pp

pTP

61

7

17

11

1)7/(




149

218. Dado que la variable aleatoria es discreta x tiene la función de

distribución.

Para 2x Para 42 x

Para 64 x

Para 86 x Para 9x

Determinar

a) )85( xp = p21

16

7

3

3

5)5()8( xpx

b) 5

2)2( xp


!

)2()(

2

x

eXP

x

x= 0, 1, 2, 3, 4, 5


)0(P 136,034,7

1)2( 202 ee

1

3

5

7

3

5

2

0

)(xf




150

)1(P 272,034,7

22)2( 212 ee

)2(P 272,034,7

2

2

4)2(

222

e

e

)3(P 1816,004,44

8

6

8)2(

232

e

e

)4(P 0908,016,176

16

24

16)2(

242

e

e

)5(P 0363,08,880

32

120

32)2(

252

e

e


xi -3 -1 2 4

)(xif

3

1

2

1

4

1

1

44

12

2

11

3

13

2

xixi

= 1 - 44

2

2

1 = 3

4

12

164

14

2

11

3

19)(2 xifxi

= 2

41

6

123161

2

1

3

9




151

222 )( xifxi

= 2

23

2

18419

2

41

39,32

23

221. Probar que la familia de conjuntos }{X es una ebraAlg


de una ebraAlg .

El primer axioma se cumple ya que X El segundo axioma no se cumple ya que el complemento de todos los conjuntos

de X ( XX cc , ) no son a su vez elementos de X .


222. Sea x una variable aleatoria que representa el número de personas que va a comprar a supermercado Líder. Dada la siguiente información.

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

)(xp 0,08 0,12 0,10 0,10 0,20 0,10 0,10 0,08 0,08

Encontrar esperanza

08,0808,0710,0610,0520,0410,0310,0212,0108,00)( xE

=3,72





152

08,06408,04910,03610,02520,01610,0910,0412,0108,00)( 2 xE

= 19,76

83,1376,19)( xVar

= 5,93


51

532

1

313

5

10

)(2

xpara

xparax

xparax

xpara

XF

Obtener a) )5,1( XP

b) )3( XP

Rep.:

)5,1( XP = 04166,12

25.1

3

5

2

1

2

25.2

3

5

23

5

3

5

3

5 25,1

1

5,1

1

xdxxdx

x

)3( XP =3

95

6

190

2

39

2

5

3

125

2

1

32

1)

2

1(

35

3

5

3

2

5

3

2

x

xdxdxxdxx


}}{},,,,{},,,,{},{,,{ uuoieoieaaT






153


c) TAnINnAnA n

,,0


225. Un jugador de un mazo de cartas toma 5 de las cuales si son números pierde pero si son J, Q ,K gana. Calcular la esperanza.

Los resultados posibles del juego con sus respectivas probabilidades es el siguiente:

Xi -4 -2 4 5 6

f(xi)

5

1

5

1

5

1

5

1

5

1

Rep.:

)(XiE = )(xifxi

= -4 5

1 - 2

5

16

5

15

5

14

5

1

= 5

9

5

6

5

5

5

4

5

2

5

4


xxf

2

5

1)( para x=0,

1,2 Determine la función generatriz de momentos de esta variable aleatoria y utilícela





154

Rep.:

x


Se tiene que

x


2

0

2

5

1

x

tx

xe

= )21(5

1 2tt ee

= 2)1(5

1 te

Por lo tanto como

0)(

2t

dt

tmd x

5

40)1(

5

2)0(1 teem tt

x

5

6

5

4

5

20)1(

5

2

5

2)0( 2

2 teeeem tttt

x

227. Si X es el número de puntos con un dado equilibrado Determinar el valor esperado de la variable aleatoria

13)( 2 xxh

Rep.:


1se obtiene:

6

1)13())((

6

1

2 x

xxhE

= 6

1163.........

6

1)133(

6

1)123(

6

1)113( 2222




155

= (6

1109

6

176

6

149

6

128

6

113

6

14

= 6

279

6

109

6

76

6

49

6

28

6

13

6

4

228. Sea el conjunto de los casos posibles que resultan de la tirada de un dado decir cuáles de las siguientes clases de conjuntos son algebras.

a) 1a }}6,5,4,2{},3,1{,{

b) 2a }}6,5,4{},3,2,1{,,{

c) 3a }}6,5,4{},3,2,1{,{

Rep.:

d) no es un ebraAlg ya que c no pertenecen a 1a

e) Es ebraAlg ya que cada elemento de 2a posee su complemento

f) No lo es puesto que c no pertenecen a 3a

229. Se lanza una moneda 5 veces, sea X el número de caras obtenidas. Se pide función de distribución de probabilidad.

Rep.: X Es una variable aleatoria discreta que toma los valores 0, 1, 2, 3,4 con probabilidad no nula. La función de densidad es:

8

1)0( f

8

2)1( f

8

2)2( f

8

2)3( f

8

1)4( f

La función de distribución será:

00)( xxF

208

1)( xxF

428

2)( xxF




156

648

5)( xxF

868

7)( xxF

81)( xxF


eoc

cxparax

xparax

xf

0

13

10

)(


Rep.:

12

13

23

233)3(

22

1 1 1

cc

xxdxxdxdxx

c c c

2

14

23

2

c

c

2

7

23

2

c

c

76 2 cc

0762 cc

= 2

28366

= 2

226

= 23




157

6,1

4142,4

2

1

c

c

231. Demostrar que A Demo: Se sabe que A (Por 1 axioma)

Si A AC (Por 2 axiomas)

Y como c se prueba que A .

232. Demostrar Para una variable aleatoria X se tiene que )()()( aFbFbXaP

Demo: Como { }/{}/{}/ bXaXaXXbXX

Se tiene que )()()( bXaPaXPbXP

Y entonces )()()()()( aFbFaXPbXPbXaP

Por lo tanto quería demostrado.


0

1

00

)(xpara

x

x

xpara

xF

a) Encontrar función de Densidad de X b) Calcular la Probabilidad )61( XP




158

Rep.:

a) Como X es una variable aleatoria continúa , entonces La función de densidad se encuentra al derivar la función de distribución Ahora escribo la función de otra manera para trabajarla más fácilmente

x

xF

1

11)(

dx

xd

xf

)1

1(

)( =22 )1(

1

)1(

)1(1

)1()1(

xx

dx

xd

dx

dx

b) 14

5

2

1

7

6)1()6(

1

11)61()(

FF

xXPxF


01

0)(

3

xsi

xsiexF

x

Rep.:

113

1 3

00

3

eeduedxe xux


eoc

xparacxxf

0

6,5,4,3,2,1)(




159



121)654321(6

1

6

1

cccifiii

21

1c


61

652115

5421

10

4321

6

3221

3

2121

1

10

)(

xpara

xpara

xpara

xpara

xpara

xpara

xpara

xF


eoc

xxk

xf 0

503

5

)(

2

Calcular k Rep.:

625

91

9

6251

3

5

3

125

33

5

3

5

35

35

0

5

0

22

kkkxk

dxxk

dxxk




160

237. La probabilidad de recorrer todo el norte de Chile de desde Arica hasta La Serena sin pinchar gomas es 0,70; al hacer 11 viajes de Arica a La serena ¿Cuál es el numero más probable de viajes que se realizaran sin pinchadura de neumático?

Rep.:

87,71170,0)( xiE Viajes.

238. Determine la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x , cuya densidad de probabilidad está dada por:

eoc

xparaxf

x

0

04

5

)(

2

Rep.:

)2(4

5

2

1

4

5

4

5

4

5

4

5)()(

0

)2(2

0

2

0



42)1(

0

24

2)(

yparayyf


Rep.:

12

24

24

22

2

44

2

16

224

2

24

2)1(

24

2)1(

24

2 24

2

4

2

4

2

4

2

y

ydydyydyydyy




161


xexf

x

08

1)( 8


188

1

8

1

8

18

0

88

00

88

0

eeeeduedxedxe

x

uu

xx

241. Verificar si la siguiente función es de densidad

71

404

00

)(

xsi

xsix

xsi

xF

Rep.:

22

16

4

1

24

1

4

1

4

24

0

4

0

x

dxxdxx

No es función de densidad de probabilidad


xi - 2 -1 2 3




162

)(xif

4

1

4

1

2

1

2

1

2

13

2

12

4

11

4

12

2

xixi -

= 2

31

4

1

4

2

=

4

7

2

19

2

14

4

11

4

14)(2 xifxi

= 4

31

4

18814

2

92

4

11

222 )( xifxi

= 16

75

16

49124

16

49

4

31

1650,24

35

16

75

243. Un Grupo de personas juega al popular UNO este juega solo con las cartas de color azul ósea que espacio muestral va a ser igual a

}9,8,7,6,5,4,3,2,1,0{ , Cual es la probabilidad que al sacar una carta salga

par

Rep.:

}9,8,7,6,5,4,3,2,1{ Y el algebra a= )(P


c Constante de proporcionalidad




163

Luego

9

1 45

11451

i

kcci

({P Que salga par})= })8,6,4,2({P

9

4

45

20

45

8

45

6

45

4

45

2


2,0)21()( 3 xsixcxf

)2,0(0)( xsixf


Rep.:

a) Se verifica

2

0

3 1)21(1)( dxxcdxxf

10

1110

42

4

ccx

xc

x

xsi

xsix

x

xsi

dttfxF

21

20210

1

00

)()(4

b)

4

11

2

813

10

1

42

10

12

10

1)21(

10

1)31(

43

1

3

1

33

3

1

xxdxxdxdxxXP




164

5

11

40

88

4

88

10

1

245. Sea x una variable aleatoria que representa el número de personas que va a comprar a supermercado Sta. Isabel. Dada la siguiente información.

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

)(xp 0,05 0,16 0,12 0,12 0,25 0,12 0,12 0,05 0,05

Encontrar esperanza

05,0805,0712,0612,0525,0412,0312,0216,0105,00)( xE

=3,98


05,06405,04912,03612,02525,01612,0912,0416,0105,00)( 2 xE

= 18,69

84,1569,18)( xVar

= 2,85


51

534

3

315

4

10

)(2

xpara

xparax

xparax

xpara

XF

Obtener a) )2( XP




165

b) )3( XP

Rep.:

)2( XP =5

6

2

3

5

4

2

1

2

4

5

4

25

4

5

4

5

4 22

1

2

1

xdxxdx

x

)3( XP =6

187

12

374

4

99

4

15

3

125

4

3

34

3)

4

3(

35

3

5

3

2

5

3

2

x

xdxdxxdxx


}}{},,,,{},,,,{},{,,{ uuoieieaaT



b) si TATA C No cumple con la condición ya que cada elemento de T

no tiene un complemento



3,0)53(3

)( 4 xsixc

xf

)3,0(0)( xsixf

a) Hallar la constante c y la función de distribución de probabilidad. b) Probabilidad de que X este comprendida entre 0,1/2




166

Rep.:

a) Se verifica

3

0

4 1)53(3

1)( dxxc

dxxf

84

11841252

32439

3553

3

5

ccccx

xc

x

xsi

xsix

x

xsi

dttfxF

31

305

53252

1

00

)()(5

b)

00607,01152

7

32

49

252

1

32

1

2

3

252

1

553

252

153

252

1)53(

252

1)

210(

521

0

21

0

442

1

0

xxdxxdxdxxXP


0

2

10)2

3

1(

5

1

)(

2 xdxxxxf


a) dxxdxxdxxxxXE 2

1

0

22

1

0

32

1

0

2

5

2

15

1)2

3

1(

5

1)(

960

33

60

2

960

1

35

2

415

1 34

xx

)()()var( 22 xExEx




167

)( 2xE dxxdxxdxxxx 2

1

0

32

1

0

42

1

0

22 23

1

5

1)2

3

1(

5

1

2400

16

160

1

2400

1

107545

2

515

1

5

2

15

1 4521

0

21

0

4534

xxxxdxxdxx

)()()( 22 xExExVar

= 00548,0921600

5055

921600

10896144

921600

1089

2400

16


x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

)(xp 0,08 0,18 0,16 0,14 0,17 0,16 0,03 0,05 0,03

Encontrar esperanza

03,0805,0703,0616,0517,0414,0316,0218,0108,00)( xE

= 17,3


03,06405,04903,03616,02517,01614,0916,0418,0108,00)( 2 xE

= 25,14

04,1025,14)( xVar

= 21,4





168

10

0

42

16

)(

2

xsi

xk

xf


b) Hallar )14

1()

4

10( XPXP

Rep.:

a) 116

161

16

16

2

1

8

16

28

16

8

16

42

16 2222

2

1

0

2

1

0

2

kkkkx

kdxxkdxx

k

b1)16

1

32

120

32

12

2222)

4

10(

241

0

41

0

xdxxdxxXP

b2) )14

1( XP

1

41

1

41

22 dxxdxx

22

2x=

16

15

32

152

32

1

2

12


21

203

00

)( 2

x

xxx

x

XF

Obtener )5

1()

6

1( XPXP

Rep.: a)

040,0648

26

648

127

648

1

72

3

3233)3()

6

1(

3261

0

61

0

26

1

0

2

xxdxxdxxdxxxXP




169

b)

3057,018750

1075

375

1

50

3

32333)3()

5

1(

325

1

0

5

1

0

25

1

0

5

1

0

5

1

0

22

xxdxxdxxdxxdxxxxXP


xi -2 -1 2 4 )(xif

4

1

4

1

4

1

4

1

4

14

4

12

4

11

4

12

2

xixi

= 4

4

4

2

4

1

4

2 =

4

3

4

116

4

14

4

11

4

14)(2 xifxi

= 4

25

4

16

4

4

4

1

4

4

222 )( xifxi

= 6875,516

91

16

9100

16

9

4

25

3848,26875,5

254. Sea }6,5,4,3,2,1{ el conjunto de los casos posibles que resultan de

la tirada de un dado decir cuáles de las siguientes clases de conjuntos son algebras.

a) 1a }}5,1{},5{},2,1{,,{

b) 2a }}6,5,4{},3,2,1{,{




170

c) 3a }}6,2,1{},5,4,3{},6,5,4,3{},2,1{,,{

d) 3a }}6,2,1{},5,4,3{},6,5,4,3{},2,1{,{

e) Todas las Anteriores


eoc

cxparax

xparax

xf

0

3

12

3

10

5

2

)(

2

Determinar a) el valor de c

Rep.:

16

1

3

2

22

222)2(

22

3

1

3

1

3

1

cc

xxdxxdxdxx

c c c

16

3

22

2

c

c

63312 2 cc

9312 2 cc

09123 2 cc

6

632

6

3632

6

10814412

6

381 c

6

262 c




171


0

5

3

00

)( 3

xparax

x

xpara

xF

a) Encontrar función de Densidad de X

b) Calcular la Probabilidad )4

10( XP

Rep.:

b) Como X es una variable aleatoria continúa , entonces La función de densidad se encuentra al derivar la función de distribución

dx

x

xd

xf

)5

3(

)(

3

=

2

2

2

332

2

32

2

33

)5(

4153

5

3945

)5(

395

)5(

)5(3

)3()5(

x

xx

x

xxx

x

xxx

x

dx

xdx

dx

xdx

b) 112

1

21

4

64

3

4

2164

3

)0()4

1(

5

3)

4

10()(

3

FFx

xXPxF


41

423

1

214

5

10

)(

xpara

xparax

xparax

xpara

XF




172

Obtener

a) )2

3( XP

Rep.:

)2

3( XP = 78125,0

32

25

8

5

4

5

2

1

8

9

4

5

24

5

4

5

4

5 223

1

23

1

xdxxdx

x

258. Sea }36,25,15,13,9,5{ conjunto de números que corresponden a la

combinación ganadora del sorteo Loto Veamos si }}15,13,9{},36,25,5{},36,25,15{},13,9,5{},36,25,15,13,9{},5{,,{ T



b) si TATA C Tanto el subconjunto

Como su complemento pertenecen a T

Tc}6,5,4,1

c) TAnINnAnA n

,,0

Por lo tanto cumple con 3 condiciones para un ebraAlg .


eoc

xxxf

0

10)5(4

1

)(

Determinar a) )(xE

b) )(xVar




173

Rep.: a) )(xE =

24

13

6

13

4

1

3

1

2

5

4

1

32

5

4

15

4

1)5(

4

1)5(

4

1 321

0

1

0

2

1

0

1

0

xxdxxdxxdxxxdxxx

b) )(xVar = )()( 22 xExE

)( 2xE

48

17

12

17

4

1

4

1

3

5

4

1

435

4

15

4

1)5(

4

1)5(

4

1 431

0

1

0

32

1

0

1

0

22

xxdxxdxxdxxxdxxx

)(xVar = )()( 22 xExE

= 060,0576

35

576

169204

576

169

48

17

260. Sea },,{ rectoobtusoagudo conjunto de tipos de triángulos según

sus ángulos Veamos si

}},{},{},,{},{,,{ obtusoagudorectorectoobtusoagudoT

Compuesta por estos tipos de ángulos. Cumple con las condiciones para ser ebraAlg


b) si TATA C cumple con la condición ya que cada elemento de T

tiene un complemento

c) TAnINnAnA n

,,0

Por lo tanto es un ebraAlg .

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