UNIVERSIDAD ALEJANDRO DE HUMBOLDT Curso Introductorio Universitario Materia: Matemtica Bsica Profesora Minerva Bueno

INTRODUCCIN A LAS

Unidad IV Marzo 2012

INTRODUCCIN A LAS CONICAS.OBJETIVO: Trazar la grfica de la circunferencia y de la parbola vertical, a partir de la ecuacin cannica y general de ambas curvas. En esta unidad aprenders a: 1.- Definir y clasificar las cnicas. 2.- Identificar la ecuacin cannica y general de la circunferencia y la parbola (vertical). 3.- Calcular los elementos requeridos para trazar su grfica: - La coordenada del centro y la longitud del radio, para la circunferencia. - El vrtice, foco, eje de simetra, directriz, corte de la curva con los ejes cartesianos, para la parbola 4.- Representar grficamente la circunferencia y la parbola (vertical). 5.- Utilizar recursos tecnolgicos y tradicionales, para graficar dichas curvas.

A continuacin se presentan los constructos tericos bsicos que le permitirn desarrollar la parte prctica, sin embargo, si tienen dudas con respecto a lo planteado en esta gua, tienen Internet y los libros de consulta como un recurso aliado.

GENERALIDADES SOBRE LAS CNICAS La superficie cnica de revolucin es una superficie engendrada por una recta g que gira alrededor de otra recta e, con la cual se corta en un punto V. La recta g se llama generatriz, y la recta e, eje de la superficie cnica. El punto V es el vrtice. Por otro lado, se denomina seccin cnica a la curva que se forma por la interseccin de un cono con un plano que no pasa por su vrtice. Existen dos enfoques en donde se enmarca la definicin de cnicas: Aquel que involucra a los slidos geomtricos, donde una cnica es la seccin obtenida al cortar un cono por un plano.

Esto se puede visualizar mejor en:http://www.youtube.com/watch?v=azKyyFqnG-Q&feature=related

-

Y el correspondiente a la geometra analtica donde una cnica es el lugar geomtrico constituido por una serie de elementos que verifican determinadas relaciones de distancias. Elipse Lugar geomtrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados FOCOS es constante. Parbola Lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado FOCO y de una recta llamada DIRECTRIZ. Hiprbola Lugar geomtrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados FOCOS, es constante y menor que la distancia entre los FOCOS.

Circunferencia Lugar geomtrico de todos los puntos que equidistan de otro punto fijo llamado CENTRO.

SECCIONES CNICAS

ENFOQUES

CLASIFICACIN

REPRESENTACIN CIONES

DESDE LOS SLIDOS GEOMTRICOS:

CIRCUNFERENCIA CIRCUNFERENCIA

La cnica como seccin obtenida al cortar un cono por un planoELIPSE CIRCUNFERENCIA DESDE LA GEOMETRA ANALTICA:

La cnica como el lugar geomtrico constituido por una serie de elementos que verifican determinadas relaciones de distancias.

PARBOLA CIRCUNFERENCIA

HIPRBOLA CIRCUNFERENCIA

Para la asignatura Matemtica Bsica, solamente vamos a abarcar lo previsto en el contenido programtico de la materia: Trabajar con la ecuacin cannica y general de la Circunferencia y la Parbola, para graficarlas.

CIRCUNFERENCIA.Se denomina circunferencia al lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia que hay un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro. Esto aparece claramente explicado en el video titulado Concepto de circunferencia y sus elementos (http://www.youtube.com/watch?v=jP9j4o396ck&feature=relmfu).

a. Ecuacin ordinaria o cannica de la circunferencia.Cuando una circunferencia tiene su centro en el punto (x , y) del plano, distinto de (0,0), y su radio es , su ecuacin cannica es:

( x h )2 + ( y k )2 = r2Esta expresin puede observar alguna varianza SOLO con relacin al signo que se encuentra dentro de los parntesis, y sigue representando una circunferencia:

( x + h )2 + ( y + k )2 = r2 ( x h )2 + ( y + k )2 = r2 ( x + h )2 + ( y k )2 = r2Para graficar una circunferencia, dada su ecuacin cannica, se procede como sigue: 1.- Determinar: a. - el punto coordenado correspondiente al centro (x,y) b. - la longitud del radio r. 1.a.- Para el clculo del centro: Se toma las relaciones que estn dentro de los parntesis de la ecuacin, se igualan a cero y se despejan los valores de x y y. xh=0 yk=0 x=h Centro = (x,y) = (h, k) y=k

1.b.- Para el clculo del radio: Se toma el valor que se encuentra en el miembro derecho de la ecuacin, y se le saca la raz cuadrada.

EJEMPLO: Dada la ecuacin: ( x 1 ) + ( y + 6 ) = 16 . Grafique la cnica que corresponda. Calculo del centro: x1=0 x=1 Centro = (x,y) = (1, -6) Calculo del radio: Radio = =42 2

y+6=0 y=6 Corresponde a la circunferencia con centro en el punto (1, -6) y de radio igual a 4, como se observa en la siguiente grfica. Eje Y1

Eje X

Para hacer los grficos debemos usar regla o escuadra graduada y comps. -6

r=4 (1, -6)

b. Ecuacin general de la circunferencia.En algunas oportunidades, la ecuacin de la circunferencia no est dada en su forma cannica, sino en la llamada forma general. Esta es la forma que adquiere la ecuacin cannica cuando se desarrollan los cuadrados y se hace uno de los miembros de la ecuacin igual a cero. Por ejemplo, la ecuacin:

es equivalente a:

Esta es la forma general de la ecuacin (1). Mientras que al slo ver la ecuacin (1) es posible saber que su centro es el punto (1,5) y su radio es 5, si se presenta slo la ecuacin general, no es tan inmediato el detectar su centro y su radio. En tal sentido, la ecuacin general de la circunferencia es la siguiente:

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

Donde: D, E, F son nmeros reales.

Asimismo, al igual que en la forma cannica, la ecuacin general presenta varianza SOLO en los signos que preceden a D, E, F; manteniendo su configuracin de circunferencia.

x2 + y2 - Dx - Ey - F = 0 x2 + y2 - Dx - Ey + F = 0 x2 + y2 - Dx + Ey F = 0

x2 + y2 + Dx - Ey F = 0 x2 + y2 + Dx + Ey - F = 0 x2 + y2 + Dx - Ey - F = 0

Para poderlas graficar, partiendo de este clase de ecuacin, se necesita determinar la coordenada correspondiente al centro (h, k) y el radio r. En tal sentido, se recurren a las siguientes frmulas:

h=EJEMPLO:

k=

r=

Dada la ecuacin: x + y - 2x - 10y + 1 = 0 . Grafique la cnica que corresponda. 1.- Identificar D , E, F en la ecuacin. Para la ecuacin dada: D= - 2 , E= - 10

2

2

,

F= 1

2.- Aplicar las frmulas anteriores, para determinar h, k y r

h=

;

k=

-->

Centro: (1,5)

r=3.- En base a los valores del centro y del radio, se traza la grfica. Centro = (h, k) = (1, 5) Radio = 5

Eje Y

5

r= 5 (1,5)

Eje X1

Para cotejar la exactitud de la respuesta obtenida de forma manual, te dejo este link, que automticamente realiza los clculos:http://www.vadenumeros.es/actividades/centro-y-radio-circunferencia.htm Para ms detalles, tenemos en vdeo la explicacin acerca de cmo determinar el centro y radio de una circunferencia, bien sea a partir de la ecuacin ordinaria o canonca, como de la ecuacin general: http://www.youtube.com/watch?v=WJYdPmbMpPY&feature=relmfu

Tambin pueden usar el software Geogebra (link de descarga: http://geogebra.softonic.com/) pararatificar la exactitud del trazado realizado de la circunferencia. Geogebra adems traza los grficos de las dems cnicas (elipse, parbola e hiprbola). Para que tengan nociones del fcil manejo de Geogebra, les dejo este video tutorial de cmo aplicar este sencillo programa: http://www.youtube.com/watch?v=9kaIhpM5Rc4&feature=related

PARBOLAUna parbola es el conjunto P (x, y) de puntos en el plano que equidistan de un punto fijo F (llamado foco de la parbola) y de una recta fija L (llamada la directriz de la parbola) que no contiene a F (figura 1).y

Figura 1.

x

El punto medio entre el foco y la directriz se llama vrtice, la recta que pasa por el foco y por el vrtice se llama eje de la parbola. Se puede observar en la figura 1 que una parbola es simtrica respecto a su eje. La distancia entre el foco y la directriz de una parbola recibe el nombre de parmetro de la parbola (suele denotarse por p). Para graficar una parbola resulta indispensable determinar: - Las coordenadas de su vrtice y su foco, y - Las ecuaciones de la recta directriz y del eje de simetra. - El Lado Recto. Elementos de la parbola (ver figura 1) Vrtice (V) Es el punto coordenado en el cual la parbola corta el eje de simetra. Representa el punto ms alto o ms bajo de la curva dependiendo de la concavidad. Si la parbola es cncava hacia arriba, tenemos que el vrtice corresponde al punto ms bajo y si, por el contrario, es cncava hacia abajo es el punto ms alto de la curva. El parmetro es el elemento que define la concavidad de la curva.

-

Parmetro (p) Indica la concavidad de la parbola. Es un valor, dentro de los nmeros reales. Si es un valor positivo la curva es cncava hacia arriba, si, en cambio, es un valor negativo la curva es cncava hacia abajo. Tambin constituye la distancia entre el vrtice y la directriz, que debe coincidir con la distancia entre el vrtice y el foco. Foco (F) Es el punto coordenado que esta siempre proyectado dentro de las dos ramas de la parbola, y asentado sobre el eje de simetra. Esta distanciado del vrtice en una longitud igual al valor del parmetro. Eje de Simetra o Eje Focal (eje) Es una recta paralela a las dos ramas de la parbola, y se sita entre las mismas. En la parbola horizontal es una recta paralela al eje x que corta al eje Y en la igualdad calculada, y en la parbola vertical es una recta paralela al eje y que corta al eje X en la igualdad calculada.

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-

-

Directriz (L) Es una recta ubicada por fuera de las ramas de la parbola (nunca las llega a cortar), perpendicular al eje de simetra. Mantiene una distancia con el vrtice igual al valor del parmetro p. En la parbola horizontal es una recta paralela al eje y que corta al eje X en la igualdad calculada, y en la parbola vertical es una recta paralela al eje x que corta al eje Y en la igualdad calculada.

-

Lado Recto (LR) Es un segmento de recta paralelo a la directriz, perpendicular al eje de simetra, que pasa por el foco, y sus extremos son los puntos de la parbola A y B.

Para mayores detalles, ver: http://www.youtube.com/watch?v=dl0Gmtx6U-E&feature=related Nota: Antes de iniciar cualquier desarrollo matemtico, debemos observar la estructura de la ecuacin que nos den para graficar y comparar con las formas genricas, para determinar a cual se ajusta (a la parbola horizontal y o la vertical). Y a partir de all, empezar a determinar los elementos o valores que necesitamos para trazar la grfica. Entonces, para tanto para la parbola horizontal como vertical tenemos sus ecuaciones cannicas y generales, las cuales mostramos en la siguiente tabla para su identificacin inicial: Ecuaciones Patrones Cannica General Parbola Horizontal ( y k )2 = 4 p ( x h ) C y2 + D x + E y + F = 0 Parbola Vertical ( x h )2 = 4 p ( y k ) A x2 + D x + E y + F = 0

PARABOLA DE EJE DE SIMETRIA PARALELO AL EJE Y (PARABOLA VERTICAL)

Ecuaciones y Frmulas representativas de la Parbola Vertical Ecuacin cannica: p es positiva p es negativa Vrtice: Foco: Ecuacin de la directriz: Ecuacin del eje de simetra: Lado Recto: ( x h )2 = 4 p ( y k ) la parbola se abre hacia arriba la parbola se abre hacia abajo V(h,k) F(h,k + p) y = k p x = h LR= 4.p Ax2 + D x + E y + F = 0 (AE 0)

Ecuacin general:

h =

D 2A

k =

D2 4A F 4A E

p

=

E 4A

Ejemplo: Trazar la grfica y hallar la ecuacin cannica de la parbola cuya ecuacin es: x 2 + 6x - 8y + 1 = 0 Si observamos la ecuacin antes dada y convalidamos con la ecuacin general de la parbola vertical, vemos que son correspondientes. La ecuacin cannica es: ( x h ) 2 = 4 p ( y k ) . Para ajustarla a la ecuacin cannica que nos piden calcular, a partir de la ecuacin general debemos entonces calcular h, k, p. Si la ecuacin general patrn es: y la parbola a graficar es:A x 2 + D x + E y + F = 0, x2 + 6 x

-

8y + 1 = 0

Haciendo la comparativa entre la ecuacin general patrn y la ecuacin del ejercicio que nos dan para resolver podemos deducir que: A= 1 , D= 6 , E= - 8 , F= 1

Estos valores lo ingresamos en las frmulas correspondientes para el clculo de h, k, p de la parbola vertical.D 6 3 2A 2(1)D2 4AF (6) 2 4(1)(1) 36 4 32 1 4AE 4(1)( 8) 32 32

h =

k =

p

=

E (8) 2 4A 4(1)

Sustituyendo lo antes obtenido, en las relaciones matemticas correspondientes a la parbola vertical, tenemos: Ecuacin cannica patrn: Ecuacin cannica pedida: ( x h )2 = 4 p ( y k ) ( x (-3) ) 2 = 4 (2) ( y (-1)) ( x + 3 )2 = 8 ( y + 1 )

As obtenemos la ecuacin cannica de x 2 + 6 x - 8 y + 1 = 0

Continuamos con las deducciones y clculos para determinar los elementos necesarios para poder trazar la grafica de la parbola que nos piden: p es positiva Vrtice: Foco: la parbola se abre hacia arriba V = ( h , k ) = (-3 , -1 ) F = (-3 , -1 + 2 ) = (-3 , 1 )

Ecuacin de la directriz:

y = k p y = 1 2 y = 3 x = h x = 3 LR= 4.p LR= 4.2 LR= 8

Ecuacin del eje de simetra:

Lado Recto:

Con los resultados obtenidos procedemos a graficar.

Procedimiento para graficar una parbola vertical: 1.- Trazamos en el plano cartesiano las rectas correspondientes al eje y la directriz. Como se dijo en la teora antes expuesta: La directriz se grafica paralela al eje x, trazando una recta horizontal que corta en este caso al eje y en 3. El eje se grafica paralelo al eje y, trazando una recta vertical que corta en este caso al eje x en 3.

2.- Proyectamos los puntos coordenados correspondientes al vrtice y la directriz. Cabe destacar que ambos puntos quedan asentados siempre sobre el eje de simetra o focal. 3.- Luego trazamos una recta perpendicular al eje y que pasa por el foco, en este caso una lnea horizontal, que marca una distancia desde el foco hacia su izquierda y a su derecha de acuerdo al valor del lado recto, que segn los clculos result 8 en total, es decir 4 espacios a cada lado del eje, quedando as puntualizado A y B respectivamente. 4.- La curva parte desde el vrtice, proyectando las ramas de la parbola, segn la concavidad establecida por el parmetro p. En este caso, es cncava hacia arriba, aperturando la curva de acuerdo a los puntos A y B que se proyectan segn el lado recto.

De los tres pasos anteriores resulta la grfica que se muestra a continuacin:Eje focal Eje y Para hacer los grficos debemos usar regla o escuadra graduada.

LR/2 = 4 A F -3 V

LR/2 = 4 1 B p=2 p=2 Directriz Eje x

-1 -3

Recuerden que pueden usar Geogebra para confirmar la exactitud de los grficos realizados.