Campos escalares

Fórmula de Reducción y

Teoría de perturbación

1.- Fórmula de Reducción para Campos Escalares

Hasta 1954 la única forma de calcular era por medio de la expansión perturbativa de la corriente que es el término inhomogéneo de la ecuación para el campo.

Después Low, Lehmann, Symansik y Zimmermann (LSZ) mostraron como obtener información general contenida en S sin acudir a las expansiones perturbativas de acoplamiento débil.

Esto lo lograron aplicando las condiciones asintóticas del campo:

(1.1)

con el fin de expresar los los elementos de la matriz de interés en términos de valores de expectación de operadores de campo en el vacío.

La Técnica de Reducción de (LSZ) extrae la información de los estados físicos (1.2)

y los “despliega” en términos de operadores de campo “ensandwichados” entre estados de vacío.

Sj~

)(1

)(

)(1

)(

xZ

x

xZ

x

outt

int

inoutS

• Considerando el elemento de matriz:

Donde son las partícuals emergiendo del estado saliente . estado entrando correspondiente a un conjunto de partículas entrando mas una adicional con momento p.

Utilizando la condición asintótica se busca extraer una partícula p del estado .

(1.3)

representa un estado saliente con la partícula p, si está presente, extraída del conjunto . Si p no está incluida en dicho conjunto este término no aparece. Si representa un estado entrante de dispesrión de dos partículas, contribuye a la dispersión elástica en donde la partícula proyectil y la partícula blanco conservan su momento.

considerando la condición asintótica de los campos se tiene:

pinoutS

outpin

pin

inxxxfxdoutiinpout

inpapaoutinpaout

inpaoutpinout

outinp

outinout

in

)()()(

)()()(

)(

03

�

pout pin

inpout

inxxoutxfxdxLimxLimZ

i

inpoutpinout

p

),()()()( 003

00�

Por otra parte:

Y debido a que

Se tiene que:

(1.4)

Este procedimiento puede ser repetido hasta haber removido todas las partículas del estado “entrante” (in) así como para el estado “saliente” (out) tal que sólo queden promedios de operadores en el estado de vacío.

Si por ejemplo se quiere remover una partícula de momento p´ de la expresión (1.4) del conjunto entonces se debe considerar:

Nuevamente utilizando la condición asintótica se obtiene:

)()( 22

20

xfmx

xfp

p

)()()()()()(

)()()()( 120

2220

14

0

1024201

300 xg

xxgxg

xxgxd

xxgxg

xdxgxgxdxLimxLim�

�

inxoutmxfxdZ

iinpoutpinout p

)()( 24

´p

)()()()()(´)(

´)()()(´)(´)(

)(´)(

´03 yfinyxxyoutydiinpxout

inpaxxpaoutinpxout

inxoutpinxout

pyinout

inout

�

inxyToutxLimxLimZ

inyxxyout inout

)()()()(1

)()()()(

00

• Con esto obtenemos:

(1.5)

Aplicando la técnica de reducción para remover todas las partículas de los estados “in” y “out” se obtiene el valor de expectación en el estado de vacío de un producto de operadores de campo:

(1.6)

• Esta ecuación sirve como piedra angular para la teoría de cuantisación de campo. • La expresión representa la suma de todos los diagramas de

Feynman de r partículas creadas o destruidas en los puntos (z1…zr).

• La fórmula de reducción (1.6) muestra que los elementos de la matriz S no son mas que la función de Green de r=n+m partículas con las patas externas removidas y con los momentos externos en la superficie de masa pi

2=qj2=m2.

)()()(´)()(´ ´24 yfminxyToutyd

Z

iinpxoutinxoutp pyy

)(0)()...()()...(0

)(...

211

2

1

4

1

4...11

jpxx

mn

xx

n

jiqj

m

ii

mn

mn

yfmxxyyT

mxfydxdZ

iinqqoutpp

j

i

ji qp

0)()...(0 1 rzzT

2.-Teoría de perturbación para campos escalares

1. Es posible expandir en términos de

2. El espectro de los estados exactos está en correspondencia 1-1 con los estados no perturbados.

3. Se asume que para cada hay un campo .

4. Los términos de interacción no dependen de las derivadas de los campos.

2.2 Matriz ULos campos cumplen con las mismas relaciones de conmutación a tiempos iguales.

Debido a [3]

(2.1)

Como las ecuaciones de movimiento de y de son conocidas, entonces se puede encontrar la ecuación dinámica para U(t).

Donde es el hamiltoniano para un (2.2) campo libre descrito con la masa m.

)(x )(, xoutin

)(x )(xin

)(),()(),(

)(),()(),(1

1

tUtxtUtx

tUtxtUtx

in

in

)(),,()(

)(),,()(

xHit

x

xHit

x

ininininin

ininininin

),( inininH

)(x )(xin

Mientras que para los campos exactos:

Suponiendo la relación

Entonces se obtiene la condición:

Y así la ecuación para el operador U(t) es: Con la ayuda de U podemoes escribir los

valores de (2.3) expectación en le vacío del producto de operadores, a los que todos los elementos de S han sido reducidos, como una serie infinita de campos “in”.

)(),,()(

)(),,()(

xHitx

xHitx

),(),(),( ininIininininin HHH

)(),,()()()(

)(),,()(),()(

)()()()()()()()()()()()(

)(

1

1

1111

xiHtUtUx

xHixtUtU

tUtUxtUxtUxtUtUt

tUxtUx

inininIin

inininin

ininin

)(),,()()()()( 1 xiHtUtUxx inininIinin

)()()()()( ´0

1 tHtEtHtUtUi II

)()()( ´ tUtH

ttU

i I

• Definiendo

se cumple (2.4)

Podemos definir la condición inicial U(t,t)=1 obteniendo al expresión para U como:

Iterando n veces:

Debido a que los términos de interacción están ordenados temporalmente

Por otra parte

(2.5)

En general para el término n-ésimo se tienen n permutaciones, y habrá n integraciones en

´)()(´),( 1 tUtUttU ´),()(´),( ´ ttUtH

tttU

i I

´),()(1´),( 11´

´

1 ttUtHdtittU I

t

t

)()...(...1´),( ´1

´

´´

2

´

11

11

nII

t

t

n

t

t

t

tn

n tHtHTdtdtdtittUn

...)()...()(...

...)()(´),()(1´),(

´2

´1

´

´ ´´

21

2´

´

21´

´

12

11´

´

1

11

1

nIII

t

t

t

t

n

t

t

n

I

t

t

I

t

t

I

t

t

tHtHtHdtdtdti

tHdttHdtittUtHdtittU

n

nttt ...21

)()(21

)()()()( 2´

1´

´

1

´

22´

1´

´

1

´

22´

1´

´

2

´

1

21

tHtHTdtdttHtHTdtdttHtHTdtdt II

t

t

t

t

II

t

t

t

t

II

t

t

t

t

tt´,

Entonces se tiene:

(2.6)

Algunas propiedades de este operador son:

1) U(t,t´) es unitario.

2) (2.7)

3)

´),(´),( 1 ttUttU

t

t

I

t

t

I

nII

t

t

n

t

t

t

tn

n

txHdiTdttiT

ttTdtdtdtni

ttU

´

´4

´

´

´1

´

´´

2

´

11

)(exp)(exp

)()...(...!

1´),(

´)´´,(´´),(´),( ttUttUttU

)´,(´),( 1 ttUttU

• 2.3Expansión perturbativa de funciones Tau y la matriz S

Utilizando las relaciones (2.1) y la expresión para U se puede expandir los elementos de la matriz S en términos de los valores de expectación de los campos .

Definiendo:

Se puede expresar en términos de los campos entrantes.

Donde t es un tiempo de referencia que se podrá aproximar a . En este límite “-t” es el tiempo mas “temprano” y “t” es el tiempo mas “tardío”. Con esto la ecuación anterior queda:

(2.8)

)(xin

0)()...(0),...,( 11 nn xxTxx

0)(),()(),()...,()(),()(),()(0

0)()(),()...,()(),()()(0),...,(

132221111

132221111

1

tUttUxttUttUxttUxttUtUT

tUxttUttUxttUxtUTxx

nninnninin

nninnnininn

0)(´´)(exp)()...()()(0),...,( ´21

11 tUdttixxxTtUxx

t

t

Ininininn

Pero es eigenestado de los operadores U(-t) y de U-1(t) ya que:

Utilizando la condición asintótica :

Donde el primer término se anula y el segundo es:

Quedando de esta forma que lo cual implica:

Entonces el factor que resulta en la ecuación (2.8) es:

0

intUtUtxtUintxfxdi

intUtxintt

txfxditUpaintUinp

p

inpin

)(´)(´),(´)(´),(

)(´),(´´

´),(0)()(0)(

1´0

3

3

�

�

0)()(),()(),()(),(0)()( 13 tUtUtxtUtxtUintxfxdipatUin pin

0,,1

111

UHiUUU

UUUUUUUUUU

inIin

inin

00)( tUinp

00)( tU 00)( tU

1´1 0´´)(exp00),(00)()(0

t

t

I dttiTttUtUtU

´tt

Quedando así:

(2.9)

La matriz S en (1.6) se debe expresar primero en términos de la función (2.9) y así se encuentra la expresión de los elementos de matriz en términos de los campos de los cuales conocemos sus propiedades y la conexión con los propagadores de Feynman.

0))(())...((0...!

)(

0))(())...(()()...()(0...!)(

0´´)(exp0

0´´)(exp)()...()(0

),...,(

14

14

0

1214

14

0

21

1

minIinImm

m

minIinIninininmm

m

t

t

I

t

t

Inininin

n

yHyHTydydm

i

yHyHxxxTydydmi

dttiT

dttixxxT

xx

)(xin

• 2.4 Teorema de Wick

Este teorema nos dice como se relacionan el producto temporal ordenado de operadores con el ordenamiento normal del producto y las contracciones de Wick.

(2.10)

Las contracciones de Wick aparecen ya que se conmutan los operadores para llevarlos a su orden normal.

Orden normal.

Dada la descomposición de un operador

(2.11)

)()(0)()(00)()(0

)(0)()(00)()(0

...

:)()(:0)()(00)()(0

:)()(:0)()(0

:)()(:)()(

11221

121

54321

321

11

nimparpermxxxTxxT

nparpermxxTxxT

PermxxxxTxxT

nesPermutacioxxxxT

xxxxT

ninninnininin

ninnininin

ninininininin

ninininin

nininninin

)()()( )()( xxx ininin

)()(

)()()(

)(

pax

pax

inin

inin

• Un producto de operadores está en orden normal cuando todos operadoresse encuentran a la derecha de todos los operadores .

Entonces se define como:

(2.12)

Dado que y se tiene que:

1) Para n par (2.13)

2) Para n impar

Con esto se puede expresar la matriz S en términos de los propagadores de Feynman de partícula libre.

)()( x)()( x

Bj

jinAi

iinBA

permninin xxxx )()(:)()(: )()(

,1

00)( in 00 )(

in

00)()(0 1 ninin xxT

perm

ninninininpinin xxTxxTxxT 0)()(00)()(00)()(0 12121

Prueba

La prueba se realiza por inducción.

1.

Donde el número c es el resultado del conmutador de los campos y

Por definición , entonces:

Suponiendo que el teorema se cumple para algún n entonces buscamos que se cumpla para n+1.

Considerando con tn+1 el tiempo mas temprano:

(2.15)

cxxxxT inininin :)()(:)()( 2121

)()( x )()( x

00:ˆ:0 O 0)()(0:)()(:)()( 212121 xxTxxxxT inininininin

)()( 11 ninin xxT

...)(:)()(:0)()(0

)(:)()(:

)()()()()(

1321

11

1111

ninnininperm

inin

ninninin

ninnininninin

xxxxxT

xxx

xxxTxxT

0)()(0)()(

)()()()()()(

)()()()()(:)()(:

1)()()()(

,

)(1

)()(

,1

)()()(

,

1)(

1)()()(

,11

ninkinBk

kjBj

jinAi

iinBA

perm

Bjjinnin

Aiiin

BAperm

Bjninjin

Aiiin

BAperm

ninninBj

jinAi

iinBA

permninninin

xxxx

xxxxxx

xxxxxxx

El último término aparece debido a que para poder poner el campo en orden normal es necesario conmutar con todas las componentes de los campos . Esto deja una serie de términos multiplicados por un factor de conmutación.

Por otra parte:

Y entonces:

(2.16)

Donde el segundo término del lado derecho de la igualdad será el término restante para las contracciones de un orden mayor.

Sustituyendo (2.16) en (2.15) se obtiene lo requerido.

Nota.- el hamiltoniano de interacción está ordenado normalmente, entonces al trabajar con el teorema de Wick con el hamiltoniano de interacción no aparecen contracciones de Wick. Entonces es claro que

)( 1nin x)( 1

)(

nin x )()( kin x

0)()(00)()(00)()(0 111)()(

ninkinninkinninkin xxTxxxx

0)()(0:)()()()(:

:)()()(:)(:)()(:

1111

1111

ninkink

ninkinkininperm

ninnininninninin

xxTxxxx

xxxxxx

:ˆ::ˆ: ooT

• 2.5 Representación gráfica

Las contracciones de Wick que aparecen en la teoría de campo escalar son de la forma:

Y análogamente para los propagadores de Feynman para ferminoes y bosones con espin diferente de cero existe una representación gráfica :

Los diagramas correspondientes son:

x x α xμ

y yβ yν

imp

ekdimyxiyxT

yxik

Finin

22

)(

4

42)(

2);(0)()(0

);(0)()(0

2);(0)()(0 22

)(

4

4

myxiDyxAT

impmpepd

imyxiSyxT

trFinin

yxip

Finin

);( 2myxi F );( myxiSF );( myxiD trF

• Ejemplo

Campo escala con auto interacción.

Una contribución a la expansión con segundo oreden en y primer orden en la corrección de masa es:

La representación gráfica de esta expresión puede ser:

con

Diagrama que no ocurre

:)(:21:)(:4

1))(( 4220

40 xxxH inininI

),,,( 4321 xxxx0

0:)(::)(::)(:)()()()(32 3

22

41

44321

20 yyyxxxxTom

ininininininin

::44

0 ini ::2

1 22inm