Probabilidad y estadistica teoria

Probabilidad y Estadística 2º Año

ISFD “Divino Salvador” IP-31 - Profesorado de Matemática Miguel A. Lavenás 1

Estadística: Podemos decir que la estadística es la rama de la matemática que se ocupa de

recopilar, coordinar, resumir, representar y analizar datos con el objeto de extraer conclusiones

que permita tomar decisiones.

La estadística trata de interpretar los datos de las observaciones de un fenómeno que se produ-

ce en los numerosos elementos de un conjunto, de modo de dar una expresión correcta de di-

cho fenómeno.

Desde antigüedad los pueblos hicieron uso de la estadística rudimentaria, en todos ellos se

hicieron censos de población, de propiedades, inventarios de bienes, controles de nacimientos,

de defunciones, etc.

De ahí el nombre de estadística, que proviene de la palabra “Estado”. Recién a fin del siglo XVII

se organizó la estadística como una rama de la matemática aplicada y alcanzada su verdadero

desarrollo en el siglo siguiente cuando se une al cálculo de probabilidad que le sirve de base y

permite su aplicación en estudios demográficos, como en economía, en biología, en astronomía,

meteorología, etc.

En nuestro país el organismo oficial que se encarga de los índices estadísticos es el INDEC (Ins-

tituto Nacional de Estadística y Censos)

Algunos índices que se encarga de reflejar son:

de inflación,

de la canasta básica,

de empleo,

de pobreza,

de mortalidad infantil.

Los censos se realizan cada 10 años.

Población o Universo: dado que la finalidad de la estadística es el estudio de las observacio-

nes de los fenómenos que se refieren a un conjunto, a cada uno de los conjuntos homogéneos

de elementos en estadística se le da el nombre de población.

Muestra: es el conjunto de elementos que se obtiene a partir de una población, procurando

que la misma sea representativa de esa población.

De esa manera pueden obtenerse conclusiones y efectuarse los análisis, con muchos menos

costos y en menos tiempo que si tuviéramos que trabajar con toda la población.

Variable: es un símbolo que puede adoptar cualquier valor de un conjunto determinado de

valores, denominado el dominio de la variable.

Clasificación de variables:

a) Variables continuas: son aquellas que pueden tomar cualquier valor entre 2 valores da-

dos. Incluyendo los números irracionales, por ejemplo

1; 1,1; 1,11; 1,111; 2.

b) Variables discretas: son aquellas que solo pueden tomar algunos valores entre 2 núme-

ros dados, por ejemplo: La cantidad de hijos de una familia entre 1 y 5 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5.



c) Variable aleatoria: es aquella que expresa el resultado de un experimento aleatorio, es

decir donde interviene el azar. Por ejemplo: Los juegos de azar.

Tabla de valores: se utilizan por lo sencillo que resulta su presentación, consiste en distribuir

las observaciones en cuadros o tablas que permitan una rápida apreciación de los datos reuni-

dos.

Frecuencia: es el número de veces que se repite en estudio, por ejemplo en el cuadro ante-

rior, la frecuencia de la estatura 1,69 es 5 y la frecuencia de la estatura 1,66 es 7, que también

es la mayor frecuencia.

Distribución de Frecuencias: Una distribución de frecuencias es un método para organizar y

resumir datos. Bajo este método, los datos que componen una serie se clasifican y ordenan,

indicándose el número de veces en que se repite cada valor.

Clases de frecuencia:

a) Frecuencia absoluta: representa el número de veces que se repite el resultado, y se

nota por f.

b) Frecuencia relativa: es el cociente o valor porcentual entre la frecuencia absoluta y el

número total de resultados obtenidos.

Intervalo de clase: cuando el número de observaciones es muy grande, tabular todos los da-

tos resulta largo y poco claro, por ello se condensa subdividiendo la amplitud de la serie de ob-

servaciones en intervalos iguales, cada uno de los cuales se llama intervalo de clase. Los ex-

tremos de cada intervalo se llaman “límite inferior y superior” de la clase.

En cada intervalo de clase están comprendidos todos los valores de la variable mayores o igua-

les que el límite inferior y menor que el límite superior, excepto para el último intervalo donde

los valores son mayores o iguales que el límite inferior y menores o iguales que el límite supe-

rior.

Histograma: es un gráfico que consiste en considerar rectángulos que tienen por base el in-

tervalo de clase y por altura la frecuencia de dicho intervalo.

Polígono de Frecuencia: el polígono de frecuencia es un gráfico lineal que se obtiene de la

siguiente forma: se determinan los puntos que tienen por abscisa el punto medio de cada inter-

valo de clase y por ordenada la frecuencia correspondiente a dicho intervalo, además el punto

medio del intervalo que antecede al primero y el punto medio del que sigue al último.

Se unen los puntos así obtenidos y se obtienen una poligonal llamada polígono de frecuencia.

Curva de distribución de frecuencia: Si el número de observaciones es muy grande y la

amplitud de los intervalos de clase muy pequeños, el polígono de frecuencia se aproxima a una



asimetría a la derecha. asimetría a la izquierda

curva que recibe el nombre de curva de distribución de frecuencia. Esta curva puede adoptar

distintas formas:

1) La llamada curva normal o de gauss en forma de campana, simétrica a ambos lados.

2) Conservando la forma aproximada a la anterior, pero asimétricas a la derecha o izquier-

da.

3) La forma de “J”

4) La llamada forma de “U”

Medidas o parámetros estadísticos

En general en los trabajos estadísticos se obtienen un cierto número de observaciones que figu-

ran en los cuadros como en las tablas pero que es difícil considerar en su totalidad. Para eso es



necesario reemplazar estos datos por un número como en cantidad que lo representa, a la que

suele llamarse medidas o parámetros estadísticos.

Estos parámetros se clasifican en dos grupos:

Medidas o parámetros de posición y medidas o parámetros de dispersión.

a) Medidas de posición: son valores típicos de un conjunto de datos que se denominan de

posición porque el valor obtenido nos permite tener una idea de donde se encuentran

ubicados los datos que representa. También se denomina “tendencia central” porque

están ubicados en el centro de un conjunto de datos. Se divide en 2 grupos:

1) De promedio: en su cálculo intervienen todos los valores de la variable. Estas son las

medias aritméticas, la media geométrica y la media armónica.

2) Otras medidas en las que para el cálculo solo participan algunos valores de la varia-

ble. Estas son la mediana, la moda y los cuartiles.

Media Aritmética (X )

Se llama promedio o media aritmética al cociente entre la suma de los valores de las observa-

ciones y el número de observaciones.

Si se tienen la N observaciones x1, x2, x3, …., xn el promedio será:

X = x1 + x2 + x3 + ….. + xn

N

La suma de los datos puede indicarse utilizando el símbolo de la sumatoria Σ (letra griega sig-

ma).

X =

n xi

Ni = n X =

xi

N

n

i = 1 Esto significa la suma de los valores desde i = 1 hasta i = n.

Cuando las observaciones están condensadas en una tabla de frecuencia el promedio o media

aritmética se obtiene de la siguiente forma: se suman los productos de los valores medios del

intervalo de clase por la frecuencia, o sea el número total de observaciones, por ejemplo en la

siguiente tabla de frecuencia que se refieren a las calificaciones obtenidas en un examen por los

alumnos de una división.

Si los valores medios los designamos Z1, Z2, Z3, …., Zn y las frecuencias como f1, f2, f3, …., fn la

fórmula será:

X = Z1 . f1+ Z2 . f2+ Z3 . f3 + ….. + Zn . fn

f1 + f2+ f3+ ….+ fn

X=N

Zi . fiX =Zi . fi

fi



MQ =x2

N

H =N

1x

G = x .x . x .... x 1 2 3 n

n

En el caso que no existan intervalos, directamente se multiplican cada uno de las variables por

la frecuencia en que se repite.

Por ejemplo si, 5, 8, 6 y 2 ocurren con frecuencias 3, 2, 4, 1

En general para el cálculo de promedio se realiza la siguiente tabla:

Intervalo de

calificación

Valor medio de

intervalo (Zi)

Frecuencia

(fi) Z . f

0 – 2 1 2 1 . 2 = 2

2 – 4 3 5 3 . 5 = 15 X

197 = 5,63

4 – 6 5 14 5 . 14 = 70 35

6 – 8 7 8 7 . 8 = 56

8 – 10 9 6 9 . 6 = 54

35 197

Media Cuadrática (MQ)

La media cuadrática de un conjunto de números x1, x2, x3, …., xn es la raíz cuadrada de la su-

matoria de los cuadrados de los valores de X/N.

Media Geométrica: (G)

La media geométrica de un conjunto n de número de puestos positivos x1, x2, x3, …., xn es la

raíz enésima del producto de esos números.

Media Armónica: (H)

La media armónica de un conjunto de números x1, x2, x3, …., xn es el recíproco de la media

aritmética de los recíprocos de esos números.

Mediana:

En una sucesión de observaciones y dispuestos de menor a mayor los valores de la variable, se

llama mediana al valor medio o central de dicha variable, es decir que el número de valores

menores que ella es igual al número de valores mayores que ella.

Ejemplo: se hacen 11 observaciones y se ordenan los valores de la variable de menor a mayor,

la mediana es el valor de la variable que corresponde al 6º lugar.



1, 2, 4, 5, 6, 8, 11, 12, 15, 18, 28

Si el número de los valores de la variable es par, la mediana es el promedio entre los dos valo-

res centrales.

2, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 12

Me = 6 + 7

= 13

6,5 2 2

A diferencia de la media aritmética, la mediana tiene la ventaja de no estar influenciada por un

valor extremo de la variable.

De esa forma en el primer ejemplo mientras la mediana es 8 el promedio será:

1+ 2 + 4 + 5 + 6 + 8 + 11 + 15 + 18 + 28 =

110 10

2 11

Gráficamente:

X

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 18 28

Me Cuando las observaciones están condensadas en tablas de frecuencia, para determinar la Se me

procede de la siguiente forma:

1) Se determina el intervalo de clases en el cual la frecuencia acumulada es mayor o igual a

la mitad del número de observaciones.

2) Se determina el punto de ese intervalo que corresponde a la mediana aplicando la si-

guiente fórmula:

Me = le + N/2 - Fle

. h fe

le = es el límite inferior del intervalo de clases al que pertenece la mediana.

N/2 = es la mitad del número total de observaciones.

Fle = es la frecuencia acumulada hasta el intervalo de clase al que pertenece la mediana.

fe = es la frecuencia del intervalo de clase al que pertenece la mediana.

h = es la amplitud del intervalo.

Modo o Moda: Se llama modo o moda al valor de la variable al que le corresponde la mayor

frecuencia.

Cuando las observaciones están condensadas en intervalos de clase, para hallar la moda se

aplica la siguiente fórmula:

Mo = le + Δ1

. h Δ1 + Δ2



Δ1: es la frecuencia mayor menos la frecuencia anterior.

Δ2: es la frecuencia mayor menos la frecuencia posterior.

le: es el límite inferior del intervalo de clase al que pertenece la moda.

h: es la amplitud del ese intervalo.

Cuartiles

Si en una sucesión de observaciones se ordenan de menor a mayor los valores de la variable,

se llama cuartiles a los 3 valores de la variable que la dividen en 4 partes, tales que cada uno

de ellas contiene el mismo número de observaciones.

El primer cuartil (Q1) es el valor de la variable mayor que la primera cuarta parte de los valo-

res.

El segundo cuartil (Q2) coincide a la mediana. Q2 = Me

El tercer cuartil (Q3) es el valor de la variable mayor que las primeras ¾ partes.

En una distribución de frecuencias para obtener los cuartiles se procede de la siguiente forma:

1º) Se determina los intervalos en los cuales se encuentran los cuales se en-

cuentran los cuartiles.

2º) Se determinan los puntos de esos intervalos en los cuales se encuentran

cada uno de los cuartiles mediante las siguientes fórmulas:

Q1 = le + N/4 - Fle

. h fe

Q2 = le + N/2 - Fle

. h fe

Q3 = le + 3 N/4 - Fle

. h fe

Cuartiles, deciles y percentiles: Si un conjunto de datos está observado por magnitud, el

valor central que lo divide en dos mitades iguales es la mediana. Los valores que lo dividen en 4

partes iguales se llaman primer, segundo y tercer cuartiles respectivamente. Coincidiendo el

cuartil dos con la mediana.

Análogamente, los valores que dividen en 10 partes iguales se llaman deciles y se denotan D1,

D2, D3, …, D9, mientras que los valores que dividen en cien partes iguales se llaman percentiles

y se denotan P1, P2, P3, …, P99. El quinto decil y el 50 percentil coinciden con la mediana. Los 25

y 75 percentiles coinciden con el primer y tercer cuartil. Colectivamente, cuartiles, deciles y per-

centiles se denominan cuantiles.



Sx =X

N

(xi - )i = 1

n2

Sx =X

N

(xi - ) . fii = 1

n2

Sx = Vx

=X

N

(xi - ) . fii = 1

n

V(x)

2

=X

N

(zi - ) . fii = 1

n

V(x)

2

Bloque III Medidas de dispersión:

La dispersión o variación de los datos intenta dar una idea de cómo están esparcidos. Se pue-

den clasificar en:

Rango = R

Desviación media = DM

Varianza = V(x)

Desviación Standart = S(x)

Coeficiente de variación = Cv

Rango: El rango de un conjunto de números es la diferencia entre el mayor y el menor número

de ellos.

Ejemplo: El rango del conjunto 2, 3, 3, 5, 5, 5, 8, 10, 12 es

R= 12 – 2 = 10

Desviación Media: La desviación media de un conjunto de números es el valor absoluto de la

desviación de cada una de las variables con respecto al promedio.

Para calcular se suman los valores absolutos de las observaciones o dispersiones y se divide por

el número de observaciones y la fórmula será:

Varianza V(x): se llama varianza al promedio de los cuadrados de las desviaciones y la fórmu-

la será la siguiente:

Desviación Standar (Sx): La raíz cuadrada positiva de la varianza se llama desviación stan-

dar y desviación típica, y la fórmula es la siguiente:

Para trabajar con frecuencias la fórmula es la siguiente:

=X

N

(xi - )DM

=X

N

(xi - )i = 1

n

V(x)

2

=X

N

(xi - ).fii = 1

n

DM =X

N

(Zi - ).fii = 1

n

DM



Sx =X

N

(zi - ) . fii = 1

n2

Cv =

X

N

(zi - ) . fii = 1

n2

xi

N

Cv = Sx

X

a =m

m4

422

Para trabajar con intervalos de clase la fórmula será la si-

guiente:

Coeficiente de la variación (Cx): El coeficiente de varia-

ción se calcula haciendo la desviación estándar sobre el promedio o mediana.

Bloque IV

Momentos, Sesgo y Curtosis Las aplicaciones que tiene el sesgo, momentos y curtosis en la estadística es para ver la dispa-

ridad de los datos y ver si hay tendencias aglomerativas o dispersivas en determinadas zonas

del Universo de datos. Esto sirve para hacer mejores interpretaciones.

Curtosis: La curtosis mide que tipo de gráfico tiene una distribución, en relación a la normal, si

tiene un pico alto se dice leptocúrtica; si es aplastada se dice platicúrtica. Mientras que en la

distribución normal, que no es ni muy punteaguda ni muy aplastada se llama mesocúrtica.

Este tipo de medida determina el grado de concentración que presentan los valores en la región central de la dis-

tribución. Por medio de esta podremos saber si existe una gran concentración de valores que podríamos llamar:

Leptocúrtica, o una concentracion normal de los datos que se le podría llamar: Mesocúrtica y en el último caso una

baja concentración o aglomeración de datos que le llamamos: Platicúrtica.

El coeficiente de apuntamiento de uso más extendido es el basado en el cuarto momento con respecto a la media y se define como:



Donde m4 es el 4º momento centrado o con respecto a la media y es la desviación

estándar.

Sesgo: Se conoce como sesgo el grado de asimetría de una distribución, es decir cuánto se aparta de la simetría. Si la curva de frecuencias de una distribución tiene una cola más larga que a la izquierda se dice sesgada a la derecha o sesgo positivo, de lo contrario es sesgada a la izquierda o de sesgo negativo.

Distribución simétrica Distribución con sesgo positivo Distribución con sesgo negativo

Para calcular una medida de sesgo se realiza el cociente de la media menos la moda sobre la desviación típica.

Sesgo = Media – Moda

= X – Mo

Desviación típica S(x)

Momentos: Cuando es necesario distinguir entre los momentos medidas de sesgo y medidas de curtosis de una población y los de una muestra, se usan símbolos latinos para los primeros y

griegos para los segundos. Así, si los momentos se denotan mr y m´r, los símbolos griegos co-

rrespondientes serán μr y μ´r. Análogamente si las medidas de sesgos y curtosis de la muestra

se denotan con a3 y a4, la de la población serán α3 y α4.

μ = xi – X

h

m1 = c . ∑ f μ

N

m2 = c2 . ∑ f μ2

N

m3 = c3 . ∑ f μ3

N

m4 = c4 . ∑ f μ4

N

m 2

2

http://es.wikipedia.org/wiki/Momento_centrado

http://es.wikipedia.org/wiki/Desviaci%C3%B3n_est%C3%A1ndar

http://es.wikipedia.org/wiki/Desviaci%C3%B3n_est%C3%A1ndar



Comprobación de Charlier

La comprobación de Charlier para calcular momentos usa las siguientes identidades:

∑ f (µ + 1) = ∑ f µ + N

∑ f (µ + 1)2 = ∑ f µ2 + 2 ∑ f µ + N

∑ f (µ + 1)3 = ∑ f µ3 + 3 ∑ f µ2 + 3 ∑ f µ + N

∑ f (µ + 1)4 = ∑ f µ4 + 4 ∑ f µ3 + 6 ∑ f µ2 + 4 ∑ f µ + N

Primer Coeficiente = Media – Moda

Desviación típica

Segundo Coeficiente =

3(Media – Mediana)

Desviación típica

Bloque V

Series en el tiempo

Definición: una serie en el tiempo es un conjunto de observaciones tomadas generalmente a

intervalos iguales. Por ejemplo la producción de una fábrica durante un cierto números de años,

la cotización diaria al cierre bursátil. Las temperaturas de cada hora para una ciudad, etc.

Matemáticamente una serie se define con los valores y1, y2, …, yn de una variable y (tempera-

tura, cotización, producción, etc.), en tiempos t1, t2, …., tn. Se dice entonces que y es función

de t y = Ft

Movimientos característicos de series en el tiempo

1) Movimientos a largo plazo o seculares: se redefine a la dirección que toma el gráfi-

co en un largo período de tiempo y se indica por una curva de tendencia con trazo dis-

continuo.

2) Movimientos característicos o variaciones cíclicas: se refiere a oscilaciones entor-

no a una recta o curva de tendencia. Estos ciclos pueden ser periódicos o no, es decir,

pueden seguir o no esquemas repetidos en intervalos iguales de tiempo. En actividades

financieras los movimientos se consideran cíclicos solo si son recurrentes en período de

la menos un año. Un ejemplo son los llamados ciclos económicos, que representan inter-

valos de prosperidad, recesión, depresión y recuperación.

3) Movimientos estacionales o variaciones estacionales: se refieren a los esquemas

idénticos o casi idénticos que una serie en el tiempo parece seguir durante meses co-

rrespondientes en años sucesivos. Estos se deben a sucesos recurrentes que tienen lugar



x

y

a) tendencia a largoplazo

x

y

b) tendencia a largoplazo y movimiento cíclico

x

y

c) tendencia a largoplazo y movimientos cíclicos estacionales

anualmente, por ejemplo el aumento de precios al consumidor antes de la navidad. ac-

tualmente se admiten intervalos cualesquiera de periodicidad (días, horas o semanas),

según el tipo de datos disponibles.

4) Movimientos irregulares o aleatorios: se refieren a movimientos esporádicos de la

serie en el tiempo debido a sucesos de azar, tales como inundaciones, huelgas, eleccio-

nes, etc. Si bien tales sucesos producen variaciones que pierden su influencia tras poco

tiempo, cabe la posibilidad de que sean tan intensos que den lugar a nuevos movimien-

tos cíclicos.

Análisis de series en el tiempo

Consiste en describir los movimientos correspondientes que están presentes

La figura a) es el gráfico de una recta de tendencia a largo término o secular. La figura b) es la

recta de tendencia con un movimiento cíclico añadido (que se supone periódico). La figura c)

muestra un movimiento estacional añadido al anterior con un movimiento irregular o aleatorio.

La serie en el tiempo tiene por variable “y” y el producto de varias variables T, C, S, I que pro-

ducen los movimientos de tendencia, cíclicos, estacionales e irregulares respectivamente.

y = T x C x S x I

Promedios móviles: Dado un conjunto de números y1, y2, …., yn definimos un promedio móvil

como la sucesión de medias aritméticas.

y1 + y2 + …. + yn ,

y2 + y3 + …. + yn+1 ,

y3 + y4 + …. + yn+2 , ……..

N N N

Promedio Móvil Ponderado de orden N

Si se usan medias aritméticas ponderadas en la sucesión, con pesos especificados de antema-

no, esta pasa a llamarse promedio móvil ponderado de orden N.

Números Índice

Un número índice es una medida estadística diseñada para poner de relieve cambio en una va-

riable o en grupos de variables relacionadas con respecto al tiempo, situación geográfica, ingre-

sos, o cualquier otra característica. Una colección de números índice para diferentes años, luga-

res, etc., se llama una serie de índices.



Aplicaciones: Los números índices se usan para hacer comparaciones. Por ejemplo podemos

comparar los costos de alimentación o de otros servicios en una ciudad durante un año con los

del año anterior, o la producción de un determinado artículo en un año, en una zona del país

con la de otra zona. Aunque se usa principalmente en economía e industria, son aplicables en

muchos otros campos. En educación por ejemplo, se pueden usar los números índices para

comparar la inteligencia relativa de estudiantes en sitios diferentes o en años diferentes.

Muchos gobiernos y agencias privadas se ocupan de elaborar índices, con el propósito de pre-

decir condiciones económicas o industriales, tales como índices de pago, de producción, salaria-

les y otros. El más conocido es el índice de costo de vida o índices de precios al consumo que

prepara el INDEC (Índice Nacional de Estadísticas y Censos).

Relaciones de Precios

El ejemplo más simple de un número de índice es la relación de precios, que es el cociente en-

tre el precio de un artículo en un período dado y su precio en otro período, conocido como

período base o período de referencia.

Relación de precios = Pn Precio en un período dado

Po Precio en un período base

El método de agregación simple

En este método expresamos el precio total de los artículos en el año dado como porcentaje del

precio total de los artículos en el año base.

Índice de precios por

agregación simple =

Pn

Po

Pn = sumatoria de precios de los artículos en el año dado

Po = sumatoria de precios de los artículos en el año base

Este método tiene dos desventajas

1º) No tiene en cuenta la importancia relativa de los diversos artículos, por ejemplo asigna igual

peso a la leche que a la crema de afeitar, a la hora de calcular el índice de precios al consumi-

dor.

2º) Las unidades utilizadas son muy distintas entre sí (kgrs., lts., etc.)

Método del Promedio simple de relaciones

Utilizando la media aritmética para este método tendremos

Índice promedio sim-

ple de relaciones =

Pn

Pn Suma de todas las relaciones de

precios de los artículos Po Po

N N Número de relaciones



Método de Agregación Ponderada

En éste método asignamos un peso al precio de cada artículo en general, la cantidad vendida

durante el año base, durante el año dado, o durante el año típico (que puede ser un promedio

de varios años).

Utilizaremos las siguientes abreviaturas: Po, Pn, Pt – Qo, Qn, Qt.

Po y Qo = Precios y cantidades en el año dado

Pn y Qn = Precios y cantidades en el año base

Pt y Qt = Precios y cantidades en el año típico

1.- Índice de Laspeyres

L = Pn Qo

Po Qo

Índice de precios por agregación ponderada, pesos de cantidad en el año base

2.- Índice de Paasche

P = Pn Qn

Po Qn

Pesos de cantidad en el año dado

3.- Índice Ideal de Fisher

Pn Qo Pn Qn

Po Qo Po Qn

Este índice es la media geométrica de los números índices de Laspeyres y Paasche.

4.- Índice de Marshall – Edgeworth

ME = Pn (Qo +Qn)

Po (Qo +Qn)

5.- Media ponderada de relaciones de precios

La formula usando pesos del año base es la siguiente

MAP = Pn Qn

Po Qo

Probabilidad y estadistica teoria

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