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Ing. Enrique M. Avendaño Delgado eavendano@hotmail.com

Investigación de Operaciones II

Ing. Enrique M. Avendaño Delgado

eavendano@hotmail.com

Unidad 1

PROGRAMACION DINÁMICA

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Ing. Enrique Avendaño Delgado

PDP

La Programación Dinámica , se utiliza para resolver problemas en los que el costo del período actual o el estado del siguiente período son aleatorios. A estos problemas se les conoce como problemas de Programación Dinámica Probabilística (PDP). El objetivo por lo general es minimizar el costo esperado obtenido en un determinado horizonte de tiempo.

Ing. Enrique Avendaño Delgado

Ejemplo 1:

Por un precio de un $1/galón, la cadena Safeco Supermarker compró 6 galones de leche de una lechería local. Cada galón de leche se vende en las tres tiendas de la cadena en $2/galón. La lechería debe comprar de nuevo en 0.50/galón la leche que se queda al final del día. Infortunadamente para Safeco, la demanda para cada una de las tres tiendas de la cadena es incierta. Los datos pasados indican que la demanda diaria en cada tienda es como se ilustra en la tabla. Safeco quiere asignar los 6 galones de leche a las tres tiendas para maximizar la ganancia diaria neta esperada (ingresos menos costos) obtenida de la leche. Utilice la PDP para determinar cómo Safeco debe asignar los 6 galones de leche entre las tres tiendas.

Demanda

diaria

(galones)

Probabilidad

Tienda 1 1 0.60

2 0.00

3 0.40

Tienda 2 1 0.50

2 0.10

3 0.40

Tienda 3 1 0.40

2 0.30

3 0.30

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Ing. Enrique Avendaño Delgado

Ejemplo 1: Solución:

Con excepción del hecho de que la demanda es incierta. Los costos de diarios de Safeco son siempre $ 6.00, concentremos la atención en el problema de distribuir la leche para maximizar el ingreso diario esperado obtenido de los 6 galones. Variables: rt(gt) : ingreso esperado obtenido de gt galones asignados a la tienda t ft(x) : ingreso esperado máximo obtenido de x galones asignados a las tiendas t, t+1, …, 3.

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Ejemplo 1: Solución:

Para la tienda 3: El ingreso esperado para obtenido de asignar x galones de leche a la tienda 3, se ve que :

f3(x) = r3(x) Para t = 1 y 2 podría escribirse: Donde gt es: (0, 1, …,x). De la ecuación que, debido a que para cualquier elección de gt (el número de galones asignados a la tienda t), el ingreso esperado obtenido de la tienda t, t+1,…,3 será la suma del ingreso esperado obtenido de la tienda t si gt galones se asignan a la tienda t más el ingreso máximo esperado que se puede obtener de las tienda t+1, t+2,…,3 cuando se asignan x-gt galones a estas tiendas. Para calcular la asignación óptima de leche a las tiendas, se empieza por calcular f3(0), f3(1),…,f3(6). Luego, se utiliza la ecuación para calcular f2(0), f2(1),…, f2(6). Por último, se determina f1(6).

1maxt

t t t t tg

f x r g f x g

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Ejemplo 2: Suponga que $4 millones están disponibles para invertir en tres proyectos. La distribución de probabilidades del valor presente neto obtenido de cada proyecto depende de cuánto se invierta en cada proyecto. Sea I, la variable aleatoria que denota el valor presente neto obtenido de cada proyecto depende de cuánto se invierta en cada proyecto.

Inversión

(Millones)

Probabilidad

Proy 1 $ 1 P(I1 = 2) = 0.6 P(I1 = 4) = 0.3 P(I1 = 5) = 0.1

$ 2 P(I1 = 4) = 0.5 P(I1 = 6) = 0.3 P(I1 = 8) = 0.2

$ 3 P(I1 = 6) = 0.4 P(I1 = 7) = 0.5 P(I1 = 10) = 0.1

$ 4 P(I1 = 7) = 0.2 P(I1 = 9) = 0.4 P(I1 = 10) = 0.4

Proy 2 $ 1 P(I2 = 1) = 0.5 P(I2 = 2) = 0.4 P(I2 = 4) = 0.1

$ 2 P(I2 = 3) = 0.4 P(I2 = 5) = 0.4 P(I2 = 6) = 0.2

$ 3 P(I2 = 4) = 0.3 P(I2 = 6) = 0.3 P(I2 = 8) = 0.4

$ 4 P(I2 = 3) = 0.4 P(I2 = 8) = 0.3 P(I2 = 9) = 0.3

Proy 3 $ 1 P(I3 = 0) = 0.2 P(I3 = 4) = 0.6 P(I3 = 5) = 0.2

$ 2 P(I3 = 4) = 0.4 P(I3 = 6) = 0.4 P(I3 = 7) = 0.2

$ 3 P(I3 = 5) = 0.3 P(I3 = 7) = 0.4 P(I3 = 8) = 0.3

$ 4 P(I3 = 6) = 0.1 P(I3 = 8) = 0.5 P(I3 = 9) = 0.4

Sea I, la variable aleatoria que denota el valor presente neto que obtiene el proyecto t. La distribución de I, depende de la cantidad de dinero invertido en el proyecto t, como se ilustra en la tabla (una inversión cero en un proyecto siempre gana un VPN cero). Por medio de la PDP determine una asignación de inversión que maximiza el VPN esperado obtenido de las tres inversiones

Ing. Enrique Avendaño Delgado

Un proyecto de investigación sobre cierto problema de ingeniería tiene 3 equipos de

investigadores que buscan resolver el problema desde 3 puntos de vista diferentes. Se

estima que en las circunstancias actuales la probabilidad de que los equipos A, B, C

fracasen es de: 0.40, 0.60 y 0.80 respectivamente. Así, la probabilidad de que los 3

equipos fracasen es de: (0.40)(0.6)(0.8) = 0.192. (Un 19.2%). El objetivo es minimizar la

probabilidad de fracaso de los 3 equipos, y por ello, se asignaran al proyecto 2 nuevos

científicos de alto nivel.

Según la asignación a los equipos, la probabilidad de fracaso cambia según lo indicado en

la tabla siguiente:

# de científicos

adicionales

asignados

Probabilidad de fracaso de los equipos

A B C

0 0.40 0.60 0.80

1 0.20 0.40 0.50

2 0.15 0.20 0.30

Ejemplo 3:

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Ejemplo 3: Chip Bilton vende sudaderas en los juegos de fútbol de la universidad estatal. Tiene las mismas probabilidades de vender 200 o 400 sudaderas en cada juego. Cada vez que Chip hace un pedido, paga 500 dólares más 5 dólares por cada sudadera que pide. Vende cada sudadera en 8 dólares. Por cada sudadera que no vende al final de un juego, estima un costo de retención de 2 dólares (debido al costo de oportunidad del capital invertido en las sudaderas, así como los costos de almacenamiento). Después de cada juego, Chip puede almacenar a lo sumo 400 sudaderas. Suponiendo que el número de sudaderas que pide Chip debe ser un múltiplo de 100, determine una política de pedidos que maximice las ganancias esperadas obtenidas durante los próximos tres juegos de la temporada. Suponga que las sudaderas sobrantes tienen un valor de 6 dólares.

Ing. Enrique Avendaño Delgado

Ejemplo 5: Considere el siguiente problema de inventario de tres periodos. Al comienzo de cada

periodo, una empresa debe determinar cuántas unidades debe producir durante el periodo actual. Durante un período en el que se producen x unidades, se incurre en un costo de producción c(x), donde c(0)=0 y para x>0, c(x)=3+2x. La producción durante cada período está limitada a lo sumo a 4 unidades, Después que ocurre la producción, se observa la demanda aleatoria del período. La demanda de cada período tiene las mismas probabilidades de que sean 1 o 2 unidades. Después de satisfacer la demanda del período actual de la producción e inventario actuales, se evalúa el inventario de fin de período de la empresa, y se estima un costo de retención de 1 dólar por unidad. Como resultado de la capacidad limitada , el inventario al final de cada periodo no puede exceder 3 unidades. Se requieren que toda la demanda se satisfaga a tiempo. Cualquier inventario disponible al final del periodo se puede vender en 2 dólares por unidad. Al comienzo del período 1, la empresa tiene 1 unidad de inventario. Utilice la programación dinámica para determinar la política de producción que minimiza el costo neto esperado en que se incurre durante los tres periodos.

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Solución:

Se define ft(i) como es costo neto mínimo esperado en que se incurre durante los periodos 1, 2 y 3 cuando el inventario al comienzo del período t es i unidades.

3( ) min ( ) 0.5( 1) 0.5( 2) 0.5(2)( 1) 0.5(2)( 2)f i c x i x i x i x i x

Donde x debe se un miembro de (0, 1, 2, 3 y 4) y x debe satisfacer:

Satisfacer la demanda: i+x>=2 Inventario Final: i+x-1<=3

Costo de Producción esperado + Costo de retención esperado – Costo de Salvamento esperado

De la ecuación f3(i), se deduce que, debido a que si se producen x unidades durante el período 3, el costo neto durante el período 3 es:

Si se producen x unidades, el costo de producción esperado es c(x) y hay una probabilidad de 0.5 de que el costo de retención del período 3 sea i+x-1, y una probabilidad de 0.5 de que sea i+x-2. Por consiguiente, el costo de retención del período 3 será: (1/2)(i+x-1) + (1/2)(i+x-2) = i + x -3/2. Un razonamiento similar muestra que el valor de salvamento esperado (un costo negativo) al final del período 3 será: (1/2)2(i+x-1) + (1/2)2(i+x-2) = 2i+2x-3. Para asegurar que se satisface la demanda del período 3, se debe tener: i+x>=2. De manera similar para asegurar el inventario final de tres períodos no excede 3 unidades, se debe tener que i+x-1<=3.

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Solución:

Para t=1, 2, se puede derivar la relación recursiva para ft(i) al observar que para cualquier nivel de producción x del mes t, los costos esperado en que se incurre durante los períodos t, t+1,…3, son la suma de los costos esperado en que se incurre durante los períodos t+1,t+2,…,3. Como antes, si se producen x unidades durante el mes t, el costo esperado durante el mes t será c(x) + (1/2)(i+x-1) + (1/2)(i+x-2). (Observe que durante los períodos 1 y 2 no se recibe valor de salvamento). Sí durante el mes t se producen x unidades, el costo esperado durante los períodos t+1, t+2,…,3 se calcula como sigue. La mitad del tiempo, la demanda durante el período t será 1 unidad, y el inventario al comienzo del período t+1 será i+x-1. En esta situación, los costos esperados en que se incurre durante los períodos t+1, t+2,…3 (suponiendo que actuamos de manera óptima durante estos períodos) es ft+1(i+x-1). De manera similar, hay una probabilidad 0.5 de que el inventario al comienzo del período t+1 sea i+x-2, En este caso, el costo esperado en que se incurre durante los períodos t+1, t+2,…,3 será ft+1(i+x-2). En resumen, el costo esperado durante los períodos t+1, t+2,…,3 será (1/2) ft+1(i+x-1) + (1/2) ft+1(i+x-2). Con esto se podría escribir para t=1,2

𝑓𝑡 𝑖 = 𝑚𝑖𝑛 𝑐 𝑥 +1

2𝑖 + 𝑥 − 1 +

1

2𝑖 + 𝑥 − 2 +

1

2𝑓𝑡+1 𝑖 + 𝑥 − 1 +

1

2𝑓𝑡+1 𝑖 + 𝑥 − 2

Donde x debe se un miembro de (0, 1, 2, 3 y 4) y x debe satisfacer:

Satisfacer la demanda: i+x>=2 Inventario Final: i+x-1<=3

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Ejemplo 2: Cálculos para f3(i)

i x C(x) Costo de

retención

esperada

(i+x-3/2)

Valor de

salvamento

esperado

(2i+2x-3)

Costo total

esperado

f3(i)

X3(i)

3 0 0 3/2 3 -3/2* f3(3)=-3/2

X3(3)=0

3 1 5 5/2 5 5/2

2 0 0 ½ 1 -1/2* f3(2)=-1/2

X3(2)=0

2 1 5 3/2 3 7/2

2 2 7 5/2 5 9/2

1 1 5 ½ 1 9/2* f3(1)=9/2

X3(1)=1 1 2 7 3/2 3 11/2

1 3 9 5/2 5 13/2

0 2 7 ½ 1 13/2* f3(0)=13/2

X3(0)=2 0 3 9 3/2 3 15/2

0 4 11 5/2 5 17/2

Satisfacer la demanda: i+x>=2 Inventario Final: i+x-1<=3

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Ejemplo 5: Cálculos para f2(i)

i x C(x) Costo de

retención

esperada

(i+x-3/2)

Costo futuro

esperado

(1/2)f3(i+x-1) +

(1/2)f3(i+x-2)

Costo total

esperado

Períodos 2

y 3

f2(i)

X2(i)

3 0 0 3/2 2 7/2* f2(3)=7/2

X2(3)=0

3 1 5 5/2 -1 13/2

2 0 0 ½ 11/2 6* f2(2)=6

X2(2)=0

2 1 5 3/2 2 17/2

2 2 7 5/2 -1 17/2

1 1 5 ½ 11/2 11 f2(1)=21/2

X2(1)=2

X2(1)=3 1 2 7 3/2 2 21/2*

1 3 9 5/2 -1 21/2*

0 2 7 ½ 11/2 13 f2(0)=25/2

X2(0)=3

X2(1)=4 0 3 9 3/2 2 25/2*

0 4 11 5/2 -1 25/2*

Satisfacer la demanda: i+x>=2 Inventario Final: i+x-1<=3

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Ing. Enrique Avendaño Delgado

Ejemplo 5: Cálculos para f1(i)

i x C(x) Costo de

retención

esperada

(i+x-3/2)

Costo futuro

esperado

(1/2)f2(i+x-1) +

(1/2)f2(i+x-2)

Costo total

esperado

Períodos 2

y 3

f2(i)

X2(i)

1 1 5 ½ 23/2 17 f1(2)=65/4

X1(1)=3

1 2 7 3/2 33/4 67/4

1 3 9 5/2 19/4 65/4*

Satisfacer la demanda: i+x>=2 Inventario Final: i+x-1<=3

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Ejemplo 5: Se empieza por producir xt(1) = 3 unidades durante el período 1. Sin embargo, no se puede determinar el nivel de producción del período 2 hasta que se observa la demanda del período 1. También, no es posible determinar el nivel de producción del período 3 hasta que se observa la demanda del período 2. Para ilustrar la idea, se determina el programa óptimo de producción si tanto la demanda del período 1 y como la del período 2 son dos unidades. Puesto que xt(1) = 3, durante el período 1 se producirán 3 unidades. Entonces el período 2 comenzará con un inventario de 1 + 3 – 2 = 2 unidades, así que se deben producir x2(2) = 0 unidades. Después que se satisface la demanda de dos unidades del período 2, el período 3 comienza con 2-2 = 0 unidades disponibles. Por consiguiente, durante el período 3 se producirán x3(0) = 2 unidades.

Plan de Producción:

Mes Unid

1 3

2 0

3 2

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Ejemplo 3

Suponga que el perímetro de la rueda de la ruleta rusa está marcado con los números 1 a 5. La probabilidad de detenerse en el número i es p1 = 0.3, p2 = 0.25, p3 = 0.2, p4 = 0.15 y p5 = 0.1. El jugador paga $5 para hacer un máximo de cuatro giros. Determine la estrategia óptima para cada uno de los cuatro giros, y el ingreso neto esperado correspondiente.

Ing. Enrique Avendaño Delgado

Ejemplo 3

En una variación del juego de la ruleta rusa, se hace girar una rueda con marcas de n números consecutivos: 1 a n, en su periferia. La probabilidad de que la rueda se detenga en el número i después de un giro es pi. Un jugador paga $x por el privilegio de hacer girar la rueda un máximo de m giros. La recompensa para el jugador es el doble de la cantidad obtenida en el último giro. Suponiendo que el juego se repite (hasta con m giros cada vez) una cantidad razonablemente grande de veces, propone una estrategia óptima para el jugador. Se puede formular el problema como un modelo de programación dinámica con las siguientes definiciones: 1. La etapa i se representa con el giro i, i = 1, 2, ..., m 2. Las alternativas en cada etapa incluyen hacer girar la rueda una vez más o terminar el juego. 3. El estado j del sistema en la etapa i se representa con uno de los números de 1 a n que se haya obtenido en el último giro.

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Ejemplo 3 - Solución Sea: fi(j) = Ingreso máximo esperado cuando el juego está en la etapa (el giro) i y el resultado del último giro fue j En este caso se tiene que:

𝑅𝑒𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑠𝑎 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑝𝑎 𝑖𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑗 𝑑𝑒𝑙 ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑜 𝑔𝑖𝑟𝑜

=

2𝑗, 𝑠𝑖 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑒𝑙 𝑗𝑢𝑒𝑔𝑜

𝑝𝑘𝑓𝑖+1 𝑘 , 𝑠𝑖 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛ú𝑎 𝑒𝑙 𝑗𝑢𝑒𝑔𝑜

𝑛

𝑘=1

Entonces, la ecuación recursiva se puede escribir como sigue:

𝑓𝑚+1 𝑗 = 2𝑗

𝑓𝑖 𝑗 =máx

𝐹𝑖𝑛: 2𝑗,

𝐺𝑖𝑟𝑜: 𝑝𝑘𝑓𝑖+1 𝑘𝑛𝑘+1

𝑖 = 2, 3, … ,𝑚

𝑓1 0 = 𝑝𝑘𝑓2 𝑘

𝑛

𝑘=1

La lógica de la ecuación recursiva es que en el primer giro (i = 1), el estado del sistema es j= 0, porque acaba de comenzar el juego. En consecuencia, f1(0)=p1f2(1)+p2f2(2)+ … +pnf2(n). Después del último giro (i = m), el juego debe terminar independientemente del resultado j del m-ésimo giro. Por tanto, fm+1=(j)=2j. Los cálculos recursivos comienzan con fm+1 y terminan con , f1(0), produciendo m + 1 etapas de cómputo. Como f1(0) es el ingreso esperado por los m giros, y dado que el juego cuesta $x, el ingreso neto es f1(0)-x.

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Solución:

Etapa 5

f5(j)=2j

Resultado j del giro 4 Solución óptimo

f5(j) Decisión

1 2 Terminar

2 4 Terminar

3 6 Terminar

4 8 Terminar

5 10 Terminar

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Solución:

Etapa 4 f4(j)=máx {2j, p1f5(1) + p2f5(2) + p3f5(3) + p4f5(4) + p5f5(5) }

Resultado j del giro 3

Ingreso esperado Solución óptimo

Terminar Girar f4(j) Decisión

1 2 5 5 Girar

2 4 5 5 Girar

3 6 5 6 Terminar

4 8 5 8 Terminar

5 10 5 10 Terminar

f4(j)=máx {2j, 0.3*2 + 0.25*4 + 0.2*6 + 0.15*8 + 0.1*10 }

f4(j)=máx {2j, 5}

Ing. Enrique Avendaño Delgado

Solución:

Etapa 3 f3(j)=máx {2j, p1f4(1) + p2f4(2) + p3f4(3) + p4f4(4) + p5f4(5) }

Resultado j del giro 2

Ingreso esperado Solución óptimo

Terminar Girar f3(j) Decisión

1 2 6.15 6.15 Girar

2 4 6.15 6.15 Girar

3 6 6.15 6.15 Girar

4 8 6.15 8 Terminar

5 10 6.15 10 Terminar

f3(j)=máx {2j, 0.3*5 + 0.25*5 + 0.2*6 + 0.15*8 + 0.1*10 }

f3(j)=máx {2j, 6.15}

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Solución:

Etapa 2 f2(j)=máx {2j, p1f3(1) + p2f3(2) + p3f3(3) + p4f3(4) + p5f3(5) }

Resultado j del giro 2

Ingreso esperado Solución óptimo

Terminar Girar f3(j) Decisión

1 2 6.8125 6.8125 Girar

2 4 6.8125 6.8125 Girar

3 6 6.8125 6.8125 Girar

4 8 6.8125 8 Terminar

5 10 6.8125 10 Terminar

f2(j)=máx {2j, 0.3*6.15 + 0.25*6.15 + 0.2*6.15 + 0.15*8 + 0.1*10 }

f2(j)=máx {2j, 6.8125}

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Solución:

Etapa 1 f2(0)= p1f2(1) + p2f2(2) + p3f2(3) + p4f2(4) + p5f2(5)

f2(0)= 0.3*6.8125 + 0.25*6.8125 + 0.2*6.8125 + 0.15*8 + 0.1*10

f2(0)= 7.31

La única opción disponible al iniciar el juego es girar. De acuerdo con los cuadros anteriores, la solución óptima es

Giro Núm Estrategia óptima

1 Comienza el juego, girar

2 Continuar si el giro 1 produce 1, 2 o 3. Si no, terminar el juego

3 Continuar si el giro 2 produce 1, 2 o 3. Si no, terminar el juego

4 Continuar si el giro 3 produce 1 o 2. Si no, terminar el juego

Ingreso neto esperado = $7.31 - $5.00 = $2.31

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Ejemplo 6: Petrolium inc. Pretende perforar en tres lugares en busca de petróleo, espera invertir 5 millones de

dólares, la probabilidad de encontrar petróleo es Pt y la rentabilidad se muestran en la tabla adjunta, Utilice un PDP para elaborar una estrategia de perforación de pozos petroleros.

Pozo Inversión Probabilidad Rentabilidad

1 1 0.50 12

2 0.35 15

3 0.47 20

2 1 0.35 15

2 0.48 35

3 0.55 18

3 1 0.25 10

2 0.78 5

3 0.23 50

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Ejemplo 7:

Una cadena de tiendas de pollerías La Taberna de Trujillo, compra diariamente 8 pollos para distribuirlos en sus 3 tiendas. Cada pollo a la brasa lo vende en las tres tiendas de la cadena en 18 soles/pollo. La demanda para las tres tiendas de la cadena de pollerías es incierta y los pollos que sobran al final del día lo puede vender a una chanchería local a 5 soles/pollo. Utilice la PDP para determinar cómo La Taberna debe asignar los 8 pollos entre las tres tiendas y así maximizar sus ganancias

Demanda

diaria

(Pollos)

Probabilidad

Tienda 1 1 0.40

2 0.20

3 0.35

4 0.40

Tienda 2 1 0.50

2 0.60

3 0.10

4 0.40

Tienda 3 1 0.30

2 0.35

3 0.42

4 0.30

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Ejemplo 8:

Carlos Tapia vende sudaderas en los juegos de fútbol de la universidad Privada del Norte, Tiene la mismas probabilidades de vende 200 o 400 sudaderas en cada juego. Cada vez que Tapia hace un pedido, paga 500 dólares más 5 dólares por cada sudadera que pide. Vende cada sudadera a 8 dólares. Por cada sudadera que no venda al final del juego, estima un costo de retención de 2 dólares (debido al costo de oportunidad del capital invertido en sudaderas, así como los costos de almacenamiento). Después de cada juego, Tapia puede almacenar a lo sumo 400 sudaderas, Suponiendo que el número de sudaderas que pide Tapia debe ser un múltiplo de 100, determine una política de pedidos que maximice las ganancias esperadas obtenidas durante los tres primeros juegos de la temporada. Suponga que las sudaderas sobrantes puede venderlas en 3 dólares.