CASOS ESPECIALES EN LA APLICACION DEL METODO SIMPLEX.

En esta sección consideramos casos especiales que pueden presentarse en la aplicación del método simplex, entre los que se cuentan:

1.- Degeneración.

2.- Opciones optimas.

3.- Soluciones no acotadas.

4.- Soluciones inexistentes (o infactibles).

Al estudiar de estos casos especiales tiene dos sentidos y son los siguientes:

1) Presentar una explicación teórica de la razón por la que se presentan estas situaciones.

2) Ofrecer una interpretación practica del significado que pudieran tener estos resultados especiales en un problema verdadero.

DEGENERACION.

En este caso, decimos que la nueva solución es degenerada. (En todos los ejemplos de programación lineal, las variables básicas tomaron siempre valores estrictamente positivos.)

No hay nada alarmante con respecto al manejo de la solución degenerada, con la excepción de una ligera desventaja teórica, que analizaremos. Desde el punto de vista práctico, la condición revela que el modelo tiene cuando menos una restricción redundante. Para poder dar mayor penetración en los impactos prácticos y teóricos de la degeneración, consideramos ejemplos numéricos. Los ejemplos ilustrativos prácticos deben aclarar mejor las ideas subyacentes a estas situaciones especiales.

Ejemplo: (Solución óptima degenerada.)

Maximizar Z = 3X1 + 9X2

X1 + 4X2 <= 8

X1 + 2X2 <= 4

X1 , X2 >= 0

ITERACION BASICA X1 X2 X3 X4 SOLUCION0

(INICIAL)X2 ENTRAX3 SALE

Z

X3X4

-3

11

-9

42

0

10

0

01

0

84

1X1 ENTRAX2 SALE

Z

X1X2

-3/4

1/41/2

0

10

9/4

1/4-1/2

0

01

18

20

2(OPTIMA)

Z

X1X2

0

01

0

10

3/2

1/2-1

3/2

-1/22

18

20

TABLA NUMERO (1).

Mediante el uso de X3 y X4 como variables de holgura, hacemos una lista de las iteraciones simplex para el ejemplo de la tabla (1). En la iteración inicial, existe una coincidencia de la variable que sale entre X3 y X4. Esta es la razón por la que la variable básica X4 tiene un valor cero en la iteración 1, con lo que se produce una solución básica degenerada. Se llega al óptimo después de que se realiza una iteración adicional.

¿Cuál es la implicación practica de la degeneración? Obsérvese la figura (1), que proporciona la solución grafica al método. Tres rectas cruzan el optimo (X1 = 0, X2 = 2). Como este es un problema bidimensional, se dice que el punto esta mas que determinado (o sobredeterminado), ya que solo necesitamos dos rectas para identificarlo. Por este motivo, concluimos que una de las restricciones es redundante. En la práctica, el simple conocimiento de que algunos recursos son superfluos puede probarse que es de valor durante la implantación de la solución. Esta información puede conducirnos también a descubrir irregularidades en la construcción del modelo. Desafortunadamente, no existen técnicas confiables para identificar restricciones redundantes directamente a partir de la tabla. Al no haber una representación grafica, tenemos que apoyarnos en otros medios para identificar redundancia en el modelo.

Solución degenerada óptima:

Figura número (1).

Desde el punto de vista teórico, la degeneración tiene dos implicaciones. La primera tiene que ver con el fenómeno del ciclaje o reciclaje. Si se observan las iteraciones 1 y2 de la tabla (1), se verá que el valor de la función objetivo no ha mejorado (Z = 18). Por lo tanto, es posible, en términos generales, que el procedimiento simplex repetiría la misma sucesión de iteraciones, sin mejorar nunca el valor de la función objetivo ni poner fin a los cálculos. Aunque existen métodos para manejar esta situación de manera que no ocurra el ciclaje, estos métodos podrían conducirnos a una drástica reducción en la rapidez de de realización de los cálculos. Por esta razón la mayoría de los códigos del PL no tienen las condiciones para manejar el ciclaje, apoyándose en el hecho de que el porcentaje de problemas de programación lineal que presentan esta complicación suele ser demasiado pequeño para garantizar una implantación de rutina de los procedimientos de ciclaje.

El segundo punto teórico se presenta en el examen de las iteraciones 1 y 2. Ambas iteraciones, pese a diferir en la clasificación de las variables como básicas y no básicas, producen valores idénticos de todas las variables y el valor de la función objetivo, es decir,

X1 = 0, X2 = 2, X3 = 0, X4 = 0, Z = 18

Por lo tanto, se genera un argumento relacionado con la posibilidad de suspender los cálculos en la iteración 1 (cuando aparece la degeneración), aunque no es óptima. Este argumento no es válido por que en general, una solución puede ser temporalmente degenerada.