Cap 5 Torsión (c) Version 2012

Mecnica Estructural Escuela de Graduados PUCP

CAPITULO 5: Torsin de Barras Prismticas

Profesor: Jos Acero Martnez 254

5.4. Seccin Rectangular. Solucin por el mtodo de series

Para resolver este caso se utilizar tambin el mtodo de la analoga de la membrana. En

este caso sin embargo, ya no se tiene la peculiaridad de que b >> a. El problema se reduce a

determinar las deflexiones de la membrana en la direccin z (ecuacin a), adems se cumplir que z=0 en los bordes.

s

p

y

z

x

z

2

2

2

2

(a)

La condicin de simetra con respecto al eje y y las condiciones de lmite

correspondientes a los lados ax , del rectngulo quedan satisfechas si se expresa z bajo forma de una serie:

nn

n

Ya

xnbz

2cos

...5,3,1

(b)

Donde:

.....,, 531 bbbbn son coeficientes constantes

.....,, 531 YYYYn son funciones de y

Adems por series de Fourier para axa , se tiene:

a

xn

ns

p

s

pn

n 2cos)1(

42

1

...5,3,1

(*)

Derivando (b) con respecto de x, se tiene

nn

n

Ya

xnsen

a

nb

x

z

22...5,3,1

nn

n

Ya

xn

a

nb

x

z

2cos

2

2

...5,3,12

2

(**)




Derivando (b) con respecto de y, se tiene

'2

cos...5,3,1

nn

n

Ya

xnb

y

z

''2

cos...5,3,1

2

2

nn

n

Ya

xnb

y

z

(***)

Reemplazando (*), (**) y (***), en la ecuacin (a), se tiene:

a

xn

ns

pY

a

xnbY

a

xn

a

nb

n

n

nn

n

nn

n 2cos)1(

4''

2cos

2cos

22

1

...5,3,1...5,3,1

2

...5,3,1

2

1

...5,3,1...5,3,1

2

...5,3,1

)1(4

''2

n

n

nn

n

nn

n ns

pYbY

a

nb

Para el trmino n simo, se tiene:

2

12

)1(4

2''

n

nnnns

pY

a

nYb

2

12

)1(4

2''

n

n

nnbns

pY

a

nY

(c)

Esta ecuacin tiene la siguiente solucin:

2

1

33

2

)1(16

2cosh

2

n

n

ns

p

bn

a

a

ynB

a

ynAsenhY

(d)

Como se puede observar los dos primeros trminos de la ecuacin es una solucin

transiente, mientras el tercer trmino es la solucin particular. La simetra de la superficie

de la membrana deformada, con respecto al eje x, exige la nulidad de la constante de

integracin A. En cuanto a la constante B, queda definida por la deformacin nula para

by , es decir, 0)( bynY resultando

a

bn

a

yn

s

p

bn

aY

n

n

n

2cosh

2cosh

1)1(16

2

1

33

2

(e)




Reemplazando la ecuacin (e) en la ecuacin (b), se tiene

a

xn

a

bn

a

yn

ns

paz

n

n 2cos

2cosh

2cosh

1)1(116

2

1

3...5,3,1

3

2

(f)

Aplicando la analoga de la membrana, es decir z y Gs

p2 se tiene:

a

xn

a

bn

a

yn

nG

an

n 2cos

2cosh

2cosh

1)1(132

2

1

3...5,3,1

3

2

(g)

Ahora se calcula la componente de esfuerzos cortantes

a

bnn

a

ynsenh

a

xn

aG

y

n

n

xz

2cosh

22cos)1(

16

2

2

1

...5,3,12

(h)

a

bnn

a

yn

a

xnsen

aGxG

x

n

n

yz

2cosh

2cosh

2)1(

162

2

2

1

...5,3,12

(i)

Por ejemplo, para el caso de x=a con y=0, en la ecuacin (i), se tiene el mximo absoluto

del esfuerzo cortante .mx de la seccin:

a

bnn

nsen

aGaG

x

n

n

yzmx

2cosh

)0cosh(2

)1(

162

2

2

1

...5,3,12.

a

bnn

aGn

mx

2cosh

1

812

2...5,3,12.

(j)




Donde se puede definir:

a

bnn

kn

2cosh

1

81

2...5,3,12

(k)

kaGmx 2. (5.35)

Calculando el valor de k, para una relacin b/a=1, se tiene:

b/a n n(b/a)/2 cosh(n(b/a)/2) 1/(n2cosh(n(b/a)/2))

1

1 1.57079633 2.509178479 0.398536815

3 4.71238898 55.66338089 0.001996126

5 7.85398163 1287.985442 3.10563E-05

7 10.9955743 29804.87075 6.84726E-07

9 14.1371669 689705.3529 1.78999E-08

11 17.2787596 15960259.58 5.17815E-10

13 20.4203522 369331461.3 1.60213E-11

15 23.5619449 8546585824 5.20026E-13

17 26.7035376 1.97774E+11 1.74958E-14

19 29.8451302 4.57663E+12 6.05268E-16

21 32.9867229 1.05906E+14 2.14111E-17

23 36.1283155 2.45074E+15 7.71341E-19

25 39.2699082 5.67119E+16 2.82128E-20

27 42.4115008 1.31235E+18 1.04525E-21

Sumatoria 0.400564701

k= 0.675314483

Si el valor de b>>a, caso de rectngulo muy delgado, el resultado coincide con las ecuacin

de esfuerzo mximo de barra de seccin delgada

aGmx 2.

Donde se puede decir que:

675314483.0k para 1a

b

00.1k para a

b

Ahora calculemos el momento torsor T

b

b

a

a

dxdyT 2




b

b

a

a

n

n

dxdya

xn

a

bn

a

yn

nG

aT

2cos

2cosh

2cosh

1)1(164

2

1

3...5,3,1

3

2

a

bntagh

nG

a

nG

baT

nn 2

1)2(641)2()2(325

...5,3,15

4

4...5,3,1

4

3

Adems se sabe que96

1 4

4...5,3,1

nn, teniendo finalmente:

a

bn

nG

aG

baT

n 2tanh

1)2(64

3

)2()2(5

...5,3,15

43

a

bn

nb

aG

baT

n 2tanh

11921

3

)2()2(5

...5,3,15

3

Despejando el ngulo por unidad de longitud se tiene:

)2()2(2

tanh1192

13

1 35

...5,3,15

baGa

bn

nb

a

T

n

(l)

Donde podemos definir la variable k1, como:

a

bn

nb

ak

n 2tanh

11921

3

15

...5,3,151

(m)

b/a n n(b/a)/2 tanh(n(b/a)/2) 1/(n5tanh(n(b/a)/2))

1

1 1.57079633 0.917152336 0.917152336

3 4.71238898 0.999838614 0.004114562

5 7.85398163 0.999999699 0.00032

7 10.9955743 0.999999999 5.9499E-05

9 14.1371669 1 1.69351E-05

11 17.2787596 1 6.20921E-06

13 20.4203522 1 2.69329E-06

15 23.5619449 1 1.31687E-06

17 26.7035376 1 7.04296E-07

19 29.8451302 1 4.03861E-07

21 32.9867229 1 2.44852E-07

23 36.1283155 1 1.55368E-07

25 39.2699082 1 1.024E-07

27 42.4115008 1 6.96917E-08


k1= 0.140577057




)2()2( 31 baGk

T (5.36)

Reemplazando la ecuacin (5.36) en (5.35)

kabaGk

TGmx

)2()2(2

3

1

.

)2()2)(/( 21.

bakk

Tmx

)2()2)(( 22.

bak

Tmx (5.37)

Donde kkk /12 y el esfuerzo cortante mximo absoluto esta en funcin del momento

torsor T. Tambin de la ecuacin (5.36), se puede definir la constante torsional equivalente.

)2()2( 31 bakJequiv (5.38)

Para el caso de x=0 con y=b, en la ecuacin (h), se tiene el mximo relativo del esfuerzo

cortante de la seccin:

a

bnn

a

bnsenh

aG

y

n

n

xzmx

2cosh

2)0cos()1(

16'

2

2

1

...5,3,12.

a

bn

n

aG

y

n

n

xzmx2

tanh)1(

16'

2

2

1

...5,3,12.

Reemplazando el valor de , se tiene:

a

bn

nbak

Ta

y

n

n

xzmx2

tanh)1(

)2()2(

16'

2

2

1

...5,3,13

1

2.

a

bn

nbak

T

n

n

mx2

tanh)1(

)2()2(

8'

2

2

1

...5,3,12

1

2.

Denominando 3k como:

a

bn

n

kk

n

n 2tanh

)1(

82

2

1

...5,3,12

13




)2()2('

2

3

.bak

Tmx (5.39)

Los valores de .mx es positivo por que para la coordenada x=a con y=0 coincide con la

direccin del eje y, sin embargo '.mx es negativo por que para la coordenada x=0 con

y=b est en contra de la direccin x. Para fines prcticos '.mx se puede considerar en

valor absoluto. A continuacin se muestra el valor de k3, para una relacin b/a=1

b/a n n(b/a)/2 tanh(n(b/a)/2) (-1) (n-1)/2tanh(n(b/a)/2)

1

1 1.57079633 0.917152336 0.917152336

3 4.71238898 0.999838614 -0.111093179

5 7.85398163 0.999999699 0.039999988

7 10.9955743 0.999999999 -0.020408163

9 14.1371669 1 0.012345679

11 17.2787596 1 -0.008264463

13 20.4203522 1 0.00591716

15 23.5619449 1 -0.004444444

17 26.7035376 1 0.003460208

19 29.8451302 1 -0.002770083

21 32.9867229 1 0.002267574

23 36.1283155 1 -0.001890359

25 39.2699082 1 0.0016

27 42.4115008 1 -0.001371742


k3= 0.208324188

Si queremos correlacionar los esfuerzos '.mx (en valor absoluto) y .mx , se obtendr un

factor 3

24

k

kk , tal como se muestra




3

24

.

. '

k

kk

mx

mx

A continuacin se muestra una tabla con los valores de 321 ,, kkk y 4k para diferentes

relaciones b/a

Tabla para torsin de vigas rectangulares

b/a k k1 k2 k3 k4

1 0.67531448 0.14057706 0.208165323 0.20832419 0.99923741

1.2 0.75876408 0.16611895 0.218933592 0.23549301 0.92968193

1.4 0.82215118 0.18690403 0.227335352 0.25878282 0.87847931

1.5 0.84756223 0.19576074 0.23096916 0.26908493 0.85835041

1.6 0.86944359 0.20373562 0.234328743 0.27856666 0.84119451

1.8 0.90438332 0.21743118 0.240419268 0.2953089 0.81412808

2 0.93006027 0.2286817 0.245878365 0.30948225 0.79448294

2.2 0.94887634 0.23803032 0.250854946 0.32152126 0.78021262

2.4 0.96264373 0.24589136 0.255433404 0.33180245 0.76983579

2.5 0.96806992 0.24936509 0.257589959 0.33638451 0.76576046

3 0.98543788 0.26331695 0.267208061 0.35496647 0.75276987

4 0.99697263 0.28081297 0.281665676 0.37848826 0.74418603

5 0.99937067 0.29131676 0.291500213 0.39264273 0.74240573

6 0.99986917 0.29831951 0.298358547 0.40208106 0.74203582

7 0.9999728 0.30332149 0.303329737 0.40882281 0.74195894

8 0.99999435 0.30707297 0.307074705 0.41387913 0.74194295

9 0.99999882 0.30999079 0.309991151 0.41781183 0.74193963

10 0.99999976 0.31232504 0.312325118 0.42095798 0.74193894

20 1 0.32282919 0.322829188 0.43511568 0.74193876

50 1 0.32913168 0.329131675 0.4436103 0.74193876

200 1 0.33228292 0.332282919 0.44785761 0.74193876

500 1 0.33291317 0.332913168 0.44870707 0.74193876

1000 1 0.33312325 0.33312325 0.44899023 0.74193876

2000 1 0.33322829 0.333228292 0.4491318 0.74193876

5000 1 0.33329132 0.333291317 0.44921675 0.74193876

kaGmx 2.

)2()2( 31 baGk

T

)2()2)(( 22.

bak

Tmx

)2()2('

2

3

.bak

Tmx

.4. ' mxmx k




5.5. Secciones tubulares de pared delgada

Se analizar en primer lugar el comportamiento de una seccin de forma cualquiera, con

una abertura cualquiera, y la manera como se comportar la membrana correspondiente.

Es obvio que len la zona de la abertura no habr esfuerzo cortante; por lo tanto la pendiente

de la membrana en esa regin ser NULA. Este comportamiento puede conseguirse

preparando, para el experimento de analoga de la membrana, una placa exactamente igual

a la abertura, que deber estar a una altura ,1z que no se conoce.

Este procedimiento, aplicado a diversas secciones con diferentes aberturas, permite afirmar

que, en general, la disminucin de la capacidad resistente a la torsin no es proporcional a

la abertura.

En el caso de secciones tubulares de pared delgada, es posible hacer una simplificacin: si

el espesor "t" es pequeo, las secciones transversales, para planos paralelos al eje z, sern

aproximadamente rectas. La simplificacin es asumir que estas interseciones son lneas

rectas.

Dado que el esfuerzo cortante es proporcional a la pendiente de la membrana, la

simplificacin anterior equivale a afirmar que, si el espesor "t" es constante, el esfuerzo

cortante tambin es constante en la seccin transversal. sabiendo que:

Figura 5.14. Analoga de la membrana para una seccin tubular cerrada

yXZ

xYZ




n

Donde "n" es una normal a una curva de la membrana, definida por un plano horizontal

paralelo al plano XY. Como = z/c, es posible escribir que:

senc

tgcn

z

c

111

(si es pequeo)

se denomina "flujo de corte" a:

c

ztgt

cqt 1

1

Como " "1z y "c" con constantes, el valor de "q" tambin lo ser, alrededor de la seccin

transversal.

Si mA es el rea encerrada por el permetro medio de la seccin transversal, el volumen

encerrado por la membrana ser aproximadamente igual a mA 1z y entonces:

tAqAc

zAT mm

m 222 1 (5.32)

mA

Tq

2

mA

T

2

Para hallar una relacin entre , G y se puede utilizar la ecuacin de equilibrio de fuerzas con respecto a eje "z":

0 dlSsenpAm

como: ScGp 2 y csen

dlSccSAG m 2 (5.33)




dlt

q

AG m 2

1

tdl

AG m2

4

1

Cuando el espesor es pequeo (menor o igual a la dcima parte de la menor dimensin de la

seccin de la seccin transversal), el error que se comete al aplicar estas expresiones es

despreciable.

Elemento de pared delgada con varios compartimientos

Si se aplica la analoga de la membrana a una seccin transversal de pared delgada, en la

cual existen varios compartimientos o paneles, en cada uno de ellos ser necesario colocar

una placa rgida, de la misma forma que la abertura correspondiente a diferentes alturas z ,1

que corresponder a distintos valores del flujo de corte q .i

Si la seccin consta de "n" panelas, har "n+1" incgnitas:

- Los "n" valores de q.i

- El ngulo de torsin por unidad de longitud, que ser comn a todos los panelers.

Las ecuaciones a utilizar son.

ii

n

qAT

...3,2,1

2 (5.34)

dlt

qq

GA

i

mi

i

2

1 (5.35)

La ecuacin (5.35) se puede escribir "n" veces, una para cada panel; los valores i

son

todos iguales. La nomenclatura utilizada en esta ecuacin es:

- :miA el rea encerrada por el panel i.

- q : el flujo de corte en el panel adyacente (los paneles estn separados por elementos

dl). El valor de q' es CERO en la frontera exterior.

- t : el espesor del tramo dl.

- l :i el permetro del panel i.

El esfuerzo cortante mximo ocurre cuando la membrana tiene la mayor pendiente, esto es

cuando (q i -q')/t toma su mximo valor.




Ejemplo 5.4. La seccin tubular hueca de varios compartimientos tiene los espesores

indicados. Si el material tiene un G = 270000 kg/cm2 y el esfuerzo cortante admisible es de

l00 kg/cm2, determinar los flujos de corte en cada parte, el momento torsor mximo

aplicable, y el ngulo de giro por unidad de longitud asociado a dicho momento torsor.

De donde los espesores de las paredes de las secciones tubulares es de espesor de 4 mm,

mientras tanto de las paredes inclinadas laterales son de espesor de 3 mm.

2

7

1

7211

1

1 10315.210259.94

200)(

4

600

2

1qq

qqq

GA

3

7

1

7

2

732122

2

2 10315.210315.210259.94

200)(

4

200)(

4

400

2

1qqq

qqqqq

GA

2

7

3

6233

3

3 10716.710607.14

200)(

3

41.312

2

1qq

qqq

GA

21

3

7

1

7

2

7

2

7

1

7 10315.210315.210259.910315.210259.9 qqqqq

3

7

21

7

21

7 10315.2)(10315.2)(10259.9 qqqqq

3

7

21

7 10315.2)(10574.11 qqq

)(0.5 123 qqq

32




2

7

3

6

3

7

1

7

2

7 10716.710607.110315.210315.210259.9 qqqqq

3

6

1

7

2

7 108385.110315.210975.16 qqq

Adems: )(0.5 123 qqq

)(101925.910315.210975.16 126

1

7

2

7 qqqq

1

7

2

7 1061.891095.74 qq

12 196.1 qq

13 978.0 qq

Asumimos que 2/1 mmkgmx se produce en t1:

mmkgtq mx /412

entonces:

mmkgq /344.31

mmkgq /27.33

Comprobando que el mximo cortante se da en el punto asumido:

2/1...........................2/836.04

344.3

1

11 mmkgmmkg

t

q

2/1...................2/164.04

656.0

1

122 mmkgmmkg

t

qq

2/11

23 mmkg

t

q

2/1...................2/1825.04

73.0

1

32

4 mmkgmmkgt

qq

2/1............................2/09.13

27.3

2

3

5 mmkgmmkgt

q

El momento torsor mximo aplicable:

T = 2A1q1 + 2A2q2 + 2A3q3 T = 78008q1 + 78008q2 + 23520q3

T = 642083.456 kg-mm

El ngulo de giro por unidad de longitud:

21 07326.207377.9 qEqE

)4(07326.2)552.3(07377.9 EE

mmrad /0000024.0

Cap 5 Torsión (c) Version 2012

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