Unidad 3 - Cálculo diferencial en campos escalares

Campos escalares.D efinición: Llamamos campo escalar a una función cuyo dominio está contenido en Rn, para algúnn € N y cuyo condominio es IR. Es' decir

/ :{x1, x 2, . . . , x n) -► f ( x i , x 2, . . . , x n)

Si no se especifica el dominio, se sobreentiende que es el mayor donde la ley de / está definida. D efinición: Conjunto imagen o recorrido de /

1) / : 1R3 —> R tal que f ( x , y , z ) = y jx 2 + y2 + z 2 función módulo. Dom /JR3, Im / = Rq .

con x = {x \ , x2, ■. •, x n) , Xi variables independientes e y variable dependiente.2) En esta materia nos limitaremos al estudio de campos escalares definidos en IR2 o l 3. D efinición: Sea / : D C IR" —»• IR, llamaremos gráfica de f al conjunto

Im / = {y G IR : 3 ( x 1, x 2, . . . , x n) G Rn tal que f (x i , x 2, . . . , x n

Ejem plos:

2) / : IR2 —»• R tal que f ( x , y) = . Dom / = {(re, y) e R2 : x + y + 1 > 0, x ^ 1}

3) Las funciones reales son casos particulares de campos escalares cuando n — 1. O bservación:1) Notación

/ : D c R " Rx -*■ f { x ) = y e R

Gf = { ( x i , . . . , x n, f ( x \ , . . . , xn)) : ( x i , . . . , x n) £ D om /}

Ejem plos:1) f ( x , y ) = 6 — 2x — 3y, Dom / = R2 su gráfica es la superficie de ecuación 2 = f ( x , y) o sea z — 6 — 2x — 3y o bien 2x + 3y + 2 = 6 que es la ecuación de un plano.

3) Sea z = f (x,y) = 4 — x 2 — y2, dom (/) = R2. Cada plano z = cte < 4 corta a Gf en una circunferencia.

Conjuntos de nivel.Definición: Sea / : D c R n —> R y A ; e R , llamamos conjunto de nivel k de f a y notamos Ck al conjunto

2) Cuando n = 2 , Ck son curvas de nivel de ecuación f ( x , y ) = k. Son las proyecciones al plano xy de las curvas intersección de la superficie z = f ( x , y) con el plano z = k.3) Cuando n = 3, Ck son superficies de nivel de ecuación f ( x , y, z) = k.

1) f (x , y) = 6 — 2x — 3 y, Ck) 6 — 2x — 3y = f c € l m / = R o 2 x + 3y = 6 — k son rectas para VA: € R.2) f (x , y) = y/9 — x 2 — y2, Ck) \ /9 — x 2 y2 = k E Im / C Rq <=> x 2-\-y2 = 9—k2 son circunferencias de radio y/9 — k2 si 0 < k < 3, un punto'^Ste k = 3 y 0 si k > 3. 0" l< <L<? -3) / : R2 —> R, z = / (x,y) = 4 — (x2 + y2) . Ck = {(x,y) : x 2 + y2 = 4 — k} 7 0 si y sólo si k e (—oo,4] siendo, Ck circunferencias centradas en el origen de radio y/A — k si k < 4 o un punto (el origen) si k = 4.

u2) f { x , y ) = \ / 9 — x 2 — y2, D om / = {{x,y) : x 2 + y2 < 9}, la gráfica es la superficie de ecuación z = f ( x , y) o sea

4) Sea z = f (x, y) = x 2 + 1, dom (/) = R2. Cada^lano y = cte corta a Gf en una parábola z = x 2 + 1.

Ck = { (x i , . . . , xn) e Rn : / ( x i , . . . , xn) = k}

O bservación:1) Ck 7 0 <í=> k G Im / .

E jem plos:

43

4) / : R2 —> R, / (x , y) = x 2 + 1. Cfc = {(x, y) : x 2 + 1 = k} ^ 0 si y sólo si k > 1, donde, Ck son dos rectas paralelas x = ±y / k — 1 si y sólo si k > 1 y C\ es el eje y.

5) / : R3 —» R , / (re, y, z) = x 2 + y2 + z2, las superficies de nivel k de f serán Ck = {(x , y , z ) : x2 + y2 + z 2 = k} 0 si y sólo si k > 0 , siendo, Ck esferas centradas en el origen de radio V k si k > 0 o un punto (¿cuál?) si k = 0 . ñ

; - f ( x -) s i - ?Límites y continuidad.Para poder definir el concepto de límite de campos escalares tenemos que definir formalmente qué sig­nifica que /(x ) —» L cuando x —* a.Definiciones preliminares:0 S um a en Rn : Hay una función de R" x R" en Rn llamada su m a (+) definida por

w + v = (ui + Vi, . . . , un + vn)

0 P ro d u c to p o r e sca lares en R” : Hay una función de R x Rn en Rn llamada p ro d u c to p o r escalares definida por

au = (crni,. . . , au n)

0 P ro d u c to e sca la r en R" : Hay una función de Rn x R" en R llamada p ro d u c to esca lar (•) definida por

TIU : V = Y . u k V k

fc=1

0 B ase en Rn : Hay una b&se en R", {ei , . . . , en} con ex = (1, 0 , . . . , 0 ) , . . . , en = (0 , . . . , 0,1) tal que si x G Rn existen únicos escalares i ¡ e i para i = 1, , n tales que x = X\e\ + . . . + x nen.0 N o rm a en Rn : Hay una función de Rn en Rq llamada n o rm a en Rn que indicaremos ||-||, definida por

INI = \ / x 2 + . . . + x2

0 Topología de R"En los espacios normados es entonces posible definir una distancia o métrica euclideana entre puntos del espacio d (x, y) = ||x — y | | .0 D is tan c ia en Rn : Hay una función de R" x Rn en Rq llamada d is ta n c ia (o m étrica ) en Rn que indicaremos d , definida por

d(x , y ) = \\x - y\\

P ro p ied ad : Dados x , y , z G Rn esta función distancia verifica:i) d(x,y) = d(y,x)ii) d(x, y) < d(x, z) + d(z, y) desigualdad triangulariii) d(x, y) > 0 y d(x, y) = 0 si y sólo si x = y

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W\6

Í> a ^ - = -j y é t R*» . <1CK «) < í r } ~ ^X€iR,n;

j .i S i A C jrJ'* ¿ x -&j i^ vtenor cU A 3 O o ^ B (fv ,r ) C A .

P roposic ión : Un conjunto A de R” es a b ie r to si todos sus puntos son interiores, es decir, si A = A = {puntos interiores de Á\ .O bservación: El vacío es abierto por definición, Rn es abierto, si {A t}tej es una familia cualquiera

nde abiertos entonces U A es abierta y si {Ai}™^ es una familia finita de abiertos entonces f] A t es

¿6/ ¿—1abierta.0 E n to rn o de u n p u n to : Llamaremos entorno de un punto a a todo conjunto que contenga B(a, r).Es decir E es entorno de a y si existe r > 0 tal que a E B(a, r) C E.0 C o n ju n to cerrad o : Un conjunto B C Rn es c e rrad o si CB = B es abierto.Teorem a: a) I " y 0 son cerrados, b) Intersección arbitraria de cerrados es cerrada, c) Unión finita

. de cerrados es cerrada.0 P u n to c lau su ra : Si A C R", el punto x E Rra es un p u n to c la u su ra de A si y sólo si todo entorno de x tiene intersección no vacía con A. Llamaremos c lau su ra de A y notaremos A = {puntos clausura de A}, se verifica A C A.P roposic ión : Un conjunto A es cerrado si y sólo si A = A.Ejem plos: a) La bola B (a , r ) es abierta. En efecto, sea x E B (a, r) \\x — a|| < r =>• ||x — a.|| =r — 5 con 5 > 0. Usando la desigualdad triangular es fácil ver que B (z, | ) C B (a, r).

b) En particular, si n = 1, B (a, r) = {x E R : \x — a| < r} = (a — 7', a + r) o sea que el intervalo abierto es un conjunto abierto.

c) En R3 el conjunto P — {(x , y , z ) : a < x < b, c < y < d, e < z < / } es un abierto, llamado ca ja o p rism a re c tan g u la r .

d) En R 3 el conjunto CP es cerrado.

CP — {(x, y, z) : (x < a V x > b) A (y < c V y > d) A (z < e V z > / ) }

e) El conjunto E = { x : \\x — a|| > r} es cerrado pues E = CB (a, r) .

f) El conjunto D — {x : ||x — a|| > ?’} es abierto y B (a , r ) = {x : ||x — a|| < r} es cerrado. Por ejemplo en R : si a < b, los conjuntos (—oo, a) , (b, oo) , (a, b) , (—oo, a) U (b, oo) son abiertos. Por lo tanto el intervalo cerrado [a, b} es cerrado.

g) En R, el intervalo [a, b) no es abierto ni cerrado. En efecto, no es abierto pues a no es interior a [a, fe) y no es cerrado pues b no es interior a C[a, fe).

h) El conjunto {a} es cerrado Va E R". Por ejemplo, en R, C{a} = (—oo, a) U (a, co) es abierto. EnRn, ■

C{a} = {x : ||x — a|| > 0}

Observación: La intersección (cualquiera) de abiertos no necesariamente es abierta, por ejemplo: en R, Vn E N los intervalos (—¿, ^) son abiertos. P| (— - ) = {0} es cerrado.

0 Punto frontera y frontera de un conjunto: Un punto z es punto frontera de A si cualquier N (z) contiene puntos de A y de CA. Definimos la frontera de A y notamos dA = {puntos frontera de /!}.

z E dA si y sólo si para todo TV ( z ) , N (z) n A ^ 0 y N (z) fl CA ^ 0.

Teorema: Un conjunto es cerrado si y sólo si contiene a su frontera. (A cerrado si y sólo si <9/1 C A)

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O Punto exterior y exterior de un conjunto: Si A C Mri, el punto a £ R” es llamado un punto exterior de A si existe B (a) C CA. Llamaremos exterior de .4 y notaremos con ext/4 = {puntos exteriores de A}, se verifica extA C CA.Observación: Para todo i C 1 " , se verifica: i) extA = CA ii) Rn = A U dA U extA y todos estos conjuntos son disjuntos 2 a 2 .Ejemplos: a) La frontera de B (a,r) es d B (a, r) = {x : ||x — a|| = r} y es también la frontera de su complemento.b) En R, la d (a, b) = d[a.b) — d(a, b] = d[a, b] = {a, b}.c) En R2, sea B = B {0 , r ) = {(x,y) £ R2 :J| {x,y) - (0 0)11 < r} = ji{x,y) £ R2 : ||(a:,y)|| < r}

= {(x,y) £ R 2 : x2 + y2 < r 2}. Indicar B, CB, dB, B, extB = CB.

Límite de un campo escalar en un punto__ o

Definición: Sea / : D C R n ^ R ] D = Dom / , sea a £ D = D U dD, (o sea que todo entorno de a tiene intersección no vacía con A) entonces diremos que L £ R es el lím ite de / cuando x tiende a a si y sólo si dado e > 0, existe 8 > 0 tal que si x £ D y 0 < ||rr — «|| < <5 entonces |/ (x) — L\ < e. Es decir, dada una bola de centro L y radio e existe una bola de centro a y radio 8 tal q\ie si x G B (a, 5) entonces f ( x ) £ B(L,e) .Notación:

lím f (x) = L o / (x) —> Lx^ a ' x^a

Observaciones: Para los casos n = 2 (que serán para los que veremos ejemplos) la definición es: Sea / : D C R2 —> R decimos que / —» L cuando (x, y) —> (a, b) y notamos

lím f ( x , y ) = L

sii dado e > 0 existe 8 > 0 tal que si (x, y) £ D y 0 < y (x — a) + (y — b)2 < 8 = » \ f (x, y) — L\ < e

O bservación: Recordemos que para funciones reales, que x —> a era equivalente a acercarse a a por el segmento ax o xa según x esté a la derecha o izquierda de a. Además si el lím f ( x ) existe entonces

x —yaexisten los límites laterales y son iguales, y si los límites laterales son distintos no existe el límite. En cambio, en Rn, en particular en R2, que x —» a significa que podemos acercarnos a a por cualquier camino. Esto nos dará una condición necesaria de existencia del límite:Sean C\ y C2 dos curvas que contienen al punto (o, b) £ R 2, sean = lím / (x, y) cuando (x, y)

( x , y ) —>(a,b)

se acerca a (a, b) por la curva C\ y L2 = lím / (x, y) cuando (x, y) se acerca a (a, b) por la curva(x,y )-*(a ,b)

C2- Entonces:a) Si Li ^ Lo no ex iste lím f (x, y)

(x ,y ) - (a ,b )

b) Si Li = L 2 =£> 3 lím / (x, y)( x , y ) —^(a,b)

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Ejemplos: 1) f { x , y ) =•5 xy

x 2 + y/.existe lím¿

5 xy(x ,y H (0 ,0 ) X2 + y2

Sx2 5Nos acercamos al origen por la recta x — y, lím f ( x , x ) = lím — - = -

(x,y)-(0,or ‘ (a:,!/)—(0,0) 2x2 2x = y x = y

Nos acercamos al origen por la recta x = 0, lím f(0 , y) = lím - i = 0(i,3/)-(0,0) v (x,y)-(0,0) y2

x = 0 x = 0Por lo tanto

2 lím 519(x ,y)—>(o,o) x ¿ + y¿

. . . ,, 5 x 2y¿existe lim --------- 'o\ < \ 5x y2) g (x, y) = - r - — 2 o ..........— o , 9x 2 + y2 ( x ,y ) ^ ( 0 ,0 ) x 2 + y2

Introducimos el concepto de Límites radiales. Nos acercamos al origen por todas las rectas que pasan por el origen

' y — m x x = 0

th , ,/ r, \ t/ 5x“m x ,, 5 m xEvaluamos lun t ( x , mx ) — lim —--—— = l im ---------------------------- = 0(x,y)—>(o,o) x—>0 x + m 2x 2 x^o 1 + m 2

y = m x y = m x y - m x

Y ahora lím /(0 , y) = límO = 0(x ,y)—->(0,0) y ^ 0

x= 0 x = 05 x 2y

¿Será entonces lím —— — = 0? No lo podemos asegurar, lo probamos por definición, pues de(*,yH(0,0) x + y

existir tiene que valer 0 (unicidad del límite que probaremos luego),

5 x 2y 5 x 2y X2x 2 -1- y2 x 2 + y2 x 2 + y2

|5y| < 5 |y| = 5y /y 2 < 5 ^ x 2 + [ <<i si y ! X 2+ y 2<S= —

5

por lo tanto

lím5 x 2y

(x ,y )—>(0 .0 ) x ¿ + y ¿= o

xy3) h{x, y) =

x ¿ + y4Usando límites radiales nos acercamos por y = mx,

¿existe lím h(x, y)?(x ,y )—>(0,0)

2 2 x m x x mlím h ( x , y ) = lím h ( x , m x ) = lím —-— ■——- = lím , „

(x ,y)—>(0,0) x —>0 x —>0 X 2 + m 4 X 4 x->0 1 + m 4 x -y = m x y —m x y = m x

= 0 Vm.

5 x 2yPero ¿será entonces lím —----- - = 0?. Buscamos otra curva para acercarnos al origen, porz _ i _ ¿(x,i/)—>(o,o) x 2 + y2 ejemplo por la parábola x = y2, entonces

lím h(y2,y) = lím — - — -y —’O y -^0 y4 y

12

por lo tanto$ lím h(x, y)

(x,y) >(0,0)

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/

'7*3 i rt.3 3 i -.34) y(x,y) = - 2- • ¿existe lím - - ■■■- ?

x2 + y2 (x!y)^(o,o) x2 + y2

Introducimos la transformación a coordenadas polares y calculamos lím g (x, y) haciendo' (*,y)-*(o,o)

lím g (p eos 8, p sin 6) p^O

x = pcos9 p3(cos39 + sin3 9) „ , o . ■*1 . a límí—-------- ---------- ¿ = lím p eos3 9 + sm3 9) = 0y = p sm 9 P—>o p2 p- o s_____ v_____ í-

aco tad o

Por lo tanto, como el límite es independiente de 9 (no depende por qué curva me acerco al origen), existe el límite y vale

x3 + y3lim —----- — = 0

(i,y)-»(0,0) x + y2

^ f í x + y ■ 4. " v ^ + y o•5) / (x,y) = — . . ¿existe lnn —_____ ?1/ x 2 + y2 (i,y)-*(o,o) y^x2 + y2

Usando coordenadas polares

x = p eos 0 ,. P cos # + sin 0 | 1 si 0 = 0. „ lim-------------------- = cos0 + s m # = < rR ■ n 7ry = p s in 6l p->o p | v 2 si # = —

v 4

El límite lím / (pcos(9,psin0) depende de 9, es decir depende por qué curva me acerco al origen, por p—o

lo tanto no existe el límite.

Teoremas sobre límites.Los teoremas vistos para funciones de una variable pueden en general aplicarse a campos escalares, con demostraciones análogas, enunciamos algunos de ellos para los casos particulares n = 2: Teorema: Si existe lím / (x, y) — L es único.

Teorema: Son equivalentes:

lím / (x, y) = L lím ( / (x, y) - L) = 0y lím |/ (x, y) - L\ = 0( x , y ) ^ ( a , b ) |[ (x ,y ) - (a ,b ) ||- * 0

Definición: / es acotada en un entorno N(a,b) si existe M > 0 tal que | / (x,y) | < M para todo(x, y) £ N(a, b).Teorema: Si existe lím / (x,y) = L entonces / es’acotada en algún entorno de (ci, b).

(x,y)—>(a, 6)Teorema (A lgebra de los lím ites) : Sean / , g campos escalares de M2 en M con igual dominio D C R2, sean b — lím / (x, y) y c — lím g (x, y ) . Entonces:

( x ,y ) —>(a,b) ' . ( x . y ) —>(a,b)

Dem ostración: a, b, c y e) idénticas a las hechas para funciones reales,

d) dado e > 0, existe <5 > 0 tal que si x G D y 0 < ||x — a\\ < 5 entonces

I \ f (x,y) \ - |fe|| < \ f ( x , y) - b\ < e. □

Teorema (Carácter local del lím ite): Sean f , g : D C R2 —> R tales que existe r > 0 talque / ( x , y) = g { x , y ) V(x, y) G B ((a,b) , r) — {(a, fe)} C D. Entonces si lím f (x,y) = L

(x ,y )—>(a.,b)

= ► , \ í n } = L -(:x,y)->(a,b)

Teorema (Intercalación para cam pos escalares): Sean / , g, h : D C R2 —> R tales que exis­te r > 0 donde g(x , y ) < f (x,y) < h ( x , y ) V(x,y) G B ( ( a , b ) , r ) — {(a, fe)} C D. Entonces si

lím g (x, y) = lím h{x ,y ) = L => lím / (x, y) = L.(x ,y )—*(a.b) ( x ,y ) ^ (a ,b ) (x,y)-+(a,b)Las demostraciones de estos teoremas se omiten pues son idénticas a las hechas en cursos anteriores de análisis matemático.

Continuidad de campos escalares.Definición: Decimos que el campo / : D C R2 —> R es continuo en (a, fe) G D — Dom / si

lím / (x, y) = f (a, fe). Si / es continuo en (a, fe) para todo (a, fe) G D decimos que / es continuo.( i ,y)-*(a,b)

Teorem a (C ontinuidad de la com posición): Sean / : D C R 2 - ) R y j : B C R - > R (con / (D) C B). Si / es continua en (o, fe) y g es continua en f (a, fe) entonces h = g o f definida por h(x, y) = g ( f (x, y))es continua en (a, fe).

Dem ostración: Sean e > 0, como g es continua en f (a, fe), existe r > 0 tal que si

l / f o y ) - / ( « , 6)1 < r = H s ( / (x >y)) - í / ( / ( M ) ) l < e

Pero como / es continua en (a, fe), para este r existe ó = S (r) > 0 tal que si

||(x,y) - (a, 6)|| < S =*• | / ( x , y ) - / (a, fe)] < r =*• | í?( / (x,y)) - g { f (a,b))\ < e

Por lo tanto lím g ( / (x, y)) = g ( / (a, 6)) entonces h = g o f es continua en (a, fe). □(z,y)-»(a,6)

E jem plos de campos escalares continuos:1) f (x,y) = k = cte es continua, en efecto \ f (x, y) — / (a, 6)| = |f£— |S(| = 0 < £ Ve > 0 y V (x, y).2) / (x, y) = x es continua, en efecto | / (x, y) — / (a, fe)| = |x — a| < e si ó = e. Idem, / (x, y) — y escontinua.3) / (x, y) = cvxrys con a G i?, r, s G N Q, entonces / es continua.

n4) p(x,y) = ^ o¡iXriys‘, los polinomios son continuos.

í=ip (x, i/)

5) / (x, y) = ■ las funciones racionales son continuas donde g (x, y) ^ 0.Q{x,y)

6) f { x , y ) = v ^ 2 + V2 es continua, pues es composición de g : R$ —> i?, g (t) = \ / í y /i : i ?2 —» /Zj,h(x, y) = x2 + y2 que son continuas.7) La norma es un campo escalar continuo.8) / (x, y) = ln (1 + x2 + y2) es composición de funciones continuas.9) Las composiciones con exponenciales, trigonométricas, racionales, polinomios, logaritmos, etc son continuos.

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Derivadas direccionales y parciales dg campos escalares.D efinición: Sean f : D C R n —> R y x E D (entonces existe r > 0 tal que B r (x ) C D). Sean ü un versor y h ^ 0 tal que x + hü G BT (x). Si existe

f ( x + hü) - f { x ) nt o ----------- 1----------- = ' D‘/ ( i )

se lo llama derivada direccional de f en x en la dirección de ü.

Por ejemplo podemos tomar h tal que |/i| < r pues

d (x + hü, x) = ||x + hü — x|| = ||/mx|| = |/i| ||ü|| — \h\ < r.

O bservación: En IR2, si ü = (ui ,n2) es un versor y x = (a, b), entonces

n t / u\ i ' f (a + h m , b + h u 2) - f (a,b)Düf (a,b) = lina------------------- --------------------/i—> o h

( X \D efinición: (Derivada parcial): En particular, si u — e¿ = I 0 , . . . , 1, . . . , 0 I el i-ésimo vector de la

base canónica de Mn, si existe

/ ( í + t e ) - / ( x )h-o h v !

se lo llama derivada parcial i-ésima de f en x.N otaciones: Llamaremos indistintamente derivada direccional de / en x en la dirección de e¿ o derivada parcial i-ésima de / en x o derivada parcial de / respecto de x¿ en x o derivada de / respecto de en x y notaremos

D éJ (x) = D i f (x) = f Xi (x) = (x)

E jem plos: 1) Sea f (x,y) — x + y2 calcular las derivadas parciales de / en x = (a, b)

A / ( a , 6) = h («, b ) = lím 1 (* + ~ f = lím 1 { { a ' b) + (* '0)) ~ / (° ’b )h-+0 h h-> o h= lím / ( ( a + ^ b)) - f {a ,fy _ lím a + h + b2 - a - b 2 _

h-> o h h—rO h

D i f ( a , b ) = /„ (a, b) - lím f (* + ^ ~ f ( í ) = Um f V + (O h)) - f (a,b)h—>0 h h— o h

a + (b+ h)2 — a — b2 b2 + 2bh + h2 — b2= lim ------------- ---------------= lím ------------- -------------= 2b

h—>0 h h^O hPodemos observar que f x (a,b) es derivar respecto de x la función / dejando a y como constante y luego calcularla en (a, b) y f y es derivar / respecto de y dejando x como constante y luego calcularla en (a, b).

2) Calcular la derivada direccional de / (x,y) — x + y en (1,1) en la dirección de ü = (—1, —1). Para aplicar la definición debemos calcular el versor ü0 = p¡[ = ( t I ’ 72 )

A i0/ (1, 1) = f ( ( M ) > (7 3 , 75 )) = lím/ ( ( 1, 1) + M 7 5 . 75)) - / (1. 1)

h^Oi — k . _i_ 1 ___ h___ 9

= l í m ------V2------------------ _ —V2/ i—*0 h

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Para ciertos campos escalares, pronto veremos una manera de calcular las derivadas direccionales sin calcular este límite.

„2 ,3) Sea / (x, y, z) = xey z calcular las derivadas parciales en x — (a, fe, c)

, f (a +h,b , c ) - f (a,b,c) (a + h)eb 0 -,b2c Jy2D i f (a, b, c) = lím ------ ----’ -—— = lím ae C

eb2ch-> 0 h h-> o h

n f (a,b +h , c ) - f (a,b,c) a ¿ b+h c - ae6' 0D2f (a, 6, c) = lím ---------------- -----------------= k m ----------- ¡---------- =h->0 h h—>0 h

2bhc+h - c _ 1 b2 e 2bhc+h2c(2bc + 2hc) ' # CnL= lim ae ------- -------- = lim ae ----------- ------------- = ae 2fec/i^O /l L'ff 1

tx f í u f {a,b,c + h ) - f {a,b,c) aefc2(c+ - aeh2cD 3f (a, 6, c) = lim ---------------- ----------------- = limh —»Cl h h —>0 / l

(,2 ei,2fl — 1 b2ceb2/lfr2 b2Cl 2— lim ae ---- ------ = lim ae ------- = ae fe>0 h L'H h.^0

Como x = (a, fe, c) es arbitrario, existen las derivadas parciales en todo (x, y , z) E R? y definen nuevos campos escalares de /?3 en /?,, ellos son

/* (x, y, z) = ey2zfy (x, y, z ) = xey2z2yz

fz (x, y, z) = x e ^ V

Observaciones (derivadas parciales de orden superior): Sea / : R2 —> i?, tal que existen lasderivadas parciales f x = Di f , f y = D 2f éstas son nuevos campos escalares de R 2 en IR, y comotales podemos calcularle (si existen) sus derivadas parciales, tendremos derivadas parciales dobles osegundas de / que notaremos

Di ( Di f ) = D u f — f xx D2 ( D J ) = D21f = ( fx)y = f xyDi (D 2f ) = D r2f — (f y)x = f yxD 2 (D 2f ) = D 22f = f yy

En general si / : R" —> R notamos

A y / = A ( A / ) = ( / , , ) , = / w = ¿ ( ^ ) = ^ para i , j =

Ejemplo: Sea / (x, y) = xey2 calcular las derivadas parciales dobles de /

„2

»,2 ,•D i f ( x , y ) = f x (x,y) = eyD2f (x, y) = f y (x, y) = xey¿2y

D u f [x, y) = f xx (x, y) = 0 D22f (x, y) = f yy (x, y) = x (ey2 (2 y)2 + ey22 jD 2i f ( x , y ) = f xy (x,y) = ey22y D 12f (x,y) = f y x (x,y) = ey22y

son iguales por qué?

51

T eorem a (C la ira u t) : Sean / : D C IR" —> IR y a £ D. Si D ^ f y Dj i f son continuas en a, entonces

Di j f (“) = Dj i f (ó)

Interpretación geométrica de las derivadas parciales.Sea f : K ¿ -> i?. La G , es una superficie 5 C J?3 de ecuación 2 = / (x, y ) .Fijamos x = a, sea T una curva determinada por iia n S = T siendo 7ra el plano _L al eje x en a.

• • i / f (a,b + h) — f (a,b) A vfEl cociente mcremental (en ira) es ------------- --------------- = —p—, es la pendiente de la recta secanteh ¡i

a T, luego D2f (a, b) = f y (a, b) es la pendiente de la recta tangente T a la curva F en el punto P de coordenadas (a, b, f (a, 6)) . Análogamente para f x {a, b)

O bservaciones y ejem plos.1) Algunos campos escalares no tienen derivadas direccionales en un punto a en cualquier dirección ni son continuos en a, sin embargo, si tienen derivadas parciales en ese punto, por ejemplo, sea

XV si {x, y) ± (0 , 0)/ (x, y) — < x 2 + y2 ’ ’ dom (/) = R 2 y sea a — (0,0).

[ 0 si (x,y) = (0, 0)Nos preguntamos: i) Es / continua en a? ii) / tiene derivadas parciales en a? iii) / tiene derivadas direccionales en a en cualquier dirección?

xyi) / será continua en (0 , 0) si y sólo si existe lím —------ v vale cero, veamos los límites radiales

(*,y)-(0,0) x + y2 '

,, x m x m f 0 si m — 0limx-*o x 2 + m 2x 2 1 + m 2 \ \ si m = 1

y = m x

Como depende de ni es decir depende por qué recta me acerco al origen, $ lím / (x, y ) , y(x ,3/)-> (0 ,0 )

entonces / no es continua en a.... / (a + h (1, 0)) — f (a) f (h, 0) — 0 , _ . . .u) Sea h yí 0, -------------- --------------- = --------------- = 0 ^ 0 , luego D xj (a) = 0. Análogamente

h f'b /i »o(a) = 0. Por lo tanto / tiene derivadas parciales en el origen.

iii) La derivada direccional en la dirección de u — (1,1) en a = (0,0), siendo u0 = ( ^ , ^=), será, siexiste, el límite

„ + l ) ) - / ( o ) llim --------------- --------------- = lim — -— ---------= lim —h—t0 h h—>o h o 2 h

pero como no existe este límite cuando h tiende a cero entonces / no tiene derivadas direccionales en a en la dirección de (1, 1), por lo tanto no tiene derivadas direccionales en el origen en cualquier dirección.

2) Si existen las derivadas direccionales en toda dirección uq en un punto a entonces existen las iderivadas parciales en a. La recíproca en general es falsa, como vimos en el ejemplo anterior. «

52

3) En el caso unidimensional, la derivabilidad de una función / en un punto implica la continuidaden ese punto, en efecto, si h ^ 0 ponemos f ( a + h) — f (a) = h, cuando h —>• 0 el segundomiembro tiende a f ' ( a ) -0 = 0 entonces f ( a + h) —> /(a ) . Aplicamos este razonamiento a un campoescalar, supongamos que existe f ' (a, y) para a £ R n y para todo y vector unitario. Entonces si/i / 0 ponemos f ( a + hy) — f ( a ) = h y cuando h —> 0 el segundo miembro tiende a/ '(a , y) ■ 0 = 0, luego la existencia de la derivada direccional en a en cualquier dirección y implical í m / ( a + hy) = f (a). Es decir, f ( x ) —> f ( a ) cuando x —> a a lo largo de toda recta de dirección h—>0y que pasa por a. Pero esto no asegura la continuidad de / en a, como puede verse en el siguiente ejemplo:

2xySea / un campo escalar definido por f ( x , y ) = —----- - fuera del origen y /(O, 0) = 0.

x 2 + y4Sea a = (0, 0), si h ^ 0, sea y = (yi, y2) un vector unitario con yx 0, el cociente

f {a + h ( y 1,y2)) - f (a) /(( /iy i, hy2)) h3yiyi yiy2h h /i3yr + hby.¿ yf + h%y\

2 2ytiene límite — cuando h —> 0 , es decir, existe f i a , y ) = — .V i V i

Si y = (0, y2) y h ^ 0, el cociente

/ ( o + fe(0,y2)) ~ / (a) h

0

luego existe f ' (a, (0, y2)) = 0. Por lo tanto, existe / '( a , y) en cualquier dirección, sin embargo / no es continua en a pues en cada punto de la parábola x = y2 es / (y2, y) — | salvo en el origen que vale 0.4) Sin embargo, cuando existan las derivadas direccionales en cualquier dirección en un punto a, existirán las derivadas parciales en a y si además éstas son acotadas, resultará / continua en a, como se demuestra en el siguiente:Teorema: Sea / : D C R n —> R, D abierto de Rn tal que Dj f , para j — 1, , n son acotadas en D.

OEntonces / es continua en D. Si D no es abierto y para todo j las D j f son acotadas en D. Entonces

O/ es continua en D.

Diferenciabilidad de campos escalares.Comentario previo sobre derivabilidad para funciones de 1 en K.

0 Si / : R —> R es derivable en a entonces

f ( a + h) - f (a) = f ( a ) h + hE(a, h) (4)

donde lím E (a, h) = 0.

Luego A f = f (a + h) - f (a) = h f (a) + h E (a, h) = h f (a) + o (|A|)

lineal en h \hE (a, h)\

df = h f ( a ) es ”la diferencial de / en a” . Cuando h —> 0 , A / ~ df.

0 Recíprocamente, si para / : R —> R existe A g R constante y E (a, h) —> 0 cuando h —> 0, tal que vale una fórmula del tipo (4):

f (a + h) — f (a) = Ah + h E (a, h)

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entonces / derivable en a y / ' (a) = A.

Luego, esa expresión para el incremento de / en a es equivalente a ser derivable en a. Usaremos esa expresión para definir diferenciabilidad de un campo escalar / : Rn —> M.D efinición: Sea / : D C R" —> M y sea a £ D (existe r > 0 tal que B (a, r) C D ), sea v tal que a + v £ B ( a , r ) . Decimos que / es diferenciable en a si existe a = ( a i , . . . , a u) £ M" tal que

/ (a + v) — / (a) = a ■ v + |M| E (a, v)

donde lím E (a, v) — 0, Vv tal que a + v £ B (a,r), es decir, ||i>|| < r.IM I-.0

Observación: 1) El término a ■ v es lineal en v y representa una transformación lineal

Ta : R n - » RTa (u) = a - v

llamada la diferencial de / en a.2) Para v ’’chico” la diferencia f (a + v) — f (a) ~ a ■ v (A / ~ df)3) Fórmula de Taylor de / alrededor de a

f { a + v ) - f (a) ~ Ta (v) f (a + v) - f (a) = Ta (v) + \\v\\ E (a,v)

e error

debe ser lím 7-^-- = lím ' E (a, v) = 0, o sea que e = o (| |uII).NHo | M| Ikii-o

Propiedades de las funciones diferenciables.Teorem a: Sea / : D C Mn —> M diferenciable en a € D. Entonces:a) / es continua en a.b) / tiene derivadas direccionales en cualquier dirección y £ Kn con ||y|| = 1 y vale:

D y f ( a ) — a ■ y = Ta (y)

En particular en la dirección e¿, es decir, existen las derivadas parciales.

Dif ( a ) = a¿ ¿ = l , . . . , n

Dem: a) Veamos que lím ( f (a + v) — f (a)) = 0. Como / es diferenciable en a seráu—»0lím ( / (a + v) — / (a)) = lím (a • v + ||t>|| E (a, v)) = lím (a: • v ) + lím ||u|| E (a,v) = a ■ lím v =v —>0 v —*0 v —>0 v —>0 v —>0a • 0 = 0 .Luego existe lím ( / (a + v) — f (a)) = 0 resultando / continua en a.

v —»0

b) Sean y un versor y v = Xy tal que a + v £ B(a, r ), es decir ||u|| = |A| < r, entonces cuando A —> 0, ||f|| —» 0 y vale E (a, v) —>■ 0 luego

f (a, j,) = K m + = lím “ ' + HA'9ll e (“■ * ! )A—>0 A A—>0 A

= a ■ y ± 1 lím E (a, v) — a ■ y

Además, como Ta es lina transformación lineal tenemos

f (a, y) = Dyf (a) = Ta (y) = Ta f ¿ y & ) = ¿ y{Ta (e¿) = ¿ y ¿ A / (a)1 / i= 1 i= 1

nY como a ■ y = Y , a iVi entonces f ' (a, e¿) = (a) = a¿. □

i=l

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Vector gradiente. Dirección de máximo crecimiento. Criterio de diferenciabilidad.Definición: Si existen D¿f (a) para i = 1, . . . , n, se llama gradiente de / en a al vector

V / (a) = [ D \ f ( a ) , . . . , Dnf (a))

Observaciones:1) / es diferenciable en a => existen Dyf (a) Vy € Rn con ||y|| = 1 y vale

D yf ( a ) = V / (a ) - y

2) / diferenciable en a =» / continua en a.3) / diferenciable en a existen las derivadas parciales D¿/ (a) V* (¿vale la vuelta?).

\ 3 D uf (a) Vu /

OTeorem a: Si D j/ continuas en A, Vi = 1 , . . . , n entonces / es diferenciable en a € A.

Ejemplo: f (x, y, z) = x 2 — yz + Axz2 + 1, calcular Duf (a) siendo a = (0,2, —1) y u — (l, 0, \/3) .

Calculamos u0 = jpjj- = ( l ,0, \/3) = ^ , 0 ,

V / (x, y, z) = (/*, f y, /*) = (2a; + 4z2, - 2, - y + 8x 2) V / (0, 2 , - 1) = (4 ,1, -2 )Duf (a) = V / (0,2, —1) • u0 = (4,1, -2 ) • ( j , 0, f ) = 2 - V3

Teorema: La derivada direccional en a es máxima en la dirección y sentido del V / ( a ) .

Dem: (n = 2,3) \Dyf (a) \ = | / ' (a,y)| = | V / ( a ) • y0| = | V / ( a ) | |y0| eos ( v / ( a ) Ay0)

= |V / (a)I |cos (v / (a) Ay0) | < |V / (a)|. □

Observación: a) El teorema dice que el crecimiento de / en a es máximo en la dirección e igual sentido del V / ( a ) .b) Y es mínimo en la dirección y en sentido opuesto del V / (a).

Ejemplos: 1) T (x, y) = —-------------------------------------------------- es la tem peratura en el punto (x, y) de un plano y usted está paradox 2 + 3 y2

en el punto (a, b) y tiene frío ¿en cuál dirección caminaría? Por ejemplo si (a, b) = (3,1), calculamos

v r y) = ’ entonces v r (3 ’ !) = ( # ) = ( ~ b - é )Deberá caminar en la dirección ( - 1 , - 1 ) para calentarse, y si quiere congelarse caminará en la dirección opuesta, o sea (1, 1).2) Los polinomios (de n variables) y las funciones racionales son diferenciables en todo su dominio.3) / {x, y) = y/\xy\ no es diferenciable en (0 , 0) . Si lo fuera, debería ser

~ / ( 0 , 0 ) = V / ( 0 , 0 ) • (x, y) + || (x, y) || £ (Ó, (x,y))\ 0

cdo (x, y) -»• (0 , 0)

aliora, / (0 , 0) = 0 , f x (0 , 0) = 0 , f y (0 , 0) = 0 luego

y/\xy\ = y /x 2 + y 2 E (Ó, (x, y))

luego

E(Ó,(x,y)) = . -» J ) : í °y x 2 + y2 si x=y/o V 2

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Por lo tanto / no es diferenciable en (0,0).4) Ya vimos que si v es ’’pequeño” f (a + v) — f (a) ~ V / (a) ■ v, es decir A / ~ df. Veremos que para p en el segmento de recta que va de a hasta a + v vale (TVM generalizado)

f(a. + v) - f ( a ) = V / ( p ) •v

T eorem a del V alor M edio p a ra cam p o s escalares: Sea D un abierto de Rn. Si / : D — esC 1 (D) (derivadas parciales continuas) y el segmento a, a + h c D entonces existe p 6 a. a + h tal que:

f { a + h ) - f ( a ) = V / (p) ■ h

D em : Definimos F : [0,1] por F (t) = / (a + th ) (para cada t E [0,1], a + th € A luego F es

(5)

una restricción de / al segmento a, a + h ). Resulta F derivable en t y

F' (t) = V / (a + th) ■ h

Ahora

f (a + h) — f (a) = F (1) — F (0) = F' (0) (1 - 0) = F' (6) con 0 < B < 1TVM

Por lo tanto existe p = a + 6h ta l que

f ( a + h ) - f ( a ) = V / (a + 8h) ■ h = V f (p) • h.(5)

□

Plano tangente a una superficie.D efinición: Sea z = / (x,y) la ecuación de una superficie S en R3, sea P0 — (x0,y0, z0) = (x o,Vo, f(xo,Vo)) £ S y supongamos que en (x0) y0) la función / es diferenciable. Entonces la ecua­ción del p lano ta n g e n te a S en el p u n to P0 es

O sea,

Z = f (^0, y0) + V / (xo, yo) • {x - x0, V ~ Vo)

z - z0 = f x (x0, yo) {x - x0) + f y (x0, y0) (y - yo) (6)

Ejem plo:1) Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie de ecuación 2x2 + y2 = z en el punto (1,1,3). Sea / (x, y) = 2x2 + y 2, f x (x , y) = 4x, / y(x, y) = 2y y en V / ( l , 1) = (4, 2). Por lo tanto la ec es

z — 3 = 4(x — 1) + 2(y — 1)

2) Hallar la ecuación plano tangente a la superficie de ecuación z = y V 2 — (x2 + y2) en (x0, yo, z0) .Sea / (x, y) = y /r2 - (x2 + y2) entonces V / ( x , y ) = ( / 2 ~fxt . / 2 3J ^ V f ( x o,Vo) =

( ^ a , -^2) luego la ecuación del plano tangente es

2 = *0 - f {X - aro) - ^ (y - yo)

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