consolidacion bivariada

2010 www.entretencionx1000.cl

Estadística Descriptiva

Bivariada

Nivel de Consolidación

e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l

2

Estadística Bivariada


1. De dos variables observadas conjuntamente, se ha obtenido la siguiente tabla de

doble entrada:

X

Y

20-40 40-60 60-80 80-100

5 ------------ 2 6 10

9 4 6 9 15

10 11 8 7 ---------

Calcular la covarianza entre las variables “X” e “Y”.

Solución:

iy ix in ii nx ii ny iii nyx

5 50 2 100 10 500

5 70 6 420 30 2100

5 90 10 900 50 4500

9 30 4 120 36 1080

9 50 6 300 54 2700

9 70 9 630 81 5670

9 90 15 1350 135 12150

10 30 11 330 110 3300

10 50 8 400 80 4000

10 70 7 490 70 4900

Total 78 5040 656 40900


3



N

ny

N

nx

N

nyxs

iiiiiii

xy

Reemplazando los valores correspondientes

07,1978

656

78

5040

78

40900xys

Por lo tanto la covarianza entre las variables X e Y es -19,7.

2. Las variables X e Y observados conjuntamente 97 veces han presentados los

siguientes valores:

iX iY in

6 21 24

13 15 14

16 5 32

9 8 18

2 13 9

97

Calcular las medias y varianzas marginales.


4



Solución:

iX in iY in 2

iX in 2

iY in

144 504 864 10584

182 210 2366 3150

512 160 8192 800

162 144 1458 1152

18 117 36 1521

1018 1135 12916 17207

47,402

97

1135

97

17207

2

01,232

97

1018

97

12916

2

7,1197

1135

5,1097

1018

yS

xS

Y

X

3. Sean los valores de “X” e “Y” los siguientes.

Calcular el coeficiente de correlación entre “X” e “Y”

X Y

3

9

12

6

2

5

1

15


5



Solución:

iX iY iX iY 2

iX 2

iY

3 2 6 9 4

9 5 45 81 25

12 1 12 144 1

6 15 90 36 225

30 23 153 270 255

26,054,535,3

875,4

54,54

23

4

255

35,34

30

4

270

875,44

23

4

30

4

153

2

2

r

S

S

S

y

x

xy

4. Dadas las siguientes series de valores de las variables X e Y .Ajustar una

recta por el método de los mínimos cuadrados

iX iY

12

24

34

8

16

43

76

55

87

28


6



Solución:

iX iY iX * iY iX ^2

12 43 516 144

24 76 1824 576

34 55 1870 1156

8 87 696 64

16 28 448 256

94 289 5354 2196

Formaremos el siguiente sistema de ecuación

05,0

8,56

2196945354

945289

5

1

25

1

5

1

5

1

5

1

b

a

ba

ba

XbXaYX

XbnaY

i

i

i

i

i

ii

i

i

i

i

Por lo que la ecuación mínimo-cuadrado será: XY 05,08,56*

5. Ajustar una recta, de regresión Y= a+bX, a los siguientes datos utilizando el

método de los mínimos cuadrados.

X i Y i n i

12 23 45

15 14 32

3 7 13

8 27 18

16 16 52


7



Solución:

X i Y i X 2

i X ii Y X ii Y2 Y 2

i

12 23 144 276 3312 529

15 14 225 210 3150 196

3 7 9 21 63 49

8 27 64 216 91 729

16 16 256 256 4096 256

54 87 698 979 10712 1759

ii XbaNY

2

iiii XbXaYX

Reemplazando:

87 = 5 a + 54b /

979= 54 a + 698b /

a = 13,7 b = 0,34

y = 13,7+ 0,34 x

6. La variable “Y” toma para cada unidad de tiempo, los siguientes valores: 23, 27,

36, 39, 45, 56, 64. Calcular el incremento medio de la variable Y por unidad de

tiempo.


8



Solución:

En 7 periodos consecutivos, la variable “Y” toma distintos valores que van marcando

una tendencia. Precisamente el coeficiente de regresión de la variable Y con respecto al

tiempo nos dará el incremento medio.

Se buscara el valor de b de la expresión btay * :

it iy iy it 2

it

1 23 23 1

2 27 54 4

3 36 108 9

4 39 156 16

5 45 225 25

6 56 336 36

7 64 448 42

28 290 1350 133

37

28

7

133

14,277

290

7

28

7

1350

2

2

11

2

111

2`

``

N

t

N

t

S

N

Y

N

t

N

Yt

S

n

ii

n

i

i

t

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

yt

Por lo tanto el valor de coeficiente de regresión o incremento medio:

05,93

14,27

2`

``

t

yt

S

Sb


9



7. Calcular el coeficiente de autocorrelación de la siguiente serie temporal.

Años Y

1940 4

1941 8

1942 15

1943 12

1944 1

1945 9

Solución:

Tomando un desfase de un año obtendremos las dos series de ty y de 1ty , en base a las

cuales calcularemos el coeficiente de autocorrelación:

ty 1ty 1 tt yy 2

ty 2

1ty

(4) --- --- --- ---

8 4 32 64 16

15 8 120 225 64

12 15 180 144 225

1 12 12 1 144

9 1 9 81 1

--- (9) --- --- ---

45 40 353 515 450

221

1

1

5

40

5

450

5

45

5

515

5

40

5

45

5

353

tt

tt

ttss

sr =

1,57,4

4,1

= -0,06


10



8. Hallar el coeficiente de autocorrelación; tomando un retardo de 1 año, de la

siguiente serie cronológica:

Solución:

ty 1ty 1 tt yy 2

ty 2

1ty

(21) --- --- --- ---

34 21 714 1156 441

9 34 306 81 1156

7 9 63 49 81

2 7 14 4 49

15 2 30 225 4

19 15 285 361 225

5 19 95 25 361

--- (5) --- --- ---

91 107 1507 1901 2317

Tenemos:

23,368

107

8

91

8

15071 ttS

t Y

1 21

2 34

3 9

4 7

5 2

6 15

7 19

8 5


11



4,108

91

8

19012

ts

2

18

107

8

1507ts 3,08

13,108,34,10

23,36

1

1

1

tt

tttt

SS

Sr

9. La siguiente tabla muestra las respectivas estaturas “x” e “y” de una muestra de

10 padres y sus hijos menores.

a) Hallar la recta de regresión de mínimos cuadrados de y sobre x.

b) Hallar la recta de regresión de mínimos cuadrados de x sobre y

Estatura x del padre 60 62 67 65 72 63 70 66 68 61

Estatura y del hijo 66 67 72 70 68 73 65 62 60 71


12



Solución:

x y 2y 2x xy

60 66 4356 3600 3960

62 67 4489 3844 4154

67 72 5184 4489 4824

65 70 4900 4225 4550

72 68 4624 5184 4896

63 73 5329 3969 4599

70 65 4225 4900 4550

66 62 3844 4356 4092

68 60 3600 4624 4080

61 71 5041 3721 4331

654 674 45592 42912 44036

a) La recta de regresión de Y sobre X está dada por Y = a + bX.

xbany

2xbxaxy

Reemplazando los valores se tiene:

674 = 10 a + 654 b /

44036 = 654 a + 42912 b/

a = 47,13

b= -0,31

Así la recta es y = 47,13 – 0,31 x

b) La recta de regresión x sobre y viene dada por X = c +dY, donde c y d se obtienen

solucionando las ecuaciones normales


13



ydcnx

2ydycxy

Reemplazando los valores

654 = 10 c + 674 d /

44036 = 674 c + 45592 d/

c = 47,202

d= -0,27

De esta forma la recta es X = 47,202 – 0,27 Y

10. De dos variables observadas conjuntamente, se ha obtenido la siguiente tabla de

doble entrada:

X

Y

5-15

15-25

25-35

35-45

3 1 3 1 ---------------

5 3 8 7 5

7 2 1 -------------- 6

Calcular la covarianza entre las variables X e Y.


14



Solución:

iy ix in ii nx ii ny iii nyx

3 10 1 10 3 30

3 20 3 60 9 180

3 30 1 30 3 90

5 10 3 30 15 150

5 20 8 160 40 800

5 30 7 210 35 1050

5 40 5 200 25 1000

7 10 2 20 14 140

7 20 1 20 7 140

7 40 6 240 42 1680

Total 37 980 193 5260

N

ny

N

nx

N

nyxs

iiiiiii

xy


002,437

193

37

980

37

5260xys

Por lo tanto la covarianza entre las variables X e Y es 4,002 aproximadamente.


15



11. Sea la siguiente tabla de correlación:

Y

X

3

5

9

9 2 5 0

14 4 2 1

16 0 8 4

6 1 2 0

a) Determinar la distribución de frecuencias relativas de X si Y 7

Y<5

X

Frecuencia

absoluta

Frecuencia

relativa

9 7 7/24

14 6 6/24

16 8 8/24

6 3 3/24

24 1

b) Determinar el momento a 12

a 12 = ijj nXiYN

21

29/)25613649168516191425144314559239( 222222222

= 29

12363

= 426,3

El momento a 12 = 426,3


16



12. Sea la distribución bidimensional de número X de hijos y la renta mensual Y de

un conjunto de 150 familias:

Y

X

50-150 150-250 250-350

0 19 6 13

1 12 16 23

2 2 28 6

3 4 14 7

¿Cuál es el sentido de la variación conjunto?

Solución:

El sentido de variación conjunto es positivo ya que:

S 0xy

Y

X

50-150 150-250 250-350 n i

0 19 6 13 38

1 12 16 23 51

2 2 28 6 36

3 4 14 7 25

N j 37 64 49 N=150

32,1150

253362511380

X 208

150

493006420037100

Y

a 7,282150

4240011

S 014,820832,17,28211 YXaxy


17



13. Se sabe que el desarrollo de la variable Y en el tiempo, tiene una tendencia

lineal, pero de ella tan solo se conocen los siguientes valores:

Años 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970

Y 6 ------ 9 ----- 2 4 7 ----- ----- 15 -----

Estimar los valores desconocidos.

Solución:

it iy it ' ii yt 2it

1960 6 -4 -24 16

1962 9 -2 -18 4

1964 2 0 0 0

1965 4 1 4 1

1966 7 2 14 4

1969 15 5 75 25

Total 43 2 51 50

Tendencia lineal:

ii tbNay

2iiii tbtayt

Reemplazando

43= 6a + 2b /

51= 2a + 50b /

___________ /

b = 0,74 ; a = 6,9

y* = 6,9 + 0,74 t`


18



(Origen en 1964. Unidad: 1 año)

Estimaciones:

it it iy *

1961 -3 4,68

1963 -1 6,16

1967 3 9,12

1968 4 9,86

1970 6 11,34

14. Dadas las siguientes series de valores de las variables X e Y, hallar las rectas de

regresión mínima cuadrática y el coeficiente de determinación

iX iY

3 4

6 7

1 8

2 3

Solución:

iX iY 2

iX iX iY 2

iX iY 2

iY

3 4 9 12 36 16

6 7 36 42 252 49

1 8 1 8 8 64

2 3 4 6 12 9

12 22 50 68 308 138


19



Recta de Y con respecto a X:

14,0

07,5

501268

12422

4

1

24

1

4

1

4

1

4

1

b

a

ba

ba

XbXaYX

XbnaY

i

i

i

i

i

ii

i

i

i

i

De donde XY 14,007,5*

Recta de X con respecto a Y:

12,0

4,2

1382268

22412

4

1

24

1

4

1

4

1

4

1

b

a

ba

ba

YbYaYX

YbnaX

i

i

i

i

i

ii

i

i

i

i

Donde YX 12,04,2*

15. Con los datos del problema 30, calcular el coeficiente de correlación.

iX iY

3 4

6 7

1 8

2 3

Solución:

iX iY 2

iX iX iY 2

iX iY 2

iY

3 4 9 12 36 16

6 7 36 42 252 49

1 8 1 8 8 64

2 3 4 6 12 9

12 22 50 68 308 138


20



Coeficiente de correlación:

22

2

2

yx

xy

SS

SR

Primero se debe calcular 22,yxxy SySS

.

25,44

22

4

138

5,34

12

4

50

5,04

22

4

12

4

68

2

2

11

2

2

2

11

2

111

2

2

N

Y

N

Y

S

N

X

N

X

S

N

Y

N

X

N

YX

S

n

i

i

n

i

i

y

n

i

i

n

i

i

x

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

xy

Luego 017,025,45,3

25,02

R

16. Dada la siguiente serie cronológica, hallar su secuencia secular por el método de

las medias móviles y por el método analítico

it iy

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

9

12

17

19

22

25

6

18

8

11


21



Solución:

Medias móviles (periodo de 3 años)

it iy 1y

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

9

12

17

19

22

25

6

18

8

11

---

12,7

16

19

22

17,7

16,3

10,7

12,3

----

Método analítico

it iy ìt ìt iy ìt2

1990 9 -9 -81 81

1991 12 -7 -84 49

1992 17 -5 -85 25

1993 19 -3 -57 9

1994 22 -1 -22 1

1995 25 1 25 1

1996 6 3 18 9

1997 18 5 90 25

1998 8 7 56 49

1999 11 9 99 81

147 -41 330


22



Se puede obtener el sistema de ecuaciones normales:

147=10a

-41=330b a=14,7 b=- 0,12

De donde `12,07,14* ty

17. Hallar el coeficiente de autocorrelación de la siguiente serie cronológica:

T y

9 2

8 1

7 6

6 3

5 5

4 3

Tomando un retardo de 2 años

Solución:

ty 2ty 2 tt yy 2

ty 2

2ty

(2) --- --- --- ---

(1) --- -- --- ---

6 2 12 36 4

3 1 3 9 1

5 6 30 25 36

3 3 9 9 9

--- (5) --- --- ---

--- (3) --- --- ---

17 12 54 79 50


23



Tenemos:

75,04

12

4

17

4

542 ttS

3,14

17

4

792

ts

1,24

12

4

542

2

ts

3,01,213,1

75,0

2

2

2

tt

tttt

SS

Sr

18. El parque de diversiones en Chile se ha estimado para el periodo 1996-2008 de

la siguiente forma:

Años Juegos

1996 0,81

1997 0,86

1998 0,96

1999 1,04

2000 1,09

2001 1,12

2002 1,18

2003 1,25

2004 1,29

2005 1,26

2006 1,35

2007 1,38

2008 1,42

Estimar su tendencia secular:


24



Solución:

Tendencia secular:

Por otra parte, la tendencia lineal de la población total será

it iy it ' ii yt 2it

1996 0,81 -6 -4,86 36

1997 0,86 -5 -4,3 25

1998 0,96 -4 -3,83 16

1999 1,04 -3 -3,12 9

2000 1,09 -2 -2,18 4

2001 1,12 -1 -1,12 1

2002 1,18 0 0 0

2003 1,25 1 1,25 1

2004 1,29 2 2,58 4

2005 1,26 3 3,78 9

2006 1,35 4 5,4 16

2007 1,38 5 6,9 25

2008 1,42 6 8,52 36

total 15,01 0 9,02 182

Tendencia lineal:

ii tbNay

2iiii tbtayt

Reemplazando:

15,01= 13a /

9,02 = 182 b /

_______________ /

b = 0,05 a = 1,2

y* = 1,2+ 0,05 t` (t` con origen en 2002)


25



19. Calcular el coeficiente de autocorrelación de la siguiente serie temporal.

Años Y

1950 3

1951 2

1952 4

1953 6

1954 8

Solución:

Tomando un desfase de un año obtendremos las dos series de ty y de 1ty , en base a las

cuales calcularemos el coeficiente de autocorrelación:

ty 1ty 1 tt yy 2

ty 2

1ty

(3) --- --- --- ---

2 3 6 4 9

4 2 8 16 4

6 4 24 36 16

8 6 48 64 36

--- (8) --- --- ---

20 15 86 120 65

221

11

4

15

4

65

4

20

4

120

4

15

4

20

4

86

tt

tttt

ss

sr =

48,124,2

75,2

= 0,83


26



20. Determinar la recta de regresión y su coeficiente de determinación de la variable

“número de piezas” con respecto a la variable “tipo de alquiler” de la siguiente

distribución:

Tipo de

alquiler

Nº de piezas

[0-50[

[50-100[

[100-150[

[150-200]

1 30 24 2 4

2 80 ---- 64 12

3 110 138 87 54

4 15 9 ---- ----

Solución:

Y i X i n i X i X ii n Y ii n X i Y ii n X ii n2 Y ii n2

1 0-50 30 25 750 30 750 18750 30

1 50-100 24 75 1800 24 1800 135000 24

1 100-150 2 125 250 2 250 31250 2

1 150-200 4 175 700 4 700 122500 4

2 0-50 80 25 2000 160 4000 50000 320

2 100-150 64 125 8000 128 16000 1000000 256

2 150-200 12 175 2100 24 4200 367500 48

3 0-50 110 25 2750 330 8250 68750 990

3 50-100 138 75 10350 414 31050 776250 1242

3 100-150 87 125 10875 261 32625 1359375 783

3 150-200 54 175 9450 162 28350 1653750 486

4 0-50 15 25 375 60 1500 9375 240

4 50-100 9 75 675 36 2700 50625 144

Total 629 50075 1635 132175 5643125 4569


27



6,79629

50075

N

nXX

ii 26,0

6290

1635

N

nYY

iI

S 8,2633629

50075

629

5643125222

2

N

nX

N

nX iiii

x

S 5,0629

1635

629

4569222

2

N

nY

N

nY iiii

y

S 2,3629

1635

629

50075

629

132175

N

nY

N

nX

N

nYX iiiiiii

xy

Al reemplazar, nos queda:

b= 0012,08,2633

2,3

2

x

xy

S

S

a= 6,790012,026,0 XbY

a= 0,16448

Con lo que finalmente se tiene:

Recta de regresión:

Y X0012,016448,0

Coeficiente de determinación:

R 0078,05,08,2633

24,10

22

2

2

yx

xy

SS

S

21. Determinar la ecuación de la línea de regresión para los siguientes datos

Ciudades Temperaturas

Santiago 32 – 29 – 24 - 15

Valdivia 13 – 24 – 19 - 28


28



Solución:

X Y XXX i ' YYY i ' 2'X

2'Y '' YX

32 13 7 -8 49 64 -56

29 24 4 3 16 9 12

24 19 -1 -2 1 4 2

15 28 -10 7 100 49 -70

X 25 Y 21 166 126 -112

La ecuación de la línea de regresión es: )()( XXS

SrYXY

y

xe

X 25

Y 21

44,6

61,5

x

y

S

S

77,0yx

xy

SS

Cr

)25(61,5

44,677,021)( XXYe

)25(88,021)( XXYe


29



22. Sea la distribución bidimensional de número X de hijos y la renta mensual Y de

un conjunto de 50 familias

Y

X

[50-150[ [150-250[ [250-350[

0 2 4 3

1 3 12 6

2 1 5 9

3 0 1 4

a) Calcular la renta media de las familias con tres hijos

b) La más frecuente de las familias con dos hijo.

Solución:

a)

X=3

Y

[50-150[ [150-250[ [250-350]

Frecuencia absoluta 0 1 4

Media = 280410

430012000100

La media es 280.


30



b)

X=2

Y

[50-150[ [150-250[ [250-350]

Frecuencia absoluta 1 5 9

Densidad 0,01 0,05 0,09

M )( 1

11

1

10

ii

ii

ii LL

dd

dL = 150 + 267)150280(

09,001,0

09,0

La más frecuente de las familias con dos hijos es 267.

23. Siendo “X” el ingreso familiar e “Y” el gasto en vestimenta, sea la siguiente

tabla de correlación.

Y

X

40 20 50 30

80 4 1 6 10

40 9 7 4 0

70 11 9 9 9

50 3 12 18 2

a) Determinar el gasto medio de las familias con renta 40.

Y j Frecuencia

absoluta

40 9

20 7

50 4

30 0

20


31



20

03045072094040

xY

3540 xY

b) Determinar la varianza de los ingresos de las familias que gastan 20.

X J Frecuencia

absoluta

80 1

40 7

70 9

50 12

29

8,5429

1590

29

125097074018020

yX

S 07,316229

1250970740180 22222

20/

yx

24. Las variables “X” e “Y” observados conjuntamente 100 veces han presentados

los siguientes valores:

iX iY in

5 2 21

8 4 14

7 6 23

15 0 34

11 1 8

100



32



Solución:

iX in iY in 2

iX in 2

iY in

105 42 525 84

112 56 896 224

161 138 1127 828

510 0 7650 0

88 8 968 8

976 244 11166 1144

5,5100

244

100

1144

62,15100

976

100

11166

44,2100

244

8,9100

976

2

2

2

2

y

x

S

S

Y

X

25. La talla de ropa (X) y el peso (Y) de 20 mujeres son los siguientes:

X Y X Y

36 43 46 74

44 62 44 61

38 48 40 53

52 86 50 84

42 56 40 52

40 52 44 60

38 47 42 56

45 64 52 85

50 83 48 78

54 95 38 45


33



Hallar las medidas aritméticas y las desviaciones estándar marginales.

Solución:

Distribución marginal de Y:

ii LL 1 in iy ii ny ii ny 2

[36-41[ 7 38,5 269,6 10375,75

[41-46[ 6 43,5 261 11353,5

[46-51[ 4 48,5 194 9409

[51-56] 3 53,5 160,5 8586,75

Total 20 885,1 39725

255,4420

1,885y

74,2720

1,885

20

397252

2

ys

3,5ys

Distribución marginal de X:

ii LL 1 in ix ii nx ii nx 2

43-53 6 48 288 13824

53-63 6 58 348 20184

63-73 1 68 68 4624

73-83 2 78 156 12168

83-93 4 88 352 30976

93-103 1 98 98 9604

Total 20 438 1310 91380


34



5,6520

1310x

8,27820

1310

20

913802

2

xs

7,16xs

26. Sea la tabla:

Y

X

2

5

-2

3

6 3 8 1 0

2 6 3 2 3

4 2 5 4 5

3 8 1 2 2

a) Determinar la distribución marginal de Y:

Solución:

Y

X

2

5

-2

3

n i

6 3 8 1 0 12

2 6 3 2 3 14

4 2 5 4 5 16

3 8 1 2 2 13

n j 19 17 9 10 N = 55


35



Y j n j

2 19

5 17

-2 9

3 10

55

b) Determinar la distribución de frecuencias relativas de “X” si Y = 5

Solución:

X/Y = 2 Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

2 8 8/17

5 3 3/17

-2 5 5/17

3 1 1/17

17 1

c) Analizar la independencia de las variables:

Solución:

Las variables X e Y no son independientes ya que:

n ijN

nn ji

Por ejemplo: 6 8,455

1419


36



27. Si “X” e “Y” son variables independientes, ¿Cuál es la varianza de 4 ?5 YX

Dado S 22x y S 62 y :

Solución:

Si Z = a YbX , es S xyYxz SbaSbSa 222222 .

En este caso a=4 y b=5, siendo S 0xy , debido a la independencia de X e Y. Por lo tanto

reemplazando:

S 05426252162 Z

S 1822z

La varianza es 182


37



28. Una fábrica de una cierta marca de helados ha tomado al azar 15 semanas del

año, observando la temperatura media correspondiente a cada una de ellas y la

cantidad de helados pedidos durante cada uno de dichos periodos. La

información obtenida es la siguiente

Temperatura

media

Cantidad

de helados

22

31

25

19

33

35

37

27

21

18

24

38

15

23

32

32

82

38

22

96

112

123

47

29

19

36

129

14

34

90

¿Puede la fábrica planificar la cantidad de producción en función de la temperatura

esperada? ¿De qué forma?


38



Solución:

Sea X la temperatura e Y la cantidad de bebidas.

iX iY 2

iX iX iY 2

iY

22 32 484 704 1024

31 82 962 2542 6724

25 38 625 950 1444

19 22 361 418 484

33 96 1089 3168 9216

35 112 1225 3920 12544

37 123 1369 4551 15129

27 47 729 1269 2209

21 29 441 609 841

18 19 324 342 361

24 36 576 864 1296

38 129 1444 4902 16641

15 14 225 210 196

23 34 529 782 1156

32 90 1024 2880 8100

400 903 11406 28111 77365

%9595,06,15333,49

7,72199

6,153315

903

15

77365

3,4915

400

15

11406

7,26815

903

15

400

15

28111

22

2

2

2

2

2

2

11

2

2

2

11

2

111

yx

xy

n

i

i

n

i

i

y

n

i

i

n

i

i

x

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

xy

SS

SR

N

Y

N

Y

S

N

X

N

X

S

N

Y

N

X

N

YX

S


39



Como el coeficiente de determinación es alto podría planificarse la producción en

función de la temperatura basándose en la siguiente función lineal.

8,28

34,827

1140640028111

40015903

15

1

215

1

15

1

15

1

15

1

b

a

ba

ba

XbXaYX

XbnaY

i

i

i

i

i

ii

i

i

i

i

Función lineal XY 8,2834,827*

29. La variable “Y” toma para cada unidad de tiempo, los siguientes valores: 4 8 12

16 20 24. Calcular el incremento medio de la variable “Y” por unidad de tiempo.

Solución:

En 6 periodos consecutivos, la variable “Y” toma distintos valores que marcan

una tendencia. Precisamente el coeficiente de regresión de la variable “Y” con respecto

al tiempo nos dará el incremento medio.


it iy iy it 2

it

1 4 4 1

2 8 16 4

3 12 36 9

4 16 64 16

5 20 100 25

6 24 144 36

21 84 364 91


40



92,26

21

6

91

7,116

84

6

21

6

364

2

2

11

2

111

2`

``

N

t

N

t

S

N

Y

N

t

N

Yt

S

n

ii

n

i

i

t

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

yt


006,492,2

7,11

2`

``

t

yt

S

Sb

30. Determinar si existe una autocorrelación en la siguiente serie temporal:

T y

1935 6

1945 12

1955 16

1965 23

1975 10

1985 12

Tomando un retardo de 1 año


41



Solución:

ty 1ty 1 tt yy 2

ty 2

1ty

(6) --- --- --- ---

12 6 72 144 36

16 12 192 256 144

23 16 368 529 256

10 23 230 100 529

12 10 120 144 100

--- (12) --- --- ---

73 67 982 1173 1065

Tenemos:

76,05

67

5

73

5

9821 ttS

6,45

73

5

11732

ts

1,45

67

5

9822

1

ts

%404,01,46,4

76,0

1

1

1

tt

tttt

SS

Sr


42



31. Ajustar una recta, de regresión Y= a+bx, a los siguientes datos utilizando el

método de los mínimos cuadrados.

X i Y i n i

3 1 2

6 4 4

2 2 3

1 5 4

7 3 5

Solución:

X i Y i X 2

i X ii Y X ii Y2 Y 2

i

3 1 9 3 9 1

6 4 36 24 144 16

2 2 4 4 8 4

1 5 1 5 5 25

7 3 49 21 147 9

19 15 99 57 313 55

ii XbaNY

2

iiii XbXaYX

Reemplazando:

15= 5 a + 19b /

57 = 19 a + 99 b / a = 3 b = 0

y = 3+0x


43



32. Las temperaturas simultáneas de dos ciudades se registran en cuatro días

diferentes.

a) Calcular la covarianza

b) Calcular el coeficiente de relación para los valores registrados en la

siguiente tabla

Ciudades Temperaturas

Santiago 32 – 29 – 24 - 15

Valdivia 13 – 24 – 19 - 28

Solución:

a)


2'Y '' YX

32 13 7 -8 49 64 -56

29 24 4 3 16 9 12

24 19 -1 -2 1 4 2

15 28 -10 7 100 49 -70

X 25 Y 21 166 126 -112

281

:cov

5,311

5,411

4

1

','

2'2

2'2

i

iixy

y

x

YXn

C

arianzaLa

Yn

S

Xn

S

b) El coeficiente de correlación es 77,0yx

xy

SS

Cr


44



33. Utilizando la siguiente tabla, calcular la covarianza.

iX iY in

5 2 21

8 4 14

7 6 23

15 0 34

11 1 8

Solución:

iX iY in iX in iY in

210 105 42

448 112 56

966 161 138

0 510 0

88 88 8

1712 976 244

7,6100

244

100

976

100

1712xyS

Por lo tanto la covarianza es -6,7.


45



34. La tabla recoge la información relativa a la edad de los padres y la cantidad de

hijos.

Edad X Hijos Y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

18-28 6 4 3 1

28-38 6 4 2 1

38-48 5 4 2 1

48-58 1 4 7 4 2 3 1

Determine la media y la varianza de la distribución de hijos de los padres con edad

entre 28 y 38.

Solución:

Hijos 2 3 4 6

Frec. Abs. 6 4 2 1

Media = 92,213

38

1246

16244362

Varianza = 7,413

38

1246

1624436222


46



35. Dadas las siguientes series de valores de las variables “X” e “Y”. Ajustar una


iX iY

4

8

3

7

5

90

100

150

140

110

Solución

iX iY iX * iY iX ^2

4 90 360 16

8 100 800 64

3 150 450 9

7 140 980 49

5 110 550 25

27 590 3140 163

Formaremos el siguiente sistema de ecuación

7,2

4,132

163273140

275590

5

1

25

1

5

1

5

1

5

1

b

a

ba

ba

XbXaYX

XbnaY

i

i

i

i

i

ii

i

i

i

i

Por lo que la ecuación mínimo-cuadrado será:

XY 7,24,132*


47



36. Hallar el coeficiente de autocorrelación de la siguiente serie cronológica:

t Y

1 4

4 2

3 6

4 1

5 3

2 8

Tomando un retardo de 1 año

Solución:

ty 1ty 1 tt yy 2

ty 2

1ty

(4) --- --- --- ---

2 4 8 4 16

6 2 12 36 4

1 6 6 1 36

3 1 3 9 1

8 3 24 64 9

--- (8) --- --- ---

20 16 53 114 66

Tenemos:

2,25

16

5

20

5

531 ttS

6,25

20

5

1142

ts

6,05

16

5

532

1

ts

41,16,06,2

2,2

1

1

1

tt

tttt

SS

Sr


48



37. En la tabla aparecen las edades y las calificaciones en biología correspondientes

a sus estudiantes escogidos aleatoriamente en un curso de primer año

Edad (X) Calificación(Y)

15

16

14

17

16

15

60

30

70

50

60

40

Calcular el coeficiente de correlación.

Solución:


2'Y '' YX

15 60 -0,5 8,33333 225 3600 -4,16667

16 30 0,5 -21,6667 256 900 -10,8333

14 70 -1,5 18,33333 196 4900 -27,5

17 50 1,5 -1,66667 289 2500 -2,50001

16 60 0,5 8,33333 256 3600 4,166665

15 40 -0,5 -11,6667 225 1600 5,833335

X 15,5 Y 51,66667 1447 17100 -35

El coeficiente de correlación es

0000085,0yx

xy

SS

Cr

83,51

:cov

28501

2,2411

6

1

','

2'2

2'2

i

iixy

y

x

YXn

C

arianzaLa

Yn

S

Xn

S


49



38. Sean los valores de “X” e “Y” los siguientes.

Calcular el coeficiente de correlación entre “X” e “Y”

Solución:

iX iY iX iY 2

iX 2

iY

3 4 12 9 16

5 6 30 25 36

8 2 16 64 4

6 1 6 36 1

22 13 64 134 57

5,092,18,1

875,1

92,14

13

4

57

8.14

22

4

134

875,14

13

4

22

4

64

2

2

r

S

S

S

y

x

xy

X Y

3

5

8

6

4

6

2

1


50



39. Los parámetros correspondientes a la siguiente distribución bidimensional, son:

X Y

0 1

1 4

2 6

3 2

3 4

4 8

5 6

6 5

7 3

8 6

9 9

Dados:

4,4X 9,4Y 67,3xyS

77,2xS 31,2yS r = 0,57

Halla las ecuaciones de las dos rectas de regresión, X sobre Y e Y sobre X, y

representarlas junto con la nube de puntos.

Solución:

48,02

x

xy

yxS

Sm

Recta de regresión Y sobre X:

y = 4,9 + 0,48 (x – 4,4)


51



y = 0,48x + 2,79

69,02

y

xy

xyS

Sm

Recta de regresión X sobre Y:

x = 4,4 + 0,69 (y – 4,9)

y = 1,45x – 1,48

Representación gráfica:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 2 4 6 8 10

X

Y


52



40. Los valores de dos variables X e Y se distribuyen de acuerdo a la tabla siguiente:

Y/X 100 50 25

14 1 1 0

18 2 3 0

22 0 1 2

Obtener e interpretar el coeficiente de correlación lineal.

Solución:

Convertimos la tabla de doble entrada en una tabla simple.

xi yi fi xi · fi xi2

· fi yi · fi yi2

· fi xi · yi · fi

100 14 1 100 10 000 14 196 1 400

100 18 2 200 20 000 36 648 3 600

50 14 1 50 2 500 14 196 700

50 18 3 150 7 500 54 972 2 700

50 22 1 50 2 500 22 484 1 100

25 22 2 50 1 250 44 968 1 100

10 600 43 750 184 3 464 10 600

7756010

43750 22 xS 84,74,1810

3464 22 yS

84,27775 xS 8,284,7 yS

444,186010

10600xyS


53



56,08,284,27

44

r El resultado nos señala, que hay una correlación negativa débil.

41. Una asociación dedicada a la protección de la infancia decide estudiar la

relación entre la mortalidad infantil en cada país y el número de camas de

hospitales por cada mil habitantes.

X 50 100 70 60 120 180 200 250 30 90

Y 5 2 2,5 3,75 4 1 1,25 0,75 7 3

Donde X es el nº de camas por mil habitantes e Y el tanto por ciento de mortalidad.

a) Calcular las rectas de regresión y el coeficiente de correlación lineal.

b) ¿Si se dispusiese de 175 camas por mil habitantes que tanto por ciento de

mortalidad cabria esperar? . ¿La estimación es fiable? Razona la respuesta.

Solución

xi yi xi2 yi

2 x i yi

50 5 2500 25 250

100 2 10000 4 200

70 2,5 4900 6,25 170

60 3,75 3600 14,0625 225

120 4 14400 16 480

180 1 32400 1 180

200 1,25 40000 1,5625 250

250 0,75 62500 0,5625 187,5

30 7 900 49 210

90 3 8100 9 270

= 1150 30,25 179300 126,4375 2422,5


54



x =115%

y = 3,025%

Sx = 1322517930 68,59

Sy = 12 64375 9 150625, , = 1,87

Sxy = 242 25 115 3 025, ( )( , ) = -105,625

Las rectas de regresión serán:

y - 3,025 = -0,022449 (x - 115)

x - 115 = -30,2053 (y - 3,025)

El coeficiente de correlación lineal:

r = 105 625

68 59 187

,

( , )( , ) = - 0,8235

Es una correlación inversa o negativa alta.

Para la estimación que se pide se utilizará la recta de regresión de Y sobre X.

y = 3,025 - 0,022449(175- 115) = 1,6783 que sería fiable por ser alto el coeficiente de

correlación.


55



42. La estatura media de 100 escolares de cierto curso de E.S.O. es de 155 cm con

una desviación típica de 15,5 cm. La recta de regresión de la estatura respecto al

peso es y = 80 + 1,5x (x: peso; y: estatura).

a) ¿Cuál es el peso medio de esos escolares?

b) ¿Cuál es el signo del coeficiente de correlación entre peso y estatura?

Solución

a) La recta de regresión es:

xxxxxxmyy 5,15,1155)(5,1155)(

kgxxxxx 50805,11555,1805,1)5,1155(

b) Positivo (igual que el signo de la pendiente de la recta de regresión).

43. Se muestran los siguientes datos:

CI Horas de TV a la

semana

106 7

86 0

100 28

100 50

99 28

103 28

97 20

113 12

113 7

110 17


56



Determinar el coeficiente de correlación de spearman.

Solución

CI (i) Horas de TV

a la semana (t)

orden(i) orden(t) d d2

86 0 1 1 0 0

97 20 2 6 4 16

99 28 3 8 5 25

100 50 4.5 10 5.5 30.25

100 28 4.5 8 3.5 12.25

103 28 6 8 2 4

106 7 7 2.5 4.5 20.25

110 17 8 5 3 9

113 7 9.5 2.5 7 49

113 12 9.5 4 5.5 30.25

∑196

990

11761

)110(10

19661

2

sr

sr = - 0,19


57



44. Con los datos del problema 1 hacer diagrama de dispersión, y ver el tipo de

correlación que existe entre las variables.

Solución:

La correlación que existe entre las variables es débil y negativa.

45. Se realiza un estudio para determinar la asociación entre la concentración de

nicotina en la sangre de un individuo y el contenido en nicotina de un cigarrillo.

Concentración de Nicotina

En sangre (mol/litro) (X)

Contenido de Nicotina

por cigarrillo (mg) (Y)

185.7 1.51

197.3 0.96

204.2 1.21

199.9 1.66

199.1 1.11

192.8 0.84

207.4 1.14

183.0 1.28

234.1 1.53

196.5 0.76

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10


58



Calcular el coeficiente de correlación de spearman.

Solución:

X Y Orden (X) Orden

(Y) d d

2

185.7 1.51 2 8 -6 36

197.3 0.96 5 3 2 4

204.2 1.21 8 6 2 4

199.9 1.66 7 10 -3 9

199.1 1.11 6 4 2 4

192.8 0.84 6 2 4 16

207.4 1.14 9 5 4 16

183.0 1.28 1 7 -6 36

234.1 1.53 10 9 1 1

196.5 0.76 4 1 3 9

990

8101

)110(10

13561

2

sr

sr = 0,18

46. Con los datos del problema 46 realizar el diagrama de dispersión, y ver qué tipo

de correlación hay entre las variables.


59



Solución:

Por el gráfico podemos señalar que existe una correlación positiva débil entre ambas

variables.

47. Se registró el potencial del vendedor y datos reales de dos años de ventas.

Calcular el coeficiente de correlación de spearman.

Vendedor Lugar en potencial Ventas en dos años

A 2 400

B 4 360

C 7 300

D 1 295

E 6 280

F 3 350

G 10 200

H 9 260

I 8 220

J 5 385

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12

X

Y


60



Solución:

Vendedor Lugar

en

potencial

Ventas en

dos años

Lugar según

ventas en 2

años

di di2

A 2 400 1 1 1

B 4 360 3 1 1

C 7 300 5 2 4

D 1 295 6 -5 25

E 6 280 7 -1 1

F 3 350 4 -1 1

G 10 200 10 0 0

H 9 260 8 1 1

I 8 220 9 -1 1

J 5 385 2 3 9

44

990

2641

)110(10

4461

2

sr

Por lo tanto, el coeficiente de correlación de spearman es:

sr = 0,73

48. Con los datos del problema 48 hacer diagrama de dispersión, y ver qué tipo de

correlación hay entre las variables.


61



Solución:

Se ve que existe una correlación positiva entre las dos variables.

49. Calcular el Coeficiente de correlación de Pearson entre las variables talla y peso

de 20 niños varones.

Talla

(X)

Peso

(Y)

Talla

(X)

Peso

(Y)

72 9 64 7

76 10 66 7

59 6 61 6

68 8 66 8

60 10 57 5

58 5 81 11

70 8 59 5

65 7 71 9

54 4 62 6

83 11 75 10

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12

Lugar en potencial

Lugar según ventas en 2 años


62



Solución:

X Y XX YY YYXX

72 9 5.65 1.4 7.91

76 10 9.65 2.4 23.16

59 6 -7.35 -1.6 11.76

68 8 1.65 0.4 0.66

60 10 -6.35 2.4 -15.24

58 5 -8.35 -2.6 21.71

70 8 3.65 0.4 1.46

65 7 -1.35 -0.6 0.81

54 4 -12.35 -3.6 44.46

83 11 16.65 3.4 56.61

64 7 -2.35 -0.6 1.41

66 7 -0.35 -0.6 0.21

61 6 -5.35 -1.6 8.56

66 8 -0.35 0.4 -0.14

57 5 -9.35 -2.6 24.31

81 11 14.65 3.4 49.81

59 5 -7.35 -2.6 19.11

71 9 4.65 1.4 6.51

62 6 -4.35 -1.6 6.96

75 10 8.65 2.4 20.76

290.8

35.66X 6.7Y

Covarianza: 30.15

19

8.290

087.8xS

137.2yS


63



885.0137.2087.8

30.15cov

yx SS

arianzar


correlación hay entre las variables.

Solución:

Se puede observar que hay una correlación positiva alta entre las variables X e Y.

0

2

4

6

8

10

12

0 20 40 60 80 100

X

Y


64



51. Una empresa de manufacturas basa las predicciones de sus ventas anuales en los

resultados oficiales de la demanda total en la industria. A continuación se dan

los datos de demanda total y las ventas efectuadas por la empresa en los últimos

11 años.

Demanda total (X) Ventas (Y)

200 9

220 6

400 12

330 7

210 5

390 10

280 8

140 4

280 7

290 10

380 14

Calcular el coeficiente de correlación de Pearson.

Solución:

X Y YX 2X

2Y

200 9 1800 40000 81

220 6 1320 48400 36

400 12 4800 160000 144

330 7 2310 108900 49

210 5 1050 44100 25

390 10 3900 152100 100

280 8 2240 78400 64

140 4 560 19600 16

280 7 1960 78400 49

290 10 2900 84100 100

380 14 5320 144400 196

Total 3120 92 28160 958400 860


65



La correlación entonces es:

80,087,271,81

77,187

87,211

92

11

860

71,8111

3120

11

958400

77,18711

92

11

3120

11

28160

2

2

r

S

S

S

y

x

xy


correlación hay entre ambas variables.

Solución:

Existe una correlación positiva alta entre las variables X e Y.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 100 200 300 400 500

X

Y


66



53. Calcula la media, varianza y desviación estándar marginales de la variable X y

de la variable Y, respectivamente.

X

Y 2 4 6 Total

10 4 3 2 9

5 1 3 1 5

3 2 2 1 5

Total 7 8 4 19

Solución:

Distribución marginal de X

ix in

iinx ii nx 2

2 7 14 28

4 8 32 128

6 4 24 144

19 70 300

68,319

70x

22,219

70

19

3002

2

xS

5,122,2 xS


67



Distribución marginal del Y

iy in

iiny ii ny 2

10 9 90 900

5 5 25 125

3 5 15 45

19 130 1070

84,619

130y

50,919

130

19

10702

2

yS

08,350,9 yS

Calcula la media, varianza y desviación estándar marginales de la variable X y de la

variable Y, respectivamente.

X

Y 10 9 3 Total

4 3 6 1 10

12 9 8 4 21

21 2 3 1 6

Total 14 17 6 37


68



Solución:


ix in

iinx ii nx 2

4 10 40 160

12 21 252 3024

21 6 126 2646

37 418 5830

297,1137

418x

94,2937

418

37

58302

2

xS

472,594,29 xS


iy in

iiny ii ny 2

10 9 90 900

5 5 25 125

3 5 15 45

19 130 1070

84,619

130y


69



50,919

130

19

10702

2

yS

08,350,9 yS



X

Y 4 8 12 Total

8 9 14 3 34

10 10 12 5 37

6 8 4 9 27

Total 31 38 29 98

Solución:


ix in

iinx ii nx 2

4 31 124 496

8 38 304 2432

12 29 348 4176

98 776 7104


70



92,798

776x

789,998

776

98

71042

2

xS

13,3789,9 xS


iy in

iiny ii ny 2

8 34 272 2176

10 37 370 3700

6 27 162 972

98 804 6848

2,898

804y

57,298

804

98

68482

2

yS

603,157,2 yS


71





56.

X

Y 15 22 3 Total

11 4 24 1 40

23 8 16 7 54

6 14 9 32 61

Total 41 71 43 155

Solución


ix in

iinx ii nx 2

15 41 615 9225

22 71 1562 34364

3 43 129 387

155 2306 43976

877,14155

2306x

378,62155

2306

155

439762

2

xS

898,7378,62 xS


72




iy in

iiny ii ny 2

11 40 440 4840

23 54 1242 28566

6 61 366 2196

155 2048 35602

21,13155

2048y

109,55155

2048

155

356022

2

yS

4236,7109,55 yS

Calcula la media, varianza y desviación estándar marginales de la variable X y de la

variable Y, respectivamente.

X

Y 6 24 31 Total

18 8 42 4 72

22 11 13 12 58

21 34 8 26 89

Total 59 87 73 219


73



Solución:


ix in

iinx ii nx 2

6 59 354 2124

24 87 2088 50112

31 73 2263 70153

219 4705 122389

484,21219

4705x

29,97219

4705

219

1223892

2

xS

86,929,97 xS


iy in

iiny ii ny 2

18 72 1296 23328

22 58 1276 28072

21 89 1869 39249

219 4441 90649

28,20219

4441y

703,2219

4441

219

906492

2

yS

64408,1703,2 yS


74





X

Y 5 13 19 Total

19 15 1 31 66

16 24 36 33 109

2 7 19 3 31

Total 51 69 86 206

Solución:


ix in

iinx ii nx 2

5 51 255 1275

13 69 897 11661

19 86 1634 31046

206 2786 43982

524,13206

2786x

599,30206

2786

206

439822

2

xS

532,5599,30 xS


75




iy in

iiny ii ny 2

19 66 1254 23826

16 109 1744 27904

2 31 62 124

206 3060 51854

8543,14206

3060y

066,31206

3060

206

518542

2

yS

574,5066,31 yS



X

Y 32 43 58 Total

74 27 34 53 188

33 12 71 46 162

26 68 37 28 159

Total 139 185 185 509


76



Solución:


ix in

iinx ii nx 2

32 139 4448 142336

43 185 7955 342065

58 185 10730 622340

509 23133 1106741

448,45509

23133x

83,108509

23133

509

11067412

2

xS

43,1083,108 xS


iy in

iiny ii ny 2

74 188 13912 1029488

33 162 5346 176418

26 159 4134 107484

509 23392 1313390

9568,45509

23392y

309,468509

23392

509

13133902

2

yS

64,21309,468 yS


77





X

Y 102 123 147 Total

165 32 85 22 304

115 45 36 37 233

92 64 78 84 318

Total 243 322 290 855

Solución:


ix in

iinx ii nx 2

102 243 24786 2528172

123 322 39606 4871538

147 290 42630 6266610

855 107022 13666320

172,125855

107022x

99,315855

107022

855

136663202

2

xS

776,1799,315 xS


78




iy in

iiny ii ny 2

165 304 50160 8276400

115 233 26795 3081425

92 318 29256 2691552

855 106211 14049377

223,124855

106211y

57,1000855

106211

855

140493772

2

yS

63,3157,1000 yS



X

Y 13 44 52 Total

23 42 89 33 187

76 34 19 62 191

10 11 27 45 93

Total 100 179 192 471

Solución:



79



ix in

iinx ii nx 2

13 100 1300 16900

44 179 7876 346544

52 192 9984 519168

471 19160 882612

679,40471

19160x

097,219471

19160

471

8826122

2

xS

802,14097,219 xS


iy in

iiny ii ny 2

23 187 4301 98923

76 191 14516 1103216

10 93 930 9300

471 19747 1211439

9257,41471

19747y

294,814471

19747

471

12114392

2

yS

536,28294,814 yS


80





X

Y 64 132 186 Total

202 2 12 101 317

123 67 79 32 301

57 82 34 2 175

Total 215 257 321 793

Solución:


ix in

iinx ii nx 2

64 215 13760 880640

132 257 33924 4477968

186 321 59706 11105316

793 107390 16463924

4224,135793

107390x

33,242793

107390

793

164639242

2

xS

22,4933,242 xS


iy in

iiny ii ny 2

202 317 64034 12934868

123 301 37023 4553829

57 175 9975 568575

793 111032 18057272


81



015,140793

111032y

598,3166793

111032

793

180572722

2

yS

273,56598,3166 yS

62. Calcular la covarianza de la siguiente serie estadística.

Y

X 10 5 3

2 20 10 6

4 40 20 12

6 60 30 18

Solución:

ix jy

ji yx

2 10 20

4 10 40

6 10 60

2 5 10

4 5 20

6 5 30

2 3 6

4 3 12

6 3 18

36 54 216


82



9

54

9

36

9

216xyS

06424 xyS


Y

X 12 24 15

16 4 10 9

32 3 6 12

6 7 8 5

Solución:

ix jy

ji yx

16 12 192

32 12 384

6 12 72

16 24 384

32 24 768

6 24 144

16 15 240

32 15 480

6 15 90

162 153 2754


83



9

153

9

162

9

2754xyS

01718306 xyS


Y

X 43 27 34

11 23 54 12

56 24 65 76

87 57 36 47

Solución:

ix jy

ji yx

11 43 473

56 43 2408

87 43 3741

11 27 297

56 27 1512

87 27 2349

11 34 374

56 34 1904

87 34 2958

462 312 16016


84



9

312

9

462

9

16016xyS

06667,34333,51556,1779 xyS


Y

X 1 2 3

4 7 8 9

5 10 11 12

6 13 14 15

Solución:

ix jy

ji yx

4 1 4

5 1 5

6 1 6

4 2 8

5 2 10

6 2 12

4 3 12

5 3 15

6 3 18

45 18 90

9

18

9

45

9

90xyS

02510 xyS


85




Y

X 22 33 44 55

66 23 45 65 37

77 102 89 76 46

88 34 28 11 59

99 42 48 55 67

Solución:

ix jy

ji yx

66 22 1452

77 22 1694

88 22 1936

99 33 3267

66 33 2178

77 33 2541

88 44 3872

99 44 4356

66 44 2904

77 55 4235

88 55 4840

99 55 5445

990 462 38720

12

462

12

990

12

38720xyS

41667,505,385,826667,3226 xyS


86




Y

X 134 238 328 146

254 24 65 165 136

153 286 163 144 162

98 275 126 158 178

87 243 145 169 173

Solución:

ix jy

ji yx

254 134 34036

153 134 20502

98 134 13132

87 238 20706

254 238 60452

153 238 36414

98 328 32144

87 328 28536

254 328 83312

153 146 22338

98 146 14308

87 146 12702

1776 2538 378582

12

2538

12

1776

12

378582xyS

5,2465,2111485,31548 xyS


87




Y

X 21 12 54 23

22 11 18 27 43

36 25 34 38 21

33 16 24 31 16

14 19 20 29 42

Solución:

ix jy

ji yx

22 21 462

36 21 756

33 21 693

14 12 168

22 12 264

36 12 432

33 54 1782

14 54 756

22 54 1188

36 23 828

33 23 759

14 23 322

315 330 8410

12

330

12

315

12

8410xyS

042,215,2725,268333,700 xyS


88




Y

X 32 42 17 19

24 14 43 53 44

29 19 29 19 48

43 26 48 24 25

17 34 31 37 37

Solución:

ix jy

ji yx

24 32 768

29 32 928

43 32 1376

17 42 714

24 42 1008

29 42 1218

43 17 731

17 17 289

24 17 408

29 19 551

43 19 817

17 19 323

339 330 9131

12

330

12

339

12

9131xyS

9583,155,2725,2892,760 xyS


89




Y

X 47 38 52 76

16 46 27 38 63

37 44 57 28 74

26 63 37 58 37

24 25 49 53 28

Solución:

ix jy

ji yx

16 47 752

37 47 1739

26 47 1222

24 38 912

16 38 608

37 38 1406

26 52 1352

24 52 1248

16 52 832

37 76 2812

26 76 1976

24 76 1824

309 639 16683

12

639

12

309

12

16683xyS

0625,1925,5375,2525,1390 xyS


90




Y

X 32 46 57 35

67 14 38 29 10

28 11 47 40 36

49 68 52 73 48

69 34 64 50 67

Solución

ix jy

ji yx

67 32 2144

28 32 896

49 32 1568

69 46 3174

67 46 3082

28 46 1288

49 57 2793

69 57 3933

67 57 3819

28 35 980

49 35 1715

69 35 2415

639 510 27807

12

510

12

639

12

27807xyS

125,545,4225,5325,2317 xyS


91



72. Calcular la covarianza de los siguientes valores.

Y

X 10 5 3 in

2 4 1 2 7

4 3 3 2 8

6 2 1 1 4

jn 9 5 5 19

Solución:

ix jy

ijn ijinx

ijj ny ijji nyx

2 10 4 8 40 80

4 10 3 12 30 120

6 10 2 12 20 120

2 5 1 2 5 10

4 5 3 12 15 60

6 5 1 6 5 30

2 3 2 4 6 12

4 3 2 8 6 24

6 3 1 6 3 18

19 70 130 474

19

130

19

70

19

474xyS

26,0xyS


92




Y

X 6 9 10 in

4 2 4 8 14

17 12 10 9 31

8 5 6 2 13

jn 19 20 19 58

Solución:

ix jy

ijn ijinx

ijj ny ijji nyx

4 6 2 8 12 48

17 6 12 204 72 1224

8 6 5 40 30 240

4 9 4 16 36 144

17 9 10 170 90 1530

8 9 6 48 54 432

4 10 8 32 80 320

17 10 9 153 90 1530

8 10 2 16 20 160

58 687 484 5628

58

484

58

687

58

5628xyS

808,1xyS


93




Y

X 34 56 32 in

47 55 17 19 91

18 22 43 26 91

43 61 75 38 174

jn 138 135 83 356

Solución

ix jy

ijn ijinx

ijj ny ijji nyx

47 34 55 2585 1870 87890

18 34 22 396 748 13464

43 34 61 2623 2074 89182

47 56 17 799 952 44744

18 56 43 774 2408 43344

43 56 75 3225 4200 180600

47 32 19 893 608 28576

18 32 26 468 832 14976

43 32 38 1634 1216 52288

356 13397 14908 555064

356

14908

356

13397

356

555064xyS

7253,16xyS


94




Y

X 43 12 23 in

11 16 34 64 114

54 21 43 26 90

26 43 56 67 166

jn 80 133 157 370

Solución:

ix jy

ijn ijinx

ijj ny ijji nyx

11 43 16 176 688 7568

54 43 21 1134 903 48762

26 43 43 1118 1849 48074

11 12 34 374 408 4488

54 12 43 2322 516 27864

26 12 56 1456 672 17472

11 23 64 704 1472 16192

54 23 26 1404 598 32292

26 23 67 1742 1541 40066

370 10430 8647 242778

370

8647

370

10430

370

242778xyS

6322,2xyS


95




Y

X 37 65 47 in

11 22 35 87 144

27 65 69 22 156

19 82 65 55 202

jn 169 169 164 502

Solución:

ix jy

ijn ijinx

ijj ny ijji nyx

11 37 22 242 814 8954

27 37 65 1755 2405 64935

19 37 82 1558 3034 57646

11 65 35 385 2275 25025

27 65 69 1863 4485 121095

19 65 65 1235 4225 80275

11 47 87 957 4089 44979

27 47 22 594 1034 27918

19 47 55 1045 2585 49115

502 9634 24946 479942

502

24946

502

9634

502

479942xyS

385,2xyS


96




Y

X 54 64 74 in

32 21 26 35 82

79 48 58 47 153

81 43 65 87 195

jn 112 149 169 430

Solución:

ix jy

ijn ijinx

ijj ny ijji nyx

32 54 21 672 1134 36288

79 54 48 3792 2592 204768

81 54 43 3483 2322 188082

32 64 26 832 1664 53248

79 64 58 4582 3712 293248

81 64 65 5265 4160 336960

32 74 35 1120 2590 82880

79 74 47 3713 3478 274762

81 74 87 7047 6438 521478

430 30506 28090 1991714

430

28090

430

30506

430

1991714xyS

5772,2xyS


97




Y

X 61 24 18 in

81 53 12 24 89

95 82 58 63 203

99 8 29 55 92

jn 143 99 142 384

Solución:

ix jy

ijn ijinx

ijj ny ijji nyx

81 61 53 4293 3233 261873

95 61 82 7790 5002 475190

99 61 8 792 488 48312

81 24 12 972 288 23328

95 24 58 5510 1392 132240

99 24 29 2871 696 68904

81 18 24 1944 432 34992

95 18 63 5985 1134 107730

99 18 55 5445 990 98010

384 35602 13655 1250579

384

13655

384

35602

384

1250579xyS

1677,40xyS


98




Y

X 78 30 74 in

44 68 89 16 173

24 52 17 75 144

2 64 81 52 197

jn 184 187 143 514

Solución:

ix jy

ijn ijinx

ijj ny ijji nyx

44 78 68 2992 5304 233376

24 78 52 1248 4056 97344

2 78 64 128 4992 9984

44 30 89 3916 2670 117480

24 30 17 408 510 12240

2 30 81 162 2430 4860

44 74 16 704 1184 52096

24 74 75 1800 5550 133200

2 74 52 104 3848 7696

514 11462 30544 668276

514

30544

514

11462

514

668276xyS

98699,24xyS


99



Calcular la covarianza de los siguientes valores.

Y

X 10 53 88 in

41 78 37 46 161

33 23 66 85 174

13 69 83 95 247

jn 170 186 226 582

Solución:

ix jy

ijn ijinx

ijj ny ijji nyx

41 10 78 3198 780 31980

33 10 23 759 230 7590

13 10 68 884 680 8840

41 53 37 1517 1961 80401

33 53 66 2178 3498 115434

13 53 83 1079 4399 57187

41 88 46 1886 4048 165968

33 88 85 2805 7480 246840

13 88 95 1235 8360 108680

581 15541 31436 822920

581

31436

581

15541

581

822920xyS

899,30xyS


100




Y

X 71 17 65 in

50 50 98 94 242

16 92 97 4 193

43 98 2 21 121

jn 240 197 119 556

Solución

ix jy

ijn ijinx

ijj ny ijji nyx

50 71 50 2500 3550 177500

16 71 92 1472 6532 104512

43 71 98 4214 6958 299194

50 17 98 4900 1666 83300

16 17 97 1552 1649 26384

43 17 2 86 34 1462

50 65 94 4700 6110 305500

16 65 4 64 260 4160

43 65 21 903 1365 58695

556 20391 28124 1060707

556

28124

556

20391

556

1060707xyS

652,52xyS


101



41.- Calcular, mediante el método de los mínimos cuadrados, la recta de regresión de


ix iy

2 9

4 6

6 3

Solución

ix iy

2

ix ii yx

2 9 4 18

4 6 16 24

6 3 36 18

12 18 56 60

N

i

i

N

i

i xbNay11

N

i

i

N

i

i

N

i

ii xbxaxy1

2

11

18 = 3a +12b

60 = 12a + 56b

a = 12

b = -1,5

La recta de regresión es:

y* = 12 – 1,5x


102



81. Calcular, mediante el método de los mínimos cuadrados, la recta de regresión de


ix iy

9 13

11 5

23 18

Solución

ix iy

2

ix ii yx

9 13 81 117

11 5 121 55

23 18 529 414

43 36 731 586

N

i

i

N

i

i xbNay11

N

i

i

N

i

i

N

i

ii xbxaxy1

2

11

36 = 3a +43b

586 = 43a + 731b

a = 3,25

b = 0,61


y* = 3,25 – 0,61x


103





ix iy

24 12

87 32

88 11

43 54

Solución:

ix iy

2

ix ii yx

24 12 576 288

87 32 7569 2784

88 11 7744 968

43 54 1849 2322

242 109 17738 6362

N

i

i

N

i

i xbNay11

N

i

i

N

i

i

N

i

ii xbxaxy1

2

11

109 = 4a +242b

6362 = 242a + 17738b

a = 31,791 b = -0,075


y* = 31,791 – 0,075x


104





ix iy

17 102

67 13

45 49

98 53

Solución:

ix iy

2

ix ii yx

17 102 289 1734

67 13 4489 871

45 49 2025 2205

98 53 9604 5194

227 217 16407 10004

N

i

i

N

i

i xbNay11

N

i

i

N

i

i

N

i

ii xbxaxy1

2

11

217 = 4a +227b

10004 = 227a + 16407b

a = 91,454 b = -0,6556


y* = 91,454 – 0,6556x


105





ix iy

127 65

46 48

119 32

169 63

Solución:

ix iy

2

ix ii yx

127 65 16129 8255

46 48 2116 2208

119 32 14161 3808

169 63 28561 10647

461 208 60967 24918

N

i

i

N

i

i xbNay11

N

i

i

N

i

i

N

i

ii xbxaxy1

2

11

208 = 4a +461b

24918 = 461a + 60967b

a = 38,0878 b = 0,1207


y* = 38,0878 +0,1207x


106





ix iy

25 44

28 39

57 21

54 22

Solución:

ix iy

2

ix ii yx

25 44 625 1100

28 39 784 1092

57 21 3249 1197

54 22 2916 1188

164 126 7574 4577

N

i

i

N

i

i xbNay11

N

i

i

N

i

i

N

i

ii xbxaxy1

2

11

126 = 4a +164b

4577 = 164a + 7574b

a = 59,91 b = -0,693


y* = 59,91 – 0,693x


107





ix iy

13 11

7 10

6 9

5 8

Solución:

ix iy

2

ix ii yx

13 11 169 143

7 10 49 70

6 9 36 54

5 8 25 40

31 38 279 307

N

i

i

N

i

i xbNay11

N

i

i

N

i

i

N

i

ii xbxaxy1

2

11

38 = 4a +31b

307 = 31a + 279b

a = 7 b = 0,32


y* = 7 + 0,32x


108





ix iy

46 21

32 29

17 69

64 83

98 82

Solución:

ix iy

2

ix ii yx

46 21 2116 966

32 29 1024 928

17 69 289 1173

64 83 4096 5312

98 82 9604 8036

257 284 17129 16415

N

i

i

N

i

i xbNay11

N

i

i

N

i

i

N

i

ii xbxaxy1

2

11

284 = 5a +257b

16415 = 257a + 17129b

a = 32,96 b = 0,464


y* = 32,96 + 0,464x


109





ix iy

86 97

87 96

89 56

76 58

75 59

Solución:

ix iy

2

ix ii yx

86 97 7396 8342

87 96 7569 8352

89 56 7921 4984

76 58 5776 4408

75 59 5625 4425

413 366 34287 30511

N

i

i

N

i

i xbNay11

N

i

i

N

i

i

N

i

ii xbxaxy1

2

11

366 = 5a +413b

30511 = 413a + 34287b

a = 60,047 b = 1,613


y* = 60,047 +1,613x


110





ix iy

28 69

56 27

84 31

37 11

89 42

Solución:

ix iy

2

ix ii yx

28 69 784 1932

56 27 3136 1512

84 31 7056 2604

37 11 1369 407

89 42 7921 3738

294 180 20266 10193

N

i

i

N

i

i xbNay11

N

i

i

N

i

i

N

i

ii xbxaxy1

2

11

180= 5a +294b

10193 = 294a + 20266b

a = 43,72 b = -0,13


y* = 43,72 – 0,13x


111





ix iy

17 26

96 74

45 19

43 8

9 28

Solución:

ix iy

2

ix ii yx

17 26 289 442

96 74 9216 7104

45 19 2025 855

43 8 1849 344

9 28 81 252

210 155 13460 8997

N

i

i

N

i

i xbNay11

N

i

i

N

i

i

N

i

ii xbxaxy1

2

11

155= 5a +210b

8997 = 210a + 13460b

a = 8,488 b = 0,536


y* = 8,488 + 0,536x


112





ix iy

65 48

64 98

87 105

77 39

37 42

Solución:

ix iy

2

ix ii yx

65 48 4225 3120

64 98 4096 6272

87 105 7569 9135

77 39 5929 3003

37 42 1369 1554

330 332 23188 23084

N

i

i

N

i

i xbNay11

N

i

i

N

i

i

N

i

ii xbxaxy1

2

11

332= 5a +330b

23084 = 330a + 23188b

a = 11,4625 b = 0,832


y* = 11,4625 + 0,832x


113



92. Calcular la recta de regresión de los siguientes valores, considerando la variable

x como dependiente y la variable y como independiente.

ix iy

2 9

4 6

6 3

Solución:

ix iy

2

iy ii yx

2 9 81 18

4 6 36 24

6 3 9 18

12 18 126 60

N

i

i

N

i

i ybNax11

''

N

i

i

N

i

i

N

i

ii ybyayx1

2

11

''

12= 3a’ +b’18

60 = a’18 + b’126

a’ = 7,96 b’ = -0,66


x* = 7,96 – 0,66y


114





ix iy

9 13

11 5

23 18

Solución:

ix iy

2

iy ii yx

9 13 169 117

11 5 25 55

23 18 324 414

43 36 518 586

N

i

i

N

i

i ybNax11

''

N

i

i

N

i

i

N

i

ii ybyayx1

2

11

''

3a’ +36b’ =43

36a’+ 518b’=586

a’ = 4,566 b’ = 0,814


x* = 4,566 + 0,814y


115





ix iy

24 12

87 32

88 11

43 54

Solución:

ix iy

2

iy ii yx

24 12 144 288

87 32 1024 2784

88 11 121 968

43 54 2916 2322

242 109 4205 6362

N

i

i

N

i

i xybNa11

''

N

i

ii

N

i

i

N

i

i yxybya11

2

1

''

4a’ +109b’ =242

109a’+ 4205b’=6362

a’ = 65,63 b’ = - 0,188


x* = 65,63 – 0,188y


116





ix iy

127 65

46 48

119 32

169 63

Solución:

ix iy

2

iy ii yx

127 65 4225 8255

46 48 2304 2208

119 32 1024 3808

169 63 3969 10647

461 208 11522 24918

N

i

i

N

i

i xybNa11

''

N

i

ii

N

i

i

N

i

i yxybya11

2

1

''

4a’ +208b’ =461

208a’+ 11522b’=24918

a’ = 45,573 b’ = 1,334


x* = 45,573 + 1,334y


117





ix iy

25 44

28 39

57 21

54 22

Solución:

ix iy

2

iy ii yx

25 44 1936 1100

28 39 1521 1092

57 21 441 1197

54 22 484 1188

164 126 4382 4577

N

i

i

N

i

i xybNa11

''

N

i

ii

N

i

i

N

i

i yxybya11

2

1

''

4a’ +126b’ =164

126a’+ 4382b’=4577

a’ = 85,92 b’ = -1,426


x* = 85,92 – 1,426y


118





ix iy

13 11

7 10

6 9

5 8

Solución:

ix iy

2

iy ii yx

13 11 121 143

7 10 100 70

6 9 81 54

5 8 64 40

31 38 366 307

N

i

i

N

i

i xybNa11

''

N

i

ii

N

i

i

N

i

i yxybya11

2

1

''

4a’ +38b’ =31

38a’+ 366b’=307

a’ = -16 b’ = 2,5


x* = - 16 + 2,5y


119





ix iy

46 21

32 29

17 69

64 83

98 82

Solución:

ix iy

2

iy ii yx

46 21 441 966

32 29 841 928

17 69 4761 1173

64 83 6889 5312

98 82 6724 8036

257 284 19656 16415

N

i

i

N

i

i xybNa11

''

N

i

ii

N

i

i

N

i

i yxybya11

2

1

''

5a’ +284b’ =257

284a’+ 19656b’=16415

a’ = 22,114 b’ = 0,516


x* = 22,114 +0,516y


120





ix iy

86 97

87 96

89 56

76 58

75 59

Solución:

ix iy

2

iy ii yx

86 97 9409 8342

87 96 9216 8352

89 56 3136 4984

76 58 3364 4408

75 59 3481 4425

413 366 28606 30511

N

i

i

N

i

i xybNa11

''

N

i

ii

N

i

i

N

i

i yxybya11

2

1

''

5a’ +366b’ =413

366a’+ 28606b’=30511

a’ = 71,33 b’ = 0,154


x* = 71,33 +0,154y


121



100. Calcular la recta de regresión de los siguientes valores, considerando la

variable x como dependiente y la variable y como independiente.

ix iy

28 69

56 27

84 31

37 11

89 42

Solución:

ix iy

2

iy ii yx

28 69 4761 1932

56 27 729 1512

84 31 961 2604

37 11 121 407

89 42 1764 3738

294 180 8336 10193

N

i

i

N

i

i xybNa11

''

N

i

ii

N

i

i

N

i

i yxybya11

2

1

''

5a’ +180b’ =294

180a’+ 8336b’=10193

a’ = 66,384 b’ = - 0,21


x* = 66,384 -0,21y


122



101. Calcular la recta de regresión de los siguientes valores, considerando la

variable x como dependiente y la variable y como independiente.

ix iy

65 48

64 98

87 105

77 39

37 42

Solución:

ix iy

2

iy ii yx

65 48 2304 3120

64 98 9604 6272

87 105 11025 9135

77 39 1521 3003

37 42 1764 1554

330 332 26218 23084

N

i

i

N

i

i xybNa11

''

N

i

ii

N

i

i

N

i

i yxybya11

2

1

''

5a’ +332b’ =330

332a’+ 26218b’=23084

a’ = 47,3522 b’ = 0,28


x* = 47,3522 +0,28y


123



102. Calcular la varianza residual de los siguientes valores:

ix iy

2 9

4 6

6 3

Solución:

a) Si consideramos la variable x como variable independiente, y la recta de

regresión es y* = 12 – 1,5x, con lo cual:

ix iy

2

iy ii yx

2 9 81 18

4 6 36 24

6 3 9 18

12 18 126 60

03

60)5,1(18121262

es

Nos indica que existe una dependencia perfecta entre las variables x e y.

b) si consideramos la variable x como dependiente, resultaba una línea de regresión

x* = 7,96 – 0,66y

ix iy

2

ix ii yx

2 9 4 18

4 6 16 24

6 3 36 18

12 18 56 60

0026,03

60)66,0(1296,756'2

es


124




ix iy

9 13

11 5

23 18

Solución:

a) si consideramos la variable x como variable independiente, y la recta de

regresión es y* = 3,25 – 0,61x , con lo cual:

ix iy

2

iy ii yx

9 13 169 117

11 5 25 55

23 18 324 414

43 36 518 586

82,2523

586)61,0(3625,35182

es

b) si consideramos la variable x como dependiente, nos quedaba una línea de

regresión x* = 4,566 + 0,814y

ix iy

2

ix ii yx

9 13 81 117

11 5 121 55

23 18 529 414

43 36 731 586

22,193

586)814,0(43566,4731'2

es


125




ix iy

24 12

87 32

88 11

43 54

Solución:


regresión es y* = 31,791 – 0,075x , con lo cual:

ix iy

2

iy ii yx

24 12 144 288

87 32 1024 2784

88 11 121 968

43 54 2916 2322

242 109 4205 6362

233,3044

6362)075,0(109791,3142052

es

a) si consideramos la variable x como dependiente, nos quedaba una línea de

regresión x* = 65,63 – 0,188y

ix iy

2

ix ii yx

24 12 576 288

87 32 7569 2784

88 11 7744 968

43 54 1849 2322

242 109 17738 6362


126



899,7624

6362)188,0(24263,6517738'2

es


ix iy

127 65

46 48

119 32

169 63

Solución:


regresión es y* = 91,454 – 0,6556x, con lo cual

ix iy

2

iy ii yx

127 65 4225 8255

46 48 2304 2208

119 32 1024 3808

169 63 3969 10647

461 208 11522 24918

9522,22084

24918)6556,0(208454,91115222

es

b) si consideramos la variable x como dependiente, nos quedaba una línea de regresión

x* = 45,573 + 1,334y


127



ix iy

2

ix ii yx

17 102 289 1734

67 13 4489 871

45 49 2025 2205

98 53 9604 5194

227 217 16407 10004

85,18204

10004)334,1(227573,4516407'2

es


ix iy

25 44

28 39

57 21

54 22

Solución:

a) Si consideramos la variable x como variable independiente, y la recta de

regresión es y* = 59,91 – 0,693x, con lo cual:

ix iy

2

iy ii yx

25 44 1936 1100

28 39 1521 1092

57 21 441 1197

54 22 484 1188

164 126 4382 4577


128



3,14

4577)693,0(12691,5943822

es

b) si consideramos la variable x como dependiente, nos quedaba una línea

de regresión x* = 85,92 – 1,426y

ix iy

2

ix ii yx

25 44 625 1100

28 39 784 1092

57 21 3249 1197

54 22 2916 1188

164 126 7574 4577

48,24

4577)426,1(16492,857574'2

es


ix iy

13 11

7 10

6 9

5 8

Solución:


regresión es y* = 7 + 0,32x, con lo cual:


129



ix iy

2

iy ii yx

13 11 121 143

7 10 100 70

6 9 81 54

5 8 64 40

31 38 366 307

44,04

307)32,0(3873662

es


de regresión x* = - 16 + 2,5y

ix iy

2

ix ii yx

13 11 169 143

7 10 49 70

6 9 36 54

5 8 25 40

31 38 279 307

875,14

307)5,2(31)16(279'2

es


130




ix iy

46 21

32 29

17 69

64 83

98 82

Solución:


regresión es y* = 32,96 + 0,464x, con lo cual:

ix iy

2

iy ii yx

46 21 441 966

32 29 841 928

17 69 4761 1173

64 83 6889 5312

98 82 6724 8036

257 284 19656 16415

76,5355

16415)464,0(28496,32196562

es


de regresión x* = 22,114 +0,516y


131



ix iy

2

ix ii yx

46 21 2116 966

32 29 1024 928

17 69 289 1173

64 83 4096 5312

98 82 9604 8036

257 284 17129 16415

1124,5955

16415516,0257114,2217129'2

es


ix iy

86 97

87 96

89 56

76 58

75 59

Solución:


regresión es y* = 60,047 +1,613x, con lo cual:


132



ix iy

2

iy ii yx

86 97 9409 8342

87 96 9216 8352

89 56 3136 4984

76 58 3364 4408

75 59 3481 4425

413 366 28606 30511

089,85175

30511)613,1(366047,60286062

es


de regresión x* = 71,33 +0,154y

ix iy

2

ix ii yx

86 97 7396 8342

87 96 7569 8352

89 56 7921 4984

76 58 5776 4408

75 59 5625 4425

413 366 34287 30511

8032,255

30511154,041333,7134287'2

es


133




ix iy

28 69

56 27

84 31

37 11

89 42

Solución:


regresión es y* = 43,72 – 0,13x, con lo cual:

ix iy

2

iy ii yx

28 69 4761 1932

56 27 729 1512

84 31 961 2604

37 11 121 407

89 42 1764 3738

294 180 8336 10193

298,3585

10193)13,0(18072,4383362

es


de regresión x* = 66,384 -0,21y


134



ix iy

2

ix ii yx

28 69 784 1932

56 27 3136 1512

84 31 7056 2604

37 11 1369 407

89 42 7921 3738

294 180 20266 10193

9268,5775

10193)21,0(294384,6620266'2

es

111. Las alturas (X) y los pesos (Y) de 15 hombres son los siguientes:

X Y

1,70 77

1,68 69

1,59 76

1,65 60

1,81 70

1,90 87

1,72 78

1,56 67

1,66 66

1,78 77

1,66 64

1,91 84

1,88 91

1,73 90

1,71 83


135




Solución:


ii LL 1 in ix

ii nx ii nx 2

1,56-1,61 2 1,585 3,17 5,02445

1,61-1,66 1 1,635 1,635 2,673225

1,66-1,71 4 1,685 6,74 11,3569

1,71-1,76 3 1,735 5,205 9,030675

1,76-1,81 1 1,785 1,785 3,186225

1,81-1,86 1 1,835 1,835 3,367225

1,86-1,91 2 1,885 3,77 7,10645

1,91-1,96 1 1,935 1,935 3,744225

Total 15 26,075 45,489375

7383,115

075,26x

01086,015

075,26

15

4899375,452

2

xs

1042,0xs


ii LL 1 in iy

ii ny ii ny 2

60-65 2 62,5 125 7812,5

65-70 3 67,5 202,5 13668,75

70-75 1 72,5 72,5 5256,25

75-80 4 77,5 310 24025

80-85 2 82,5 165 13612,5

85-90 1 87,5 87,5 7656,25

90-95 2 92,5 185 17112,5

Total 15 1147,5 89143,75


136



5,7615

5,1147y

67,9015

5,1147

15

75,891432

2

ys

ys

9,522

112. Las alturas (X) y los pesos (Y) de 15 niños son los siguientes:

X Y

1,39 40

1,32 30

1,23 27

1,26 24

1,15 17

1,40 40

1,36 35

1,27 27

1,26 25

1,11 12

1,18 20

1,26 30

1,34 32

1,19 21

1,20 20



137



Solución:


ii LL 1 in ix

ii nx ii nx 2

1,11 – 1,16 2 1,135 2,27 2,57645

1,16 – 1,21 3 1,185 3,555 4,212675

1,21 - 1,26 1 1,235 1,235 1,525225

1,26 – 1,31 4 1,285 5,14 6,6049

1,31 – 1,36 2 1,335 2,67 3,56445

1,36 – 1,41 3 1,385 4,155 5,754675

Total 15 19,025 24,238375

2683,115

025,19x

30072222222,015

025,19

15

238375,242

2

xs

xs

0,085


ii LL 1 in iy

ii ny ii ny 2

12 – 17 1 14,5 14,5 210,25

17 – 22 4 19,5 78 1521

22 – 27 2 24,5 49 1200,5

27 – 32 4 29,5 118 3481

32 – 37 2 34,5 69 2380,5

37 - 42 2 39,5 79 3120,5

Total 15 407,5 11913,75

167,2715

5,407y

222,5615

5,407

15

75,119132

2

ys

ys

7,498


138



113. Las alturas (X) y calzado (Y) de 15 mujeres son los siguientes:

X Y

1,49 35

1,60 37

1,56 37

1,62 38

1,71 40

1,68 39

1,59 37

1,55 36

1,64 38

1,73 40

1,53 37

1,50 36

1,56 37

1,57 36

1,66 39


Solución:


ii LL 1 in ix

ii nx ii nx 2

1,49 – 1,54 3 1,515 4,545 6,885675

1,54 – 1,59 4 1,565 6,26 9,7969

1,59 – 1,64 3 1,615 4,845 7,824675

1,64 – 1, 69 3 1,665 4,995 8,316675

1,69 – 1,74 2 1,715 3,43 5,88245

Total 15 24,075 38,706375


139



605,115

075,24x

0044,015

075,24

15

706375,382

2

xs

xs

0,066332495


ii LL 1 in iy

ii ny ii ny 2

35 – 37 4 36 144 5184

37 – 39 7 38 266 10108

39 - 41 4 40 160 6400

Total 15 570 21692

3815

570y

133,215

570

15

216922

2

ys

ys

1,46

114. Las alturas (X) y calzado (Y) de 15 hombres son los siguientes:

X Y X Y

1,70 41 1,90 46

1,77 43 1,64 39

1,68 40 1,71 42

1,65 39 1,73 42

1,59 38 1,87 45

1,80 44 1,79 44

1,72 43 1,69 40

1,85 45


140




Solución:


ii LL 1 in ix

ii nx ii nx 2

1,59 – 1,64 1 1,615 1,615 2,608225

1,64 – 1,69 3 1,665 4,995 8,316675

1,69 – 1,74 5 1,715 8,575 14,706125

1,74 – 1,79 1 1,765 1,765 3,115225

1,79 – 1,84 2 1,815 3,63 6,58845

1,84 – 1,89 2 1,865 3,73 6,95645

1,89 – 1,94 1 1,915 1,915 3,667225

Total 15 26,225 45,958375

75,115

225,26x

40072222222,015

225,26

15

958375,452

2

xs

xs

0,085

Distribución marginal de Y

ii LL 1 in iy

ii ny ii ny 2

38 – 40 3 39 117 4563

40 – 42 3 41 123 5043

42 - 44 4 43 172 7396

44 - 46 4 45 180 8100

46 - 48 1 47 47 2209

Total 15 639 27311

6,4215

639y


141



973,515

639

15

273112

2

ys

ys

2,444

115. Las alturas (X) y calzado (Y) de 15 niños son los siguientes:

X Y

X Y

1,15 23 1,41 33

1,12 22 1,37 30

1,26 27 1,18 24

1,23 25 1,22 28

1,34 30 1,10 21

1,33 29 1,26 28

1,29 26 1,30 29

1,38 32


Solución:


ii LL 1 in ix

ii nx ii nx 2

1,10 – 1,15 2 1,125 2,25 2,53125

1,15 – 1,20 2 1,175 2,35 2,76125

1,20 – 1,25 2 1,225 2,45 3,00125

1,25 – 1,30 3 1,275 3,825 4,876875

1,30 – 1,35 3 1,325 3,975 5,266875

1,35 – 1,40 2 1,375 2,75 3,78125

1,40 -1,45 1 1,425 1,425 2,030625

Total 15 19,025 24,249375


142



2683,115

025,19x

60079555555,015

025,19

15

249375,242

2

xs

xs

0,0892


ii LL 1 in iy

ii ny ii ny 2

21 – 26 5 23,5 117,5 2761,25

26 -31 8 28,5 228 6498

31 -36 2 33,5 67 2244,5

Total 15 412,5 11503,75

5,2715

5,412y

66666667,1015

5,412

15

75,115032

2

ys

ys

3,266


X Y

X Y

1,71 41 1,68 39

1,62 37 1,60 37

1,63 37 1,55 36

1,54 36 1,70 39

1,49 35 1,66 38

1,75 41 1,69 38

1,67 40


143




Solución:


ii LL 1 in ix

ii nx ii nx 2

1,49 – 1,54 1 1,515 1,515 2,295225

1,54 – 1,59 2 1,565 3,13 4,89845

1,59 – 1,64 3 1,615 4,845 7,824675

1,64 – 1,69 3 1,665 4,995 8,316675

1,69 – 1,74 3 1,715 5,145 8,823675

1,74 – 1,79 1 1,765 1,765 3,115225

Total 13 21,395 35,273925

65,113

395,21x

0048,013

395,21

13

273925,352

2

xs

xs

0,069


ii LL 1 in iy

ii ny ii ny 2

35 – 37 3 36,5 109,5 3996,75

37 – 39 5 39,5 197,5 7801,25

39 – 41 3 42,5 127,5 5418,75

41 - 43 2 45,5 91 4140,5

Total 13 525,5 21357,25


144



423,4013

5,525y

84,813

5,525

13

25,213572

2

ys

ys

2,973

117. Las alturas (X) y calzado (Y) de 13 hombres son los siguientes:

X Y

X Y

1,84 46 1,69 42

1,74 43 1,75 44

1,64 40 1,77 45

1,68 40 1,78 44

1,72 41 1,80 46

1,60 38 1,67 43

1,59 38


Solución:


ii LL 1 in ix

ii nx ii nx 2

1,59 – 1,64 2 1,615 3,23 5,21645

1,64 – 1,69 3 1,665 4,995 8,316675

1,69 – 1,74 2 1,715 3,43 5,88245

1,74 – 1,79 4 1,765 7,06 12,4609

1,79 – 1,84 1 1,815 1,815 3,294225

1,84 – 1,89 1 1,865 1,865 3,478225

Total 13 22,395 38,648925


145



723,113

395,22x

005325,013

395,22

13

648925,382

2

xs

xs

0,073


ii LL 1 in iy

ii ny ii ny 2

38 – 40 2 39 78 3042

40 – 42 3 41 123 5043

42 – 44 3 43 129 5547

44 – 46 3 45 135 6075

46 - 47 2 47 94 4418

Total 13 559 24125

4313

559y

77,613

559

13

241252

2

ys

ys

2,6

118. Las alturas (X) y calzado (Y) de 13 niños son los siguientes:

X Y

X Y

1,11 21 1,27 28

1,09 20 1,18 24

1,10 20 1,12 22

1,21 28 1,29 27

1,23 27 1,18 23

1,32 30 1,28 29

1,26 29


146




Solución:


ii LL 1 in ix

ii nx ii nx 2

1,09 – 1,14 4 1,115 4,46 4,9729

1,14 – 1,19 2 1,165 2,33 2,71445

1,19 – 1,24 2 1,215 2,43 2,95245

1,24 – 1,29 3 1,265 3,795 4,800675

1,29 – 1,34 2 1,315 2,63 3,45845

Total 13 15,645 18,898925

203,113

645,15x

00544,013

645,15

13

898925,182

2

xs

xs

0,073


ii LL 1 in iy

ii ny ii ny 2

20 – 22 3 21 63 1323

22 – 24 2 23 46 1058

24 - 26 1 25 25 625

26 - 28 2 27 54 1458

28 – 30 4 29 116 3364

30 - 32 1 31 31 961

Total 13 335 8789


147



769,2513

335y

024,1213

335

13

87892

2

ys

ys

3,47


X Y

X Y

1,67 39 1,64 36

1,59 37 1,70 39

1,55 37 1,71 40

1,56 36 1,52 36

1,54 36 1,61 37

1,68 38 1,66 38

1,63 37


Solución:


ii LL 1 in ix

ii nx ii nx 2

1,52 – 1,57 4 1,545 6,18 9,5481

1,57 – 1,62 2 1,595 3,19 5,08805

1,62 – 1,67 3 1,645 4,935 8,118075

1,67 – 1,72 4 1,695 6,78 11,4921

Total 13 21,085 34,246325


148



622,113

085,21x

003698,013

085,21

13

246325,342

2

xs

xs

0,061


ii LL 1 in iy

ii ny ii ny 2

36 – 38 8 37 296 10952

38 – 40 4 39 156 6084

40 – 42 1 41 41 1681

Total 13 493 18717

923,3713

493y

61,113

493

13

187172

2

ys

ys

1,27

120. Las alturas (X) y peso (Y) de 13 hombres son los siguientes:

X Y

X Y

1,82 78 1,73 66

1,75 77 1,82 72

1,68 70 1,80 89

1,79 69 1,79 92

1,60 60 1,74 80

1,77 60 1,71 61

1,76 76


149




Solución:


ii LL 1 in ix

ii nx ii nx 2

1,60 – 1,65 1 1,625 1,625 2,640625

1,65 – 1,70 1 1,675 1,675 2,805625

1,70 – 1,75 3 1,725 5,175 8,926875

1,75 – 1,80 5 1,775 8,875 15,753125

1,80 – 1,85 3 1,825 5,475 9,991875

Total 13 22,825 40,118125

75577,113

825,22x

003284,013

825,22

13

118125,402

2

xs

xs

0,0573


ii LL 1 in iy

ii ny ii ny 2

60 – 65 3 62,5 187,5 11718,75

65 – 70 2 67,5 135 9112,5

70 – 75 2 72,5 145 10512,5

75 – 80 3 77,5 232,5 18018,75

80 – 85 1 82,5 82,5 6806,25

85 – 90 1 87,5 87,5 7656,25

90 – 95 1 92,5 92,5 8556,25

Total 13 962,5 72381,25


150



038,7413

5,962y

095,8613

5,962

13

25,723812

2

ys

ys

9,28

121. De dos variables observadas conjuntamente, se ha obtenido la siguiente

tabla de doble entrada:

X

Y

[0-20[

[20-40[

[40-60[

[60-80]

3 4 ------------- 3 7

5 2 7 8 ------------

7 6 3 4 8


Solución:

iy ix

in ii nx

ii ny iii nyx

3 10 4 40 12 120

3 50 3 150 9 450

3 70 7 490 21 1470

5 10 2 20 10 100

5 30 7 210 35 1050

5 50 8 400 40 2000

7 10 6 60 42 420

7 30 3 90 21 630

7 50 4 200 28 1400

7 70 8 560 56 3920

Total 52 2220 274 11560


151



N

ny

N

nx

N

nyxs

iiiiiii

xy


65,252

274

52

2220

52

11560xys

Por lo tanto la covarianza entre las variables X e Y es -2,65 aproximadamente.



X

Y [0-5[ [5-10[ [10-15[ [15-20]

2 1 2 4 1

3 4 6 8 6

4 3 5 3 2



152



Solución:

iy ix

in ii nx

ii ny iii nyx

2 2,5 1 2,5 2 5

2 7,5 2 15 4 30

2 12,5 4 50 8 100

2 17,5 1 17,5 2 35

3 2,5 4 10 12 30

3 7,5 6 45 18 135

3 12,5 8 100 24 300

3 17,5 6 105 18 315

4 2,5 3 7,5 12 30

4 7,5 5 37,5 20 150

4 12,5 3 37,5 12 150

4 17,5 2 35 8 140

Total 45 462,5 140 1420

N

ny

N

nx

N

nyxs

iiiiiii

xy


42,045

140

45

5,462

45

1420xys



153





X

Y [0 – 15[ [15 – 30[ [30 – 45[ [45 – 60]

7 4 7 1 1

8 3 4 5 8

9 8 9 2 4


Solución:

iy ix

in ii nx

ii ny iii nyx

7 7,5 4 30 28 210

7 22,5 7 157,5 49 1102,5

7 37,5 1 37,5 7 262,5

7 52,5 1 52,5 7 367,5

8 7,5 3 22,5 24 180

8 22,5 4 90 32 720

8 37,5 5 187,5 40 1500

8 52,5 8 420 64 3360

9 7,5 8 60 72 540

9 22,5 9 202,5 81 1822,5

9 37,5 2 75 18 675

9 52,5 4 210 36 1890

Total 56 1545 458 12630

N

ny

N

nx

N

nyxs

iiiiiii

xy


154




10523,056

458

56

1545

56

12630xys




X

Y [0 – 10[ [10 – 20[ [20 – 30[ [30 – 40[ [40 – 50]

5 2 4 1 -----------

- 2

6 7 8 ----------- 3 6

7 9 ------------ 10 12 12

8 ---------- 7 9 6 11



155



Solución:

iy ix

in ii nx

ii ny iii nyx

5 5 2 10 10 50

5 15 4 60 20 300

5 25 1 25 5 125

5 45 2 90 10 450

6 5 7 35 42 210

6 15 8 120 48 720

6 35 3 105 18 630

6 45 6 270 36 1620

7 5 9 45 63 315

7 25 10 250 70 1750

7 35 12 420 84 2940

7 45 12 540 84 3780

8 15 7 105 56 840

8 25 9 225 72 1800

8 35 6 210 48 1680

8 45 11 495 88 3960

Total 109 3005 754 21170

N

ny

N

nx

N

nyxs

iiiiiii

xy


5149,3109

754

109

3005

109

21170xys



156





X

Y

[0 – 15[ [15 – 30[ [30 – 45[ [45 – 60[ [60 – 75]

10 12 16 21 23 12

20 24 --------- -------- 14 25

30 --------- 6 30 5 32

40 22 11 3 --------- 9


Solución:

iy ix

in ii nx

ii ny iii nyx

10 7,5 12 90 120 900

10 22,5 16 360 160 3600

10 37,5 21 787,5 210 7875

10 52,5 23 1207,5 230 12075

10 67,5 12 810 120 8100

20 7,5 24 180 480 3600

20 52,5 14 735 280 14700

20 67,5 25 1687,5 500 33750

30 22,5 6 135 180 4050

30 37,5 30 1125 900 33750

30 52,5 5 262,5 150 7875

30 67,5 32 2160 960 64800

40 7,5 22 165 880 6600

40 22,5 11 247,5 440 9900

40 37,5 3 112,5 120 4500

40 67,5 9 607,5 360 24300

Total 265 10672,5 6090 240375


157



N

ny

N

nx

N

nyxs

iiiiiii

xy


53,925265

6090

265

5,10672

265

240375xys




X

Y [0 – 20[ [20 – 40[ [40 – 60[ [60 – 80[ [80 – 100]

5 27 26 17 12 1

15 32 -------- 32 -------- 27

25 ------- 25 -------- 8 34

35 14 3 28 19 10



158



Solución:

iy ix

in ii nx

ii ny iii nyx

5 10 27 270 135 1350

5 30 26 780 130 3900

5 50 17 850 85 4250

5 70 12 840 60 4200

5 90 1 90 5 450

15 10 32 320 480 4800

15 50 32 1600 480 24000

15 90 27 2430 405 36450

25 30 25 750 625 18750

25 70 8 560 200 14000

25 90 34 3060 850 76500

35 10 14 140 490 4900

35 30 3 90 105 3150

35 50 28 1400 980 49000

35 70 19 1330 665 46550

35 90 10 900 350 31500

Total 315 15410 6045 323750

N

ny

N

nx

N

nyxs

iiiiiii

xy


967,88315

6045

315

15410

315

323750xys



159





X

Y [0 – 30[ [30 – 60[ [60 – 90[ [90 – 120[ [120 – 150]

21 --------- 41 ---------- 16 36

22 6 23 32 8 46

23 17 11 26 --------- 24

24 10 16 37 1 --------


Solución:

iy ix

in ii nx

ii ny iii nyx

21 45 41 1845 861 38745

21 105 16 1680 336 35280

21 135 36 4860 756 102060

22 15 6 90 132 1980

22 45 23 1035 506 22770

22 75 32 2400 704 52800

22 105 8 840 176 18480

22 135 46 6210 1012 136620

23 15 17 255 391 5865

23 45 11 495 253 11385

23 75 26 1950 598 44850

23 135 24 3240 552 74520

24 15 10 150 240 3600

24 45 16 720 384 17280

24 75 37 2775 888 66600

24 105 1 105 24 2520

Total 350 28650 7813 635355


160



N

ny

N

nx

N

nyxs

iiiiiii

xy


9853,11350

7813

350

28650

350

635355xys




X

Y [0-10[ [10-20[ [20-30[ [30-40]

17 26 26 -------- 27

23 ------- 27 5 43

28 11 11 32 -------

34 ------- 7 22 1

41 12 10 ------- 2



161



Solución:

iy ix

in ii nx

ii ny iii nyx

17 5 26 130 442 2210

17 15 26 390 442 6630

17 35 27 945 459 16065

23 15 27 405 621 9315

23 25 5 125 115 2875

23 35 43 1505 989 34615

28 5 11 55 308 1540

28 15 11 165 308 4620

28 25 32 800 896 22400

34 15 7 105 238 3570

34 25 22 550 748 18700

34 35 1 35 34 1190

41 5 12 60 492 2460

41 15 10 150 410 6150

41 35 2 70 82 2870

Total 262 5490 6584 135210

N

ny

N

nx

N

nyxs

iiiiiii

xy


51,10262

6584

262

5490

262

135210xys



162





X

Y [0 – 5[ [5 – 10[ [10 -15[ [15 – 20]

1 ------- 7 8 9

2 3 ------- 6 1

3 4 9 ------- 2

4 7 1 ------- --------

5 2 3 4 6


Solución:

iy ix

in ii nx

ii ny iii nyx

1 7,5 7 52,5 7 52,5

1 12,5 8 100 8 100

1 17,5 9 157,5 9 157,5

2 2,5 3 7,5 6 15

2 12,5 6 75 12 150

2 17,5 1 17,5 2 35

3 2,5 4 10 12 30

3 7,5 9 67,5 27 202,5

3 17,5 2 35 6 105

4 2,5 7 17,5 28 70

4 7,5 1 7,5 4 30

5 2,5 2 5 10 25

5 7,5 3 22,5 15 112,5

5 12,5 4 50 20 250

5 17,5 6 105 30 525

Total 72 730 196 1860


163



N

ny

N

nx

N

nyxs

iiiiiii

xy


767,172

196

72

730

72

1860xys




X

Y [0 – 30[ [30 – 60[ [60 -90[ [90 – 120]

10 21 32 32 31

11 22 ------ ------- --------

12 23 ------ 19 27

13 ------ 24 10 15

14 24 8 3 5



164



Solución:

iy ix

in ii nx

ii ny iii nyx

10 15 21 315 210 3150

10 45 32 1440 320 14400

10 75 32 2400 320 24000

10 105 31 3255 310 32550

11 15 22 330 242 3630

12 15 23 345 276 4140

12 75 19 1425 228 17100

12 105 27 2835 324 34020

13 45 24 1080 312 14040

13 75 10 750 130 9750

13 105 15 1575 195 20475

14 15 24 360 336 5040

14 45 8 360 112 5040

14 75 3 225 42 3150

14 105 5 525 70 7350

Total 296 17220 3427 197835

N

ny

N

nx

N

nyxs

iiiiiii

xy


17919,5296

3427

296

17220

296

197835xys



165



131. Siendo a mayor que 0, se tiene la siguiente tabla:

Y

X 1 2

1 3 a

2 4 2

Calcule la covarianza y determine a para que X e Y sean independientes.

Solución:

YXaS xy 11

Y

X 1 2 in

1 3 a a+3

2 4 2 6

jn

7 a+2 a+9

Las variables X e Y son variables independientes si N

nnn

ji

ij

9

112

9

15

9

192

9

192

9

1

19222241221311

9

112

9

22

9

71

9

15

9

62

9

31

2

1

2

1

11

2

1

2

1

a

a

a

a

a

aS

a

anYX

aa

aanYX

a

a

a

a

aY

a

a

aa

aX

xy

i j

ijji

i j

ijji


166



23)2(6)9(2

2342)9(4

23)2()3()9(

23)3(7)9(3

aaa

aa

aaaaa

aaa

nnNn jiij

132. Siendo a mayor que 0, tenemos la siguiente tabla:

Y

X 0 2

0 6 5

2 a 3


Solución:

YXaS xy 11

Y

X 0 2 in

0 6 5 11

2 a 3 a+3

jn

a+6 8 a+14


167




nnn

ji

ij

518´83)14(3

518´)6(3)14(

518811)14(5

518)6(11)14(6

aaa

aaaaa

aa

aaa

nnNn jiij

133. Siendo a mayor que 0, sea la tabla:

Y

X 0 3

0 a 9

3 7 8


14

16

14

62

14

12

14

12

14

1

1232202520600

14

16

14

82

14

60

14

62

14

32

14

110

2

1

2

1

11

2

1

2

1

aa

a

aS

anYX

aa

anYX

aaa

aY

a

a

a

a

aX

xy

i j

ijji

i j

ijji


168



Solución:

YXaS xy 11

Y

X 0 3 in

0 a 9 a+9

3 7 8 15

jn

a+7 17 a+24


nnn

ji

ij

8631715)24(8

863)7(15)24(7

863179)24(9

863)7(9)24(

aa

aaa

aaa

aaaaa

nnNn jiij

30

2223

24

51

24

45

24

72

24

72

24

1

7283370393000

24

51

24

173

24

70

24

45

24

153

24

90

2

1

2

1

11

2

1

2

1

aaaaS

anYX

aa

anYX

aaa

aY

aaa

aX

xy

i j

ijji

i j

ijji


169



134. Siendo a mayor que 0, obtenemos la siguiente tabla:

Y

X 0 4

0 4 2

4 8 a


Solución:

YXaS xy 11

Y

X 0 4 in

0 4 2 6

4 8 a a+8

jn

12 a+2 a+14


nnn

ji

ij

14

84

14

324

14

16

14

16

14

1

1644804240400

14

84

14

24

14

120

14

324

14

84

14

60

2

1

2

1

11

2

1

2

1

a

a

a

a

a

aS

a

anYX

aa

aanYX

a

a

a

a

aY

a

a

a

a

aX

xy

i j

ijji

i j

ijji


170



428)14(

4128)14(8

426)14(2

4126)14(4

aaaaa

aaa

aaa

aa

nnNn jiij

135. Siendo a mayor que 0, sea la tabla:

Y

X 0 1

0 a 3

1 5 1


Solución:

YXaS xy 11

Y

X 0 1 in

0 a 3 a+3

1 5 1 6

jn

a+5 4 a+9

9

23

9

4

9

6

9

1

9

1

9

1

111150131000

9

4

9

41

9

50

9

6

9

61

9

30

2

1

2

1

11

2

1

2

1

aaaaS

anYX

aa

anYX

aaa

aY

aaa

aX

xy

i j

ijji

i j

ijji


171




nnn

ji

ij

1546)9(1

1556)9(5

1543)9(3

15)5(3)9(

aa

aaa

aaa

aaaaa

nnNn jiij

136. Siendo a mayor que 0, obtenemos la siguiente tabla:

Y

X 2 4

2 5 2

4 a 1


Solución:

YXaS xy 11

Y

X 2 4 in

2 5 2 7

4 a 1 a+1

jn

a+5 3 a+8


172




nnn

ji

ij

2531)8(1

2551)8(

2537)8(2

25)5(7)8(5

aaa

aaaaa

aa

aaa

nnNn jiij


Y

X 3 5

3 3 1

5 2 a


8

262

8

104

8

528

8

528

8

1

52814424242522

8

262

8

44

8

52

8

104

8

14

8

72

2

1

2

1

11

2

1

2

1

a

a

a

a

a

aS

a

anYX

aa

aanYX

a

a

aa

aY

a

a

a

a

aX

xy

i j

ijji

i j

ijji


173



Solución:

YXaS xy 11

Y

X 3 5 in

3 3 1 4

5 2 a a+2

jn

5 a+1 a+6


nnn

ji

ij

3212)6(

3252)6(2

3214)6(1

3254)6(3

aaaaa

aaa

aaa

aa

nnNn jiij

6

205

6

225

6

7225

6

7225

6

1

722555235153333

6

205

6

15

6

53

6

225

6

25

6

43

2

1

2

1

11

2

1

2

1

a

a

a

a

a

aS

a

anYX

aa

aanYX

a

a

a

a

aY

a

a

a

a

aX

xy

i j

ijji

i j

ijji


174




Y

X 2 0

2 9 a

0 1 6


Solución:

YXaS xy 11

Y

X 2 0 in

2 9 a a+9

0 1 6 7

jn

10 a+6 a+16


nnn

ji

ij

16

20

16

182

16

36

16

36

16

1

3660012002922

16

20

16

60

16

102

16

182

16

70

16

92

2

1

2

1

11

2

1

2

1

aa

a

aS

anYX

aa

anYX

aa

a

aY

a

a

aa

aX

xy

i j

ijji

i j

ijji


175



5467)16(6

54107)16(1

5469)16(

54109)16(9

aaa

aa

aaaaa

aaa

nnNn jiij


Y

X 1 0

1 4 3

0 1 a


Solución:

YXaS xy 11

Y

X 1 0 in

1 4 3 7

0 1 a a+1

jn

5 a+3 a+16


176




nnn

ji

ij

4331)8(

4351)8(1

4337)8(3

4357)8(4

aaaaa

aaa

aaa

aa

nnNn jiij


Y

X 3 0

2 7 a

0 3 9


8

31

8

5

8

7

8

4

8

4

8

1

400110301411

8

5

8

30

8

51

8

7

8

10

8

71

2

1

2

1

11

2

1

2

1

aaaaS

anYX

aa

anYX

aa

a

aY

aa

a

aX

xy

i j

ijji

i j

ijji


177



Solución:

YXaS xy 11

Y

X 3 0 in

2 7 a a+7

0 3 9 12

jn

10 a+9 a+19


nnn

ji

ij

21912)19(9

211012)19(3

2197)19(

21107)19(7

aaa

aa

aaaaa

aaa

nnNn jiij

19

30

19

142

19

42

19

42

19

1

4290033002732

19

30

19

90

19

103

19

142

19

120

19

72

2

1

2

1

11

2

1

2

1

aa

a

aS

anYX

aa

anYX

aa

a

aY

a

a

aa

aX

xy

i j

ijji

i j

ijji


178



141. Las variables X e Y observados conjuntamente 102 veces han

presentados los siguientes valores:

iX iY

in

2 1 14

8 10 21

12 27 11

9 18 27

4 9 29

102


Solución:

iX in iY in

2

iX in

2

iY in

28 14 56 14

168 210 1344 2100

132 297 1584 8019

243 486 2187 8748

116 261 464 2349

687 1268 5635 21230

598,53102

1268

102

21230

881,9102

687

102

5635

431,12102

1268

74,6102

687

2

2

2

2

y

x

S

S

Y

X


179





iX iY

in

3 31 22

10 16 15

18 29 12

32 30 34

16 42 26

109


Solución:

iX in iY in

2

iX in

2

iY in

66 682 198 21142

150 240 1500 3840

216 348 3888 10092

1088 1020 34816 30600

416 1092 6656 45864

1936 3382 6656 45864

94,541109

3382

109

45864

41,254109

1936

109

6656

03,31109

3382

76,17109

1936

2

2

2

2

y

x

S

S

Y

X


180





iX iY

in

45 42 37

28 6 40

18 21 45

39 26 36

32 22 33

191


Solución:

iX in iY in

2

iX in

2

iY in

1665 1554 74925 65268

1120 240 31360 1440

810 945 14580 19845

1404 936 54756 24336

1056 726 33792 15972

6055 4401 209413 126861

265,133191

4401

191

126861

41356,91191

6055

191

209413

042,23191

4401

7,31191

6055

2

2

2

2

y

x

S

S

Y

X


181





iX iY

in

13 7 23

7 18 34

27 44 19

36 33 30

11 12 42

148


Solución:

iX in iY in

2

iX in

2

iY in

299 161 3887 1127

238 612 1666 11016

513 836 13851 36784

1080 990 38880 32670

462 504 5082 6048

2592 3103 63366 87645

614,152148

3103

148

87645

43,121148

2592

148

63366

967,20148

3103

51,17148

2592

2

2

2

2

y

x

S

S

Y

X


182





iX iY

in

46 18 33

23 5 44

17 26 32

46 23 51

21 11 17

177


Solución:

iX in iY in

2

iX in

2

iY in

1518 594 69828 10692

1012 220 23276 1100

544 832 9248 21632

2346 1173 107916 26979

357 187 7497 2057

5777 3006 217765 62460

46,64177

3006

177

62460

0444,165177

5777

177

217765

983,16177

3006

64,32177

5777

2

2

2

2

y

x

S

S

Y

X


183





iX iY

in

43 34 16

22 33 28

12 11 39

8 27 6

10 20 30

119


Solución:

iX in iY in

2

iX in

2

iY in

688 544 29584 18496

616 924 13552 30492

468 429 5616 4719

48 162 384 4374

300 600 3000 12000

2120 2659 52136 70081

64,89119

2659

119

70081

74,120119

2120

119

52136

345,22119

2659

82,17119

2120

2

2

2

2

y

x

S

S

Y

X


184





iX iY

in

32 8 19

33 18 9

16 21 30

27 34 42

11 24 10

110


Solución:

iX in iY in

2

iX in

2

iY in

608 152 19456 1216

297 162 9801 2916

480 630 7680 13230

1134 1428 30618 48552

110 240 1210 5760

2629 2612 68765 71674

74,87110

2612

110

71674

93,53110

2629

110

68765

75,23110

2612

9,23110

2629

2

2

2

2

y

x

S

S

Y

X


185





iX iY

in

13 13 56

54 33 46

23 34 25

11 27 38

45 57 40

205


Solución:

iX in iY in

2

iX in

2

iY in

728 728 9464 9464

2484 1518 134136 50094

575 850 13225 28900

418 1026 4598 27702

1800 2280 81000 129960

6005 6402 242423 246120

32,225205

6402

205

246120

49,324205

6005

205

242423

23,31205

6402

293,29205

6005

2

2

2

2

y

x

S

S

Y

X


186





iX iY

in

17 4 13

43 61 22

26 59 55

52 48 63

37 11 29

182


Solución:

iX in iY in

2

iX in

2

iY in

221 52 3757 208

946 1342 40678 81862

1430 3245 37180 191455

3276 3024 170352 145152

1073 319 39701 3509

6046 7982 291668 422186

254,396182

7982

182

422186

0176,499182

6046

182

291668

857,43182

7982

22,33182

6046

2

2

2

2

y

x

S

S

Y

X


187





iX iY

in

62 73 78

38 32 69

31 17 38

46 54 62

43 39 71

318


Solución:

iX in iY in

2

iX in

2

iY in

4836 5694 299832 415662

2622 2208 99636 70656

1178 646 36518 10982

2852 3348 131192 180792

3053 2769 131279 107991

14541 14665 698457 786083

24,345318

14665

318

786083

3332,77318

14541

318

691668

12,46318

14665

73,45318

14541

2

2

2

2

y

x

S

S

Y

X


188



151. Utilizando los datos del ejercicio 142, calcular la covarianza.

Solución:

iX iY in iX in

iY in

28 28 14

1680 168 210

3564 132 297

4374 243 486

1044 116 261

10690 687 1268

075,21102

1268

102

687

102

10690xyS


Solución:

iX iY in iX in

iY in

2046 66 682

2400 150 240

6264 216 348

32640 1088 1020

17472 416 1092

60822 1936 3382

9056,6109

3382

109

1936

109

60822xyS


189




Solución:

iX iY in iX in

iY in

69930 1665 1554

6720 1120 240

17010 810 945

36504 1404 936

23232 1056 726

153396 6055 4401

656,72191

4401

191

6055

191

153396xyS


Solución:

iX iY in iX in

iY in

2093 299 161

4284 238 612

22572 513 836

35640 1080 990

5544 462 504

70133 2592 3103

68,106148

3103

148

2592

148

70133xyS


190




Solución:

iX iY in iX in

iY in

27324 1518 594

5060 1012 220

14144 544 832

53958 2346 1173

3927 357 187

104413 5777 3006

6,35177

3006

177

5777

177

104413xyS


Solución:

iX iY in iX in

iY in

23392 688 544

20328 616 924

5148 468 429

1296 48 162

6000 300 600

56164 2120 2659

896,73119

2659

119

2120

119

56164xyS


191




Solución:

iX iY in iX in

iY in

4864 608 152

5346 297 162

10080 480 630

38556 1134 1428

2640 110 240

61486 2629 2612

55,8110

2612

110

2629

110

61486xyS


Solución:

iX iY in iX in

iY in

9464 728 728

81972 2484 1518

19550 575 850

11286 418 1026

102600 1800 2280

224872 6005 6402

15,182205

6402

205

6005

205

224872xyS


192




Solución:

iX iY in iX in

iY in

884 221 52

57706 946 1342

84370 1430 3245

157248 3276 3024

11803 1073 319

312011 6946 7982

55,40182

7982

182

6946

182

312011xyS


Solución:

iX iY in iX in

iY in

353028 4836 5694

83904 2622 2208

20026 1178 646

154008 2852 3348

119067 3053 2769

730033 14541 14665

966,186318

14665

318

14541

318

730033xyS


193



161. Sean los valores de X e Y los siguientes.

Calcular el coeficiente de correlación entre X e Y

Solución:

iX iY

iX iY

2

iX

2

iY

3 5 15 9 25

7 3 21 49 9

9 8 72 81 64

1 6 6 1 36

20 22 114 140 134

175.0803,1162,3

1

803,14

22

4

134

162,34

20

4

140

14

22

4

20

4

114

2

2

r

S

S

S

y

x

xy

X Y

3

7

9

1

5

3

8

6


194





Solución:

iX iY

iX iY

2

iX

2

iY

4 9 36 16 81

5 4 20 25 16

4 1 4 16 1

3 6 18 9 36

16 10 78 66 134

56,222,571,0

5,9

22,54

10

4

134

71,04

16

4

66

5,94

10

4

16

4

78

2

2

r

S

S

S

y

x

xy

X Y

4

5

4

3

9

4

1

6


195





Solución:

iX iY

iX iY

2

iX

2

iY

5 2 10 25 4

8 5 40 64 25

9 2 18 81 4

1 8 8 1 64

4 6 24 16 36

27 23 100 187 133

72,033,287,2

84,4

33,25

23

5

133

87,25

27

5

187

84,45

23

5

27

5

100

2

2

r

S

S

S

y

x

xy

X Y

5

8

9

1

4

2

5

2

8

6


196





Solución:

iX iY

iX iY

2

iX

2

iY

12 1 12 144 1

4 17 68 16 289

9 2 18 81 4

10 5 50 100 25

8 3 24 64 9

43 28 172 405 328

3,085,574,7

76,13

85,55

28

5

328

74,75

43

5

405

76,135

28

5

43

5

172

2

2

r

S

S

S

y

x

xy

X Y

12

4

9

10

8

1

17

2

5

3


197





Solución:

iX iY

iX iY

2

iX

2

iY

2 4 8 4 16

18 15 270 324 225

20 17 340 400 289

3 22 66 9 484

10 1 10 100 1

53 59 694 837 1015

23,042,798,7

72,13

98,75

59

5

1015

42,75

53

5

837

72,135

59

5

53

5

694

2

2

r

S

S

S

y

x

xy

X Y

2

18

20

3

10

4

15

17

22

1


198





Solución:

iX iY

iX iY

2

iX

2

iY

5 6 30 25 36

14 18 252 196 324

7 23 161 49 529

23 11 253 529 121

12 5 60 144 25

1 3 3 1 9

62 66 759 944 1044

25,028,711,7

83,12

28,76

66

6

1044

11,76

62

6

944

83,126

66

6

62

6

759

2

2

r

S

S

S

y

x

xy

X Y

5

14

7

23

12

1

6

18

23

11

5

3


199





Solución:

iX iY

iX iY

2

iX

2

iY

4 7 28 16 49

19 17 323 361 289

32 34 1088 1024 1156

13 21 273 169 441

8 12 96 64 144

3 4 12 9 16

79 95 1820 1643 2095

95,092,902,10

86,94

92,96

95

6

2095

02,106

79

6

1643

86,946

95

6

79

6

1820

2

2

r

S

S

S

y

x

xy

X Y

4

19

32

13

8

3

7

17

34

21

12

4


200





Solución:

iX iY

iX iY

2

iX

2

iY

32 22 704 1024 484

11 15 165 121 225

5 6 30 25 36

28 36 1008 784 1296

19 1 19 361 1

10 2 20 100 4

105 82 1946 2415 2046

6998,041,1281,9

2,85

41,126

82

6

2046

81,96

105

6

2415

2,856

82

6

105

6

1946

2

2

r

S

S

S

y

x

xy

X Y

32

11

5

28

19

10

22

15

6

36

1

2


201





Solución:

iX iY

iX iY

2

iX

2

iY

8 44 352 64 1936

33 2 66 1089 4

17 16 272 289 256

1 32 32 1 1024

13 27 351 169 729

41 4 164 1681 16

113 125 1237 3293 3965

88,01,15933,13

2,186

1,156

125

6

3965

933,136

113

6

3293

2,1866

125

6

113

6

1237

2

2

r

S

S

S

y

x

xy

X Y

8

33

17

1

13

41

44

2

16

32

27

4


202





Solución:

iX iY

iX iY

2

iX

2

iY

45 6 270 2025 36

2 48 96 4 2304

37 32 1184 1369 1024

22 28 616 484 784

31 12 372 961 144

8 9 72 64 81

145 135 2610 4907 4373

477,092,1429,15

75,108

92,146

135

6

4373

29,156

145

6

4907

75,1086

135

6

145

6

2610

2

2

r

S

S

S

y

x

xy

X Y

45

2

37

22

31

8

6

48

32

28

12

9


203



171. Sea la tabla:

Y

X 2 4 -3 1

7 4 7 3 8

8 5 9 9 9

3 8 3 2 3

1 2 4 3 5


Solución:

Y

X 2 4 -3 1

n i

7 4 7 3 8 22

8 5 9 9 9 32

3 8 3 2 3 16

1 2 4 3 5 14

n j 19 23 17 25 N = 84

Y j n j

2 19

4 23

-3 17

1 25

84

b) Determinar la distribución de frecuencias relativas de X si Y = 4

Solución:

X/Y = 4 Frecuencia

absoluta

Frecuencia

relativa

2 7 7/23

4 9 9/23

-3 3 3/23

1 4 4/23

23 1


204



172. Sea la tabla:

Y

X

0 3 -1 -9

5 7 6 10 15

-8 3 10 11 7

-3 9 23 3 2

2 2 9 5 16


Solución:

Y

X 0 3 -1 9

n i

5 7 6 10 15 38

-8 3 10 11 7 31

-3 9 23 3 2 37

2 2 9 5 16 32

n j 21 48 29 40 N = 138

Y j n j

0 21

3 48

-1 29

9 40

138

b) Determinar la distribución de frecuencias relativas de X si Y = -1

Solución:

X/Y = -1 Frecuencia

absoluta

Frecuencia

relativa

0 10 10/29

3 11 11/29

-1 3 3/29

9 5 5/29

29 1


205



173. Sea la tabla:

Y

X -6 -9 -1 -4

3 20 49 14 45

-2 27 42 6 38

-9 43 29 30 11

1 17 37 44 7


Solución:

Y

X -6 -9 -1 -4

n i

3 20 49 14 45 128

-2 27 42 6 38 113

-9 43 29 30 11 113

1 17 37 44 7 105

n j 107 157 94 101 N = 459

Y j n j

-6 107

-9 157

-1 94

-4 101

459


Solución:

X/Y = -6 Frecuencia

absoluta

Frecuencia

relativa

-6 20 20/107

-9 27 27/107

-1 43 43/107

-4 17 17/107

107 1


206



174. Sea la tabla:

Y

X 1 2 3 4

5 12 8 24 35

6 3 41 37 28

7 67 5 12 17

8 42 17 32 8


Solución:

Y

X 1 2 3 4

n i

5 12 8 24 35 79

6 3 41 37 28 109

7 67 5 12 17 101

8 42 17 32 8 99

n j 124 71 105 88 N = 388

Y j n j

1 124

2 71

3 105

4 88

388


Solución:

X/Y = 4 Frecuencia

absoluta

Frecuencia

relativa

1 35 35/88

2 28 28/88

3 17 17/88

4 8 8/88

88 1


207



175. Sea la tabla:

Y

X -2 -6 2 9

0 18 20 8 14

6 3 15 26 33

-4 6 32 35 16

8 17 5 16 21


Solución:

Y

X -2 -6 2 9

n i

0 18 20 8 14 60

6 3 15 26 33 77

-4 6 32 35 16 89

8 17 5 16 21 59

n j 44 72 85 84 N = 285

Y j n j

-2 44

-6 72

2 85

9 84

285


Solución:

X/Y = 2 Frecuencia

absoluta

Frecuencia

relativa

-2 8 8/85

-6 26 26/85

2 35 35/85

9 16 16/85

85 1


208



176. Sea la tabla:

Y

X 3 -4 -7 8

1 27 40 53 33

5 17 29 25 51

-4 42 16 33 22

7 30 3 38 47


Solución:

Y

X 3 -4 -7 8 n i

1 27 40 53 33 153

5 17 29 25 51 122

-4 42 16 33 22 113

7 30 3 38 47 118

n j 116 88 149 153 N = 506

Y j n j

3 116

-4 88

-7 149

8 153

506


Solución:

X/Y = -4 Frecuencia

absoluta

Frecuencia

relativa

3 40 40/88

-4 29 29/88

-7 16 16/88

8 3 3/88

88 1


209



177. Sea la tabla:

Y

X 2 -4 5 1

4 6 45 37 5

-9 26 7 16 43

1 18 32 27 27

2 35 21 21 4

a) Determinar la distribución marginal de X:

Solución:

Y

X 2 -4 5 1 n i

4 6 45 37 5 93

-9 26 7 16 43 92

1 18 32 27 27 104

2 35 21 21 4 81

n j 85 105 101 79 N = 307

X i n i

4 93

-9 92

1 104

2 81

307

b) Determinar la distribución de frecuencias relativas de Y si X = -9

Solución:

Y/X = -9 Frecuencia

absoluta

Frecuencia

relativa

4 26 26/92

-9 7 7/92

1 16 16/92

2 43 43/92

92 1


210



178. Sea la tabla:

Y

X 3 5 -2 1

7 56 36 47 40

8 27 17 29 59

-6 42 62 22 65

-9 64 32 39 49


Solución:

Y

X 3 5 -2 1 n i

7 56 36 47 40 179

8 27 17 29 59 132

-6 42 62 22 65 191

-9 64 32 39 49 184

n j 189 147 137 213 N = 686

X i n i

7 179

8 132

-6 191

-9 184

686

b) Determinar la distribución de frecuencias relativas de Y si X = 8

Solución:

Y/X = 8 Frecuencia

absoluta

Frecuencia

relativa

7 27 27/132

8 17 17/132

-6 29 29/132

-9 59 59/132

132 1


211



179. Sea la tabla:

Y

X -5 6 -7 -9

3 54 71 32 38

5 38 3 47 50

-1 9 65 48 49

-4 46 58 26 66


Solución:

Y

X -5 6 -7 -9 n i

3 54 71 32 38 195

5 38 3 47 50 138

-1 9 65 48 49 171

-4 46 58 26 66 196

n j 147 197 153 203 N = 700

X i n i

3 195

5 138

-1 171

-4 196

700


Solución:

Y/X = -1 Frecuencia

absoluta

Frecuencia

relativa

3 9 9/171

5 65 65/171

-1 48 48/171

-4 49 49/171

171 1


212



180. Sea la tabla:

Y

X -2 4 -6 8

3 3 12 48 14

6 6 3 32 32

-8 9 7 55 28

1 34 10 31 14


Solución:

Y

X -2 4 -6 8 n i

3 3 12 48 14 77

6 6 3 32 32 73

-8 9 7 55 28 99

1 34 10 31 14 89

n j 52 32 166 88 N = 338

X i n i

3 77

6 73

-8 99

1 89

338


Solución:

Y/X = -8 Frecuencia

absoluta

Frecuencia

relativa

3 9 9/99

6 7 7/99

-8 55 55/99

1 28 28/99

99 1


213





iX iY

18

26

56

32

19

37

89

93

30

22

Solución:

iX iY

iX* iY

iX^2

18 37 666 324

26 89 2314 676

56 93 5208 3136

32 30 960 1024

19 22 418 361

151 271 9566 5521

Formaremos el siguiente sistema de ecuación:

438,1

767,10

55211519566

1515271

5

1

25

1

5

1

5

1

5

1

b

a

ba

ba

XbXaYX

XbnaY

i

i

i

i

i

ii

i

i

i

i



214





iX iY

271

528

191

290

392

713

22

282

45

245

Solución:

iX iY

iX* iY

iX^2

271 713 193223 73441

528 22 11616 278784

191 282 53862 36481

290 45 13050 84100

392 245 96040 153664

1672 1307 367791 626470


028,1

32,605

6264701672367791

167251307

5

1

25

1

5

1

5

1

5

1

b

a

ba

ba

XbXaYX

XbnaY

i

i

i

i

i

ii

i

i

i

i



215





iX iY

372

465

326

867

398

250

198

265

498

867

709

901

Solución:

iX iY

iX* iY

iX^2

372 198 73656 138384

465 265 123225 216225

326 498 162348 106276

867 867 751689 751689

398 709 282182 158404

250 901 225250 62500

2678 3438 1618350 1433478


3624,0

25,411

143347826721618350

267863438

5

1

25

1

5

1

5

1

5

1

b

a

ba

ba

XbXaYX

XbnaY

i

i

i

i

i

ii

i

i

i

i



216





iX iY

28 98

29 65

54 20

39 19

17 37

65 79

11 8

Solución:

iX iY

iX* iY

iX^2

28 98 2744 784

29 65 1885 841

54 20 1080 2916

39 19 741 1521

17 37 629 289

65 79 5135 4225

11 8 88 121

243 326 12302 10697


436,0

45,31

1069724312302

2437326

5

1

25

1

5

1

5

1

5

1

b

a

ba

ba

XbXaYX

XbnaY

i

i

i

i

i

ii

i

i

i

i



217





iX iY

438 563

982 674

738 827

109 628

282 332

942 918

931 402

Solución:

iX iY

iX* iY

iX^2

438 563 246594 191844

982 674 661868 964324

738 827 610326 544644

109 628 68452 11881

282 332 93624 79524

942 918 864756 887364

931 402 374262 866761

4422 4344 2919882 3546342


233,0

139,473

354634244222919882

442274344

5

1

25

1

5

1

5

1

5

1

b

a

ba

ba

XbXaYX

XbnaY

i

i

i

i

i

ii

i

i

i

i



218





iX iY

2 7

4 9

3 2

6 1

8 7

5 5

0 2

Solución:

iX iY

iX* iY

iX^2

2 7 14 4

4 9 36 16

3 2 6 9

6 1 6 36

8 7 56 64

5 5 25 25

0 2 0 0

28 33 143 154


262,0

67,3

15428143

28733

5

1

25

1

5

1

5

1

5

1

b

a

ba

ba

XbXaYX

XbnaY

i

i

i

i

i

ii

i

i

i

i



219





iX iY

439 1117

1032 280

182 730

820 840

990 920

623 653

749 729

603 1029

Solución:

iX iY

iX* iY

iX^2

439 1117 490363 192721

1032 280 288960 1065024

182 730 132860 33124

820 840 688800 672400

990 920 910800 980100

623 653 406819 388129

749 729 546021 561001

603 1029 620487 363609

5438 6298 4085110 4256108


35,0

27,1025

425610854384085110

543886298

5

1

25

1

5

1

5

1

5

1

b

a

ba

ba

XbXaYX

XbnaY

i

i

i

i

i

ii

i

i

i

i


220






iX iY

3728 1920

9220 9028

8327 7291

7382 8819

7233 3721

4763 6381

6320 4932

2188 2281

Solución:

iX iY

iX* iY

iX^2

3728 1920 7157760 13897984

9220 9028 83238160 85008400

8327 7291 60712157 69338929

7382 8819 65101858 54493924

7233 3721 26913993 52316289

4763 6381 30392703 22686169

6320 4932 31170240 39942400

2188 2281 4990828 4787344

49161 44373 309677699 342471439



221



92,0

396,85

34247143949161309677699

49161844373

5

1

25

1

5

1

5

1

5

1

b

a

ba

ba

XbXaYX

XbnaY

i

i

i

i

i

ii

i

i

i

i




iX iY

564 7

75 93

291 191

828 933

64 82

773 209

919 829

222 732

Solución:

iX iY

iX* iY

iX^2

564 7 3948 318096

75 93 6975 5625

291 191 55581 84681

828 933 772524 685584

64 82 5248 4096

773 209 161557 597529

919 829 761851 844561

222 732 162504 49284

3736 3076 1930188 2589456


222




58,0

57,111

258945637361930188

373683076

5

1

25

1

5

1

5

1

5

1

b

a

ba

ba

XbXaYX

XbnaY

i

i

i

i

i

ii

i

i

i

i




iX iY

332 289

920 892

121 728

421 629

728 536

992 112

110 436

221 563

Solución:

iX iY

iX* iY

iX^2

332 289 95948 110224

920 892 820640 846400

121 728 88088 14641

421 629 264809 177241

728 536 390208 529984

992 112 111104 984064

110 436 47960 12100

221 563 162504 49284

3846 4354 1981261 2723938


223




13,0

75,605

272393838461981261

384684354

5

1

25

1

5

1

5

1

5

1

b

a

ba

ba

XbXaYX

XbnaY

i

i

i

i

i

ii

i

i

i

i


191. La variable y toma para cada unidad de tiempo, los siguientes valores: 20

30 40 50 60. Calcular el incremento medio de la variable Y por unidad de

tiempo.

Solución:

En 5 periodos consecutivos, la variable Y toma distintos valores que marcan




it iy iy it

2

it

10 20 200 100

11 30 330 121

12 40 480 144

13 50 650 169

14 60 840 196

60 200 2500 730


224



25

60

5

730

205

200

5

60

5

2500

2

2

11

2

111

2`

``

N

t

N

t

S

N

Y

N

t

N

Yt

S

n

ii

n

i

i

t

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

yt


102

20

2`

``

t

yt

S

Sb


16 21 26 31. Calcular el incremento medio de la variable Y por unidad de

tiempo.

Solución:





it iy iy it

2

it

5 11 55 25

6 16 96 36

7 21 147 49

8 26 208 64

9 31 279 81

35 105 785 255


225



25

35

5

255

105

105

5

35

5

785

2

2

11

2

111

2`

``

N

t

N

t

S

N

Y

N

t

N

Yt

S

n

ii

n

i

i

t

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

yt


52

10

2`

``

t

yt

S

Sb


31 37 43 49 55 61. Calcular el incremento medio de la variable Y por unidad de

tiempo.

Solución:





it iy iy it

2

it

20 25 500 400

21 31 651 441

22 37 814 484

23 43 989 529

24 49 1176 576

25 55 1375 625

26 61 1586 676

161 301 7091 3731


226



47

161

7

3731

247

301

7

161

7

7091

2

2

11

2

111

2`

``

N

t

N

t

S

N

Y

N

t

N

Yt

S

n

ii

n

i

i

t

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

yt


64

24

2`

``

t

yt

S

Sb


12 14 23 35 43 51. Calcular el incremento medio de la variable Y por unidad de

tiempo.

Solución:





it iy iy it

2

it

30 3 90 900

31 12 372 961

32 14 448 1024

33 23 759 1089

34 35 1190 1156

35 43 1505 1225

36 51 1836 1296

231 181 6200 7651


227



47

161

7

3731

43,327

181

7

231

7

6200

2

2

11

2

111

2`

``

N

t

N

t

S

N

Y

N

t

N

Yt

S

n

ii

n

i

i

t

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

yt


1075.84

43,32

2`

``

t

yt

S

Sb

195. La variable y toma para cada unidad de tiempo, los siguientes valores:

102 120 138 156 174 192 210 228. Calcular el incremento medio de la variable

Y por unidad de tiempo.

Solución:

En 8 periodos consecutivos, la variable Y toma distintas valores que marcan




it iy iy it

2

it 1 102 102 1

2 120 240 4

3 138 414 9

4 156 624 16

5 174 870 25

6 192 1152 36

7 210 1470 49

8 228 1824 64

36 1320 6696 204


228



25,58

36

8

204

5,948

1320

8

36

8

6696

2

2

11

2

111

2`

``

N

t

N

t

S

N

Y

N

t

N

Yt

S

n

ii

n

i

i

t

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

yt


1825,5

5,94

2`

``

t

yt

S

Sb




Solución:





it iy iy it

2

it

5 235 1175 25

6 271 1626 36

7 307 2149 49

8 343 2744 64

9 379 3411 81

10 415 4150 100

11 451 4961 121

12 487 5844 144

68 2888 26060 620


229



25,58

68

8

620

1898

2888

8

68

8

26060

2

2

11

2

111

2`

``

N

t

N

t

S

N

Y

N

t

N

Yt

S

n

ii

n

i

i

t

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

yt


3625,5

189

2`

``

t

yt

S

Sb




Solución:





it iy iy it

2

it

30 246 7380 900

31 313 9703 961

32 380 12160 1024

33 447 14751 1089

34 514 17476 1156

35 581 20335 1225

36 648 23328 1296

37 715 26455 1369

268 3844 131588 9020


230



25,58

268

8

9020

75,3518

3844

8

268

8

131588

2

2

11

2

111

2`

``

N

t

N

t

S

N

Y

N

t

N

Yt

S

n

ii

n

i

i

t

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

yt


6725,5

75,351

2`

``

t

yt

S

Sb


305 450 595 740 885 1030 1175 1320 1465. Calcular el incremento medio de la

variable Y por unidad de tiempo.

Solución:





it iy iy it

2

it 25 305 7625 625

26 450 11700 676

27 595 16065 729

28 740 20720 784

29 885 25665 841

30 1030 30900 900

31 1175 36425 961

32 1320 42240 1024

33 1465 48345 1089

261 7965 239685 7629


231



666666667,69

261

9

7629

6666667,9669

7965

9

261

9

239685

2

2

11

2

111

2`

``

N

t

N

t

S

N

Y

N

t

N

Yt

S

n

ii

n

i

i

t

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

yt


145666666667,6

6666667,966

2`

``

t

yt

S

Sb


425 771 1117 1463 1809 2155 2501 2847 3193. Calcular el incremento medio

de la variable Y por unidad de tiempo.

Solución:





it iy iy it

2

it

13 425 5525 169

14 771 10794 196

15 1117 16755 225

16 1463 23408 256

17 1809 30753 289

18 2155 38790 324

19 2501 47519 361

20 2847 56940 400

21 3193 67053 441

153 16281 297537 2661


232



666666667,69

153

9

2661

666667,23069

16281

9

153

9

297537

2

2

11

2

111

2`

``

N

t

N

t

S

N

Y

N

t

N

Yt

S

n

ii

n

i

i

t

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

yt


346666666667,6

666667,2306

2`

``

t

yt

S

Sb


2318 2777 3236 3695 4154 4613 5072 5531 5990. Calcular el incremento

medio de la variable Y por unidad de tiempo.

Solución:





it iy iy it

2

it 52 2318 120536 2704

53 2777 147181 2809

54 3236 174744 2916

55 3695 203225 3025

56 4154 232624 3136

57 4613 262941 3249

58 5072 294176 3364

59 5531 326329 3481

60 5990 359400 3600

504 37386 2121156 28284


233



66666667,69

504

9

28284

30609

37386

9

504

9

2121156

2

2

11

2

111

2`

``

N

t

N

t

S

N

Y

N

t

N

Yt

S

n

ii

n

i

i

t

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

yt


8458,99999966666667,6

3060

2`

``

t

yt

S

Sb

201. Sea la tabla:

Y

X [0-10[ [10-20[ [20-30]

15-25 3 0 11

25-35 0 1 5

35-45 12 23 0

Determine las medias aritmética, geométrica y armónica de "Y", y 2

yS

Solución:

La distribución marginal de Y es:

Y [0-10[ [10-20[ [20-30]

Frec. Abs. 15 24 16

Tomamos la marca de clase de cada intervalo como representativa


234



182,1555

835

162415

16252415155

Y

8975,122515555 162415 G

4962,1024,5

55

25

16

15

24

5

15

162415= H

33,56182,1555

15775182,15

162415

16252415155 22222

2

yS

202. Sea la tabla:

Y

X [0-30[ [30-60[ [60-90]

5-10 4 0 0

15-20 9 8 6

20-25 19 1 12

Determine las medias aritmética, geométrica y armónica de "Y", y 2

yS

Solución:

La distribución marginal de Y es:

Y [0-30[ [30-60[ [60-90]

Frec. Abs. 32 9 18

Tomamos la marca de clase de cada intervalo como representativa


235



88,3759

2235

18932

18759453215

Y

98,2875451559 18932 G

9275,22573,2

59

75

18

45

9

15

32

18932= H

139,71288,3759

12667588,37

18932

18759453215 22222

2

yS

203. La tabla muestra la estatura y el peso de 10 adultos:

Estatura

X (cm) 149 156 149 163 188 157 163 160 170 180

Peso Y 45 56 48 67 88 54 63 59 71 82

Encontrar los coeficientes del modelo de regresión lineal.

Solución:

xaybxV

yxadondebxay

)(

),cov(

X 163,6

Y 63,3

YXYXn

yxn

i

ii

1

1),cov(

n

i

i XXn

XV1

21)(

),cov( yx 10514,1 – 10355,88


236



),cov( yx 158,22

6,144610

1)( XV = 144,66

1,0937466,144

22,158a

b = 63,3 – 1,09374 6,163 = -115,636


Estatura

X (cm) 165 148 167 178 176 163 172 171 160 152

Peso Y 65 48 67 78 76 63 72 71 60 52


Solución:

xaybxV

yxadondebxay

)(

),cov(

X 165,2

Y 65,2

YXYXn

yxn

i

ii

1

1),cov(


237



n

i

i XXn

XV1

21)(

),cov( yx 10857,6 – 10771,04

),cov( yx 86,56

6,86510

1)( XV = 86,56

56,86

56,86a 1

b = 65,2 – 1 2,165 = -100


Estatura

X (cm) 147 154 156 173 163 166 152 159 160 171

Peso Y 45 50 57 72 68 70 50 76 68 65


Solución:

xaybxV

yxadondebxay

)(

),cov(

X 160,1


238



Y 62,1

YXYXn

yxn

i

ii

1

1),cov(

n

i

i XXn

XV1

21)(

),cov( yx 10004,6 – 9942,21

),cov( yx 62,39

9,62010

1)( XV = 62,09

09,62

39,62a 1,0048

b = 62,1 – 1,0048 1,160 = -98,76848



Solución:

xaybxV

yxadondebxay

)(

),cov(

Estatura

X (cm)

153 15

4

155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

Peso Y 54 52 60 56 59 62 66 72 66 67 54 50 56 71 82


239



X 160

Y 61,8

YXYXn

yxn

i

ii

1

1),cov(

n

i

i XXn

XV1

21)(

),cov( yx 9905,4 – 9888

),cov( yx 17,4

28015

1)( XV = 18,667

667,18

4,17a 0,932

b = 61,8 – 0,932 160 = -87,32



Solución:

xaybxV

yxadondebxay

)(

),cov(

Estatura

X (cm) 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181

Peso Y 67 69 74 76 62 72 63 64 74 77 79 89 98 86 110


240



X 174

Y 77,3333

YXYXn

yxn

i

ii

1

1),cov(

n

i

i XXn

XV1

21)(

),cov( yx 13499,13333 – 13450,2

),cov( yx 48,93333

28015

1)( XV =18,667

667,18

93333,48a 2,621

b = 77,3333 – 2,621 174 = -378,7207

208. La tabla muestra las edades y la presión sanguínea de 10 mujeres adultas:

Edad X 26 34 56 78 86 42 44 36 35 76

Presión

Sanguínea

Y

98 120 121 156 160 76 87 113 126 187


Solución:

xaybxV

yxadondebxay

)(

),cov(


241



X 51,3

Y 124,4

YXYXn

yxn

i

ii

1

1),cov(

n

i

i XXn

XV1

21)(

),cov( yx 6904,2 – 6381,72

),cov( yx 522,48

1,412810

1)( XV = 412,81

81,412

48,522a 1,265667

b = 124,4 – 1,265667 3,51 = 59,4712829

209. La tabla muestra las edades y la presión sanguínea de 10 hombres

adultos:

Edad X 23 72 71 43 48 69 32 64 69 57

Presión

Sanguínea

Y

136 176 127 98 87 162 159 82 73 167



242



Solución:

xaybxV

yxadondebxay

)(

),cov(

X 54,8

Y 126,7

YXYXn

yxn

i

ii

1

1),cov(

n

i

i XXn

XV1

21)(

),cov( yx 6927,7 – 6943,16

),cov( yx -15,46

6,276710

1)( XV = 276,76

76,276

46,15a -0,05586

b = 126,7 +0,05586 8,54 = 129,761128

210. La tabla muestra las edades y la presión sanguínea de 10 niños:

Edad X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Presión

Sanguínea

Y

78 86 91 82 96 79 87 94 92 98



243



Solución:

xaybxV

yxadondebxay

)(

),cov(

X 6,5

Y 88,3

YXYXn

yxn

i

ii

1

1),cov(

n

i

i XXn

XV1

21)(

),cov( yx 585,7 – 573,95

),cov( yx 11,75

5,8210

1)( XV = 8,25

25,8

75,11a 1,4242

b = 88,3 – 1,4242 5,6 = 79,0427

211. La tabla muestra las edades y la presión sanguínea de 15 mujeres adultas:


Edad X 27 38 59 47 39 67 84 32 71 36 49 53 58 64 42

Presión

sanguínea

Y

132 165 143 89 93 111 123 97 72 136 128 103 99 92 80


244



Solución:

xaybxV

yxadondebxay

)(

),cov(

X 51,0666667

Y 110,866667

YXYXn

yxn

i

ii

1

1),cov(

n

i

i XXn

XV1

21)(

),cov( yx 5578,866667 – 5661,591132

),cov( yx -82,72446533

93333,360615

1)( XV = 240,462222

462222,240

72446533,82a -0,34402271

b = 110,866667– 51,0666667 34402271,0 = 128,4347601

212. La tabla muestra las edades y la presión sanguínea de 15 hombres

adultos:


Edad X 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

Presión

sanguínea

Y

165 143 87 86 90 109 114 134 152 117 128 142 140 152 76


245



Solución:

xaybxV

yxadondebxay

)(

),cov(

X 37

Y 122,3333

YXYXn

yxn

i

ii

1

1),cov(

n

i

i XXn

XV1

21)(

),cov( yx 4532,2– 4526,3321

),cov( yx 5,8679

28015

1)( XV

= 18,6667

6667,18

8679,5a 0,3144

b = 122,3333– 37 3144,0 = 110,7005

213. Utilizando los datos dados en el ejercicio 204, calcular el coeficiente de

correlación.

Solución:

r = yX

XY

SS

S


246



X = 163,5 Y = 63,3

13,391,3143

5,175

9

1,1760

9

5,1446

95,1579

r

13,3r


correlación.

Solución:

r = yX

XY

SS

S

X Y Xi - X Yi - y (Xi - X )² (Yi - Y )² (Xi - X ) (Yi - Y )

149 45 -14,5 -18,3 210,25 334,89 265,35

156 56 -7,5 -7,3 56,25 53,29 54,75

149 48 -14,5 -15,3 210,25 234,09 221,85

163 67 -0,5 3,7 0,25 13,69 -1,85

188 88 24,5 24,7 600,25 610,09 605,15

157 54 -6,5 -9,3 42,25 86,49 60,45

163 63 -0,5 -0,3 0,25 0,09 0,15

160 59 -3,5 -4,3 12,25 18,49 15,05

170 71 6,5 7,7 42,25 59,29 50,05

180 82 16,5 18,7 272,25 349,69 308,55

TOTAL 1446,5 1760,1 1579,5


247



X = 165,2 Y = 65,2

000023,1165,9250

18,96

9

6,865

9

6,865

96,865

r

000023,1r


correlación.

Solución:

r = yX

XY

SS

S


165 65 -0,2 -0,2 0,04 0,04 0,04

148 48 -17,2 -17,2 295,84 295,84 295,84

167 67 1,8 1,8 3,24 3,24 3,24

178 78 12,8 12,8 163,84 163,84 163,84

176 76 10,8 10,8 116,64 116,64 116,64

163 63 -2,2 -2,2 4,84 4,84 4,84

172 72 6,8 6,8 46,24 46,24 46,24

171 71 5,8 5,8 33,64 33,64 33,64

160 60 -5,2 -5,2 27,04 27,04 27,04

152 52 -13,2 -13,2 174,24 174,24 174,24

TOTAL 865,6 865,6 865,6


248



X = 160,1 Y = 62,1

53,7728,7994

32,69

9

9,1042

9

9,620

99,623

r

53,77r


147 45 -13,1 -17,1 171,61 292,41 224,01

154 50 -6,1 -12,1 37,21 146,41 73,81

156 57 -4,1 -5,1 16,81 26,01 20,91

173 72 12,9 9,9 166,41 98,01 127,71

163 68 2,9 5,9 8,41 34,81 17,11

166 70 5,9 7,9 34,81 62,41 46,61

152 50 -8,1 -12,1 65,61 146,41 98,01

159 76 -1,1 13,9 1,21 193,21 -15,29

160 68 -0,1 5,9 0,01 34,81 -0,59

171 65 10,9 2,9 118,81 8,41 31,61

TOTAL 620,9 1042,9 623,9


249




correlación.

Solución:

r = yX

XY

SS

S

X = 160 Y = 61,8

47,043,1563

643,18

14

4,1094

14

280

14261

r


153 54 -7 -7,8 49 60,84 54,6

154 52 -6 -9,8 36 96,04 58,8

155 60 -5 -1,8 25 3,24 9

156 56 -4 -5,8 16 33,64 23,2

157 59 -3 -2,8 9 7,84 8,4

158 62 -2 0,2 4 0,04 -0,4

159 66 -1 4,2 1 17,64 -4,2

160 72 0 10,2 0 104,04 0

161 66 1 4,2 1 17,64 4,2

162 67 2 5,2 4 27,04 10,4

163 54 3 -7,8 9 60,84 -23,4

164 50 4 -11,8 16 139,24 -47,2

165 56 5 -5,8 25 33,64 -29

166 71 6 9,2 36 84,64 55,2

167 82 7 20,2 49 408,04 141,4

TOTAL 280 1094,4 261


250



47,0r


correlación.

Solución:

r = yX

XY

SS

S

X = 174 Y = 77,333


167 67 -7 -10,33 49 106,7089 72,31

168 69 -6 -8,33 36 69,3889 49,98

169 74 -5 -3,33 25 11,0889 16,65

170 76 -4 -1,33 16 1,7689 5,32

171 62 -3 -15,33 9 235,0089 45,99

172 72 -2 -5,33 4 28,4089 10,66

173 63 -1 -14,33 1 205,3489 14,33

174 64 0 -13,33 0 177,6889 0

175 74 1 -3,33 1 11,0889 -3,33

176 77 2 -0,33 4 0,1089 -0,66

177 79 3 1,67 9 2,7889 5,01

178 89 4 11,67 16 136,1889 46,68

179 98 5 20,67 25 427,2489 103,35

180 86 6 8,67 36 75,1689 52,02

181 110 7 32,67 49 1067,329 228,69

TOTAL 280 2555,334 647


251



765,048,3650

21,46

14

334,2555

14

280

14647

r

765,0r


correlación.

Solución:

r = yX

XY

SS

S

X = 51,3 Y = 124,4


26 98 -25,3 -26,4 640,09 696,96 667,92

34 120 -17,3 -4,4 299,29 19,36 76,12

56 121 4,7 -3,4 22,09 11,56 -15,98

78 156 26,7 31,6 712,89 998,56 843,72

86 160 34,7 35,6 1204,09 1267,36 1235,32

42 76 -9,3 -48,4 86,49 2342,56 450,12

44 87 -7,3 -37,4 53,29 1398,76 273,02

36 113 -15,3 -11,4 234,09 129,96 174,42

35 126 -16,3 1,6 265,69 2,56 -26,08

76 187 24,7 62,6 610,09 3918,76 1546,22

TOTAL 4128,1 10786,4 5224,8


252



783,02202,549720

35,580

9

4,10786

9

1,4128

98,5224

r

783,0r


correlación.

Solución:

r = yX

XY

SS

S

X = 54,8 Y = 126,7


23 136 -31,8 9,3 1011,24 86,49 -295,74

72 176 17,2 49,3 295,84 2430,49 847,96

71 127 16,2 0,3 262,44 0,09 4,86

43 98 -11,8 -28,7 139,24 823,69 338,66

48 87 -6,8 -39,7 46,24 1576,09 269,96

69 162 14,2 35,3 201,64 1246,09 501,26

32 159 -22,8 32,3 519,84 1043,29 -736,44

64 82 9,2 -44,7 84,64 1998,09 -411,24

69 73 14,2 -53,7 201,64 2883,69 -762,54

57 167 2,2 40,3 4,84 1624,09 88,66

TOTAL 2767,6 13712,1 -154,6


253



025,06785,468513

178,17

9

1,13712

9

6,2767

96,154

r

025,0r


correlación.

Solución:

r = yX

XY

SS

S

X = 6,5 Y = 88,3


2 78 -4,5 -10,3 20,25 106,09 46,35

3 86 -3,5 -2,3 12,25 5,29 8,05

4 91 -2,5 2,7 6,25 7,29 -6,75

5 82 -1,5 -6,3 2,25 39,69 9,45

6 96 -0,5 7,7 0,25 59,29 -3,85

7 79 0,5 -9,3 0,25 86,49 -4,65

8 87 1,5 -1,3 2,25 1,69 -1,95

9 94 2,5 5,7 6,25 32,49 14,25

10 92 3,5 3,7 12,25 13,69 12,95

11 98 4,5 9,7 20,25 94,09 43,65

TOTAL 82,5 446,1 117,5


254



613,0361,454

056,13

9

1,446

9

5,82

95,117

r

613,0r


correlación.

Solución:

r = yX

XY

SS

S


27 132 -24,06667 21,133333 579,2044 446,6178 -508,609

38 165 -13,06667 54,133333 170,7378 2930,418 -707,342

59 143 7,9333333 32,133333 62,93778 1032,551 254,9244

47 89 -4,066667 -21,866667 16,53778 478,1511 88,92445

39 93 -12,06667 -17,866667 145,6044 319,2178 215,5911

67 111 15,933333 0,133333 253,8711 0,017778 2,124439

84 123 32,933333 12,133333 1084,604 147,2178 399,5911

32 97 -19,06667 -13,866667 363,5378 192,2845 264,3911

71 72 19,933333 -38,866667 397,3378 1510,618 -774,742

36 136 -15,06667 25,133333 227,0044 631,6844 -378,676

49 128 -2,066667 17,133333 4,271111 293,5511 -35,4089

53 103 1,9333333 -7,866667 3,737778 61,88445 -15,2089

58 99 6,9333333 -11,866667 48,07111 140,8178 -82,2756

64 92 12,933333 -18,866667 167,2711 355,9511 -244,009

42 80 -9,066667 -30,866667 82,20445 952,7511 279,8578

TOTAL 3606,933 9493,733 -1240,87


255



X = 51,0666667 Y = 110,866667

212,05043,174710

634,88

14

733,9493

14

933,3606

1487,1240

r

212,0r


correlación.

Solución:


30 165 -7 42,666667 49 1820,444 -298,667

31 143 -6 20,666667 36 427,1111 -124

32 87 -5 -35,333333 25 1248,444 176,6667

33 86 -4 -36,333333 16 1320,111 145,3333

34 90 -3 -32,333333 9 1045,444 97

35 109 -2 -13,333333 4 177,7778 26,66667

36 114 -1 -8,333333 1 69,44444 8,333333

37 134 0 11,666667 0 136,1111 0

38 152 1 29,666667 1 880,1111 29,66667

39 117 2 -5,333333 4 28,44444 -10,6667

40 128 3 5,666667 9 32,11111 17

41 142 4 19,666667 16 386,7778 78,66667

42 140 5 17,666667 25 312,1111 88,33334

43 152 6 29,666667 36 880,1111 178

44 76 7 -46,333333 49 2146,778 -324,333

TOTAL 280 10911,33 88


256



r = yX

XY

SS

S

X = 37 Y = 122,333333

05,061429,15587

2857,6

14

33,10911

14

280

1488

r

05,0r

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