y1=ex y2=e2x y3=e3x
y ' ' '−6 y ' '+11 y '−6 y=0
Halle la solución general de la ecuación.
w=¿e x e2x e3 x
e x 2e2x 3e3 x
e x 4 e2x 9e3 x∨¿
¿ (18e6x+4 e6x+3e6 x )−(2e6 x+12e6x+9e6x )
¿25e6x−23e6 x
2e6x≠0
luego y=C1ex+C2e
2x+C3e3x
Pg. 138
Verifique que las soluciones son L.I.
15)f 1 ( x )=x f 2 ( x )=x2 f 3 (x )=4 x−3 x2
w=¿x x2 4 x−3 x2
1 2 x 4−6 x0 2 −6
∨¿
¿−12x2+2 (4 x−3x2 )+0 (4−6 x3 )−0 (8 x2−6 x2 )+(8−12x2 )+(−6 x2)
¿ (−12 x2+8x−6 x2 )−(8−12 x2−6 x2)
¿ (−18 x2+8 x )−(8−18 x2 )
¿0
7) y1=5 y2=cos2 x y3=sen2 x
w=¿5 cos2 x se n2 x0 −2cos x sen x 2 sen x cos x0 2cos2 x−2cos2 x 2cos2 x−2 se n2 x
∨¿
¿ [−10cos x sen x (2cos2 x−2 se n2 x )+0+0 ]−¿
¿−20cos3 x sen x+20cos x se n3 x−20 sen3 x cos x+20 senx cos3 x
¿0
18) y1=cos 2x y2=1 y3=cos2 x
w=¿cos2x 1 cos2 x
−2 sen2 x 0 2cos x sen x−4cos2 x 0 2cos2 x−2cos2 x
∨¿
¿8cos2 x¿¿
¿8cos2 x cos x sen x+4 sen2 x sen2 x−4 sen2 x cos2 x
¿8¿
¿16cos3 x sen x−8cos x sen x+8cos2 x sen2 x+4 se n2 x−8cos4 x−4cos2 x
Compruebe que las soluciones propuestas son soluciones de la ecuación indicada.
y ' '− y '−12 y=0 ; y1=e−3 x , y2=e4 x x e(−∞ ,∞)
w=7e x≠0
y=C1 e−3x+C2 e
4x
Sección 4.1 Zill
E j1
a) y ' ' '−6 y ' '+11 y '−6 y=0
Tiene soluciones;
y1=ex y2=e2x y3=e3x
b) demuestre que la y p=−1112
−12xes solución de la ecuación homogénea
y ' ' '−6 y ' '+11 y '−6 y=3 x; escribir la solución general de la ecuación.
RTA//
y p=−1112
−12x
y p' =−1
2y p' '=0 y p
' ' '=0
Reemplazando en y ' ' '−6 y ' '+11 y '−6 y=3 x
0+0+11(−12 )−6(−1112 −12x)
¿−112
+ 6612
+ 62x=3 x
Luego,
y g= yh+Y p
¿∑C1 y i+ y p
y g=(C1 ex+C2 e
2 x+C3 e3 x)+(−1112 −1
2x )
1) y=C1 ex+C2 e
−x ;(−∞,∞)
y ' '− y=0 ; y ' (0 )=1 ; y (0 )=0
0=C1 e0+C2 e
0→C1=−C2
y '=C1ex+C2 e
−x
y ' (0 )=1
1=−C2 e0−C2 e
0
1=−2C2−12=C2C1=
12
y=12ex−1
2e−x
¿Cómo verifico que y=C1 ex+C2 e
−x son soluciones?
w=|ex e− x
ex −e− x|=−e0−e0=−2≠0 luego son soluciones.
3)y=C1 x+C2 x ln x ; (0 ,∞)
x2 y ' '−x y'+ y=0 ; y (1 )=3; y' (1 )=−1
. y (1 )=3
3=C1 (1 )+C2 (1 ) ln1
3=C1
y '=c1+¿
−1=3+C2
C2=−4
w=|x x ln x1 1+ ln x|=x¿
y=3 x−4 x ln x
7) x (t )=C1 coswt+C2 senwt
x ' '+w2 x=0en(−∞,∞ )
x (0 )=x0 y x' (0 )=x1
Verifique que la solución que satisface estas condiciones es
x (t )=x0 coswt+x1w
senwt
C1=x0C2=x1w
w=| coswt senwt−wsenwt w coswt|=w cos2wt +wse n2wt=w ¿¿
31) y ' '−7 y ’+10 y=24 ex
y=C1 e2 x+C2 e
5 x+6 ex
w=| e2x e5x
2e2x 5e5x|=3e7 x∈R
y p=6ex deberesolver
y ' '−7 y '+10 y=24ex
6ex−7 (6ex )+10 (6ex )=24ex
6ex−42ex+60ex=24 ex
24 ex=24ex
34)2 x2 y ' '+5 x y '+ y=x2−x
y=C1 x−12 +C2 x
−1+15 x2−16x ;(0 ,∞)
w=| x−12 x−1
−12
x−32 −x−2|=−x
−52 +12x
−52 =−1
2x
−52 ≠0
y p=115
x2−16x
y p' = 215
x−16
y p' '= 215
¿2 x2( 215 )+5 x ( 215 x−16 )+ 115 x2−1
6x=x2−x
¿ x2−x=x2−x
35) compruebe que y p1=3e2x ; y p2=x2+3 xson soluciones particulares de:
. y ' '−6 y '+5 y=−9e2x
. y ' '−6 y '+5 y=5 x2+3 x−16
y p1=3e2x y p
'1=6e
2x y p' '1=12e
2 x
y p2=x2+3 x y p'2=2 x+3 y p
' '2=2
.12e2 x−6 (6e2x )+5 (3e2x )=−9e2 x
−9e2x=−9e2 x
.2−6 (2x+3 )+5 (x2+3x )=5 x2+3 x−14
5 x2+3 x−16=5 x2+3x−16
Use la solución anterior para hallar una solución particular de
y ' '−6 y '+5 y=5 x2+3 x−16−9e2x
La solución general de y ' '−6 y '+5 y=5 x2+3 x−16−9e2x es y= yh+3e2 x+x2+3 x
y ' '−6 y '+5 y=0 y=t
t 2−6 t+5=0
( t−5 ) ( t+1 )=0
t=5 t=1
y '=5 y '=1
y=5 x y=x
y=5C1 x+C2 x+3e2x+ x2+3 x
.