y1=ex y2=e2x y3=e3x

y ' ' '−6 y ' '+11 y '−6 y=0

Halle la solución general de la ecuación.

w=¿e x e2x e3 x

e x 2e2x 3e3 x

e x 4 e2x 9e3 x∨¿

¿ (18e6x+4 e6x+3e6 x )−(2e6 x+12e6x+9e6x )

¿25e6x−23e6 x

2e6x≠0

luego y=C1ex+C2e

2x+C3e3x

Pg. 138

Verifique que las soluciones son L.I.

15)f 1 ( x )=x f 2 ( x )=x2 f 3 (x )=4 x−3 x2

w=¿x x2 4 x−3 x2

1 2 x 4−6 x0 2 −6

∨¿

¿−12x2+2 (4 x−3x2 )+0 (4−6 x3 )−0 (8 x2−6 x2 )+(8−12x2 )+(−6 x2)

¿ (−12 x2+8x−6 x2 )−(8−12 x2−6 x2)

¿ (−18 x2+8 x )−(8−18 x2 )

¿0

7) y1=5 y2=cos2 x y3=sen2 x

w=¿5 cos2 x se n2 x0 −2cos x sen x 2 sen x cos x0 2cos2 x−2cos2 x 2cos2 x−2 se n2 x

∨¿

¿ [−10cos x sen x (2cos2 x−2 se n2 x )+0+0 ]−¿

¿−20cos3 x sen x+20cos x se n3 x−20 sen3 x cos x+20 senx cos3 x

¿0

18) y1=cos 2x y2=1 y3=cos2 x

w=¿cos2x 1 cos2 x

−2 sen2 x 0 2cos x sen x−4cos2 x 0 2cos2 x−2cos2 x

∨¿

¿8cos2 x¿¿

¿8cos2 x cos x sen x+4 sen2 x sen2 x−4 sen2 x cos2 x

¿8¿

¿16cos3 x sen x−8cos x sen x+8cos2 x sen2 x+4 se n2 x−8cos4 x−4cos2 x

Compruebe que las soluciones propuestas son soluciones de la ecuación indicada.

y ' '− y '−12 y=0 ; y1=e−3 x , y2=e4 x x e(−∞ ,∞)

w=7e x≠0

y=C1 e−3x+C2 e

4x

Sección 4.1 Zill

E j1

a) y ' ' '−6 y ' '+11 y '−6 y=0

Tiene soluciones;

y1=ex y2=e2x y3=e3x

b) demuestre que la y p=−1112

−12xes solución de la ecuación homogénea

y ' ' '−6 y ' '+11 y '−6 y=3 x; escribir la solución general de la ecuación.

RTA//

y p=−1112

−12x

y p' =−1

2y p' '=0 y p

' ' '=0

Reemplazando en y ' ' '−6 y ' '+11 y '−6 y=3 x

0+0+11(−12 )−6(−1112 −12x)

¿−112

+ 6612

+ 62x=3 x

Luego,

y g= yh+Y p

¿∑C1 y i+ y p

y g=(C1 ex+C2 e

2 x+C3 e3 x)+(−1112 −1

2x )

1) y=C1 ex+C2 e

−x ;(−∞,∞)

y ' '− y=0 ; y ' (0 )=1 ; y (0 )=0

0=C1 e0+C2 e

0→C1=−C2

y '=C1ex+C2 e

−x

y ' (0 )=1

1=−C2 e0−C2 e

0

1=−2C2−12=C2C1=

12

y=12ex−1

2e−x

¿Cómo verifico que y=C1 ex+C2 e

−x son soluciones?

w=|ex e− x

ex −e− x|=−e0−e0=−2≠0 luego son soluciones.

3)y=C1 x+C2 x ln x ; (0 ,∞)

x2 y ' '−x y'+ y=0 ; y (1 )=3; y' (1 )=−1

. y (1 )=3

3=C1 (1 )+C2 (1 ) ln1

3=C1

y '=c1+¿

−1=3+C2

C2=−4

w=|x x ln x1 1+ ln x|=x¿

y=3 x−4 x ln x

7) x (t )=C1 coswt+C2 senwt

x ' '+w2 x=0en(−∞,∞ )

x (0 )=x0 y x' (0 )=x1

Verifique que la solución que satisface estas condiciones es

x (t )=x0 coswt+x1w

senwt

C1=x0C2=x1w

w=| coswt senwt−wsenwt w coswt|=w cos2wt +wse n2wt=w ¿¿

31) y ' '−7 y ’+10 y=24 ex

y=C1 e2 x+C2 e

5 x+6 ex

w=| e2x e5x

2e2x 5e5x|=3e7 x∈R

y p=6ex deberesolver

y ' '−7 y '+10 y=24ex

6ex−7 (6ex )+10 (6ex )=24ex

6ex−42ex+60ex=24 ex

24 ex=24ex

34)2 x2 y ' '+5 x y '+ y=x2−x

y=C1 x−12 +C2 x

−1+15 x2−16x ;(0 ,∞)

w=| x−12 x−1

−12

x−32 −x−2|=−x

−52 +12x

−52 =−1

2x

−52 ≠0

y p=115

x2−16x

y p' = 215

x−16

y p' '= 215

¿2 x2( 215 )+5 x ( 215 x−16 )+ 115 x2−1

6x=x2−x

¿ x2−x=x2−x

35) compruebe que y p1=3e2x ; y p2=x2+3 xson soluciones particulares de:

. y ' '−6 y '+5 y=−9e2x

. y ' '−6 y '+5 y=5 x2+3 x−16

y p1=3e2x y p

'1=6e

2x y p' '1=12e

2 x

y p2=x2+3 x y p'2=2 x+3 y p

' '2=2

.12e2 x−6 (6e2x )+5 (3e2x )=−9e2 x

−9e2x=−9e2 x

.2−6 (2x+3 )+5 (x2+3x )=5 x2+3 x−14

5 x2+3 x−16=5 x2+3x−16

Use la solución anterior para hallar una solución particular de

y ' '−6 y '+5 y=5 x2+3 x−16−9e2x

La solución general de y ' '−6 y '+5 y=5 x2+3 x−16−9e2x es y= yh+3e2 x+x2+3 x

y ' '−6 y '+5 y=0 y=t

t 2−6 t+5=0

( t−5 ) ( t+1 )=0

t=5 t=1

y '=5 y '=1

y=5 x y=x

y=5C1 x+C2 x+3e2x+ x2+3 x

.