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CAPTULO CUATRO

DINMICA DE UNA PARTCULA LEYES DE NEWTON

4.1 Introduccin

En el captulo anterior estudiamos el movimiento de una partcula y construimos la

infraestructura necesaria para expresar las caractersticas de un movimiento dado. En otros

trminos, construimos el lenguaje que usaremos para describir los estados dinmicos de una

partcula dada. Ahora estudiaremos la relacin entre los agentes externos y las variaciones

en el estado dinmico de la partcula.

Empezaremos con el anlisis de una partcula que se mueve en un espacio de un grado de

libertad, y posteriormente lo extenderemos al movimiento en un plano. Un estudio ms

extenso se llevar a cabo cuando el estudiante haya adquirido herramientas matemticas

ms avanzadas. Por tal motivo, el movimiento de los astros solo se podr analizar para el

caso del movimiento circular. En todo este tratamiento se debe tener en cuenta que estamos

construyendo la Fsica a partir de principios y propuestas plausibles, y las consecuencias y

resultados que de aqu se obtengan debern ser confrontados ms adelante con los

experimentos para probar su validez.

As como lo hicimos en el captulo anterior al definir las cantidades que usaramos, ahora

nos toca hacer lo mismo para establecer las leyes fundamentales de la Mecnica, i. e. las

Leyes de Newton. Comenzaremos entonces por establecer la definicin de un sistema

inercial de referencia.

4.2 Sistema inercial (SI), masa y fuerza

Definamos en principio un Sistema Inercial SI de referencia, como aquel en el que una

partcula conserva su estado de reposo cuando no existen agentes perturbadores externos.

Lo anterior es realmente lgico puesto que si no hay presentes agentes perturbadores no hay

razn para que la partcula altere su estado dinmico; pero surge entonces la siguiente

pregunta: Puede haber un sistema de referencia que no sea inercial? No hay reglas para

establecer un sistema de referencia; puede ser un sistema fijo en el laboratorio (es decir, en

la Tierra), puede ser un sistema que se desplace con el conjunto de partculas de que se trate

(de estos casos se hablar ms adelante), o bien un sistema fijo a algn dispositivo que rota,

como por ejemplo un tiovivo. En el ltimo caso, sabemos que un cuerpo depositado sobre

una plataforma rotante, sufre una fuerza hacia afuera (que ms adelante conoceremos como fuerza centrpeta) por el solo hecho de estar girando; en otros trminos, no se necesita

agente alguno para producirle dicha fuerza, y por lo tanto el sistema no es inercial. Por otra

parte, la Tierra tambin est girando, y por lo tanto los cuerpos sobre su superficie

experimentan ese mismo de tipo de fuerzas, ocasionando que estrictamente un sistema fijo

en cualquier parte de ella no sea inercial. No obstante, dichas fuerzas son insignificantes en

la mayora de los casos, y por tal motivo tales sistemas pueden considerarse inerciales. Por

otra parte, todo objeto en un sistema fijo en la Tierra cae si se le deja libre; pero atribuimos

dicho cambio dinmico a la presencia de un agente externo, a saber, la atraccin

gravitacional por la masa de la Tierra.

2

Es evidente tambin que no existe solo un SI, pues ya se ha mencionado que cualquier

sistema fijo en la Tierra lo es para los fines prcticos; pero un sistema de referencia que se

mueve en forma rectilnea y uniforme con respecto a un SI, como lo experimenta un

pasajero en un tren en movimiento tambin lo es. Esto significa que si una partcula se halla

en reposo en un SI, se hallar en movimiento rectilneo y uniforme en otro SI, lo cual

expande la definicin de SI a: un sistema de referencia en el que una partcula conserva

su estado de reposo o de movimiento rectilneo y uniforme cuando no existen agentes

perturbadores externos. Hoy en da, el estudiante puede darse cuenta de la existencia de los

sistemas inerciales, en documentales que presentan astronautas quedndose suspendidos en

el espacio, o bien al observar que los discos puestos sobre una mesa de aire mantienen su

movimiento rectilneo casi sin alteracin.

Definimos ahora a la fuerza como todo agente que tiende a alterar el estado de reposo o de

movimiento rectilneo y uniforme de una partcula en un SI. Dicho agente puede ser la

atraccin de la Tierra, un viento, un campo elctrico sobre partculas cargadas, etc. Pero

dada una misma fuerza, es decir un agente fijo, dos cuerpos pueden reaccionar de manera

distinta; por ejemplo un viento moderado puede arrastrar una caja de cartn vaca, hasta

darle una cierta velocidad, pero tal velocidad es menor si la caja contiene otros objetos; as

que definimos a la masa de una partcula como su capacidad para oponerse al efecto de

una fuerza a cambiar su estado de reposo o de movimiento rectilneo y uniforme. En un

sistema inercial por lo tanto, una fuerza aplicada a una partcula no est asociada a la

velocidad de sta, sino a la razn de cambio de la velocidad.

Todava necesitamos aspectos cuantitativos para poder manejar los conceptos de fuerza y

masa, y uno de ellos tiene que ver con las unidades. Por lo tanto, definimos una masa de un

gramo (g), como aquella que presente la misma resistencia al cambio de estado, que un

cm3 de agua destilada. Aquel cuerpo que presente la misma resistencia ante un agente que

la que presenta una cantidad de 2 cm3 de agua destilada, tendr en consecuencia una masa

de 2 gramos, etc. Desde el punto de vista de esta definicin, para medir la masa de un

cuerpo, se debe determinar el volumen de agua que tenga el mismo comportamiento

resistivo que el cuerpo, al aplicarse un mismo agente externo a ambos. Este agente externo

puede ser la atraccin de la Tierra, y por lo tanto, un dispositivo como una balanza de

brazos iguales podra hacer tal comparacin en forma muy simple, de hecho, una variante

de la balanza es la bscula usada comnmente.

4.3 La primera Ley de Newton

Histricamente el sistema de referencia de la Tierra fue el nico que se consider. La

intervencin de otros sistemas, y las relaciones entre las variables dinmicas entre ellos no

fue muy comn, aunque Galileo estableci la equivalencia de fenmenos fsicos descritos

en sistemas en movimiento, como barcos, y el sistema fijo en la Tierra. Por tal motivo, un

gran logro de Newton fue reconocer que de no haber fuerzas de friccin, todo cuerpo

conserva su estado de reposo o de movimiento rectilneo y uniforme. A este enunciado, que

actualmente queda incluido de forma natural en la definicin de SI, se le conoce como la

Primera Ley de Newton.

3

4.4 Segunda ley de newton

Puesto que la fuerza est asociada a la razn de cambio de velocidad de una partcula en un

SI, la fuerza debe ser proporcional a la aceleracin de la partcula, es decir . Ahora bien, cuando dos cantidades son proporcionales, se relacionan a travs de un factor

constante, lo que en nuestro caso se expresa como con k la constante de proporcionalidad. Vemos entonces que la constante k es proporcional a la resistencia que la

partcula opone a ser acelerada; por ejemplo, la fuerza F que se debe aplicar a una partcula

para obtener una aceleracin unitaria, o 1 m/s2, es , y por lo tanto debe ser grande si k es grande; pero esta propiedad es justamente la de la masa, como la definimos

anteriormente; por lo tanto podemos definir cuantitativamente a la fuerza F sobre una

partcula, como

en una dimensin, que podemos general a tres dimensiones como

(4.1)

donde m es la masa de la partcula y a la aceleracin que produce la fuerza sobre dicha

partcula. Aunque la expresin (4.1) no es ms que la definicin de fuerza, la llamamos la

Segunda Ley de Newton, ms bien por razones histricas. A lo largo de nuestro curso

veremos que esta ley forma la herramienta medular de la Mecnica Clsica. Es claro de esta

ley que la aceleracin es colineal con la fuerza que la produce, (Fig. [4.1]).

Contrariamente al caso de la masa, la medicin de la fuerza a partir de su definicin es

imprctica en la mayora de los casos; por ejemplo, si se desea medir la fuerza que ejerce

un viento sobre una persona, se debe poner a la persona sobre una superficie sin friccin, y

medir la aceleracin que el aire produce sobre ella. Otras relaciones que conoceremos ms

adelante permiten la determinacin de la fuerza a partir de la medicin de otras cantidades

fsicas viables.

Para concluir la presentacin de la Segunda Ley Newton, cabe recalcar que es una

definicin, y no una ley emprica, es decir, surgida de experimentos.

Ahora ya podemos definir las unidades de fuerza: 1 Dina es la fuerza que se necesita

aplicar sobre una partcula de masa de 1 gr para darle una aceleracin de 1 cm/s2. i.e.

1 dina = 1 g x 1 cm/s2

1 Newton (N) es la fuerza que se necesita aplicar sobre una partcula de masa de 1 kg para

darle una aceleracin de 1 m/s2. i.e.

1 N = 1 kg x 1 m/s2

La relacin entre estas unidades es

1 N = 1 kg x 1 m/s2 = 10

3 gr x 10

2 cm/s

2 = 10

5 dinas.

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EJEMPLOS

1. Un arma de fuego de baja potencia impulsa una bala de plomo, de 0 a 500 m/s en un espacio de 5 cm. El proyectil tiene un volumen de 2 cm

3 y la densidad del Pb es de

11,340 kg/m3 Qu fuerza promedio ejerce la plvora para lograrlo?

Solucin De acuerdo con ecuacin (3.9) del captulo anterior, la bala sufre una aceleracin de

2

6

2

105.205.02

/500

s

m

m

sm

La masa de la bala es

, luego la fuerza

es

2

6105.2s

m

2. La fuerza que ejerce un campo elctrico uniforme E producido por un arreglo de dos placas cargadas elctricamente, sobre una carga elctrica q es F=Eq. La carga se

mide en Coulombs (C). En un dispositivo para generar rayos X se aplica un campo

elctrico de 8.0 x 105 N/C a un electrn. Sabiendo que la relacin carga a masa del

electrn q/m es de 1.76 x 108 C/gr Cul es la aceleracin adquirida por el electrn?

Solucin Tenemos entonces F=Eq y de la Segunda Ley de Newton F=ma. Entonces,

2

1516538 10408.11008.14108101076.1 s

m

kg

Nt

C

Nt

kg

CE

m

ea

3. Un avin de 15 toneladas viajando a 280 km/h aterriza en la plataforma de un portaaviones que le proporciona una longitud de 100 metros para detenerse. Para

detener el avin en tan corta distancia, se cuenta con un cable transversal a la pista, al

cual se sujeta el avin por medio de un gancho una vez que ha hecho contacto con la

plataforma. Calcular la fuerza promedio necesaria para detener el avin.

Solucin

La masa del avin es . La velocidad inicial del avin es

De la ecuacin (3.9) del captulo anterior

luego la fuerza desaceleradora promedio es

.

5

La naturaleza de las fuerzas

A pesar de las diferentes fuerzas que experimentamos en la vida diaria, no es muy amplio el

repertorio de tipos de fuerzas que existen en la Naturaleza. Las fuerzas ms importantes que

experimentamos da con da son las de gravedad por la atraccin de la Tierra, las cuales son

un caso particular de las fuerzas gravitacionales que estudiaremos en este mismo captulo,

cuando las partculas se hallan sobre la superficie de la esfera terrestre. Para los fenmenos

sobre la esfera terrestre, la fuerza de gravedad es constante e igual al peso de los cuerpos,

en tanto que para los fenmenos astronmicos, la fuerza entre dos cuerpos celestes depende

inversamente del cuadrado de la distancia entre los cuerpos interactuantes. El caso de las

fuerzas elctricas, tambin llamadas coulombianas es similar al de las fuerzas

gravitacionales, donde la masa es reemplazada por la carga. Adicionalmente, hay fuerzas

provocadas por campos magnticos, las cuales junto con las fuerzas elctricas, dan lugar a

las fuerzas elsticas entre los tomos, las cuales a su vez son las responsables de la

impenetrabilidad y de la elasticidad de la materia condensada. Las fuerzas nucleares

mantienen unidas las partculas que integran los ncleos atmicos, son muy intensas, pero

de muy corto alcance, y slo se tiene aproximaciones para expresarlas. Otro tipo de fuerzas,

llamadas dbiles, actan entre partculas subatmicas, dando origen a fenmenos de

radioactividad. Todas las fuerzas que existen en la naturaleza, son manifestaciones de estos

tipos de fuerzas, o combinaciones de ellas, por ejemplo las que provocan el movimiento de

los msculos, o los fenmenos atmosfricos, no son otra cosa que combinaciones de

fuerzas elctricas en el primer caso, y elctricas y de gravedad el segundo.

Las fuerzas ms comunes que trataremos aqu, son fundamentalmente las siguientes: fuerza

de gravedad, o peso de los cuerpos, fuerzas de contacto, las cuales por ejemplo se presentan

cuando un objeto empuja a otro, fuerzas centrpetas ocasionadas por el movimiento circular

de partculas y cuerpos, fuerzas elsticas en resortes, y fuerzas de friccin que aparecen

cuando un cuerpo se desliza sobre una superficie rugosa. Las fuerzas centrpetas son el

realidad un caso particular de la fuerza necesaria para cambiar la direccin de movimiento

de un cuerpo, y puede tratarse de fuerzas de contacto, si el movimiento se mantiene a travs

de una cuerda, o de una gua curva, o por campos magnticos.

De todas las fuerzas antes mencionadas, son las fuerzas gravitacionales o de gravedad, cuando se refieren a efectos sobre la superficie de la Tierra los de mayor importancia en la mecnica, por lo que en lo que sigue vamos a tratar de caracterizar la fuerza universal

que se ejerce entre dos partculas, y como caso particular, cuando una de ellas se convierte

en un cuerpo esfrico de masa uniforme. De esta forma obtendremos las principales

caractersticas de la fuerza que ejerce la Tierra sobre los cuerpos sobre su superficie, pero

antes analizaremos tres caractersticas generales de las fuerzas.

4.5 Fuerzas en tres dimensiones

En el caso general, las fuerzas reales dependen del espacio de tres dimensiones y del

tiempo, de tal forma que su expresin ms general es . Aqu, la variable espacial expresada como significa que la fuerza vara de punto a punto del espacio; la dependencia explcita en t significa que inclusive en un mismo punto del espacio, la fuerza puede variar

de un instante a otro, y finalmente el hecho de escribir y no significa que la fuerza es un vector, y que por lo tanto tiene tres componentes , las cuales a su vez tambin pueden

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depender de y y de t, y pueden ser expresadas en coordenadas cartesianas, en coordenadas

esfricas, o en cualquier otro sistema de coordenadas. En coordenadas cartesianas, se les

puede expresar como

.

4.6 Principio de superposicin

Ya desde la definicin de la suma de vectores se pens en la combinacin de dos eventos

descriptibles como vectores, sobre una partcula. Por ejemplo, si pensamos en un

desplazamiento dado por a seguido de un segundo desplazamiento dado por b de una

partcula, es evidente que la suma vectorial describe el desplazamiento total de la partcula, porque para el segundo desplazamiento, se parte del sitio donde qued la

partcula despus del primer desplazamiento. Tambin es posible convencerse que la

combinacin de dos velocidades, por ejemplo en el caso de un avin que vuela en una zona

donde sopla un fuerte viento, tambin se describe por una suma de vectores. El resultado

puede ser generalizado a todo tipo de cantidades fsicas expresables como vectores, y que

enunciamos como el principio de superposicin, el cual nos dice que los efectos

descriptibles por vectores (de la misma clase, por ejemplo fuerzas) sobre una partcula son

aditivos como vectores. Lo anterior significa que el agente que ocasiona uno cualquiera de

los dos eventos, no modifica las condiciones de validez del segundo evento, p. ej. si una

partcula cargada experimenta una fuerza elctrica en una direccin debida a un campo

elctrico producido por una carga fija, y al mismo tiempo sufre otra fuerza elctrica en otra

direccin debida a otro campo elctrico producido por otra carga fija, cada carga ejerce el

mismo campo elctrico sobre la partcula bajo estudio, ya sea que se encuentre sola o con la

presencia de la otra carga. El efecto final es una fuerza que es la suma vectorial de las otras

dos y se denomina fuerza resultante.

En muchas ocasiones utilizaremos el principio de superposicin en forma inversa al

descomponer una fuerza dada, en componentes que convengan a nuestro tratamiento, como

lo haremos ms adelante con el peso de los cuerpos que se mueven en planos inclinados. El

principio de superposicin es realmente lgico, pero se ve comprobado por todos los

experimentos que tienen que ver con combinaciones de cantidades vectoriales.

De hecho, al escribir una fuerza en sus componentes, por ejemplo la expresin

en el sistema cartesiano ya estamos aplicando el principio de superposicin. El sistema de

coordenadas esfricas presentado en el Captulo 2 es muy apropiado para expresar fuerzas

radiales, como las gravitacionales.

4.7 Tercera Ley de Newton

Un sistema aislado es una porcin del espacio conteniendo cuerpos que no experimenta fuerzas externas. Estrictamente, no hay sistemas aislados, pero en la prctica, y en especial

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en un sistema de laboratorio, tomando en cuenta adecuadamente la fuerza de gravedad, lo

podemos considerar como aislado. Al no haber fuerzas externas, no es de esperarse cambio

alguno en el estado dinmico total del sistema. En particular, las fuerzas deben cancelarse.

El caso ms simple de un sistema aislado puede ser un objeto ejerciendo una fuerza sobre

otro objeto, el cual por friccin con la superficie no se mueve, como por ejemplo un cuerpo

suspendido por una cuerda atada por su otro extremo a un cuerpo sobre una mesa horizontal

rugosa. La fuerza que el primer objeto ejerce, se ve compensada por la fuerza del segundo

cuerpo debida a la fuerza de friccin en direccin contraria y de igual magnitud; pero aun

cuando la fuerza exceda la fuerza de resistencia por friccin y logre producir una

aceleracin, la tensin que se medira con un dinammetro intercalado entre ambos

cuerpos, como se muestra en la Fig. [4.1] sera al mismo tiempo la fuerza con la que la

cuerda tira de cada cuerpo, como la que cada cuerpo ejerce sobre la cuerda, la que un

cuerpo ejerce sobre el otro y el otro sobre el uno. Una partcula tambin puede percibir una

fuerza a travs de un campo, como por ejemplo el de gravedad; as por ejemplo, la Tierra

ejerce una fuerza sobre la Luna, que es la misma que la Luna ejerce sobre la Tierra. Por

supuesto, la fuerza tiene un efecto distinto para ambos cuerpos celestes por la diferencia de

sus masas; el ms masivo tiene menor aceleracin. Lo anterior se resume diciendo que

todo cuerpo al cual se aplica una fuerza responde con una fuerza de igual magnitud y en

sentido opuesto. sta es la Tercera Ley de Newton. En contra de este enunciado se podra

argumentar que de ser vlido, no habra fuerza resultante, y por lo tanto tampoco

aceleracin. Veamos entonces lo siguiente: si una persona aplica una fuerza a un cuerpo, ya

sea que ste se mueva o no, dicha persona siente la fuerza de reaccin en sus manos; en

otros trminos, sus terminales nerviosas registraran la misma seal si el cuerpo se moviera

hacia la persona, y sta colocara sus manos solo para detenerlo. Un medidor plano de

presin entre la mano de la persona y el objeto da el mismo valor sin importar si se invierte

la posicin de las caras del medidor. Si la persona impulsa un automvil inicialmente en

reposo y logra acelerarlo, observaremos por ejemplo que un medidor de presin intercalado

mostrara inicialmente un valor alto, y luego valores menores al adquirir mayor velocidad el

carro; esto se debe a que la persona necesita aplicar menor fuerza para mantener el auto en

movimiento, y no porque el automvil responda con una fuerza menor.

Figura [4.1] Accin y reaccin

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4.8 Ley de la gravitacin universal

Newton relat que la observacin de la cada de una manzana de un rbol (obedeciendo las

leyes de la cada libre ya conocidas desde Galileo), lo indujo a pensar si el fenmeno se

modificaba esencialmente al incrementar la altura de la cada en forma continua, hasta

alcanzar distancias astronmicas. La lgica le dict que esto seguramente no sera el caso,

lo cual significara que la naturaleza de las fuerzas que se observa entre la Tierra y los

cuerpos, debera existir entre los cuerpos celestes. Bsicamente esa fue la idea que unific

el estudio de ambos dominios: el de la cada libre de los cuerpos, y el de los movimientos

de los astros, estudiados por Kepler y sus antecesores. Surgen entonces dos preguntas:

Quin es el agente que provoca la fuerza ente dos cuerpos cualesquiera? y Cmo podra

ser esta fuerza? Siendo la masa la nica propiedad que conocemos de la materia hasta

ahora, no queda otra posibilidad que asociar la fuerza con la masa de cada cuerpo. Puesto

que esta fuerza se nota solo cuando al menos uno de los cuerpos es muy masivo, la fuerza

debe depender directamente de las masas de los cuerpos interactuantes; ms an, debe ser

proporcional al producto de las masas, porque se anula si una de las masas es cero. No se

ve ms agentes responsables de la atraccin. Por otro lado, es plausible suponer que entre

ms lejos se hallen los cuerpos uno del otro, menor ser la intensidad de la atraccin, as

que se puede proponer lo siguiente sobre la fuerza:

1. Debe ser proporcional al producto de las masas. 2. Debe ser proporcional al inverso del cuadrado de la distancia entre ellas.

Para comprender el punto 2 hagamos el siguiente anlisis. Pinsese en el efecto que tendra

una carga puntual de dinamita que estallara a una distancia r de un objeto. Supongamos que

al objeto no llegan los fragmentos del explosivo, y que el efecto que ste sufre es debido

solo a la onda en el aire que se produce por la explosin. La capacidad de afectar a las

masas que se encuentren en el camino de la onda de la explosin es una constante que

depende de la cantidad y calidad del explosivo, y se propaga radialmente por el espacio. Si

la explosin dura solo un instante, la onda aparecera como un cascarn esfrico de

perturbacin que se propaga en el aire. Dicha capacidad de afectacin se distribuye

uniformemente sobre todo el cascarn, cuya rea incrementa como r2, de tal manera que la

capacidad por unidad de rea de la onda disminuye como 1/r2.

Por lo tanto es plausible

proponer que la fuerza que emerge de un cuerpo, disminuye igualmente como 1/r2.

Entonces los postulados 1 y 2 se expresan como 2

21

r

mm F

Donde m1 y m2 son las masas de las partculas, y r es la distancia entre ellas.

Nuevamente tenemos el caso de dos cantidades A y B proporcionales, entonces, A=GB con

G la constante de proporcionalidad, y tenemos entonces

221G

r

mmF (4.2)

G es conocida como la constante de la gravitacional universal.

9

En trminos vectoriales, tomando en cuenta que la fuerza es radial con respecto a una

partcula

2

21

r

mm (4.3a)

donde es un vector unitario radial. El signo menos indica que la fuerza es atractiva. El vector unitario se puede escribir como el cociente de un vector entre su magnitud, y la ecuacin anterior puede ser escrita

3

21

r

mm (4.3b)

Debemos insistir en que la fuerza de atraccin gravitacional es una propuesta que hacemos

para entender los fenmenos de los movimientos planetarios y terrestres; es lo que

llamamos un modelo. Los argumentos expuestos anteriormente la hacen plausible, pero su

validez deber ser comprobada a travs de experimentos. A ley de la gravitacin universal,

en el caso de resultar correcta es por lo tanto una ley natural.

La fuerza gravitacional entre dos partculas de 1 Kg cada una a 1 metro de distancia es

insignificante, y es el valor de G, por lo tanto G debe ser muy pequea cuando se le expresa

en unidades del SI. En el laboratorio, la constante G se mide mediante un dispositivo

conocido como la balanza de Cavendish, en honor al cientfico ingls Henry Cavendish,

quien lo llev a cabo por primera vez a fines del siglo XVIII. Esencialmente este

dispositivo es una balanza de torsin (Captulo 6 de este libro), la cual consiste de un

alambre tenso sujeto al techo por un extremo, que sostiene una barra con dos cuerpos

esfricos masivos en sus extremos. Cuando se acerca algn tercer cuerpo a una de estas

masas, o dos cuerpos a sendas masas simultneamente, la atraccin gravitacional entre

estos cuerpos ocasiona una torsin en el alambre, misma que es proporcional a la fuerza

gravitacional entre los cuerpos, y que se puede medir mediante la deflexin de un haz de

luz por un pequeo espejo vertical fijo en el centro de la barra. El valor que se obtiene es

G = 6.673 x 10-11

N-m2/kg

2

Veamos entonces cul es el valor de la fuerza de atraccin entre la Tierra y un cuerpo de

masa m sobre su superficie. Para ello calculemos F para el caso de una esfera de masa M y

radio R, sobre una partcula de masa m a una distancia T del centro de la esfera, con T>R.

Supondremos tambin que la densidad de masa de la esfera es constante.

Debemos evaluar la fuerza que ejerce un cuerpo extenso sobre una partcula, para lo cual lo

descomponemos en elementos diferenciales de masa , y cada diferencial de masa est contenida en un diferencial de volumen . Figura [4.3]. Integraremos luego en el volumen de la esfera para obtener la fuerza total. La integracin se realizar en coordenadas esfricas

empezando con la variable de 0 a 2 para obtener la fuerza de un anillo de espesor diferencial sobre la partcula; luego se integrar en el ngulo de 0 a para obtener la fuerza de un cascarn de grosor , y finalmente integraremos en r de 0 a R.

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Partimos entonces de la expresin

(4.4)

con la densidad de la Tierra, x la distancia del elemento diferencial de volumen a la partcula, y

dV = r2sendrdd (4.5)

Hemos escrito tambin d3F para indicar que es una diferencial de orden 3. De acuerdo con

el programa trazado dividimos la masa de la esfera en volmenes diferenciales dV=r2sen

dr dd, y consideramos la fuerza de cada diferencial de masa dM sobre la partcula de masa m. La diferencial de masa es dM=dV. No perdemos generalidad si definimos al eje Z como aquel que tiene su origen en el centro de la esfera, y sobre el cual se encuentra la

partcula de masa m.

Considerando la simetra de la fuerza de un cascarn esfrico sobre la partcula, analicemos

el efecto de dos elementos diferenciales opuestos con respecto al eje Z, en los puntos A y

B, sobre la partcula (La Figura [4.2] muestra un esquema general del problema; los detalles

del elemento diferencial se muestran en la Figura [2.8]. En la Fig.[4.2] solo se muestra un

elemento diferencial, a saber, el que se encuentra en el punto B).

Cada uno de estos dos elementos diferenciales ejerce una fuerza que se descompone en una

componente a lo largo del eje Z y otra perpendicular al eje Z. La primera componente est

en la misma direccin en ambos elementos diferenciales, y es hacia el origen y por lo tanto

tales componentes se suman, pero la segunda es opuesta una con respecto a la otra, y por lo

tanto sus efectos se cancelan. Por lo tanto solo es necesario considerar la componente de

fuerza a lo largo del eje Z, la cual para un elemento diferencial de volumen es de (4.4) y

(4.5):

ddrdsenrx

mG

x

mdMGFd coscos 2

22

3 (4.6a)

donde es el ngulo entre el segmento de recta de la masa puntual a cada elemento diferencial de volumen y el eje Z, como se ve en la Figura [4.2]. De esta manera tambin el

problema del clculo de la fuerza, que es vectorial, al reducirse al clculo de la componente

a lo largo del eje Z, se convierte en un problema escalar.

Se integra entonces en en un aro de masa con la misma coordenada z y radio rsen (r y permanecen constantes), de donde se obtiene inmediatamente

drx

dcos senrGm2Fd

2

22 (4.6b)

11

Se integra luego en en todo el cascarn de radio r. r nuevamente queda constante, pero y x dependen de , por lo que las deberamos expresar entonces como funcin de , pero es ms conveniente dejar y en trminos de x.

Figura [4.2] Integracin para la determinacin de la fuerza de una esfera de radio R y masa M sobre una masa

puntual m en el punto P.

De la Figura [4.2] es fcil ver que

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Adems, por la ley de cosenos aplicada al tringulo OAP se tiene

(4.6c)

Diferenciando ahora la ecuacin (4.6c) considerando a x como funcin de , se obtiene

(4.6d)

(4.6e)

Empleando (4.6d) y (4.6e), (4.6b) queda

(4.6f)

Y ahora integramos en x, lo cual como ya se dijo, equivale a integrar en todo el cascarn de

radio r. Los lmites de la integral en x se obtienen de la ecuacin (4.6c), y de la Fig.[4.3]:

Cuando , i.e. , puesto que y .

Cuando , i.e. .

Por lo tanto debemos llevar a cabo la siguiente integral

Y (4.6f) queda

drT

mrG4dF

2

2 (4.7)

Esta ecuacin es la fuerza que ejerce el cascarn sobre la partcula, que se encuentra a una

distancia T de su centro. Si tomamos en cuenta que es la superficie de la esfera (interna o externa puesto que el espesor es diferencial) del cascarn, entonces es el volumen del cascarn, y es la masa del cascarn, y entonces (4.7) nos dice

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Lo cual quiere decir que el cascarn se comporta como si toda su masa estuviera

concentrada en su centro, puesto que esta es la fuerza que se ejerce entre dos partculas de

masa y m, separadas una distancia T.

Integramos ahora (4.7) en el radio r, de 0 a R.

2

3

0

2

2

3

44

T

mRGdr

T

mrGF

R

Puesto que el volumen de la esfera es V=(4/3)R3, y , el resultado es:

2

G T

MmF (4.8)

Esta es tambin la fuerza que se ejerce entre dos partculas, una de masa M y otra de masa

m separadas una distancia T por lo que el planeta se comporta como si toda su masa

estuviera concentrada en su centro. Esto obviamente representa una gran facilidad en el

clculo.

Para una masa igual a la masa MT de la Tierra, con radio RT, y un objeto de masa m sobre

la superficie de la Tierra, es decir con , la fuerza de atraccin, y por lo tanto el peso w del cuerpo de masa m, es:

(4.9a)

con

(4.9b)

De la ecuacin (4.9a) vemos que es la aceleracin que adquiere un cuerpo de masa m si solo experimenta la fuerza de atraccin de la Tierra, o sea si se deja caer libremente, y es

medible fcilmente. Vemos tambin de (4.9b) que la constante de la gravedad en realidad depende del radio y la masa de la esfera terrestre, y no depende de la masa m del cuerpo de

prueba. Esto significa por una parte que la aceleracin con la que caen los cuerpos es

constante, independiente de la masa de la partcula, y con ello reproducimos la ley de la

cada libre de los cuerpos. Por otra parte, dicha constante en realidad vara con la altura, y

por lo tanto en las montaas es ligeramente menor que el valor calculado. Varios

fenmenos son ligeramente diferentes por lo tanto en una ciudad como la de Mxico, que se

encuentra a 2,200 metros sobre el nivel del mar, y una ciudad costera. Tambin, al

depender de la masa de la Tierra (y en realidad de la densidad) la constante de la gravedad

vara con el tipo de material que hay en el subsuelo, y esto ha dado la oportunidad de llevar

a cabo exploraciones petroleras y de otro tipo. Una forma de llevar a cabo estas

exploraciones es a travs de la medicin de las fluctuaciones en la rbita de los satlites

artificiales.

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Las caractersticas geomtricas de nuestro planeta han sido determinadas a partir de

mtodos directos de medicin. La forma esfrica de la Tierra fue aceptada ya por los

griegos, e inclusive determinaron aproximadamente el valor del radio apoyndose en la

medicin de la distancia que corresponde a un grado en un crculo grande en la direccin

norte sur, observando la inclinacin de los rayos solares en dos puntos sobre dicho crculo.

Por supuesto, mtodos satelitales modernos han dado valores muy precisos del radio

promedio de la Tierra, y con ayuda de (4.9b) se obtiene su masa. Los valores obtenidos son

entonces

= 9.81 m/s2.

RT = 6.37 x 106 m

MT = 5.97 x 1024

kg

4.9 Medicin de la fuerza

Anteriormente se mencion que de su definicin, resultaba imprctica la medicin de la

fuerza. Con lo que acabamos de ver, tenemos ya una forma cmo medirla de una manera

viable, o mejor dicho, cmo disear mecanismos para evaluarla. Conociendo las masas de

un determinado nmero de cuerpos seleccionados, a travs de (4.9a) se puede conocer el

peso de cada uno de ellos. Esto nos da un conjunto de fuerzas. Estas fuerzas pueden ser

aplicadas a algn material para afectar una cantidad fsica medible, por ejemplo la

elongacin de un resorte. Esta propiedad debe guardar una relacin simple con la fuerza,

por ejemplo ser una relacin lineal, de tal manera que se pueda trazar una curva de

calibracin del valor de dicha propiedad como funcin de la fuerza.

Otra propiedad fsica apropiada para medir la fuerza es el momento dipolar en un material

piezoelctrico, el cual ocurre como consecuencia de la variacin en las posiciones de los

iones del material piezoelctrico, como consecuencia de la aplicacin de una fuerza sobre el

material. Dicha variacin en las distancias relativas entre los iones ocasiona un momento

dipolar que puede ser medido fcilmente.

4.10 Resumen del efecto de la fuerza de gravitacin en la tierra (Gravedad)

La Tierra ejerce una fuerza de atraccin sobre cada cuerpo de masa m ubicado sobre su

superficie, dada por

(4.10)

con = 9.81 m/s2.

Esta fuerza es igual al peso w del cuerpo de masa m, por lo que la relacin establece la relacin entre peso y masa. Adems, si soltamos al cuerpo, ste cae de acuerdo

con la segunda ley de Newton: F = ma en donde vemos que la aceleracin a que adquiere

en su movimiento es igual a , la cual es independiente de la masa del cuerpo. Por este motivo llamamos a la aceleracin debida a la gravedad; o coloquialmente pero incorrectamente la aceleracin de la gravedad.

15

Aunque (4.9a) es vlida cuando la partcula est sobre la superficie de la Tierra, siendo el

radio de la Tierra mucho mayor que las distancias convencionales manejadas en fenmenos

terrestres, las alturas que entran en juego casi siempre sern despreciables con respecto a

RT.

Ntese tambin que hemos llegado a (4.9) de una forma natural, postulando la ley de la

Gravitacin Universal de una manera muy plausible, y empleando la definicin de fuerza

de la segunda ley de Newton; los experimentos, de los cuales el ms inmediato es la

medicin de la aceleracin de los cuerpos en cada libre, corroboran la validez del

postulado hecho. Por otra parte, la formulacin de las leyes de Newton expuestas, son muy

intuitivas, como lo hemos demostrado.

Es tiempo tambin de hacer un comps de espera y recapitular lo que hemos logrado. Desde

el principio se estableci a la ecuacin de movimiento de los cuerpos como el conocimiento

final de la mecnica; ahora bien, a travs de la 2a Ley de Newton ya sabemos cmo llegar a

ella, a saber: primeramente identificando las fuerzas sobre la partcula (o el cuerpo) bajo

estudio para de ah obtener la aceleracin; luego, integrando la aceleracin dos veces para

obtener la posicin de la partcula como funcin del tiempo. Ms an, ya hemos

identificado las fuerzas de gravedad, que forman el captulo ms importante en los

fenmenos convencionales terrestres. Por lo tanto podramos pensar que el problema

esencial de la mecnica est ya resuelto. Mientras las fuerzas que actan sobre una partcula

puedan ser cuantificadas, por ejemplo a travs de una expresin analtica, como la

gravedad, este programa nos da la ecuacin de movimiento.

Ciertamente ya hemos descubierto las leyes esenciales de la mecnica; ya no falta otro

principio por descubrir, pero aun estamos lejos de terminar de elaborar la herramienta para

aplicar con xito las leyes descubiertas a los casos de mayor inters y ms complejos. Para

esto debemos extender el tratamiento a sistemas de varias partculas y a cuerpos de

volumen extendido o cuerpos rgidos, y tambin tenemos que aplicar las leyes descubiertas

a movimientos de rotacin. Para todos estos procesos que continan necesitaremos definir

nuevas cantidades, entre las cuales est la energa, que es uno de los conceptos ms

importantes en la Fsica, y adems debemos hallar relaciones entre estos nuevos conceptos;

pero esas relaciones se derivarn de las leyes de Newton aqu expuestas.

4.11 Masa inercial y masa gravitatoria

En este momento tambin es conveniente hacer una reflexin sobre el papel que ha jugado

la masa en las dos leyes anteriores, a saber: En la segunda ley de Newton, la masa tiene un

carcter inercial, esto es, que se opone al cambio de movimiento. Cuando debamos aludir a

este carcter de la masa, la llamaremos masa inercial. As pues, la masa inercial acta en

forma pasiva ante una fuerza, en tanto que en la ley de la gravitacin universal, la masa

acta como la promotora de las fuerzas entre partculas, y por lo tanto de su movimiento.

En este ltimo caso hablaremos de la masa gravitatoria. En la cada libre, ambas

caractersticas de la masa entran en juego, y se compensan, de tal forma que la aceleracin

con la que caen los cuerpos no depende de sus masas. Ntese que la masa m de la partcula

en la ecuacin (4.9a) es la gravitacional, y la masa en la ecuacin (4.10) es la inercial; la

16

primera proviene de la Ley de la Gravitacin Universal, y la segunda, de la segunda ley de

Newton.

4.12 Ley de Coulomb

Para concluir este prrafo, mencionemos que la Ley de la Gravitacin Universal expresada

por las ecuaciones (4.2) y (4.3) es formalmente idntica a la Ley de Coulomb de la

atraccin entre dos cuerpos cargados, en los que la masa se sustituye por la carga:

2

21K r

qqF (4.11)

En donde q1 y q2 son las cargas medidas en Coulombs (C), y K=9 x109

N.m2/c

2. Una gran

diferencia entre ambos casos es que en la Electrodinmica Clsica existen dos tipos de

cargas que se atraen cuando son de signos diferentes, y se repelen cuando tienen el mismo

signo. En la Mecnica solo hay atraccin. En el caso de las interacciones de cargas, K es

mucho mayor que G, pero un Coulomb es extremadamente grande. En principio dos

partculas con cargas de signo contrario deberan atraerse por partida doble, a saber, por una

parte porque tienen masa, y por lo tanto sufren fuerzas gravitacionales, y por otra, por la

fuerza de Coulomb. Para las masas usuales en general las fuerzas elctricas son mucho ms

intensas que las gravitacionales; pero las cosas cambian para masas grandes, como en las

estrellas, como veremos en un ejemplo ms adelante.

EJEMPLOS

4. Hallar la fuerza gravitacional que ejerce la mitad superior de un cascarn esfrico de masa M, radio R, y espesor diferencial sobre una partcula justamente sobre l.

Solucin

Tenemos entonces que en la ecuacin (4.6f) y , y si llamamos al espesor, sta se convierte en

Y al llevar a cabo la integracin, el lmite inferior es cero, y el superior R, resultando

Ntese, que no es la mitad de la obtenida para el cascarn completo.

5. Se hace un experimento para determinar la profundidad de un pozo por medio de la medicin del tiempo de cada libre de una piedra en su interior; el tiempo resulta ser

de 1.8 segundos, pero se sabe que la precisin del reloj es de 0.01 s. Cul es la

profundidad del pozo, y cunto vale el error de medicin?

Solucin La distancia recorrida por la piedra es

17

Sin considerar el error de medicin, la altura del pozo es

Diferenciando la expresin anterior, se tiene para la incertidumbre porcentual

El error porcentual en la medicin del tiempo es

0.01/1.8 = , y

O bien,

6. Evaluar la constante de la gravedad a la altura de la ciudad de Mxico (2,200 m sobre el nivel del mar).

Solucin

Evaluemos la variacin en debida a una variacin en la distancia al centro de la Tierra, suponiendo que el valor de 9.81 corresponde a la altura del nivel del mar:

Diferenciando con respecto al radio de la esfera en (4.9b)

2

3-

62 s

m106.8

1037.6

200,281.92

m

m

s

m

R

dR

T

T

Entonces en la ciudad de Mxico

.

7. Calcular la altura que alcanza un objeto disparado hacia arriba (a) a la altura del nivel del mar y (b) en la ciudad de Mxico, a una velocidad inicial de 100 m/s.

Solucin La altura mxima es alcanzada por el objeto en el momento en el que su velocidad

es cero. Usando la ecuacin (3.9) se tiene . Puesto que la

aceleracin de la gravedad est dirigida en contra del movimiento en la direccin

positiva, hacemos a = - y por lo tanto para (a)

m

sm

sm7.509

/81.92

/000,102

22

Para el caso (b) se debe usar el valor 9.803 en vez de 9.81 y podemos hacer

18

8. Dos esferas del tamao y masa de la Tierra se hallan separadas una distancia dada y cada una de ellas tiene una carga de un C del mismo signo. Se atraen las masas o

se repelen?

Solucin Debemos entonces calcular las ecuaciones (4.8) y (4.11) con T = r = RT. Es

evidente que solo debemos comparar las cantidades y :

2392242

2112 102.381097.510673.6G mNtkg

kg

mntM

Y del lado de la fuerza elctrica se tiene

292

2

292 10911091K mNtC

C

mNtC

En este caso la fuerza gravitacional es mucho mayor que la elctrica a cualquier

distancia de separacin.

4.13 El movimiento de los planetas

El movimiento de los planetas alrededor del Sol se debe a la atraccin gravitacional entre

stos, as como a las condiciones iniciales de la formacin de cada planeta. Si en algn

momento dos cuerpos celestes se encuentran en reposo relativo, stos se atraen y en un

tiempo posterior chocan; pero si en el momento de su formacin estos astros stos se halla

en movimiento giratorio relativo, los cuerpos recin formados, que podran ser un planeta y

un sol, heredan de los cuerpos que lo formaron, un impulso que cuando menos tiene una componente finita perpendicular a la lnea que une a ambos cuerpos celestes. Bajo estas

condiciones, el movimiento circular relativo se conserva. En los captulos siguientes

trataremos las principales caractersticas que resultan de esta interaccin. Para la

descripcin completa del movimiento de un planeta alrededor del Sol, as como del

movimiento relativo de cualquier pareja de cuerpos celestes, se requiere de mtodos

matemticos, algunos de los cuales an no se hallan al alcance de los estudiantes de este

nivel, por lo que en este momento, solo mencionaremos las leyes que rigen este

movimiento, y mostraremos el caso en el que el movimiento es circular.

Las leyes que rigen el movimiento de los planetas alrededor del Sol son conocidas como las

Leyes de Kepler, y dicen lo siguiente:

1. Todos los planetas se mueven en rbitas elpticas ocupando el Sol uno de los focos. 2. El segmento que une cualquier planeta al Sol barre reas iguales en tiempos

iguales.

3. El cuadrado del perodo de rotacin de un planeta alrededor del Sol es proporcional al cubo de la distancia promedio del planeta al Sol.

A la primera ley se le conoce con el nombre de Ley de rbitas, a la segunda como Ley de

reas, y a la tercera, como la Ley de perodos.

La demostracin de la Ley de rbitas, se llevar a cabo en cursos posteriores; pero el caso

particular en el que la elipse se convierte en un crculo es fcil de entender con la

19

herramienta con la que ya contamos, y ser tratado en el siguiente captulo, el cual est

dedicado a las aplicaciones de las leyes de Newton.

4.14 Simulacin de la ingravidez

Para el entrenamiento de astronautas, as como para el estudio de ciertos fenmenos de

corta duracin, e inclusive como un caro entretenimiento, es deseable la ausencia de la

fuerza de gravedad. Tal cosa solo se puede lograr en sitios muy alejados de la tierra; no

obstante en la Tierra se puede simular. Para tal fin, recordemos que cuando una persona de

masa m se halla en un elevador que desciende con una aceleracin , la persona siente que pierde un peso igual a ma; y si el elevador simplemente cayera, los pies de la persona

dejaran de ejercer fuerza sobre el piso del elevador porque ambos estaran cayendo

libremente. En este tiempo la persona dentro del elevador se sentira libre de su propio

peso. Obviamente la construccin de una cmara que caiga libremente sin lesionar a sus

ocupantes al frenar suficientemente suave, es poco menos que imposible. Una forma ms

viable podra consistir en una cmara que describa una cada parablica. Tal cosa se logra

con un avin que vuela inicialmente horizontalmente, y en algn momento apaga sus

motores. El movimiento del avin contiene dos componentes, a saber: el horizontal con

velocidad igual a la velocidad inicial del avin, y una cada vertical. La componente

horizontal de la velocidad en nada afecta a las personas dentro del avin, y el peso de

dichas personas con respecto al avin es cero, como en el caso del elevador. Ciertamente,

para este tipo de simulacros, un avin especialmente arreglado para proporcionar el mayor

espacio posible en su interior, desciende en trayectoria parablica utilizando sus motores

nicamente para compensar la prdida de velocidad por la friccin con el aire. Cada

persona ah tiene durante este tiempo la impresin de estar flotando libremente.

PREGUNTAS, EJERCICIOS Y PROBLEMAS

1. Cmo se interpreta la tercera ley de Newton sobre la accin y reaccin de fuerza para los campos gravitacionales?

2. Si la Tierra rota alrededor de uno de sus ejes por qu un objeto lanzado verticalmente hacia arriba no cae en un punto diferente a aquel en el que fue

lanzado, debido a la rotacin?

3. Deber un francotirador que se halla en uno de los polos terrestres hacer una correccin por la rotacin de la Tierra, si dispara a un objeto? Habra cambios

esenciales si el francotirador se halla en un punto general de la Tierra?

4. Piense en un pndulo que se deja oscilar libremente a partir de un punto P. Sean O el punto donde se sujeta el hilo del pndulo, y Q el punto donde se halla la masa del

pndulo cuando cuelga en reposo. En qu plano oscila el pndulo unos instantes

despus de ser dejado en libertad? Continuara el pndulo oscilando en ese mismo

plano durante las 24 horas?

5. Qu diferencia hay entre dos fuerzas en el espacio, una de las cuales se expresa

como , y la otra como ? Cmo se comporta una fuerza si se expresa como , con una funcin escalar de y de ? Y cmo se comporta una fuerza si se expresa como donde es un vector constante?

6. Un electrn con velocidad inicial de 3.5 x 104 m/s entra perpendicularmente por una abertura, en un sistema de dos placas cargadas que forman un campo elctrico; el

electrn emerge por la otra placa a una velocidad de 5.0 x 106 m/s (Fig. [4.3]). La

20

distancia entre las placas es de 0.9 cm y la masa del electrn es . Calcule la fuerza elctrica sobre el electrn.

Figura [4.3]

7. Dos partculas de masa m estn cargadas con cargas iguales. Cul debe ser el valor de la carga para que las fuerzas elctricas repulsivas se equilibren con las

gravitacionales? Cul debe ser la masa de las partculas si la carga es de 1.5 x 10-6

C?

8. Un cuerpo de peso pende de una cuerda sin masa, la cual est unida por su otro extremo a un carro que se mueve sobre una mesa sin friccin. La cuerda pasa por

una polea, como en la Fig.[4.1]. Cul es la tensin de la cuerda si el carro se sujeta

sin permitir su movimiento? Cul sera la tensin de la cuerda si el carro se suelta?

Cul sera entonces la aceleracin del carro?

9. En el captulo anterior se demostr que una partcula movindose uniformemente

con velocidad en trayectoria circular de radio r tiene una aceleracin centrpeta. Qu fuerza debe ejercer un agente externo para mantener el movimiento circular si

la partcula tiene masa m?

10. En el ejemplo 8, tcitamente supusimos que dos masas esfricas se atraen de la misma manera que dos partculas con las mismas masas, ubicadas en los centros de

aquellas. Justifique esta suposicin.

11. Calcular la fuerza gravitacional que ejerce a) un disco de espesor t, radio R y masa M b) un aro delgado de radio R y masa M sobre una masa unitaria a una distancia x de su centro sobre su eje perpendicular.

Sugerencia: tome un elemento diferencial de volumen en coordenadas cilndricas.

(Ver Captulo 2).

12. Considere la respuesta del inciso b) de la pregunta anterior. Es equivalente el resultado a aquel en el que toda la masa del aro se considera concentrada en su

centro, como en el caso del cascarn y de la esfera dura? Explique su respuesta.

Sugerencia, use la ecuacin (4.6b), y suponga que el aro tiene densidad lineal

uniforme de masa.

13. Utilizando el resultado del ejercicio anterior, determine la fuerza gravitacional que ejerce un cilindro muy delgado recto de radio R, masa M y longitud L sobre una

partcula de masa m que se halla a una distancia h del centro del cilindro sobre el eje

21

de ste. Discuta el resultado cuando la masa puntual se encuentre a) fuera del

cilindro, y b) en el interior del cilindro. Haga una grfica de la fuerza contra h.

14. Qu cambios habra en el tratamiento de la atraccin de la Tierra si suponemos que la densidad no es constante sino una funcin de r? Se podra seguir considerando a

la atraccin de la Tierra como si su masa total estuviera concentrada en su centro?

Sugerencia: Evale la masa de una esfera de radio R y masa M con esta condicin, y

demuestre que

.

15. Un modelo ms apropiado de la Tierra, que el tratado en este captulo, es el de una esfera compuesta de varias capas esfricas, cada una con una densidad

caracterstica. Se modificaran las conclusiones para el caso de masa uniforme?

16. Demuestre que un cascarn esfrico de masa no ejerce fuerza gravitacional alguna sobre una masa de prueba, si sta se encuentra dentro del cascarn. Demuestre

adems que esto no necesariamente sucede si el exponencial de la distancia en la

fuerza fuera distinto de 2. Cmo puede usted explicar esto fsicamente?

17. Cunto pesa un hombre de 60 kg en un avin que vuela a 10,000 m de altura? 18. Calcule la fuerza gravitacional que una persona de 70 Kg ejerce sobre otra del

mismo peso a una distancia de un metro.

19. Calcule la longitud mxima que puede tener un cable de acero de 1 cm2 de rea de seccin transversal si la resistencia a la fractura de este tipo de material es de 53,955

N/cm2.

20. Un resorte mide 22 mm cuando se le aplica una fuerza de 30N y 52.4 mm cuando la fuerza aplicada es de 120N. Suponga que el alargamiento del resorte es

proporcional a la fuerza aplicada. Cunto mide el resorte sin fuerzas aplicadas?

Cul es la constante de proporcionalidad entre fuerza y deformacin?

21. La fuerza que ejerce un campo magntico B (por ejemplo en medio de los polos de un electroimn) sobre una carga q, est dada por la llamada fuerza de Lorentz: F =

, donde es la velocidad de la carga (Fig. [4.4]) Contradice esta fuerza la segunda ley de Newton que establece que la fuerza se relaciona con la aceleracin y

no con la velocidad de la partcula? Cmo se interpretara la tercera ley de Newton

para la fuerza de Lorentz?

Figura [4.4]

22

Si el campo magntico es producido por un pequeo imn en forma de herradura

suspendido de un hilo, con su campo magntico vertical qu ocurrira con el imn

si se hace pasar un haz de protones perpendicular al campo y al plano del imn?

22. En una estrella, las fuerzas gravitacionales que la contraen se equilibran con las fuerzas de fusin que se produce por las altas temperaturas. La fusin consiste

esencialmente en la conversin de hidrgeno en helio. Siendo el hidrgeno total una

cantidad finita, qu esperara usted que ocurriera con la estrella con el tiempo?

23. Piense nuevamente en la situacin de la estrella del ejercicio anterior. Qu efectos gravitacionales tendra la estrella durante su transformacin, sobre una estrella

vecina? Suponga que la primera estrella tiene simetra esfrica, y la conserva

durante todo el proceso.

24. A qu distancia entre la Tierra y la Luna debe estar una nave espacial para que las fuerzas de atraccin se compensen? La masa de la Luna es aproximadamente 1/80

de la masa de la Tierra, y la distancia entre ambas es de 384,321. Kilmetros.

25. Cunto vale la constante de la gravedad en la Luna? El volumen de la Luna es 1/49 veces el de la Tierra. Describa usted el movimiento de un proyectil lanzado

verticalmente en la superficie de la Luna, y compare con la misma situacin sobre

la superficie de la Tierra.

26. Supongamos que se hace un hoyo vertical de longitud h. Demuestre que el peso de un cuerpo en el fondo de dicho hoyo es

.

Use el resultado del ejercicio 16.

27. Dos partculas de igual masa y volumen se hallan en contacto. Demuestre que la fuerza de gravedad entre ellas tiende a cero cuando las masas se aproximan

hacindose ms pequeas, de tal forma que su densidad se conserve constante.

Sugerencia: aproxime el volumen de cada partcula por una esfera de radio , evale la fuerza, y luego haga tender a cero.