Cap 5 Torsión (b) Version 2014

Mecánica Estructural Escuela de Posgrado PUCP

CAPITULO 5: Torsión de Barras Prismáticas

Profesor: José Acero Martínez

230

5.2. Método del Semi-inverso de Saint Venant para secciones no circulares

Sea un elemento de sección transversal constante, sometido a torsión. Una distribución de

esfuerzos aplicada en sus extremos produce un momento torsor T.

En general, diversas distribuciones de esfuerzos en los extremos pueden producir un

momento torsor T; de acuerdo al Principio de Saint Venant, si el elemento es

suficientemente largo, la distribución de esfuerzos en la mayor parte del mismo dependerá

del momento torsor T, y no de la distribución de esfuerzos en los extremos.

Se analizará los cambios geométricos en el elemento deformado; en base a los resultados de

este análisis se asumirá expresiones aproximadas de las componentes de los

desplazamientos, debido a la acción del momento torsor T.

Geometría de la Deformación

Como en el caso de las secciones circulares, se asume que el elemento tiene un eje de

torsión, y que cada sección transversal gira alrededor de este eje aproximadamente como un

cuerpo rígido (Figura 5.6). Sea z este eje.

Figura 5.6. Deformación de una sección no circular sometida a un momento torsor T

Antes de la deformación OA y OB coinciden con los ejes “x” e “y” respectivamente.

Después de la deformación, mediante desplazamientos de cuerpo rígido es posible hacer

que O* (nueva posición de O) coincida con O y alinear el eje de rotación con el eje z.

Asimismo se puede rotar el cuerpo para que la proyección de O* A* sobre el plano xy

coincida con el eje x.

En general O*A* no está sobre el plano xy, debido a que hay desplazamientos (alabeo de la

sección transversal) en el sentido del eje z. Sin embargo, este alabeo es pequeño para

pequeñas deformaciones, y por esta razón la recta OA y la curva O*A* son casi

coincidentes, y así se muestran en el gráfico.

Los ensayos realizados permiten afirmar que el alabeo (o distorsión) de cada sección

transversal es esencialmente el mismo y que las dimensiones de cada sección no varían de

manera significativa. En otras palabras la deformación en el plano de la sección transversal




231

es despreciable y por lo tanto la proyección transversal es despreciable y por lo tanto la

proyección de O*B* sobre el plano xy coincide aproximadamente con el eje y. (Por lo tanto

la deformación xy es muy pequeña, y puede considerarse igual a 0).

Sea un punto ),,( zyxP , que pasa a la posición P* después de la deformación. En general P

sufre un desplazamiento "w" paralelo al eje z, debido al alabeo de la sección, y

desplazamientos "u" y "v", paralelos a los ejes x e y respectivamente. Los desplazamientos

"u" y "v" se deben principalmente a que la sección transversal a la que pertenecen P gira un

ángulo con respecto a la sección transversal en el origen.

En base a estas observaciones Saint Venant supuso que z· , siendo el ángulo de

torsión por unidad de longitud. Así las expresiones de las componentes de los

desplazamientos son:

yxwzxvzyu ,· (5.7)

Donde es la función de distorsión. Se demostrará que la función ),( yx , se puede

determinar de modo que se satisfagan las ecuaciones de la elasticidad.

Como se ha asumido componentes de los desplazamientos (u, v, w), las ecuaciones de

compatibilidad de pequeños desplazamientos, se satisfacen automáticamente.

Al reemplazar (5,7) en las ecuaciones de desplazamientos pequeños, se obtendrá el estado

de deformaciones en un punto del elemento:

0 xyzzyyxx

y

xxzxz

2 (5.8a)

x

yyzyz

2 (5.8b)

Con la finalidad de eliminar la función de distorsión, se deriva la ecuación (5.8a) respecto a

“y”; la ecuación (5.8b) respecto a “x”, y se resta los resultados, para obtener la ecuación

5.9:

11

22

yxyxxy

yzxz

2

xy

yzxz (5.9)

Si el problema de torsión se formula en términos de las deformaciones por corte de

ingeniería ),( yzxz , la ecuación (5.9) es la condición geométrica (de compatibilidad) a ser

satisfecha.




232

Esfuerzos en un punto y ecuaciones de equilibrio

Si se reemplaza los valores de las componentes de la deformación unitaria (5.8) en la Ley

de Hooke, se obtendrá:

000 yzxzxyzzyyxx

Si se desprecia las fuerzas de masa (Bx, By y Bz), al aplicar las ecuaciones diferenciales de

equilibrio en un cuerpo deformable (ecuaciones 2.59, ítem 2.6) se obtendrá:

0

z

xz (5.10a)

0

z

yz (5.10b)

0

yx

yzxz

(5.10c)

Por lo tanto xz y yz son independientes de z; de otro lado la ecuación (5.10c) expresa

la condición necesaria y suficiente para que exista una función de esfuerzos ),( yx

(denominada función de esfuerzos de Prandtl), tal que:

yxz

(5.11a)

xyz

(5.11b)

El problema de torsión se ha convertido así en la determinación de la función de esfuerzos

),( yx

Condiciones de borde

Como no hay fuerzas aplicadas en las caras laterales de un elemento sometido a torsión, el

esfuerzo cortante , en los bordes de la sección transversal, debe tener dirección

perpendicular a la normal al borde (es decir debe ser tangente al borde).

Las componentes del esfuerzo cortante xz y yz se pueden poner en función de :

cos yzxz sen

Siendo: ds

dy

ds

dxsen cos




233

Como la componente de en la dirección de la normal N al borde es CERO, la suma de

las proyecciones de xz y yz en la dirección de la normal deber ser CERO.

Figura 5.7. Sección transversal de un elemento sometido a torsión

0cos senyzxz

La ecuación anterior, es lo mismo que:

0ds

dx

ds

dyyzxz (5.12)

Reemplazando (5.11) en (5.12):

00

ds

d

ds

dx

xds

dy

y

Esto permite afirmar que la función es constante en la frontera S. Como solamente

interesa las derivadas parciales de , se puede definir arbitrariamente esta constante como

CERO:

0 , en la frontera de la superficie S

A partir del desarrollo anterior es posible demostrar que el esfuerzo cortante:

22

yzxz

En cualquier punto de la sección transversal es tangente a la curva K (constante) en

ese punto.




234

Esfuerzo en la sección transversal y equilibrio

Los esfuerzos xz y yz deben satisfacer las ecuaciones de equilibrio en la sección

transversal:

dxdy

ydxdyFx xz0

dxdy

xdxdyFy yz0

dxdyy

yx

xdxdyyxTM xzyzz

Los signos en la expresión anterior se justifican si se toma en cuenta que, para x > 0 e y > 0,

yz produce un momento en sentido antihorario, y xz en sentido horario.

Para efectuar las integrales dobles, se tomará franjas de espesor infinitesimal. Sea por

ejemplo una franja horizontal (figura 5.8), de espesor “dy”

Figura 5.8. Franja Horizontal

Para la 0Fy , se tiene la franja de la figura 5.8, el valor de "y" es constante, y por lo

tanto es posible utilizar dxd / , en lugar de x / ; de esta manera:

ABdyddydxdx

ddydx

xdy

B

A

B

A

Pero 0)()( AB , pues se trata de valores en la frontera S; como esto es válido en

cualquier franja, es posible asegurar que:

0

dx

xdy

Y así se cumple la ecuación 0 yF




235

Si ahora se toma las franjas verticales, de espesor “dx”, se puede verificar que la ecuación

0 XF , también se cumple.

Finalmente para analizar la tercera ecuación, considérese el término:

-

dxdy

xx

Si se toma una franja horizontal, este término se convierte en:

-

B

A

xddydxdx

dxdy

Si se integra por partes la segunda integral:

xu ddv

dxdu v

B

A

B

A

AB

B

A

B

A

B

A

dxdxAXBXdxxxd

Pues 0 AB por lo tanto:

-

B

A

dxdydxdyx

x (*)

Si se trabaja de manera similar con una franja vertical, se obtendrá:

-

B

A

dydxdxdyy

y (**)

Considerando la suma de (*) más (**), la ecuación ZM , quedará como sigue:

dxdyT 2 (5.13)

Puede considerarse que la función de esfuerzos representa a una superficie ubicada

sobre la sección transversal (figura 5.9), y que está en contacto con ella en sus bordes

.0 De esta manera la ecuación 13.5 permite afirmar que el momento torsor T, es

equivalente al doble del volumen encerrado entre la función de esfuerzos y el plano de

la sección transversal.




236

Figura 5.9. Representación de la función de esfuerzos, en un elemento sometido a torsión T

Todas las ecuaciones derivadas hasta aquí son aplicables a elementos de sección transversal

constante, de material isotrópico, en los cuales existan pequeñas deformaciones.

Solución para el caso de material linealmente elástico

Si se utilizan las relaciones que proporciona la Ley de Hooke, se puede escribir:

XZ = yG

Gy

XZXZ

12 a14.5

YZ = xG

Gx

YZYZ

12 b14.5

Reemplazado estos valores en la ecuación :9.5

2

xy

yzxz

211

2

2

2

2

xGyG

Gxy

22

2

2

2

(5.15)

El miembro de la izquierda de la ecuación 5.15, se le conoce como Laplaciana, el miembro

derecho indica que esta laplaciana es constante e igual a G2




237

Casos particulares

La solución elástica del problema de torsión requiere métodos especiales para hallar la

función . A continuación se formula un método indirecto que permite hallar la solución

en ciertos problemas particulares.

Sea un elemento sometido a un momento torsor T. Los bordes de la sección transversal de

este elemento están definidos por una ecuación del tipo:

0, yxF

Si la función de esfuerzos se define como:

yxFB ,. 16.5

Donde B es una constante, la solución se puede determinar si al reemplazar 16.5 en

15.5 el primer miembro de esta ecuación es una constante, y por lo tanto es posible hallar

B. Este método indirecto se puede hallar para los casos de sección elíptica y triángulo

equilátero.

Ejemplo 5.1. Sea una sección transversal elíptica, de semiejes a y b. Determinar la

distribución de esfuerzos y el desplazamiento “w”. Si la ecuación de la elipse es:

12

2

2

2

b

y

a

x

La función de esfuerzos será:

1

2

2

2

2

b

y

a

xB

Derivando la función de esfuerzos dos veces, en función de “y”, se tiene:

2

2

b

yB

y

22

2 2

b

B

y




238

Derivando en función de “x”, se tiene:

2

2

a

xB

x

22

2 2

a

B

x

Sumando obtenemos la laplaciana:

Ga

B

b

B

xy2

22222

2

2

2

Y entonces, obtenemos la constante B:

22

22

ba

GbaB

22

2

2

22

ba

yGa

b

By

yXZ

22

2

2

22

ba

xGb

a

Bx

xYZ

Para hallar la relación entre el momento torsor T y el ángulo de torsión por unidad de

longitud se reemplaza B y yxF , en la ecuación (5.16):

1

2

2

2

2

22

22

b

y

a

x

ba

Gba

Y este resultado se reemplaza en (5.13):

dxdyT 2

dxdydxdyy

bdxdyx

aba

GbaT 2

2

2

222

22 112

Si la sección es elíptica se sabe que:

4

322 ba

IdAxdxdyx y

A

4

322 ab

IdAydxdyy x

A

abAdAdxdyA




239

De esta manera:

22

33

22

22

44

2

ba

bGaab

abab

ba

GbaT

33

22

bGa

baT

Se denomina rigidez torsional del elemento (C) a la relación:

22

33

ba

GbaC

T

Reemplazando en la constante B: 22

22

ba

GbaB

ab

T

bGa

Tba

ba

GbaB

33

22

22

22

.

Y entonces la función de esfuerzos será:

1

2

2

2

2

b

y

a

x

ab

T

Al derivar la función de esfuerzos con respecto a “y” y a “x”, en las ecuaciones de esfuerzo:

yxz

;

xyz

Se tiene:

y

ab

T

bGa

baT

ba

GyaXZ 333

22

22

2 22

xba

TYZ 3

2

Si a>b se puede demostrar que el valor máximo ocurre en el punto 0x , , es decir en los

extremos del eje menor.

2

2

ab

Tmáx

Falta determinar las componentes del desplazamiento: u, v y w, si se conoce , se puede

hallar:

yzu xzv




240

Para determinar yxw , es necesario hallar la función de alabeo yx, , Para ello,

en las ecuaciones (5.8 a y b) se tenía:

yy

xGy

xXZXZXZ

2

xx

yGx

yYZYZYZ

2

Entonces se despeja x

:

yGab

Ty

b

y

ab

T

Gy

yGx

32

21

211

y

ba

aby

ba

ay

Gabba

baG

x 22

22

22

2

322

33 21

21

yba

ab

x 22

22

Del mismo modo, se despeja y

xba

ab

y 22

22

El sistema de ecuaciones diferenciales equivale a:

xdyba

abydx

ba

abd

22

22

22

22

Cuya integración es:

Kxyba

abyx

22

22

,

Si se establece que 0w , cuando 0x e 0y 0 K y entonces.

xy

ba

baxy

ba

abw

22

22

22

22

Para a>b




241

Se trata de una familia de hipérbolas, en las cuales para:

La línea continua indica que los desplazamientos debido al alabeo se producen hacia el

lector, la línea discontinua indica que la los desplazamientos debido al alabeo se producen

en sentido contrario. A continuación se muestran la interpretación matemática según los

cuadrantes:

0x , 0y cuadranteer.1

0x , 0y cuadranteer.3

Se tiene 0w (ingresa al papel)

0x , 0y cuadrantedo.2

0x , 0y cuadranteto.4

Se tiene 0w (sale del papel)

Podemos concluir que los desplazamientos de una sección trasversal elíptica, son:

yz

bGa

baTu

33

22

xz

bGa

baTv

33

22

xy

bGa

baTxy

ba

abw

33

22

22

22

Otra sección que se puede resolver con una función de esta tipo yxFB ,. , es una

sección triangular equilátera, se deja al lector la deducción de ella.




242

Sección Triángulo Equilátero

Si se ubican los ejes x e y en el centroide del triángulo, las ecuaciones de cada una de sus

fronteras son:

3

hx

paraAB

3

23

hyx paraAC

3

23

hyx paraBC

Por lo tanto se puede tomar:

3

23

3

23

3),(

hyx

hyx

hxyxF

3

23

3

23

3),(

hyx

hyx

hxByx

Derivando dos veces la función de esfuerzos con respecto a “x” y luego derivando la

función de esfuerzos dos veces con respecto a “y”, posteriormente se suman ambos

resultados, se obtiene el valor de B:

h

GBGBhhxhxB

yx 224)2626(

2

2

2

2

3

23

3

23

32,

hyx

hyx

hx

h

Gyx




243

)27

43(

2,

32223 hhyxyhxx

h

Gyx

yhxyh

G

yXZ 26

2

22 3232

yxhxh

G

xYZ

Si se procede de manera similar al caso de la sección elíptica se obtendrá:

dxdyT 2

dxdyh

hyxyhxxh

GT )

27

43(

2·2

32223

318

422 h

IdAxdxdyx y

A

318

422 h

IdAydxdyy x

A

3

2hAdAdxdy

A

3135

53 hdxdyx

3135·

52 hdxdyyx

Finalmente, se tiene:

315

5h

h

GT

4

315

Gh

T

Para el punto )0,3/(),( hyx , se tendrá:

0XZ

max32

315

2

h

ThGYZ




244

El signo negativo obedece a la dirección negativa de “y”

Se puede tener una ecuación del esfuerzo cortante resultante, como se muestra a

continuación y obtener una distribución de esfuerzo como el mostrado:

22

yzxz

222232326

2yxhxyhxy

h

G

También se puede hallar la función de alabeo, la cual es la siguiente: 22 32

xyh

y

Este método no es aplicable a las secciones rectangulares, es mejor utilizar la analogía de la

membrana.




245

5.3 Analogía de la membrana de Prandtl

Prandtl encontró ciertas relaciones entre la ecuación diferencial que permite hallar la

función de esfuerzos y la que proporciona el desplazamiento de una membrana

sometida a una presión uniforme “p”.

Sea una placa rígida, ubicada sobre el plano x-y, en la cual se corta una abertura que tiene

la misma forma que la sección transversal cuyo comportamiento a la torsión se desea

determinar. Se cubre la abertura con una membrana de material elástico, homogéneo y se

aplica presión en uno de sus lados. La presión hace que la membrana tome la forma de una

superficie curva.

Si la pendiente en la superficie de la membrana es suficientemente pequeña, se puede

demostrar que la ecuación diferencial que permite hallar el desplazamiento de la membrana

es similar a la que proporciona la función de esfuerzos .

La ecuación que permite hallar yx, es la (5.15):

Gxy

22

2

2

2

Y ahora se hallará la ecuación de la membrana.

Figura 5.10. Deformación de la membrana al aplica una presión “p”

La membrana está sometida a la acción de una presión "p" (que actúa en dirección

perpendicular a ella, ver figura 5.10) y a una fuerza de tracción "S" por unidad de longitud.

Se considerará la ecuación de equilibrio de fuerzas verticales en un elemento ABCD de la

membrana, de dimensiones “ dx ” y “ dy ”. Las fuerzas que actúan son: la presión "p" sobre

el área dxdy , y la fuerza "S" en los bordes AB, BC, CD y DA.

La componente vertical de la fuerza “S” a lo largo del borde DA es: -S dy sen (el signo




246

negativo se debe a que su dirección es en el sentido negativo del eje z); como el ángulo

es muy pequeño: sen = tg y está componente será:

x

zSdySdytg

De manera similar, la componente vertical de la fuerza “S” a lo largo del borde opuesto BC

será:

dx

xSdytg

=

dx

x

zz

xSdy

Del mismo modo en los bordes AB y CD se tendrá:

y

zSdx

y

dy

y

zz

ySdx

La ecuación de equilibrio será:

02

2

2

2

pdxdydy

y

zSdx

y

zSdx

y

zSdxdx

x

zSdy

x

zSdy

x

zSdy

02

2

2

2

pdxdydy

y

zSdxdx

x

zSdy

S

p

y

z

x

z

2

2

2

2

(5.17)

Gxy

22

2

2

2

(5.15 repetida)

Si se comparan las ecuaciones (5.15) y (5.17) se puede establecer ciertas analogías. Así,

por ejemplo, si se define C como una constante de proporcionalidad, tal que:

CGS

pCz ··2·

Al despejar C:

SG

pzC

··2

z

p

SG ··2

Como el desplazamiento "z" de la membrana es proporcional a , puede decirse que son




247

proporcionales a las derivadas de "z" con respecto a x e y.

y

z

yXZ

x

z

xYZ

Con lo que se tiene:

y

z

p

SG

yXZ

··2

x

z

p

SG

xYZ

··2

Esto es que las componentes de esfuerzo XZ y YZ son proporcionales a la pendiente de

la membrana en el punto (x,y) correspondiente. De esta manera es posible visualizar la

distribución de esfuerzos en la sección formándose una imagen de la pendiente de la

membrana. Además, el momento torsor será proporcional al volumen encerrado entre la

membrana y el plano XY.

Sin necesidad de efectuar ensayos, es posible llegar a ciertas conclusiones. Por ejemplo, si

una sección rectangular "delgada" (con una dimensión mucho menor que la otra) tiene la

misma área que una sección circular, es obvio que la sección circular soportará un

momento torsor mucho mayor.

En el caso de una sección con esquinas convexas, la distribución de esfuerzos tendrá

variaciones importantes. Así, en la sección mostrada, mientras que en las esquinas A, B, D,

E y F la pendiente de la membrana será pequeña (y por lo tanto los esfuerzos también), en

la esquina C se presentarán esfuerzos muy altos.

o

x

y

x

B

A

C

A B

C D

EF

Figura 5.11. Sección asimétrica en torsión

Sección Rectangular Delgada

Las secciones transversales de muchos elementos estructurales y de máquinas son por lo

general rectangulares. Estos elementos usualmente soportan esfuerzos de tracción,

compresión y flexión; es posible que además deban soportar esfuerzos secundarios por

torsión.




248

Figura 5.12. Torsión en elementos rectangulares delgados

Sea una sección rectangular de lados 2a y 2b respectivamente, siendo b>>a (figura 5.12).

Al considerar la deformación de la membrana asociada a esta sección transversal es posible

afirmar que, excepto en las cercanías de x = b (esto es en los extremos de la sección) la

deflexión es independiente de x.

Figura 5.13. Analogía de la membrana en una sección rectangular delgada.

De otro lado se puede asumir que la deflexión en el sentido "y" es parabólica, y entonces la

ecuación del desplazamiento "z" será:

2

2

1z za

yo (5.18)

Donde: oz es la máxima deflexión en la membrana. Esta ecuación cumple con la condición

de que z = 0 (equivalente a 0 ) en la frontera, pues para ay , 0z




249

Además, si p/s es constante, el parámetro oz puede hallarse de manera que (5.18) sea una

solución de (5.17). Es decir que la ecuación (5.18) es una solución aproximada del

desplazamiento en la membrana.

En (5.18):

02

2

x

z

x

z

2

2

a

yz

y

z o

y

22

2 2

a

z

y

z o

Por lo tanto.

22

2

2

2 2

a

z

ay

z

x

z o

si 2

2

a

z

S

p o S

pazo

2

2

2

22

12 a

y

S

paz

y además:

2

22

12

··2··2

a

y

S

pa

p

SGz

p

SG

2

22 1

a

yaG

Al aplicar ahora las ecuaciones (5.11):

yGy

XZ 2

0

xYZ

aXZ 2G = max max para y = a

En la ecuación (5.13):




250

a

a

b

b

dxdyT 2

a

a

b

b

dya

ydxaG

2

22 12

b

b

a

a

b

b

dxa

aGa

yydxaGT

3

42

32 2

2

32

JGabGba

GT 33

)2)(2(3

12

3

42 (5.19)

Donde

3)2)(2(3

1abJ (5.20)

Es necesario recordar que esta es una solución aproximada, en la cual la condición de borde

para bx no se satisface.

J

Ta

GJ

TaG

22 max y

GJ

T

Secciones formadas por varios rectángulos delgados

Si los rectángulos están rígidamente unidos entre sí, la suposición de que el giro por torsión

i de cada una de los rectángulos es igual al giro de todo el elemento, permite afirmar

que el factor de rigidez a la torsión será:

3

) )2(2(3

1ii abCJ (5.21)

"C" es un factor de corrección. Si en todos los rectángulos se cumple que ib > 10 ia , C = 1;

si en uno o más rectángulos se tuviera ib < 10 ia , se debe tomar 91.0C . Además:

J

Tamax

= max

2 (5.22)

donde a max es el máximo de los valores de a .i




251

Existen otras fórmulas para evaluar el esfuerzo cortante, como la ecuación de Beer &

Johnston.

)63.01(3

1

b

ak ………….para b/a>5

)())(( 3 baGk

Tii

2))((max

abk

T

Ejemplo 5.2. Un elemento de acero de 8 pies de largo con sección W12x50 se somete a un

torsor de 20 kip-plg. Sabiendo que G=11 .2x106 psi=11.2x10

3, hallar:

a. El máximo esfuerzo cortante en la línea a-a y en la línea b-b.

b. El ángulo de torsión.

Considerar el alma y las alas como secciones rectangulares y evaluar las propiedades

usando las fórmulas aproximadas de Beer & Johnston.

bf=8.08 plg

tf=0.64 plg

tw=0.37 plg

d=12.19 plg




252

Para las alas:

625.1264.0

08.8

a

b

De Beer se toman los datos:

a=0.64 b=8.08 b/a=12.625 >5 ok

3167.0)625.12

63.01(

3

1)63.01(

3

1

b

ak

Para el alma: (12.19-2*0.64=10.91)

49.2937.0

91.10

a

b

Por equilibrio:

3262.0)49.29

63.01(

3

1k

2T ala + T alma=20...................(A)

Por compatibilidad:

ala= alma................................(B)

)08.8()64.0(3167.0 3G

Talaala

)91.10()37.0(3262.0 3G

Talmaalam

De las ecuaciones (B) y (C)

10.91

..................(C)




253

)(....................7212.3180.06708.0

DTalmaTalaG

Talma

G

Tala

De (A) y (D)

2T ala + T alma=20

2x3.7212 T alma+T alam=20

8.4424 T alma=20

Talma=2.369 kip-plg

Tala= 8.8155 kip-plg

a) Esfuerzo cortante en las líneas a-a y b-b

2

22lg/411.8

64.008.83167.0

8155.8)max( pkip

kba

Talaaa

2

22

22

lg/862.437.91.103262.0

369.2

2)max( pkip

tsk

Talmabb

b) b) Ángulo de torsión:

lg/10173.1102.116708.0

8155.8

6708.0

8155.8 3

3prad

GL

radLrad 1126.012810173.1110173.11 33

rad1126.0

Cap 5 Torsión (b) Version 2014

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