®® Gabriel Cano GGabriel Cano Góómez, 2009/10 mez, 2009/10 Dpto. FDpto. Fíísica Aplicada III (U. Sevilla)sica Aplicada III (U. Sevilla)

Campos ElectromagnCampos ElectromagnééticosticosIngeniero de TelecomunicaciIngeniero de Telecomunicacióónn

I. Fundamentos I. Fundamentos matemmatemááticosticos

4. Campos vectoriales4. Campos vectoriales

2Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos matemFundamentos matemááticosticos

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1.1. Coordenadas curvilCoordenadas curvilííneasneas2.2. Sistemas de coordenadas ortogonalesSistemas de coordenadas ortogonales3.3. Campos escalaresCampos escalares4.4. Campos vectorialesCampos vectoriales

I. FundamentosI. Fundamentos matemmatemááticosticos

DefiniciónPropiedades generales

Líneas y tubo de campoFlujo de un campo vectorial

5.5. Divergencia y rotacionalDivergencia y rotacional6.6. Operadores diferencialesOperadores diferenciales7.7. Teoremas integralesTeoremas integrales

3Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos matemFundamentos matemááticosticos

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DefiniciDefinicióónnen una región del espacio existe un campo vectorial cuando en cada punto hay un valor de magnitud vectorial

con módulo, dirección y sentido

concepto matemático: a cada radio-vector (r∈R3) le hace corresponder un vector A(r)∈R3

puede expresarse como una función vectorial –y monovaluada— de la posición: función de campo

Campo vectorialCampo vectorial

OX

Y

Z r=r(q1,q2,q3)

P P ∈∈ EE33 AA((PP)) ∈∈ RR33

r=rr=r(q1,q2,q3) ⇒⇒ AA((rr)=)=AA(q1,q2,q3)

OP=OP=rr ∈∈ RR33 AA==AA((rr) ) ∈∈ RR33

PAA((PP))

AA==AA((rr))

4Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos matemFundamentos matemááticosticos

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LLíínea de camponea de campocurva Γ cuya tangente en cada punto P tiene la dirección de A(P)

las líneas de un campo vectorial NO se pueden cortar:

si se cortasen, A(P) tendría dos valores distintos!!!

Tubo de campoTubo de campoconjunto T={T={ΓΓ11,,……, , Γ Γ nn,,……}} de las líneas del campo A=A(r)ecuación de la familia de líneas:

Campo vectorial: propiedades generalesCampo vectorial: propiedades generales

Γj

OX

Y

Z

dr|ΓP

AA==AA((rr))

ΓiAA((PP))==AAjj??

AA((PP))==AAii??

r

PP

dr|Γj

dr|Γi

AA((PP))

Γ1

Γ3

Γ2

Γn

ddrr||ΓΓ = = dsds uuΓΓ((PP););

Τ: Τ: ddrr ×× AA((rr)) = 0 = 0

( )( )

( )con P

PPΓ =

AA

uΓ

5Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos matemFundamentos matemááticosticos

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Flujo elementalFlujo elemental

flujo a través del elemento de superficie δΣ:

valor del flujo elemental:

dΦ|P = dS·A(P) ∈ ú

d 0Φ <d 0Φ > d 0Φ =

π/2 θ π< ≤ 0 θ π/2≤ <θ π/2=Flujo total en Flujo total en ΣΣ

contribución neta de flujos elemen-tales a través de la superficie Σ

dΣ Σ

Φ = Φ∫ ( ) dΣ

= ⋅ ∈∫ A r S

∼ΠΣ

Flujo de un campo vectorialFlujo de un campo vectorial

⊥ΠΣPlano tangente

a Σ en P

dΦ|P = |A(P)|cos θ dS

cos dSΣ Σ

Φ = ∫ A θ

6Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos matemFundamentos matemááticosticos

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Elemento de circulaciElemento de circulacióónn

circulación sobre un elemento dr|Γde curva Γ:

valor del elemento:

dΖ|P = A(P)·dr ∈ ú

CirculaciCirculacióón sobre una curvan sobre una curvacontribución neta de los elementos de circulación entre dos puntos de Γ

dB

AZ Z

ΓΓ

= ∫ ( )·dB

AΓ

= ∈∫ A r r

ΔΓ|P

CirculaciCirculacióón de un campo vectorialn de un campo vectorial

dZ|P = |A(P)|cosθ ds;

cosB

AZ dsθ

ΓΓ

= ∫ A

AA((PP))

AA((rr))

dr|ΓP

Γ

θ

ΔΓ ||

0 θ π/2≤ <θ π/2=

AA

AA

AAdr

dr drd 0Z <

d 0Z =d 0Z >

π/2 θ π< ≤Γ

A

B

Recta tangente a Γ en P

(ds=|dr|)