I. Fundamentos I. Fundamentos matemáticosmatemáticos

C i l C i l4. Campos vectoriales4. Campos vectoriales

Campos ElectromagnéticosCampos Electromagnéticos® Gabriel Cano Gómez, 2010/11 ® Gabriel Cano Gómez, 2010/11

Dpto. Física Aplicada III (U. Sevilla)Dpto. Física Aplicada III (U. Sevilla)

Campos ElectromagnéticosCampos ElectromagnéticosIngeniero de TelecomunicaciónIngeniero de Telecomunicación

I. FundamentosI. Fundamentos matemáticosmatemáticos

1.1. Coordenadas curvilíneasCoordenadas curvilíneas

I. FundamentosI. Fundamentos matemáticosmatemáticos

2.2. Sistemas de coordenadas ortogonalesSistemas de coordenadas ortogonales3.3. Campos escalaresCampos escalarespp4.4. Campos Campos vectorialesvectoriales

Definición Propiedades generales

Líneas y tubos de campo Flujo de un campo vectorial Circulación de un campo vectorial

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1

5.5. Divergencia y rotacionalDivergencia y rotacional6.6. Operadores diferencialesOperadores diferenciales

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

7.7. Teoremas integralesTeoremas integrales

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® G

a®

Ga

2

Campo vectorialCampo vectorialDefiniciónDefinición

ió d l i i t

Campo vectorialCampo vectorial

AA AA en una región del espacio existe un campo vectorial cuando en cada punto hay un valor de magnitud vectorial

AA==AA((rr))

y gcon módulo, dirección y sentido

P P 33 AA((PP)) 33 u2

concepto matemático: a cada radio-vector (r3) le hace corresponder

33 (( ))u1PAA((PP))

un vector A(r)3

Z( )

OP=OP=rr 33 AA==AA((rr)) 33

u3

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1

puede expresarse como una función vectorial y monovaluada de la

Z r=r(q1,q2,q3)OPOP rr AA AA((rr) )

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G vectorial y monovaluada de la

posición: función de campo O

X

Y

r=rr=r(q1,q2,q3) AA((rr)=)=AA(q1,q2,q3) == AA (q q q )u33

(coordenadas ortogonales)

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® G

a®

Ga

3

r rr r(q1,q2,q3) AA((rr)) AA(q1,q2,q3) ==ii=1=1 AAii(q1,q2,q3)ui

Campo vectorial: propiedades generalesCampo vectorial: propiedades generalesLínea de campoLínea de campo

t t d t

Campo vectorial: propiedades generalesCampo vectorial: propiedades generales

AA AA curva cuya tangente en cada punto P tiene la dirección de A(P)

dd || dd (( ))( )PA

AA==AA((rr))1

las líneas de un campo vectorial NO

ddrr||= = ds ds uu((PP););( )

( )( )

con PP

A

u

2

dr|las líneas de un campo vectorial NO se pueden cortar: si se cortasen, A(P) tendría dos

l di iZ

P AA((PP))3

|

valores distintos!!!

Tubo de campoTubo de campo OX

Y

r n(P)

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1

conjunto T={T={11,…, ,…, nn,…},…} de las líneas del campo A=A(r)

X

iAA((PP))==AAjj??

dr|j

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

ecuación de la familia de líneas:

ddr r AA((rr)) = 0 = 0

j

(( )) jj??

AA((PP))==AAii??PP dr|i

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® G

a®

Ga

4

AA((PP)) AAii??

Flujo de un campo vectorialFlujo de un campo vectorialFlujo elementalFlujo elemental

Flujo de un campo vectorialFlujo de un campo vectorial

flujo a través del elemento de superficie

Plano tangente a en P

valor del flujo elemental:

d|P = dS·A(P) ú

a en P

j

/2 θ 0 θ π/2 d|P = |A(P)|cos dS

π/2 θ π 0 θ π/2 θ π/2Flujo total en Flujo total en

contribución neta de flujos elemen-

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1

d 0

jtales a través de la superficie

d ( ) d A r S

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

d 0 d 0 d

( ) d

A r S

cos dS A

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® G

a®

Ga

5

cos dS

A

Circulación de un campo vectorialCirculación de un campo vectorial

Elemento de circulaciónElemento de circulación

Circulación de un campo vectorialCirculación de un campo vectorialAA((rr))

circulación sobre un elemento dr|de curva

|dr|

valor del elemento:

d|P = A(P)·dr ú |P

AA((PP))

P Recta tangente a en P

dZ|P = |A(P)|cosds;AA((PP))

d 0Z

a en P(ds=|dr|)

dr drCirculación sobre una curvaCirculación sobre una curvacontribución neta de los elementos de circulación entre dos puntos de dZ

d 0Z d 0Z

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1

AA Bdr

de circulación entre dos puntos de

dB

AZ Z

( )·d

B

A A r r

0 θ π/2 θ π/2

d 0Z

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G AA

AA

AA A

BA A

cosB

AZ ds

A π/2 θ π

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® G

a®

Ga

6

AAA

Ejemplo: ejercicio 1.8Ejemplo: ejercicio 1.8Ejemplo: ejercicio 1.8Ejemplo: ejercicio 1.8

A(r)=cotu uA(r)=coturu

dS2 2d 2 zS R

A u

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1

¡¡no es flujo!!¡¡no es flujo!!

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

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® G

a®

Ga

7

Ejemplo: ejercicio 1.10.bEjemplo: ejercicio 1.10.bEjemplo: ejercicio 1.10.bEjemplo: ejercicio 1.10.b

dS1=dS u

A(r)=(u+u)+zuz

dS1 dSzuz

dS =dS u 2d 3 a h A SdSL=dSu d 3 a h

A S

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1

dS2=dS u ¡¡sí es flujo!!¡¡sí es flujo!!

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G dS2 dSzuz

¡¡ f j¡¡ f j

12L

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® G

a®

Ga

8

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