3. Torsión

RESISTENCIA DE MATERIALES

ING. HELÍ VILLANERA LOYOLA

TORSIÓN

3.1 INTRODUCCIÓN

ING. VILLANERA

Se estudió cómo calcular los esfuerzos y deformaciones en elementos estructurales sometidos a cargas axiales.

• Se analizarán los elementos estructurales y partes de maquinaria que se encuentran en TORSIÓN.

3.1 INTRODUCCIÓN

ING. VILLANERA

La turbina ejerce sobre el eje y el eje sobre el generador un T

El generador ejerce sobre el eje y el eje sobre la turbina un T ‘

3.2 ANÁLISIS PRELIMINAR DE LOS ESFUERZOS

ING. VILLANERA

𝝆 𝝉. 𝒅𝑨 = 𝑻

3.2 DEFORMACIONES EN UN EJE CIRCULAR

ING. VILLANERA

𝜸𝒎á𝒙 =𝒄.𝝓

𝑳

γ : deformación a cortante (rad) ф: ángulo de giro (rad) c: radio del eje (m)

3.4 ESFUERZOS EN EL RANGO ELÁSTICO

ING. VILLANERA

𝝉 =𝝆

𝒄𝝉𝒎á𝒙

𝝉𝒎í𝒏𝝉𝒎á𝒙

=𝒄𝟏𝒄𝟐


ING. VILLANERA

𝝉𝒎á𝒙 =𝑻. 𝒄

𝑱

𝑱 =𝝅

𝟐𝒄𝟒

𝑱 =𝝅

𝟐𝒄𝟐𝟒 − 𝒄𝟏

𝟒

J: momento polar de inercia (m4) c: radio (m)


ING. VILLANERA

Problema 3.1:

a) Para la carga y el eje hueco mostrados en la figura, determine el máximo esfuerzo cortante, b) Determine el diámetro de un eje sólido para el que el máximo esfuerzo cortante bajo la carga mostrada sea el mismo del inciso a.


ING. VILLANERA

Solución 3.1: 𝑇 = 1800 𝑙𝑏. 𝑓𝑡

12 𝑖𝑛

1 𝑓𝑡= 21600 𝑙𝑏. 𝑖𝑛

𝑐1 =1.6 𝑖𝑛

2= 0.8 𝑖𝑛 𝑐2 =

2.4 𝑖𝑛

2= 1.2 𝑖𝑛

Cálculo del momento polar de inercia (J)

𝑱 =𝝅

𝟐𝒄𝟐𝟒 − 𝒄𝟏

𝟒 =𝜋

21.24 − 0.84 = 2.6138 𝑖𝑛4

a) Cálculo del máximo esfuerzo cortante(𝝉𝒎á𝒙)

𝝉𝒎á𝒙 =𝑻. 𝒄𝟐𝑱=21600𝑙𝑏. 𝑖𝑛 1.2 𝑖𝑛

2.6138 𝑖𝑛4= 9916.6

𝑙𝑏

𝑖𝑛2

𝝉𝒎á𝒙 = 9.92 ∗ 103 𝑝𝑠𝑖 = 9.92 𝑘𝑠𝑖


ING. VILLANERA

…Solución 3.1:

b) Cálculo del diámetro de un eje sólido (d):


𝑱=𝟐𝑻

𝝅. 𝒄𝟑

𝒅 = 𝟐𝒄 = 𝟐. 𝟐𝟑 𝒊𝒏

d=2c=?

𝑐 =2. 𝑇

𝜋. 𝜏𝑚á𝑥

3

=2 21600 𝑙𝑏. 𝑖𝑛

𝜋 9916.5965𝑙𝑏𝑖𝑛2

3= 1.1151 𝑖𝑛


ING. VILLANERA

Problema 3.3:

Determine el par de torsión T que causa un esfuerzo cortante máximo de 80 MPa en el eje cilíndrico de acero que se muestra en la figura.


ING. VILLANERA

Solución 3.3: 𝜏𝑚á𝑥 = 80 𝑀𝑃𝑎 = 80 ∗ 10

6𝑁

𝑚2

𝑐 = 22 𝑚𝑚 = 0.022 𝑚

Cálculo del par de torsión (T):


𝑱=𝟐𝑻

𝝅. 𝒄𝟑

𝑻 = 𝟏. 𝟑𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟑𝑵.𝒎 = 𝟏. 𝟑𝟒 𝒌𝑵.𝒎

𝑇 =𝜋

2𝑐3. 𝜏𝑚á𝑥 =

𝜋

20.022 𝑚 3 80 ∗ 106

𝑁

𝑚2


ING. VILLANERA

Problema 3.5:

a) Para el cilindro sólido de 60 mm de diámetro y la carga que se muestra en la figura, calcule el máximo esfuerzo cortante, b) Determine el diámetro interior del cilindro hueco, de 80 mm de diámetro exterior, para el que el máximo esfuerzo es el mismo del inciso a.


ING. VILLANERA

Solución 3.5: a) Cálculo del 𝝉𝒎á𝒙 en el cilindro sólido:


𝑱=𝟐𝑻

𝝅. 𝒄𝟑

𝑇 = 5 𝑘𝑁.𝑚 = 5 ∗ 103 𝑁.𝑚

𝑐 =60𝑚𝑚

2= 30 𝑚𝑚 = 0.03 𝑚

𝜏𝑚á𝑥 =2 5 ∗ 103 𝑁.𝑚

𝜋 0.03 𝑚 3= 117.8926 ∗ 106

𝑁

𝑚2

𝝉𝒎á𝒙 = 𝟏𝟏𝟕. 𝟖𝟗 𝑴𝑷𝒂


ING. VILLANERA

…Solución 3.5: b) Cálculo del 𝒅𝟏 del cilindro hueco:

𝑐1 = 𝑐24 −

2. 𝑇. 𝑐2𝜋. 𝜏𝑚á𝑥

4

= 0.044 −2 ∗ 5 ∗ 103 ∗ 0.04

𝜋 ∗ 117.8926 ∗ 106

4

𝑇 = 5 𝑘𝑁.𝑚 = 5 ∗ 103 𝑁.𝑚

𝑐 =80 𝑚𝑚

2= 40 𝑚𝑚 = 0.04 𝑚

𝑐1 = 0.03488 𝑚 = 34.88 𝑚𝑚

𝒅𝟏 = 𝟐𝒄𝟏 = 𝟔𝟗. 𝟕𝟔 𝒎𝒎

𝜏𝑚á𝑥 = 17.8926 ∗ 106𝑁

𝑚2


𝑱=

𝟐. 𝑻. 𝒄𝟐

𝝅 𝒄𝟐𝟒 − 𝒄𝟏

𝟒


ING. VILLANERA

EN CONCLUSIÓN:

• Los esfuerzos en el eje permanecerán por debajo del límite de proporcionalidad y también por debajo del límite elástico.

• El par de torsión T es tal que todos los esfuerzos cortantes en el eje se encuentran por debajo de la resistencia a la cedencia τy.

• Se aplicará la Ley de Hooke y no habrá deformaciones permanentes.


ING. VILLANERA


𝑱

• También puede utilizarse, para un eje con sección transversal variable.

• Para un eje sujeto a pares de torsión en lugares distintos de sus extremos.

FORMULA DE TORSIÓN


ING. VILLANERA

Problema 3.9:

Si se sabe que cada uno de los ejes AB, BC y CD constan de una varilla circular sólida, determine : a) El eje en el que ocurre el máximo esfuerzo cortante, b) La magnitud de dicho esfuerzo


ING. VILLANERA

Solución 3.9: Cálculo del 𝝉𝒎á𝒙 en el eje AB:


𝑱=𝟐𝑻

𝝅. 𝒄𝟑

𝑇 = 800 𝑙𝑏. 𝑖𝑛 𝑐 =0.8 𝑖𝑛

2= 0.4 𝑖𝑛

𝜏𝑚á𝑥 =2 800 𝑙𝑏. 𝑖𝑛

𝜋 0.4 𝑖𝑛 3 = 𝟕𝟗𝟓𝟕. 𝟕𝟓𝒍𝒃

𝒊𝒏𝟐

Cálculo del 𝝉𝒎á𝒙 en el eje BC:

𝑇 = 2400 − 800 = 1600 𝑙𝑏. 𝑖𝑛 𝑐 =1 𝑖𝑛

2= 0.5 𝑖𝑛

𝝉𝒎á𝒙 =𝟐𝑻

𝝅. 𝒄𝟑=2 1600 𝑙𝑏. 𝑖𝑛

𝜋 0.5 𝑖𝑛 3 = 𝟖𝟏𝟒𝟖. 𝟕𝟑𝒍𝒃

𝒊𝒏𝟐


ING. VILLANERA

…Solución 3.9:

a) En BC

b) 𝝉𝒎á𝒙 = 𝟖. 𝟏𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝟑𝒑𝒔𝒊 = 𝟖. 𝟏𝟓 𝒌𝒔𝒊

Cálculo del 𝝉𝒎á𝒙 en el eje CD:

𝑇 = 2400 + 1000 − 800 = 2600 𝑙𝑏. 𝑖𝑛

𝑐 =1.2 𝑖𝑛

2= 0.6 𝑖𝑛


𝝅. 𝒄𝟑=2 2600 𝑙𝑏. 𝑖𝑛

𝜋 0.6 𝑖𝑛 3 = 𝟕𝟔𝟔𝟑. 𝟎𝟐𝒍𝒃

𝒊𝒏𝟐


ING. VILLANERA

Problema 3.11:

Los pares de torsión mostrados en la figura se ejercen sobre las poleas A, B, y C. Sabiendo que cada eje es sólido, determine el esfuerzo cortante máximo, a) En el eje AB. b) En el eje BC.


ING. VILLANERA

Solución 3.11: Cálculo del 𝝉𝒎á𝒙 en el eje sólido AB:


𝑱=𝟐𝑻

𝝅. 𝒄𝟑

𝑇 = 400 𝑁.𝑚 𝑐 =30 𝑚𝑚

2= 15 𝑚𝑚 = 0.015 𝑚

𝜏𝑚á𝑥 =2 400 𝑁.𝑚

𝜋 0.015 𝑚 3 = 75.45 ∗ 106𝑁

𝑚2

Cálculo del 𝝉𝒎á𝒙 en el eje sólido BC:

𝑇 = 800 𝑁.𝑚 𝑐 =40 𝑚𝑚

2= 20 𝑚𝑚 = 0.02 𝑚


𝝅. 𝒄𝟑=2 800 𝑁.𝑚

𝜋 0.02 𝑚 3= 63.66 ∗ 106

𝑁

𝑚2

𝝉𝒎á𝒙 = 𝟕𝟓. 𝟒𝟓 𝑴𝑷𝒂

𝝉𝒎á𝒙 = 𝟔𝟑. 𝟔𝟔 𝑴𝑷𝒂


ING. VILLANERA

EN CONCLUSIÓN:

• La fórmula de torsión puede utilizarse también en un eje sujeto a pares de torsión en lugares distintos de sus extremos.

• La fórmula de torsión también puede utilizarse para un eje con sección transversal variable.

• El valor de T se obtiene dibujando el diagrama de cuerpo libre de la porción de eje localizada de un lado del corte.

• La suma de pares aplicados a la porción de eje, incluyendo el par interno T, es cero.

3. Torsión

Documents

Transcript of 3. Torsión