Dinamica de Particula, Trabajo y Energia - Fisica 2012-1

DINAMICA DE UNA PARTICULA

M.Sc. Norbil Tejada Campos

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

FACULTAD DE INGENIERIA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

ASIGNATURA: FISICA I

DINAMICA DE UNA PARTICULA

pdt

damF

0. INTRODUCCION:

1. Dinámica.- Parte de la Mecánica que estudia las relaciones existentes

entre las fuerzas que actúan sobre una partícula y su movimiento, dado por

la Segunda Ley del Movimiento o Segunda Ley de Newton; Así, tenemos:

Donde: m es la masa de la partícula, considerada constante para

velocidades pequeñas ( v << c).

2. Como en la Cinemática se ha estudiado la aceleración en diferentes sistemas de

coordenadas referenciales, la fuerza puede expresarse en coordenadas: cartesianas,

polares, cilindricas, esfericas, etc.

1.-Concepto de fuerza

Físicamente, se entiende como fuerza a la magnitud que caracteriza la

interacción de por lo menos dos cuerpos, que determina la variación del estado

de movimiento del cuerpo, el cambio de su forma, o las dos cosas a la vez.

Definición.- Fuerza es toda causa capaz de modificar el estado de equilibrio

o de movimiento de los sistemas o bien de deformarlos »

La fuerza es de carácter vectorial, de modo que deberemos conocer en todo

momento su módulo, dirección y sentido.

2.-Dimensiones y unidades de fuerza

Las dimensiones de fuerza, son: [F]=MLT-2

Unidades:

SISTEMA C.G.S : 1 DINA=1 g.1 cm/s2

SISTEMA INTERNACIONAL : 1 NEWTON (N)=1 kg.1 m/s2

SISTEMA TECNICO: 1 KILOPONDIO o KILOGRAMO-FUERZA (kp)

1. CONCEPTOS GENERALES:

Fig. Fuerzas fundamentales de la naturaleza . Fig. Fuerzas de la naturaleza .

1. CONCEPTOS GENERALES:

3.- Principios o leyes de la Dinámica

PRIMERA LEY (Ley de inercia): « Todo sistema físico en estado de equilibrio o de movimiento rectilíneo y uniforme permanecerá indefinidamente en esos estados, salvo que una FUERZA lo saque de ellos» De esta definición se desprende inmediatamente que una única fuerza no puede producir equilibrio. SEGUNDA LEY (Ley dinámica): « La aceleración adquirida por un sistema es directamente proporcional a la fuerza aplicada sobre él ». En el caso que haya varias fuerzas aplicadas, la aceleración será proporcional a la resultante de las mismas. Matemáticamente se puede expresar así: TERCERA LEY (Ley de acción - reacción): « Toda acción (FUERZA) ejercida sobre un sistema, es respondida por este con una reacción (FUERZA) igual en módulo y dirección y de sentido opuesto »

amF

2.1. LEY DE INERCIA:

Partícula libre.- Denominada así, a la partícula que no está sujeta a interacción alguna.

Ley de inercia.- “Una partícula libre se mueve siempre con velocidad

constante, o (lo que es lo mismo) sin aceleración”

Análisis: Entonces, una partícula libre se mueve en línea recta con una velocidad constante o

se encuentra en reposo (velocidad cero), observación dada desde un sistema inercial de

referencia.

2. ANALISIS DE LAS LEYES DEL MOVIMIENTO

2.2. LEY FUNDAMENTAL DE LA DINAMICA:

amF

xx maF

yy maF

zz maF

Vectorialmente: Escalarmente, sietema cartesiano XYZ:

Su aplicación a la resolución de casos prácticos requiere lo siguiente:

1.- Elegir un sistema de referencia apropiado.

2.- Representar gráficamente todas las FUERZAS REALES que intervienen en el

problema (Peso, tensiones de hilos, reacciones de planos de apoyo, fuerzas de

rozamiento, etc.)

3.- Descomponer las fuerzas anteriores de acuerdo con la referencia elegida. Deducir

de ello el posible sentido de movimiento del sistema.

4.- Aplicar la ecuación vectorial, o las correspondientes ecuaciones escalares a cada

eje. En aquellos ejes en que exista equilibrio:

0F


2.2. LEY FUNDAMENTAL DE LA DINAMICA: amF

tt maF nn maF

22

RR

van

Si la trayectoria descrita por el móvil es circular, el sistema de referencia deberá establecerse como sigue: 1.- Uno de los ejes deberá estar dirigido RADIALMENTE, es decir, unirá el punto material móvil con el centro de curvatura de la trayectoria. 2.- El otro eje, perpendicular al primero, será en general, tangente a la trayectoria. Observar que el sistema de referencia elegido coincide en sus ejes con dos de los del TRIEDRO INTRÍNSECO. La ecuación general se escribe ahora: que son las dos ecuaciones escalares que se obtienen con el sistema de referencia elegido: Donde:



2.3. LEY DE ACCION Y REACCION:

a. Observar que los puntos de aplicación de la ACCIÓN y REACCIÓN están situados sobre cada uno de los cuerpos en contacto.

b. En sólidos apoyados sobre superficies, la acción ejercida por los mismos, es siempre NORMAL (perpendicular) a dicha superficie.

c. En sólidos suspendidos de hilos, cuerdas etc, la ACCIÓN tensa la cuerda, y su punto de aplicación está sobre ella. Esto indica que la REACCIÓN tendrá su punto de aplicación en el sólido suspendido, y será de sentido opuesto a la ACCIÓN.

Las imperfecciones de las superficies en contacto, por ejemplo en los casos de

sólidos apoyados, hacen aparecer fuerzas que en todo momento se oponen al

movimiento. Estas fuerzas se les denomina de fricción o rozamiento. Según el

sistema esté en reposo o movimiento, cabe hablar de dos tipos de rozamiento: a)

Estático y b) Dinámico. En ambos casos, la fuerza de rozamiento es

directamente proporcional a la fuerza normal ejercida por el sistema sobre la

superficie de apoyo. Se puede escribir: (Módulo), y de sentido opuesto

al movimiento.

NFr

3. FUERZAS DE FRICCION O ROZAMIENTO

μ : es un número adimensional llamado coeficiente de rozamiento, y dependiendo si el rozamiento es estático o dinámico, tendremos dos tipos de coeficiente: a) Coeficiente de rozamiento estático: μs y b) Coeficiente de rozamiento dinámico : μd . Es fácil demostrar que : μs > μd

3. FUERZAS DE FRICCION O ROZAMIENTO

Nf ss

Nf dd

La fuerza de rozamiento estático , aparece al intentar poner en movimiento un

cuerpo en reposo. Por ejemplo, al empujar un mueble pesado sobre el piso, este no se

moverá debido al rozamiento estático con la superficie del piso. La fuerza de rozamiento

cinético , es la fuerza de rozamiento ejercida por una superficie sobre un objeto que

se encuentra en movimiento sobre dicha superficie.

4. APLICACIONES DE LAS LEYES DEL MOVIMIENTO

Ejemplo 01.- (p. 12.3; pag. 529; Dinamica, I. Shames). Un cuerpo puede deslizar

hacia abajo por un plano inclinado. El coeficiente de rozamiento es de 0,05. Si la

velocidad del bloque al llegar al punto más bajo es de 9 m/s. ¿A qué altura se soltó y

durante cuánto tiempo viajó?.

30º

μ = 0,05

30/07/2012 13

DEFINICION: Cuando una fuerza actúa

sobre una partícula, realiza un trabajo

cuando ésta desplaza a dicha partícula

en la dirección de la fuerza. Así, la

fuerza desplaza a la partícula P

según .

El trabajo es una magnitud física

escalar, y se define como:

F

rd

rdFW

dsFW cos

Según la definición de producto

escalar, tenemos:

TRABAJO y ENERGIA

1. TRABAJO DE UNA FUERZA

30/07/2012 14

dsFrdFW cos

Análisis:

1. W (+); si la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido (0º ≤ θ ≤ 90º).

2. W (-); si la fuerza y el desplazamiento tienen sentidos opuestos (90º ≤ θ ≤ 180º).

3. W (nulo); si la fuerza y el desplazamiento son perpendiculares ( θ = 90º).

Unidades:

1. (W) = 1 N.m = 1 J (julio)

2. (W) = 1 din. cm = 1 erg (ergio)

3. (W) = 1 kgf.m

4. (W) = 1 lb.pie

5. etc.

DEFINICION:


30/07/2012 15

cosFxxFW

Análisis:

1. W (+); si la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido (0º ≤ θ ≤ 90º).

2. W (-); si la fuerza y el desplazamiento tienen sentidos opuestos (90º ≤ θ ≤ 180º).

3. W (nulo); si la fuerza y el desplazamiento son perpendiculares ( θ = 90º).

DEFINICION: Si el desplazamiento es horizontal; tenemos:

m m

(A) (B)

θ

x

FN

P

f

x


30/07/2012 16

Conociendo Fc y θ constantes, el

trabajo que realiza Fc cuando la

partícula se desplaza de S1 a S2, se

determina por medio de la ecuación:

12coscos

2

1

SSFdsFW

S

S

Este trabajo se representa mediante una área de un rectángulo, como se observa

en la figura:

Fccosθ

S1 S2 S

F

0

W = AREA

2. TRABAJO DE UNA FUERZA CONSTANTE Y DESPLAZAMIENTO LINEAL

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Ejemplo.- Con una fuerza de 150 N que forma un ángulo de 37º con la

horizontal se tira una caja de 50 kg, en una superficie áspera horizontal. La caja

se mueve una distancia de 5m con rapidez constante. Calcular: a) el trabajo

realizado por cada fuerza, b) el coeficiente de roce.

2. TRABAJO DE UNA FUERZA CONSTANTE Y DESPLAZAMIENTO LINEAL

30/07/2012 18

La partícula al desplazarse de S1 a S2,

en una posición intermedia se tiene:

kdzjdyidxrd

kmgkPP

El trabajo que realiza la fuerza peso,

es:

2

1

r

r

rdPW

2

1

)()(

r

r

kdzjdyidxkPW

)( 12

2

1

zzPPdzW

z

z

ZmgZPW

3. TRABAJO DE UNA FUERZA GRAVITACIONAL (PESO)

30/07/2012 19

Consideremos un resorte de constante de restitución

“k”, acostado sobre una superficie horizontal sin roce y

con un extremo empotrado en una pared. Supongamos

además que el sistema inicialmente se encuentra en

reposo, con el resorte teniendo su largo natural.

Evaluemos el trabajo que debemos realizar para alargar

(lentamente) el resorte en una magnitud x0. La fuerza

que debemos aplicar para lograr nuestro objetivo ahora

no es constante, sino que aumenta a medida que el

resorte se estira: ikxxF

)(

El trabajo que debemos realizar para alargar el resorte,

desde x = 0 hasta x = x0 ; viene dado por:

2

0

00

02

1)(

00

0kxkxdxidxxFW

xxx

x

x

k

4. TRABAJO DE UNA FUERZA DE UN RESORTE

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2. Si la masa (m) experimenta un

desplazamiento arbitrario des x = xi hasta

x = xf, el trabajo realizado por el resorte

está dado por:

22

2

1

2

1)(

fi

fx

ix

resorte xkxkdxxkW

F

xi xf

k

m

1. Si la masa (m) experimenta un

desplazamiento arbitrario des x = xi hasta

x = xf, el trabajo realizado por un agente

externo (que realiza la fuerza F); está

dado por:

22

2

1

2

1)(

if

fx

ix

xkxkdxxkW

4. TRABAJO DE UNA FUERZA DE UN RESORTE

ENERGIA CINETICA : K = ½ mv2

ENERGIA POTENCIAL : EP = EP (x,y,z)

ENERGIA MECANICA TOTAL : E = K + EP

5. ENERGIA MECANICA

x

y

z

0

m

r

Una fuerza que realiza trabajo responde

a la Segunda Ley de Newton; asi

tenemos:

rd

vdvm

dt

vdmamF

.

vdvmrdF

..

Integrando, según las condiciones

iniciales; tenemos:

2

1

2

1

..

v

v

r

r

vdvmrdF

12

2

1

2

22

1KKvvmW

Donde: eticaEnergiaCinmvK 2

2

1

6. TRABAJO y ENERGIA CINETICA

TEOREMA: TRABAJO – ENERGIA CINETICA

“El trabajo neto efectuado por las fuerzas que actúan sobre

una partícula, es igual al cambio de la energía cinética de la

partícula”:

KKKmvmvW ififn 22

2

1

2

1

Observaciones:

1. W y K son cantidades escalares, de iguales unidades.

2. W (+ o -) y K (+)

3. W y K dependen del marco de referencia elegido; pero Wn = ΔK

6. TRABAJO y ENERGIA CINETICA

30/07/2012 24

1. Fuerzas conservativas, suponer que una partícula se mueve, por la acción

de una fuerza, desde una posición inicial P hasta otra posición final Q, por

trayectorias arbitrarias 1 y 2. Si la fuerza es conservativa, entonces el trabajo

para mover la partícula desde P a Q sólo depende de las coordenadas inicial

y final de la partícula, esto es:

WPQ (por trayectoria 1) = WPQ (por trayectoria 2)

2. Fuerzas no conservativas (o fuerzas disipativas), son aquellas para las

cuales el trabajo realizado por las fuerzas para mover una partícula entre dos

puntos, depende de la trayectoria que se realice para unir los puntos. Para las

fuerzas no conservativas se tiene que, WPQ(por trayectoria 1) ≠ WPQ(por

trayectoria 2).

Las fuerzas de roce, que siempre se oponen al desplazamiento, son no

conservativas o disipativas, el trabajo de estas fuerzas es negativo y le hacen

perder energía al sistema.

7. CAMPO DE FUERZAS CONSERVATIVAS y ENERGIA POTENCIAL

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Si el trabajo efectuado por una fuerza para mover un cuerpo desde una

posición inicial a una final, es independiente de la trayectoria seguida

entre los dos puntos; entonces la fuerza es conservativa.

oWW PQPQ 2,1,ordFrdF

P

Q

Q

P

Ejemplos:

A.

B.

ó

2,1, PQPQ WW


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El trabajo realizado por una fuerza conservativa es independiente de la trayectoria y

de la rapidez con la que se mueve la partícula. En este caso el trabajo es sólo

función de las coordenadas, por lo que se puede asociar con una variación de

energía función de la posición, similar al caso de la energía cinética que es función

de la velocidad.

“El trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual al valor

negativo del cambio de energía potencial asociada con la fuerza”:

fpipp

r

r

FC EEErdFW

f

i

TEOREMA: TRABAJO – ENERGIA POTENCIAL


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1º Ejemplo de Fuerzas conservativas: Fuerza de un resorte elastico


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2º Ejemplo de Fuerzas conservativas: Fuerza de la gravedad


30/07/2012 29

p

r

r

c ErdFW

f

i

KrdFW

f

i

r

r

c

1. Movimiento en un Campo de Fuerzas Conservativas:

pEK

^

De donde, tenemos que:

Principio de conservación de la Energía Mecánica: “La

suma de la energía cinética y la energía potencial de una

partícula, permanece constante todo el tiempo que dure

el movimiento”.

8. CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICA

30/07/2012 30

KrdFE

f

i

r

r

cp

KrdFrdFrdFFW

f

i

f

i

f

i

r

r

nc

r

r

c

r

r

ncc

)()(

2. Movimiento en un Campo de Fuerzas no Conservativas:

El trabajo de las fuerzas no conservativas es igual a la variación de la

energía cinética mas la variación de la energía potencial”.

pnc EKW


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PRINCIPIO DE CONSERVACION DE LA ENERGIA:

“Cuando todas las fuerzas que actúan sobre una

partícula son conservativas, la energía Mecánica total en

cualquier posición es igual a una constante, igual a

sumar: E = K + Ep”

LEY DE CONSERVACION DE LA ENERGIA:

“La energía de un sistema aislante puede ser

transformada de una clase a otra; sin embargo, la

energía total en sus varias formas no se puede ser

creada ni destruida”


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DEFINICION: Potencia se define como la rapidez con la que se realiza

trabajo. Asi tenemos:

i

ii

i

vFdt

rdF

P

dt

dWP

vFdt

rdFP

Como dW para cualquier fuerza Fi es: , de modo que la Potencia

que desarrolla un sistema de n fuerzas en el tiempo “t”, es: ii rdFdW

Unidades:

1. (P) = 1 J/s = 1 w (watts)

2. (P) = 1 lib.pie/s

3. (P) = 1HP (horse power o caballo de potencia)

Equivalencias:

1 w = 1 J/s = 1 N.m/s

1 HP = 550 lb.pie/s = 746 w

9. CONSIDERACIONES SOBRE POTENCIA MECANICA

30/07/2012 33

MAQUINAS:

)(..

)(..)(

e

s

pentradapotencia

psalidapotenciaeficiencia

Para algunas máquinas se hace necesario conocer la

potencia en base a la cual se puede realizar un trabajo en un

determinado tiempo (ε); donde las fuerzas de rozamiento

disminuyen la potencia de salida haciendo que la eficiencia

de una máquina sea menor que la unidad (ε<1).

Nota.- Se puede definir una nueva unidad de energía en términos de la unidad de potencia, llamada kilowatt-hora. Un kilowatt-hora (kWh) es la energía utilizada durante una hora con una potencia constante de 1 kW. El valor de un kWh es: 1 kWh = 1000 W · 3600 s = 3.6 x 106 J.

9. CONSIDERACIONES SOBRE POTENCIA MECANICA

Dinamica de Particula, Trabajo y Energia - Fisica 2012-1

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