I. Fundamentos matemáticoslaplace.us.es/campos/teoria/grupo1/T1/Leccion_I_6_10_11.pdfSistemas de...

I. Fundamentos I. Fundamentos matemáticosmatemáticos

6 O d dif i l6 O d dif i l6. Operadores diferenciales6. Operadores diferenciales

Campos ElectromagnéticosCampos Electromagnéticos® Gabriel Cano Gómez, 2010/11 ® Gabriel Cano Gómez, 2010/11

Dpto. Física Aplicada III (U. Sevilla)Dpto. Física Aplicada III (U. Sevilla)

Campos ElectromagnéticosCampos ElectromagnéticosIngeniero de TelecomunicaciónIngeniero de Telecomunicación

I. FundamentosI. Fundamentos matemáticosmatemáticos

1.1. Coordenadas curvilíneasCoordenadas curvilíneas

I. FundamentosI. Fundamentos matemáticosmatemáticos

2.2. Sistemas de coordenadas ortogonalesSistemas de coordenadas ortogonales3.3. Campos escalaresCampos escalarespp4.4. Campos vectorialesCampos vectoriales5.5. Divergencia y rotacionalDivergencia y rotacionalg yg y6.6. Operadores Operadores diferencialesdiferenciales

Álgebra del operador nablag p Operadores diferenciales de 2º orden

Laplaciano

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1

Ángulo sólido

7.7. Teoremas integralesTeoremas integrales

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos mateCampos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos matemátmáticosicos

® G

a®

Ga

2

Álgebra del operador nablaÁlgebra del operador nabla

Operador nabla actuando sobre productos de camposOperador nabla actuando sobre productos de camposbl (“”) d dif i l i l

Álgebra del operador nablaÁlgebra del operador nabla

nabla (“”) es un operador diferencial vectorial:actúa sobre los productos de campos siguiendo las reglas de la derivación

gradientes de campos escalares “compuestos”: gradientes de campos escalares compuestos :

( ) A B A B A B + grad [(r)(r)]: grad [A(r)·B (r)]:

di i d t i l “ t ”

( )

( )

A B A B A B +

+B A B A

divergencia de campos vectoriales “compuestos”:

div [(r)A(r)]: div [A(r)B(r)]:

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1

rotacional de campos vectoriales “compuestos”:

( ) A A A ( ) A B A B B A

( ) ( )

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

( ) A B A B B A ( ) A A A

rot [(r)A(r)]: rot [A(r)B(r)]:


® G

a®

Ga

3

B A A B ( ) A A A

Operadores diferenciales de 2º orden (I)Operadores diferenciales de 2º orden (I)

““Fuentes” del gradienteFuentes” del gradiente

Operadores diferenciales de 2 orden (I)Operadores diferenciales de 2 orden (I)

dado un campo escalar “(r)”, se define el vectorial “g(r)= grad (r)” divergencia y rotacional describen las distribuciones de sus fuentes

Di g i d l g di tDi g i d l g di t

((q q 11,,qq22,,qq33)((r)(r)=2(r)

gg((rr))==((rr)) Divergencia del gradienteDivergencia del gradiente

“div[grad (r)]” es el “laplaciano” d l l “(r)” ((P)

P(P)=2(P)

del campo escalar “(r)”:

div grad r r r

((P)

gg((PP)) =i gi (q1,q2,q3)ui

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1

“2” es el operador laplaciano

en coordenadas ortogonales: Z

r(q1, q2, q3)r

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

g

1 2 32

1 2 3

3

1 ii ii

h h h

h h h hq q

r

X

Z

YO

(q1, q2, q3)


® G

a®

Ga

4

1 2 3 1 ii ii q q

Operadores diferenciales de 2º orden (II)Operadores diferenciales de 2º orden (II)

((r) gg =(()) Rotacional del gradienteRotacional del gradiente =00

Operadores diferenciales de 2 orden (II)Operadores diferenciales de 2 orden (II)

la circulación de “grad (r)” en

la curva cerrada es nula:dS

d r

)(

( )

A

Ad

0

d

((A)

el flujo de “rot[grad (r)]” en debe ser también nulo (Th. Stokes):

A

(r)|

dr

gg((rr))==((rr))

((A)debe cumplirse para toda superficie y su contorno

|

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1

3; P 0 d S 0d

r

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

“grad (r)” es un campo irrotacional: su rotacional es nulo en todos los

puntos del espacio , r r


® G

a®

Ga

5

puntos del espacio

Operadores diferenciales de 2º orden (III)Operadores diferenciales de 2º orden (III)

“Fuentes” del rotacional“Fuentes” del rotacionald d i l “A( )”

Operadores diferenciales de 2 orden (III)Operadores diferenciales de 2 orden (III)

dado un campo vectorial “A(r)”, se define el vectorial “j(r)= rot A(r)” rotacional y divergencia describen las

kk((rr))==jj((rr))

rotacional y divergencia describen las distribuciones de las fuentes de “j(r)”

Rotacional del rotacionalRotacional del rotacional

jj((PP))

“rot[rot A(r)]” es un nuevo campo vectorial “k(r)”, en general no nulo AA((PP))

P

relaciona a otros dos operadores

r rrot rot A A

AA

jj||PP

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1 relaciona a otros dos operadores diferenciales de segundo orden:

2 A A Ajj((rr))==AA((rr))

AA((rr))

Z

r

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

permite definir el laplaciano de un t i l

2 r r rA A Ajj(( )) (( ))

X

Z

YO


® G

a®

Ga

6

campo vectorial

Operadores diferenciales de 2º orden (IV)Operadores diferenciales de 2º orden (IV)

Divergencia del rotacionalDivergencia del rotacional

t d G “di [ t A( )]”

Operadores diferenciales de 2 orden (IV)Operadores diferenciales de 2 orden (IV)

jj((rr))==AA((rr))

teorema de Gauss para “div[rot A(r)]”

d d

A = A S dSP

jj((PP))

teorema de Stokes en descomposición en superficies 1 y 2

dSP1

1 2

igual contorno y sentidos opuestos

d A S 0d d A r A r

0

dr1

dr2 A|A|2

la integral de “div[rot A(r)]” en cual-i l l

d A S 01 2d d

A r A r AA((rr))

0 2 A|A|2

dS

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1 quier volumen es nula:

3( ) 0; P A r 0d A

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

“rot A(r)” es campo solenoidal: su divergencia es nula en todo el espacio

( ) 0;

( ) ( ) A r A r


® G

a®

Ga

7

su divergencia es nula en todo el espacio ( ) , ( ) A r A r

Ángulo sólido (I)Ángulo sólido (I)

Ángulo subtendido en un planoÁngulo subtendido en un planol ió t l dif i l d

Elemento de ángulo sólidoElemento de ángulo sólidol ió t dif i l d á

Ángulo sólido (I)Ángulo sólido (I)

dl N r r

relación entre el diferencial de arco y la distancia a un punto P0

ds cosθdl

relación entre diferencial de área y el cuadrado de la distancia a P0

d S r r cosdS dA 02

0

dl

N r r

r r

dsd

R

0

cosθdl

r r

Z

0

03

0P

dd

S r r

r r2

0

cosdS

r r2

0dA

R

dl

urNP'

dX

Z

YO r0 P0

dsP

r-r0dr

n || dS

P

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1

r-r0

r Y

ddS

|r-r0|=Rur

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

r0XO

dR=|r-r0|

dA=dScos[d ] di


® G

a®

Ga

8

P0 [d]=radianes [d]=estéreo-radianes

Ángulo sólido (II)Ángulo sólido (II)

Ángulo sólido de superficie “abierta”Ángulo sólido de superficie “abierta”d l d l fi i

P0

Ángulo sólido (II)Ángulo sólido (II)

dS

d

suma de elementos d para la superficie “abierta”

r0r-r0

0 0

0

3

0

( )P P

dd

S r r

r rdS X

Z

YOr

r0

PÁngulo sólido de superficie cerradaÁngulo sólido de superficie cerrada

desde Pext, exterior a superficie

dS

ext, p

ext

ext3( )

P

d

S r r

r r 0 Pext

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1

desde Pint, interior a superficie

ext

ext r r

Pint

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

int

int3

int

( )P

d

S r r

r r 4


® G

a®

Ga

9

int

Ángulo sólido (III)Ángulo sólido (III)

Propiedad general del ángulo sólidoPropiedad general del ángulo sólido descomponemos el ángulo sólido de 1

dSdS

Ángulo sólido (III)Ángulo sólido (III)

0 0d d S r r S r r

descomponemos el ángulo sólido de vista desde P0 (exterior):

( ) 0

P0

12

0 0

3 3

0 01 2 r r r r0

( ) 0P

dS=dS1

1

P01

0 0

3 3

0 01 2

d d

S r r S r r

r r r r

el ángulo sólido de una superfi-cie abierta no depende de la for-

0

3

01

1d

S r r

r r

0

3

01

d

S r r

r r01( )

P

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1

pma de ésta

()|P0sólo depende del con-

torno de la s perficie

01 01

P02dS=

dS

dS2

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G torno de la superficie

0 01 2( ) ( ) ,

P P 0

3

d S r r 0

3

2d S r r2( )

P 1 2si


® G

a®

Ga

10

0 0 3

02 r r3

02 r r02( )

P

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