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I. Fundamentos I. Fundamentos matemáticosmatemáticos
Di i i l Di i i l5. Divergencia y rotacional5. Divergencia y rotacional
Campos ElectromagnéticosCampos Electromagnéticos® Gabriel Cano Gómez, 2010/11 ® Gabriel Cano Gómez, 2010/11
Dpto. Física Aplicada III (U. Sevilla)Dpto. Física Aplicada III (U. Sevilla)
Campos ElectromagnéticosCampos ElectromagnéticosIngeniero de TelecomunicaciónIngeniero de Telecomunicación
I. FundamentosI. Fundamentos matemáticosmatemáticosI. FundamentosI. Fundamentos matemáticosmatemáticos
1.1. Coordenadas curvilíneasCoordenadas curvilíneas2.2. Sistemas de coordenadas ortogonalesSistemas de coordenadas ortogonales3.3. Campos escalaresCampos escalarespp4.4. Campos vectorialesCampos vectoriales5.5. Divergencia y Divergencia y rotacionalrotacional
Divergencia. Teorema de Gauss Significado físico de la divergencia
g yg y
g g Fuentes escalares de un campo vectorial
Rotacional. Teorema de Stokes
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10/1
1
Significado físico del rotacional Fuentes vectoriales de un campo vectorial
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
6.6. Operadores diferencialesOperadores diferenciales7.7. Teoremas integralesTeoremas integrales
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos mateCampos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos matemátmáticosicos
® G
a®
Ga
2
Divergencia. Teorema de GaussDivergencia. Teorema de GaussDivergencia. Teorema de GaussDivergencia. Teorema de GaussDivergencia de campo vectorialDivergencia de campo vectorialA(r) continuo y derivable (en general)
=i Ai (q1,q2,q3) uiA(r) continuo y derivable (en general)
definición intrínseca: “divA(P)” es flujo de A por unidad de volumen en torno a P
d d
AAn
p
0( )
1lim
P
dd
d
A S div ( )=PA
dS=dSn
()A
P
mide variación neta por unidad de longitud de An
expresión en coordenadas ortogonales:
( )At
r(q1,q2,q3)
Z
O(A·dS)/=(|An|dS)/
expresión en coordenadas ortogonales:3
1 2 3
11 2 3
1 div ( ) i
i i i
h h hA
h h h q h
A r A X
Y
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10/1
1
Teorema de GaussTeorema de Gaussl fl j d ( ) d i l l
11 2 3 i i ih h h q h
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
“el flujo de A(r) a través de es igual a la
integral de div A(r) en el volumen ”
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® G
a®
Ga
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( ) d d
A r S A
Interpretación física del flujo: caso particularInterpretación física del flujo: caso particular
Ejemplo de flujo: Un fluido incompresible (densidad m constante), se mueve
Interpretación física del flujo: caso particularInterpretación física del flujo: caso particular
j p j p ( ),según una distribución de velocidades v=v(r) (campo vectorial). Determínese la masa de fluido que atraviesa la superficie por unidad de tiempo.
Solución:es igual al flujo del campo vec-es igual al flujo del campo vectorial A(r)=mv(r) a través de la superficie .
( )dm
ddt
rA S
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10/1
1
flujo neto en el sentido de dS:
(dm/dt) > 0
dt
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G (dm/dt)> 0
flujo neto contrario a dS:
(d /dt) < 0
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a®
Ga
4
(dm/dt)< 0
Significado de la divergencia: fuentes escalares (I)Significado de la divergencia: fuentes escalares (I)
Fuentes escalares del campo vectorialFuentes escalares del campo vectorial
Significado de la divergencia: fuentes escalares (I)Significado de la divergencia: fuentes escalares (I)
“perturbaciones escalares” que actúan como causas del campo vectoriallas líneas de campo divergen o convergen en loslas líneas de campo divergen o convergen en los
puntos donde existen fuentes escalares
div A(r)=·A(r) proporciona la distribución de las fuentes escalares de A(r)densidad volumétrica de fuentes escalares
C ) i d f lCaso a) ausencia de fuentes escalaresagua fluyendo en torno a un punto Pd id d d t t 1 / 3
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10/1
1 densidad de masa constante: m=1 gr/cm3
en entra y sale la misma cantidad de agua
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
(( )( )
)dm
ddt
A S 0 div ( )= 0P
dP
d
APP
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a®
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Significado de la divergencia: fuentes escalares (II)Significado de la divergencia: fuentes escalares (II)
Fuentes escalares del campo vectorialFuentes escalares del campo vectorial
Significado de la divergencia: fuentes escalares (II)Significado de la divergencia: fuentes escalares (II)
A(r)=mv(r)
Caso b) presencia de fuentes escalares agua fluyendo en torno a un punto F donde
ddSS
agua fluyendo en torno a un punto F donde hay un reactor que actúa como “manantial”H2+O2 H2O (líquida) HH22 OO22
las líneas de A(r) divergen desde F
l á ( )
OO
en sale más agua que entra (m cte.):
ddm
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10/1
1
FF0 div ( )= 0F
dF
d
A(
( )( ))
dmd
dt
A S
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
“div A(F) 0” indica presencia de manantia-les de campo en F: fuentes escalares positivas
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Significado de la divergencia: fuentes escalares (III)Significado de la divergencia: fuentes escalares (III)
Fuentes escalares del campo vectorialFuentes escalares del campo vectorial
Significado de la divergencia: fuentes escalares (III)Significado de la divergencia: fuentes escalares (III)
A(r)=mv(r)
Caso c) presencia de fuentes “negativas” agua fluyendo en torno a un punto S donde
ddSS agua fluyendo en torno a un punto S donde
hay un “sumidero”:H2O (líquida) H2+O2 HH22 OO22
las líneas de A(r) convergen en S
á l ( ) en entra más agua que sale (m cte.) :
di ( ) 0d
S
Adm
d
Góm
ez,
10/1
1G
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, 10/1
1
SS0 div ( )= 0S
dS
d
A(
( )( ))
dmd
dt
A S
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
“div A(F) 0” indica presencia de sumideros de campo en S: fuentes escalares negativas
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Fuentes Fuentes escalares: escalares: ejemplosejemplosFuentes Fuentes escalares: escalares: ejemplosejemplos
ZFuentes de un “vórtice”Fuentes de un “vórtice”Fuentes de campo radial (1.13.a)Fuentes de campo radial (1.13.a)
ZZ
2
1( ) rr
A r u ( ) rA r udS
r r, cte. dSz
r
rP(r,,)
dSr
v v u
YO
C
P(,,z)
dS
X
( )C
v r u
O
dS
cil
( )v u
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10/1
1
( ) 4 δ( )rA r ( ) 0v r 4d d
A A S
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G ( ) 4 δ( )rA r ( ) 0v rr
0d d v v S fuentes escalares en fuentes escalares en OO
(d id d i fi it )(d id d i fi it )no tiene fuentesno tiene fuentes
ll
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® G
a®
Ga
cil
(densidad infinita)(densidad infinita) escalaresescalares
Rotacional. Teorema de Stokes (I)Rotacional. Teorema de Stokes (I)
Rotacional de campo vectorialRotacional de campo vectorial
Rotacional. Teorema de Stokes (I)Rotacional. Teorema de Stokes (I)
A( )|A=A(r) continuo y derivable en P
definición intrínseca de rotacional:
rot A(P)A(r)|()
( )P rot A 3
( )( )d
S A r 1
0lim
P dSA|()
“rot A(r)” mide la variación neta por unidad de longitud de las componentes r(q1,q2,q3)
Z
O
de A(r) tangenciales a (At
dSA=dSAt ; |dSA|/=|At|dS/A
XY
div A(r)
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10/1
1
en coordenadas ortogonales:
1 1 2 2 3 31
h h hu u u ()dS=dSn
AnA
div A(r)
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
1 2 3
1 2 3
1 2 31 2 3
1 ( ) q q q
h h hA A Ah h h
rotA r AAt
dSA
t A( )
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rot A(r)
Rotacional.Teorema de Stokes (II)Rotacional.Teorema de Stokes (II)
Significado del rotacional: circulaciónSignificado del rotacional: circulación
Rotacional.Teorema de Stokes (II)Rotacional.Teorema de Stokes (II)
n·rotA(P)t A(P)
la circulación por unidad de superficie de A(r) alrededor de S n, es la proyección d ( ) b l di i
( )
P
rot A(P)
de rot A(P) sobre la dirección n
0
1Zlim ( )S S
dd
dS A r r ( )P n rot A dr
PA(P)
0 ( S)SP SdS ( )
Teorema de StokesTeorema de Stokes “el flujo del rot A(r) a través de una superfi-
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10/1
1 cie es igual a la circulación de A(r) a lo largo de su perímetro ”
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
( )d d
A S = A r r
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Significado físico del rotacional: fuentes vectoriales (I)Significado físico del rotacional: fuentes vectoriales (I)Fuentes vectoriales de campo vectorialFuentes vectoriales de campo vectorial“perturbaciones vectoriales” que actúan como P
n
Significado físico del rotacional: fuentes vectoriales (I)Significado físico del rotacional: fuentes vectoriales (I)
perturbaciones vectoriales que actúan como causas del campo vectoriallas líneas de campo “giran” en torno a los puntos
P
p g pdonde existen fuentes vectoriales
rot A(r)=A(r) proporciona la distribución de l f i l d A( )
B(r) I
las fuentes vectoriales de A(r)densidad volumétrica de fuentes vectoriales
Ejemplo 1: hil d i t lé t ihil d i t lé t iQ
Ejemplo 1: un hilo de corriente eléctrica es un hilo de corriente eléctrica es fuente vectorial de un campo magnético fuente vectorial de un campo magnético BB((rr))
las líneas del campo son circunferencias
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10/1
1 las líneas del campo son circunferencias concéntricas alrededor del hilo de corriente
en un punto donde hay corriente (P) 0( )I
PS
rot B n
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
( )Q rot B 0
p y ( )
en un punto donde no hay corriente (Q)
PS
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( )Qrot B 0en un punto donde no hay corriente (Q)
Significado físico del rotacional: fuentes vectoriales (II)Significado físico del rotacional: fuentes vectoriales (II)
ZZFuentes vectoriales de campo vectorialFuentes vectoriales de campo vectorial
Significado físico del rotacional: fuentes vectoriales (II)Significado físico del rotacional: fuentes vectoriales (II)
eje de Ejemplo 2: fluido de densidad constante y moviento rectilíneo a la largo de una tubería
di ib ió d l id d
eje de simetría
distribución de velocidades: no uniforme A(r)=mv(r)
simétrica respecto del eje longitudinal simétrica respecto del eje longitudinal
ausencia de fuentes vectorialesdistribución simétrica de A(r) en torno a O:
SO
OO
distribución simétrica de A(r) en torno a O:el “molinillo” en O no es movido por el fluido
las líneas de A(r) no giran en torno a O n
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10/1
1 ( ) gcirculación nula de A(r) en torno a O:(proyección del) rotacional nulo
n
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
( S )
ZO
d
A r 0Z
0( )O
d
dSO n = rot AOO
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( S )O O
Significado físico del rotacional: fuentes vectoriales (III)Significado físico del rotacional: fuentes vectoriales (III)ZZ eje de
simetríaFuentes vectoriales de campo vectorialFuentes vectoriales de campo vectorial
Significado físico del rotacional: fuentes vectoriales (III)Significado físico del rotacional: fuentes vectoriales (III)
Ejemplo 2: fluido de densidad constante y moviento rectilíneo a la largo de una tubería
f t t i l iti fuentes vectoriales positivas A(r) no es simétrico respecto de P: el “molinillo” en P gira en sentido el “molinillo” en P gira en sentido antihorario
las líneas del campo A(r) “giran” en torno
SP
n
las líneas del campo A(r) giran en torno a P en sentido positivo (respecto de n)
circulación de A(r) en torno a P:
PP
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10/1
1 circulación de A(r) en torno a P:
( S )Z
Pd
A r 0
Z0( ) d
dSP n = rot APP
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
“n·rot A(P) 0” indica presencia de fuente vectorial positiva (con el sentido de n)
( S )PP
PdS
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® G
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vectorial positiva (con el sentido de n)
Significado físico del rotacional: fuentes vectoriales (IV)Significado físico del rotacional: fuentes vectoriales (IV)ZZ eje de
simetríaFuentes vectoriales de campo vectorialFuentes vectoriales de campo vectorial
Significado físico del rotacional: fuentes vectoriales (IV)Significado físico del rotacional: fuentes vectoriales (IV)
Ejemplo 2: fluido de densidad constante y moviento rectilíneo a la largo de una tubería
f t t i l ti fuentes vectoriales negativas A(r) no es simétrico respecto de Q: el “molinillo” en Q gira en sentido horario el “molinillo” en Q gira en sentido horario
las líneas del campo A(r) “giran” en torno a Q en sentido negativo (respecto de n)
SQ
na Q en sentido negativo (respecto de n)
circulación de A(r) en torno a Q:QQ
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10/1
1
( S )Z
d
A r 0Z
0( )Q
d
dSQ n = rot AQQ
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
“n·rot A(Q) 0” indica presencia de fuente vectorial negativa (con sentido opuesto a n)
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® G
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g ( p )
Fuentes Fuentes vectorialesvectoriales: ejemplos: ejemplosFuentes Fuentes vectorialesvectoriales: ejemplos: ejemplosFuentes de campo radial (1.13.a)Fuentes de campo radial (1.13.a) Fuentes de un “vórtice”Fuentes de un “vórtice”
Z
2
1( ) rA r u ( ) rA r u
dSz , cte.
z, cte.
Z
r
2( ) rr
( ) r
P(r,,)
v v u
, cte.
dS dr|
YO
P(,,z)
v v uz, cte.
dSz
dr|
dr|
X
( )C
v r u ( )v u
O
dr|
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10/1
1
no tiene fuentesno tiene fuentes
X O
( ) 2d d C v S= v r r( ) 2 δ( )C
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G no tiene fuentes no tiene fuentes
vectorialesvectoriales
( ) A r 0 ( ) 0d d A S= A r r
( )
fuentes vectoriales en fuentes vectoriales en OZOZ
(d id d i fi it )(d id d i fi it )
( ) 2 δ(ρ) zC v r u
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® G
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( ) A r 0
(densidad infinita)(densidad infinita)
Fuentes Fuentes escalares y vectorialesescalares y vectoriales: ejemplos: ejemplosFuentes Fuentes escalares y vectorialesescalares y vectoriales: ejemplos: ejemplos
Fuentes de campo radial (1.13.a)Fuentes de campo radial (1.13.a) Fuentes de un “vórtice”Fuentes de un “vórtice”Z
Z
2
1( ) rr
A r u ( ) rA r u
r
rP(r,,)
YO
( )C
( )
P(,,z)
X
( )
v r u ( )v u
O
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10/1
1
AA((rr), generado por ), generado por perturbación perturbación escaesca--l ll l OO
X
vv((rr), producido ), producido por perturbaciónpor perturbación
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G lar puntual en lar puntual en OO
( ) A r 0
por perturbación por perturbación vectorial en vectorial en OZOZ ( ) 2 δ(ρ) zC v r u( ) 4 δ( )rA r
( ) 0v r
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos mateCampos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos matemátmáticosicos
® G
a®
Ga
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( )A r 0 ( ) 0v r