Informe de Invope II Aplicaciones

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II

Aplicaciones de Investigación

de Operaciones II

TEMA:

Programación Lineal, Entera y

Dinámica.

PROFESOR: Ing. Joe González Vásquez

INTEGRANTES:

Alfaro Gómez, Erick

Arias Capcha, Willy

Arias Tandaypan, Jorge Luis

Portalatino Obeso, Dayve


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INGENIERÍA DE SISTEMAS

PROGRAMACION LINEAL

I. EJERCICIO DE APLICACIÓN EMPRESA “SAB Miller”

Una planta produce únicamente dos tipos de cerveza: clara y obscura. Existen tecnologías bastante diferentes para la elaboración de cada uno de los tipos de cerveza, obviamente cada tecnología a un costo diferente. El precio al mayoreo de 1000 litros de cerveza clara es de $ 5 000.00 mientras que el precio al mayoreo de 1000 litros de cerveza obscura es de $ 3 000.00. Un estudio de tiempo y movimientos ha demostrado que para producir 1000 litros de cerveza clara se requiere un total de 3 obreros en el proceso de producción. En cambio se requieren 5 obreros para producir 1000 litros de cerveza obscura. Se supone que la planta tiene un total de 15 obreros. Se supone que producir 1000 litros de cerveza clara le cuesta al dueño de la planta $ 500.00, mientras que 1000 litros de cerveza obscura le cuesta solamente $ 200.00. Su capital no le permite gastar más de mil dólares semanales en la producción de ambos tipos de cerveza. ¿Cuáles deben ser los niveles de producción semanal de cerveza clara y de cerveza obscura que maximicen el ingreso por concepto de venta semanal, sin exceder las restricciones de personal y de capital?

SOLUCION:

1. MÉTODO ALGEBRAICO

Damos forma a los datos q nos brindan, para hallar la solución correcta.

Recursos Cerveza Clara Cerveza Negra Disponible

Mano de Obra 3 obreros 5 obreros 15 obreros

Materia Prima 500 dólares 200 dólares 1000 dólares

5000 dólares 3000 dólares

Hallamos las variables del problema.

X1 = Tasa de producción de cerveza clara X2 = Tasa de producción de cerveza obscura

La Función Objetivo es: Max (Z) = 5000 X1 + 3000 X2

Encontramos las siguientes restricciones:

Mano de Obra ----> 3 X1 + 5 X2 ≤ 15

Materia Prima ----> 500 X1 + 200 X2 ≤ 1000

X1 ≥ 0 , X2 ≥ 0

Hallamos los valores de X1 y X2 de manera algebraica: 3 X1 + 5 X2 = 15 500 X1 + 200 X2 = 1000

-120 X1 - 200 X2 = -600 500 X1 + 200 X2 = 1000


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380 X1 = 400 X1 = 1.052632 X2 = 2.368421

Hallamos la función objetivo:

Max (Z) = 5000 (1.052632) + 3000 (2.368421) = 12368.42

2. MÉTODO GRAFICO

Hallamos los valores de X1 y X2 de manera gráfica:

Grafica N°1: Solución grafica problema 1

3. RESOLUCIÓN CON SOTWARE LINGO

Verificamos a través del LINGO si los valores obtenidos algebraicamente y gráficamente son los correctos:

Imagen N°1: Ingreso de datos en software.


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Los resultados arrojados por el LINGO son:

Imagen N°2: Resultados arrojados por el LINGO.

Análisis de resultado

a) Como podemos observar el resultado obtenido, es el mismo que se obtuvo

usando el método gráfico.

b) La maximización de ingresos es de 12368.42 dólares.

c) El software LINGO nos arroja se debería producir 1.053 litros semanal de

cerveza clara y 2.368 litros semanal de cerveza obscura.

d) La naturaleza de las inecuaciones nos indican que se trata de un SLACK, donde

para la variable X1 nos dice que se gastó todas las personas disponibles y para

X2 obtenemos los mismos resultados se utilizaron todos el costo de producción

disponible.

e) El DUAL PRICE de la variable X1 es de 263.1579 $/Obrero, el cual significa;

por cada obrero que se contrate la utilidad aumenta en 263.1579 $, mientras

que por cada dólar que se invierta en materia prima la utilidad aumentara en

8.421053 $.

Análisis de sensibilidad

Imagen N°3: Resultados de sensibilidad arrojados por el LINGO.

En este caso nos interesa el Allowable Increase, ya que; nuestro problema presenta

SLACK.


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a) Para poder aumentar las utilidades obtenidas es necesario invertir o en obreros

o en materia prima y de acuerdo a los resultados obtenidos en el análisis

anterior se sabe que por cada dólar que se invierta en obreros se estará

ganando más que invirtiendo en materia prima. Ahora estos nuevos resultados

nos indican que es recomendable invertir hasta en 10 obreros, veamos ahora

que resulta de invertir en 10 obreros.

Imagen N°4: Verificar la sensibilidad de obreros del problema.

Imagen N°4: Resultados arrojados de sensibilidad de los obreros.

b) Sin embargo Veamos ahora los resultados de invertir en materia prima :

Imagen N°5: Verificar la sensibilidad de materia prima del problema.


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Imagen N°6: Resultados arrojados de sensibilidad de los materia prima.

Análisis de resultado Podemos darnos cuenta que a pesar de que la utilidad aumenta más cuando se

invierte un dólar en obreros, el rango permitido para la inversión de dólares para

materia prima es de 1500, lo cual nos permite una mayor de utilidad de 25000 $.

4. METODO SIMPLEX

Modelo Matemático

Max (Z) = 5000 X1 + 3000 X2

Restricciones:

3 X1 + 5 X2 ≤ 15

500 X1 + 200 X2 ≤ 1000

X1 ≥ 0 , X2 ≥ 0

Igualamos a función objetivo a 0:

Z - 5000 X1 - 3000 X2 = 0 Entonces: 3 X1 + 5 X2 ≤ 15

500 X1 + 200 X2 ≤ 1000

Ahora ocupamos las variables de holgura para transformar las inecuaciones en

ecuaciones. Así:

Z - 5000 X1 - 3000 X2 = 0 3 X1 + 5 X2 + S1 = 15

500 X1 + 200 X2 + S2 = 1000


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Ahora transformamos el conjunto de ecuaciones en una tabla matricial que nos

permita resolver el modelo matemático:

Z X1 X2 S1 S2 SOLUCION

1 -5000 -3000 0 0 0

0 3 5 1 0 15

0 500 200 0 1 1000

Ahora encontramos nuestra columna pivote, identificando cuál de los números

es el más negativo en la función objetivo. Para tal efecto se puede identificar al

número -5000 como más negativo. Entonces nuestra columna pivote será la

columna X1.


F1 1 -5000 -3000 0 0 0

F2 0 3 5 1 0 15

F3 0 500 200 0 1 1000

Para encontrar la fila pivote dividimos (15/3 y 1000/500) y escogemos la

menor, en este caso será, el elemento pivote seria la intersección:


F1 1 -5000 -3000 0 0 0

F2 0 3 5 1 0 15

F3 0 500 200 0 1 1000

El elemento pivote es 500, ahora convertimos el elemento pivote a 1 haciendo

lo siguiente F’3 = F3/500:


F1 1 -5000 -3000 0 0 0

F2 0 3 5 1 0 15

F’3 0 1 0.4 0 0.002 2


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Ahora convertimos los elementos de la columna de X1 tanto el F1 y F2 en cero,

de la siguiente manera: (FV es el factor pivote de la fila)

F’2 = F2 – (FV * F’3)

F’1 = F1 – (FV * F’3)


F1 1 0 -1000 0 10 10000

F2 0 0 3.8 1 -0.006 9

F’3 0 1 0.4 0 0.002 2

Nos damos cuenta que aún tenemos un valor negativo realizamos los mismos

pasos anteriores. Encontramos la columna y fila pivote.


F’1 1 0 -1000 0 10 10000

F’’2 0 0 3.8 1 -0.006 9

F’3 0 1 0.4 0 0.002 2

El elemento pivote es 3.8, ahora convertimos el elemento pivote a 1 haciendo

lo siguiente F’’2 = F’2/3.8:


F’1 1 0 -1000 0 10 10000

F’’2 0 0 1 0.26315789 -0.00157895 2.36842105

F’3 0 1 0.4 0 0.002 2

Ahora convertimos los elementos de la columna de X2 tanto el F’1 y F’3 en

cero, de la siguiente manera: (FV es el factor pivote de la fila)

F’’3 = F’3 – (FV * F’’2)

F’’1 = F’1 – (FV * F’’2)


F’1 1 0 0 263.157895 8.42105263 12368.4211

F’’2 0 0 1 0.26315789 -0.00157895 2.36842105

F’3 0 1 0 -0.10526316 0.00263158 1.05263158


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Finalmente hemos llegado a la respuesta esperada la cual es igual al método

algebraico y grafico realizado anteriormente.

Interpretación de Resultados:

Después de aplicar los métodos podemos concluir que:

Para maximizar los ingresos se deben producir 1.053 litros semanales de cerveza clara y 2.368 litros semanales de cerveza obscura.

Y la cantidad máxima alcanzada es de 12368.42 dólares.

II. EJERCICIO DE APLICACIÓN EMPRESA “MANISOL S.A.”

Una compañía de manufactura se dedica a la fabricación de tres productos: A, B y C. El procedimiento de producción involucra tres operaciones: formación, acabado e inspección. El departamento de ingeniería industrial, ha establecido los siguientes estándares de producción en cada operación.

DATOS DE PRODUCCIÓN PARA LA COMPAÑÍA (MINUTOS POR PRODUCTO)

PRODUCTO FORMACION INSPECCION ACABADO

A 2 3 2

B 6 6 2

C 2 2 4

El departamento de contabilidad por su parte, pronostica los siguientes costos e ingresos para la compañía.

PRODUCTO COSTO DE PRODUCCION

COSTO DE MATERIALES

COSTO TOTAL

PRECIO DE VENTA

A 18.00 12.00 30 50

B 50.00 15.00 65 100

C 25.00 20.00 45 90

Se desea saber el número de cada tipo de producto que deberán producirse de tal manera que se optimice el beneficio por las 8 horas de trabajo del día. SOLUCION:

A. Definición del problema:

Objetivo: maximizar el beneficio por día.

La compañía elabora tres tipos de productos (A, B, C).

Cada producto pasa por tres procesos: formación, acabado e inspección.

El producto A, requiere: 2 minutos en formación, 3 minutos en inspección y 2 en acabado.

El producto B, requiere: 6 minutos en formación, 6 minutos en inspección y 2 en acabado.

El producto C, requiere: 2 minutos en formación, 2 minutos en inspección y 4 en acabado.


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Por cada producto A se obtiene una utilidad de $20, por cada producto B una

utilidad de $35 y por cada producto C una utilidad de $45.

El tiempo laboral diario es de 8 horas diarias para cada proceso.

La compañía quiere maximizar su beneficio por día por lo que requiere saber

cuántas unidades debe producir de cada uno los productos que elabora, por

lo llamaremos :

X1 a las unidades que deben producirse del producto A.

X2 a las unidades que deben producirse del producto B.

X3 a las unidades que deben producirse del producto C.

En forma simplificada podemos expresar todo los datos del problema, útiles

para la construcción del modelo en la siguiente tabla.

Producto A Producto B Producto C Recursos (tiempo) Concepto

X1 X2 X3

2 6 2 ≤ 8x60=480 minutos Proceso de formación

3 6 2 ≤ 8x60=480 minutos Proceso de inspección

3 2 2 ≤ 8x60=480 minutos Proceso de acabado

$20 $35 $45 Utilidad obtenida por unidad.

B. Formulación del Modelo Matemático: Con los datos que hemos obtenido en el paso 1, resulta muy fácil construir el

modelo.

Max Z= 20X1 + 35X2 + 45X3

Función objetivo del modelo Sujeto a:

2 X1 + 6 X2 + 2 X3 ≤ 480 minutos (restricción de tiempo en formación)

3 X1 + 6 X2 + 2 X3 ≤ 480 minutos (restricción de tiempo en Inspección)

2 X1 + 2 X2 + 4 X3 ≤ 480 minutos (restricción de tiempo en acabado)

X1≥ 0 X2 ≥ 0 X3 ≥ 0 restricciones de no negatividad

1. METODO SIMPLEX

Igualamos a función objetivo a 0:

Z - 20 X1 - 35 X2 – 45 X3 = 0 Entonces:

2X1 + 6X2 + 2 X3 ≤ 480

3X1 + 6X2 + 2X3 ≤ 480

2X1 + 2X2 + 4X3 ≤ 480


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Ahora ocupamos las variables de holgura para transformar las inecuaciones en

ecuaciones. Así:

Z - 20 X1 - 35 X2 – 45 X3 = 0 2X1 + 6X2 + 2 X3 + S1 ≤ 480

3X1 + 6X2 + 2X3 + S2 ≤ 480

2X1 + 2X2 + 4X3 + S3 ≤ 480

Ahora transformamos el conjunto de ecuaciones en una tabla matricial que

nos permita resolver el modelo matemático:

Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 SOLUCION

1 -20 -35 -45 0 0 0 0

0 2 6 2 1 0 0 480

0 3 6 2 0 0 1 480

0 2 2 4 0 0 1 480

Ahora encontramos nuestra columna pivote, identificando cuál de los números

es el más negativo en la función objetivo. Para tal efecto se puede identificar

al número -45 como más negativo. Entonces nuestra columna pivote será la

columna X3.


1 -20 -35 -45 0 0 0 0

0 2 6 2 1 0 0 480

0 3 6 2 0 0 1 480

0 2 2 4 0 0 1 480

Para encontrar la fila pivote dividimos (480/2, 480/2 y 480/4) y escogemos la

menor, en este caso será, el elemento pivote seria la intersección:


F1 1 -20 -35 -45 0 0 0 0

F2 0 2 6 2 1 0 0 480

F3 0 3 6 2 0 0 1 480

F4 0 2 2 4 0 0 1 480


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El elemento pivote es 4, ahora convertimos el elemento pivote a 1 haciendo lo

siguiente F’4 = F4/500:


F1 1 -20 -35 -45 0 0 0 0

F2 0 2 6 2 1 0 0 480

F3 0 3 6 2 0 0 1 480

F'4 0 0.5 0.5 1 0 0 0.25 120

Ahora convertimos los elementos de la columna de X3 tanto el F1, F2 y F3 en


F'1 = F1-(FP*F'4)

F'2 = F2-(FP*F'4)

F'3 = F3-(FP*F'4)


F'1 1 2.5 -12.5 0 0 0 11.25 5400

F'2 0 1 5 0 1 0 -0.5 240

F'3 0 2 5 0 0 0 0.5 240

F'4 0 0.5 0.5 1 0 0 0.25 120

Nos damos cuenta que aún tenemos un valor negativo realizamos los mismos

pasos anteriores. Encontramos la columna y fila pivote.


F'1 1 2.5 -12.5 0 0 0 11.25 5400

F'2 0 1 5 0 1 0 -0.5 240

F'3 0 2 5 0 0 0 0.5 240

F'4 0 0.5 0.5 1 0 0 0.25 120

El elemento pivote es 5, ahora convertimos el elemento pivote a 1 haciendo lo

siguiente F''3 = F'3/5:


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F'1 1 2.5 -12.5 0 0 0 11.25 5400

F'2 0 1 5 0 1 0 -0.5 240

F''3 0 0.4 1 0 0 0 0.1 48

F'4 0 0.5 0.5 1 0 0 0.25 120

Ahora convertimos los elementos de la columna de X2 tanto el F'1, F'2 y F'4 en


F''1 = F'1-(FP*F''3)

F''2 = F'2-(FP*F''3)

F''4 = F'4-(FP*F''3)


F'1 1 7.5 0 0 0 0 12.5 6000

F'2 0 -1 0 0 1 0 -1 48

F''3 0 0.4 1 0 0 0 0.1 48

F'4 0 0.3 0 1 0 0 0.2 96

Nos damos cuenta que ya no tenemos valores negativos en nuestra matriz, es

por eso que damos por terminado nuestro procedimiento y planteamos el

resultado de las columnas que se lograron simplificar:


F'1 1 7.5 0 0 0 0 12.5 6000

F'2 0 -1 0 0 1 0 -1 48

F''3 0 0.4 1 0 0 0 0.1 48

F'4 0 0.3 0 1 0 0 0.2 96

Obtenemos que:

Z = 6000

X1 = 0 (debido a que esta no se ha podido simplificar)

X2 = 48

X3 = 96


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2. VERIFICAMOS EL RESULTADO OBTENIDO A TRAVEZ DEL SOTWARE LINGO

Verificamos a través del LINGO si los valores obtenidos algebraicamente y gráficamente son los correctos:

Imagen N°7: Ingreso de datos en software.

Los resultados arrojados por el LINGO son:

Imagen N°8: Resultados arrojados por el LINGO.


Después de resolver el problema planteado podemos concluir que:

Se deben producirse 0 unidades del producto A.

Se deben producirse 48 unidades del producto B.

Se deben producirse 96 unidades del producto C.

Con tal producción se logra una un beneficio máximo de 6000 dólares.


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PROGRAMACION LINEAL ENTERA

III. EJERCICIO DE APLICACIÓN DE UNA FÁBRICA DE CALZADOS

Al realizar una inspección en una fábrica de calzados, obtuvimos la siguiente información:

1) Se fabrican zapatos para damas, caballeros y niños y son vendidos al siguiente PVP por

par:

Zapatos para caballero a s/. 60.00

Zapatos para dama a s/. 120.00

2) El costo de fabricación de cada par de calzado es:

Zapatos para caballero s/. 30.00

Zapatos para dama s/. 80.00

3) Para fabricar un par de zapatos para caballero se utilizan: 0.20 metros de cuero tratado;

0.10 metros de suela, un par de tacones para caballero y 5 horas-hombre de trabajo.

4) Para fabricar un par de zapatos para dama se utilizan: 0,15 metros de cuero tratado;

0,10 metros de suela, un par de tacones para dama y 8 horas-hombre de trabajo.

5) En el depósito se inventarió el siguiente material:

120 metros de cuero tratado.

70 metros de suela.

250 pares de tacones para caballero.

260 pares de tacones para dama.

6) La empresa vende semanalmente más de 100 pares de zapatos.

7) Las ventas de zapatos para caballero no superan el 75% de los de dama.

8) La empresa dispone de 2 400 horas-hombre a la semana.

9) El Gerente de la compañía quiere saber cuántos zapatos para dama y caballero debe

fabricar semanalmente para tres escenarios distintos, a saber:

a) Maximizar la utilidad.

b) Maximizar los ingresos por PVP.

c) Minimizar los costos de fabricación.

SOLUCIÓN

Variables de Decisión:

El problema enfoca directamente el número de calzados para caballero y para dama que se

deben fabricar. Las variables de decisión serán las siguientes:

𝑋1 = Cantidad de pares de calzados para caballero a fabricar semanalmente.

𝑋2 = Cantidad de pares de calzados para dama a fabricar semanalmente.

Función Objetivo:

Como el gerente pide una información relacionada a PVP, utilidad y costos; es recomendable

expresar las tres funciones objetivos:


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- Tomando en cuenta el PVP:

𝑍𝑃𝑉𝑃 = 60 ∗ 𝑋1 + 120 ∗ 𝑋2

- Tomando en cuenta el costo:

𝑍𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 = 30 ∗ 𝑋1 + 80 ∗ 𝑋2

- Tomando en cuenta la utilidad:

𝑍𝑈𝑇𝐼𝐿𝐼𝐷𝐴𝐷 = 𝑍𝑃𝑉𝑃 − 𝑍𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜

𝑍𝑈𝑇𝐼𝐿𝐼𝐷𝐴𝐷 = 30 ∗ 𝑋1 + 40 ∗ 𝑋2

Restricciones:

Es recomendable hacer el cuadro o tabla de requerimientos (donde se tomarán en cuenta

únicamente lo que se necesita o utiliza para fabricar zapatos para caballero y zapatos para

dama):

Calzado para Caballero (pares)

Calzado para Dama (pares)

Disponibilidad

CUERO TRATADO 0.20 0.15 120 SUELA 0.10 0.10 70

TACONES CAB. 1 250 TACONES DAMA 1 260 HORAS-HOMBRE 5 8 2400

a) Restricción 1: Materia prima y mano de obra:

0.20 ∗ 𝑋1 + 0.15 ∗ 𝑋2 ≤ 120

0.10 ∗ 𝑋1 + 0.10 ∗ 𝑋2 ≤ 70

𝑋1 ≤ 250

𝑋2 ≤ 260

5 ∗ 𝑋1 + 8 ∗ 𝑋2 ≤ 2400

b) Restricción 2: Condiciones de mercado:

La empresa vende semanalmente más de 100 pares de zapatos:

𝑋1 + 𝑋2 ≥ 100

Las ventas de zapatos para caballero no superan el 75% de los de dama:

𝑋1 ≤ 0.75 ∗ 𝑋2


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c) Restricción 3: Condición de no negatividad:

𝑋1, 𝑋2 ≥ 0

DESARROLLO DEL MODELO:

Caso a) MAXIMIZAR LA UTILIDAD (LINGO):

Obtenemos la siguiente solución:

Interpretación:

Significa que para maximizar la utilidad se deben producir semanalmente 153,19 pares

de zapatos para caballero y 204,26 pares de zapatos para dama.

𝑋1 = 153.19 𝑋2 = 204.26

𝑍 = 12765.96


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NOTA: Como vemos, el valor de las variables de decisión son número no enteros, por lo que

en un producción real de calzado no sería aplicable, por lo tanto se tiene que aplicar los

fundamentos de PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA, en este caso haremos uso de la

herramienta software LINDO.

1) Copiamos la función objetivo de maximizar la utilidad y las respectivas restricciones:

2) Obtenemos los siguientes resultados:

Interpretación:

Se deberán producir semanalmente 152 pares de zapatos para caballero y 205 pares de

zapatos para dama, obteniéndose una utilidad máxima de s/. 12760.00


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Caso b) MAXIMIZAR LOS INGRESOS POR PVP (LINGO):


Interpretación:

Significa que para maximizar ingresos brutos por PVP se deben producir semanalmente

64 pares de zapatos para caballero y 260 pares de zapatos para dama. Con esto

calculamos el máximo ingreso bruto por PVP y nos da:

𝑋1 = 64 𝑋2 = 260

𝑍 = 35 040


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Caso c) MINIMIZAR LOS COSTOS DE FABRICACION (LINGO):


Interpretación:

Significa que para minimizar los costos de producción y seguir cumpliendo con todas las

restricciones del mercado se deben producir semanalmente 45.86 pares de zapatos para

caballero y 57.14 pares de zapatos para dama. Con esto calculamos el mínimo egreso

por costos de producción y nos da:

𝑋1 = 45.86 𝑋2 = 57.14

𝑍 = 5857.14


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NOTA: Nuevamente, el valor de las variables de decisión son número no enteros, por lo

que en un producción real de calzado no sería aplicable, por lo tanto se tiene que

aplicar los fundamentos de PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA, en este caso haremos

uso de la herramienta software LINDO.



Interpretación:

Se deberán producir semanalmente 42 pares de zapatos para caballero y 58 pares de

zapatos para dama, para que la minimización de los costos sea de s/. 5900.00


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IV. EJERCICIO DE APLICACIÓN “TELFA CORPORATION”

La Telfa Corporation fabrica mesas y sillas. Una mesa requiere 1 hora de mano de obra y 9 pies

de tablón de madera, en tanto que para una silla se necesita 1 hora de mano de obra y 5 pies

tablón de madera. En la actualidad están a la disposición 6 horas de mano de obra y 45 pies

tablón de madera. Cada mesa contribuye con 8 dólares a las utilidades y cada silla, con 5 dólares.

Formule y resuelva un PE para maximizar las utilidades de Telfa.

SOLUCIÓN:

Variables:

𝑋1 = Número de mesas fabricadas

𝑋2 = Número de sillas fabricadas

Función Objetivo:

𝑍 = 8 ∗ 𝑋1 + 5 ∗ 𝑋2

Restricciones:

𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 (Restricción de la mano de obra)

9 ∗ 𝑋1 + 5 ∗ 𝑋2 ≤ 45 (Restricción de la madera)

𝑋1, 𝑋2 ≥ 0 enteros

La solución óptima de la relajación de programación lineal es:

𝑋1 = 15/4 𝑋2 = 9/4 𝑍 = 165/4

DESARROLLO DEL MODELO:

Ahora procedemos a calcular los valores enteros mediante el método de acotamiento BRANCH

& BOUND.


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Interpretación:

Como el objetivo del problema es maximizar la utilidad y además, Z(P4) < Z(P5), entonces se

escoge el Z máximo, que en este caso sería de fabricar 5 mesas y 0 sillas para que nos de como

utilidad 40.

𝑋1 = 5 𝑋2 = 0

𝑍 = 40


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COMPROBACIÓN EN LINDO:




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PROGRAMACION DINÁMICA

V. EJERCICIO DE APLICACIÓN

En el transcurso de los siguientes cuatro años, durante cierto proceso de producción, se desea

saber cuándo reemplazar una maquina o seguir conservándola con la finalidad de encontrar lo

más beneficioso para la empresa. Inicialmente se tiene una maquina con tres años de antigüedad

trabajando en la producción. Los datos respecto a la maquina los obtenemos en la siguiente

tabla:

t I(t) C(t) R(t)

Tiempo Ingreso Costo de Operación

Valor de Recuperación

(años) (miles de $)

($) ($)

0 20000 200 -

1 19000 600 80000

2 18500 1200 60000

3 17200 1500 50000

4 15500 1700 30000

5 14000 1800 10000

6 12200 2200 5000

Considerar que:

El costo de una máquina nueva es de $ 100 000.

Toda máquina con 6 años de antigüedad debe reemplazarse.

Terminando el horizonte de planeación, la máquina debe venderse.

SOLUCIÓN:


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Como esta es la última etapa, la máquina debe venderse, y no hay contribuciones posteriores.

El estado de la etapa n es la antigüedad t de la maquina al inicio del año n, entonces:

Etapas: Años

1° Etapa (n=1) Beneficios obtenidos por la maquina en el año 0







Estados: Edad de la maquina

Estado e0 = Edad de la maquina en el año 1





Variables de Decisión:

I(t) = Ingreso

C(t) = Costo de Operación

R(t) = Valor de Recuperación

Alternativas: Conservar o Reemplazar

Etapa 4

t Conservar Reemplazar Solución Optima

S4 I(t) - C(t) + R(t+1) I(0) + R(t+1) + R(1) - 100000 - C(0) f4*(s4) x4*

1 19000 - 600 + 60000 = 78400 20000 + 80000 + 80000 - 100000 - 200 = 79800 79800 R

2 18500 - 1200 + 50000 = 67300 20000 + 60000 + 80000 - 100000 - 200 = 59800 67300 C

3 17200 - 1500 + 30000 = 45700 20000 + 50000 + 80000 - 100000 - 200 = 49800 49800 R

6 Se debe reemplazar 20000 + 5000 + 80000 - 100000 - 200 = 4800 4800 R


27


Etapa 3


S3 I(t) - C(t) + f4(t+1) I(0) + R(t) - 100000 - C(0) + f4*(1) f3*(s3) x3*

1 19000 - 600 + 67300 = 85700 20000 + 80000 - 100000 - 200 + 79800 = 79800 85700 C

2 18500 - 1200 + 49800 = 67100 20000 + 60000 - 100000 - 200 + 79800 = 59600 67100 C

5 14000 - 1800 + 4800 = 17000 20000 + 10000 - 100000 - 200 + 79800 = 9600 17100 C

Etapa 2



1 19000 - 600 + 67100 = 85500 20000 + 80000 - 100000 - 200 + 85700 = 85500 85500 C o R

4 15500 - 1700 + 17000 = 30800 20000 + 30000 - 100000 - 200 + 85700 = 35500 35500 R

Etapa 1



3 17200 - 1500 + 35500 = 51200 20000 + 50000 - 100000 - 200 + 85500 = 55300 55300 R

Interpretación:

Lo más recomendable seria reemplazar la maquina cuando tiene 3 años de uso.

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