Límite de funciones. Cálculo

Propiedades.Sean dos funciones f(x) y g(x), para las que existe límite en un punto o en el infinito. Entonces:

En general calcular el límite de una función "normal", cuando x tiende a un número real, es fácil, basta aplicar las reglas de cálculo indicadas, sustituyendo la variable independiente por el valor real al que la x tiende.

No obstante, en ocasiones, nos podemos encontrar con sorpresas, por ejemplo, que la función no esté definida para el valor en el que queremos calcular el límite . Esta situación, es habitual, cuando el límite lo queremos calcular cuando x tiende a infinito.

Una función no está definida en un punto, siempre que al intentar calcularla en ese punto, resulte alguna de las formas siguientes:

En cada caso, el límite en el punto en que la función no está determinada, dependerá de los valores que la función tome, en las proximidades de dicho punto.

Veamos como tratar cada una de estas indeterminaciones. Los métodos que se indican sirven de guía en casos parecidos.

La función no está determinada para x = 1, la razón es que el denominador se hace 0. Este tipo de indeterminaciones ocurre, cuando en el numerador y el denominador de la función, existe algún factor que se hace 0, este factor suele ser del tipo : x - valor para el que queremos calcular el límite. Si logramos eliminar, este factor del numerador y del denominador, se obtiene otra función , que toma los mismos valores en todos los puntos que no sean el punto en cuestión.

En este caso concreto, el punto es : x = 1.

La nueva función permite obtener los valores en las proximidades del punto de la indeterminación, que son los que permiten calcular el límite. En el caso concreto que nos ocupa, sería:

Cuando x crece indefinidamente, esta función es un cociente de dos cantidades que crecen indefinidamente. Se puede plantear la duda, de que si al crecer x indefinidamente, también lo hará :

puesto que sería la diferencia de dos cantidades que crecen indefinidamente, que es una indeterminación. Sacando factor común se transforma esta expresión en otra equivalente:

que crece indefinidamente, puesto que una cantidad que crece indefinidamente sigue creciendo indefinidamente aunque le restemos una cantidad constante y el producto de dos cantidades que crecen indefinidamente, también crece indefinidamente. Lo mismo ocurre con el denominador.

Como, al dividir numerador y denominador por una misma cantidad, distinta de 0, el valor de la fracción no cambia, sigue que:

Esta propiedad nos permite resolver este tipo de indeterminaciones. Se divide numerador y denominador por x, elevado al mayor de los expontentes con los que aparece en la función :

Hay un caso trivial, que ya hemos visto, sea:

Es la diferencia de dos cantidades que crecen indefinidamente, pero como :

Y a una cantidad que crece indefinidamente, le quitamos una cantidad constante y sigue creciendo indefinidamente y el producto de dos cantidades que crece indefinidamente, crece indefinidamente, está claro que:

Veamos ahora otra indeterminación de este tipo, pero algo más complicada:

Como en este caso no se puede sacar factor común, para eliminar la indeterminación, multiplicamos y dividimos la expresión por su conjugado.

El conjugado de una expresión, que es la diferencia de dos cantidades que crecen indefinidamente, es otra igual, excepto que en lugar de una diferencia, es una suma de dos cantidades que crecen indefinidamente. En este caso, será:

Aparece este tipo de indeterminación cuando aparecen dos funciones tales que:

cálculo de límites

Calcular los s iguientes l ímites:

1

2

3

4 En los puntos x = -1 y x =1

En x = -1 , los límites laterales son:

Por la izquierda :

Por la derecha :

Como en ambos casos coinciden, existe el l ímite y vale 1 .

En x = 1 , los límites laterales son:

Por la izquierda :

Por la derecha :

Como no coinciden los l ímites laterales no tiene límite en x = 1 .

5

6

7

Calcular los l ímites cuando x t iende a menos inf inito:

1

2

3

No existe el límite, porque el radicando toma valores negativos.

4

Calcular los l ímites de funciones exponenciales:

1

2

3

4

5

Calcular los l ímites de funciones logarítmicas:

1

2

3

4

5

Calcular, por comparación de inf initos, los siguientes l ímites:

1

El numerador t iene mayor grado que el denominador.

2

El denominador t iene mayor grado que el numerador.

3

Al tener el mismo grado el l ímite es el cociente entre los coefic ientes de mayor grado.

4

5

6

7

8

9

10

11

12

El numerador es un inf inito de orden superior

13

El denominador es un infinito de orden superior

14

15

16

17

Hallar los siguientes l ímites:

1

Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite cuando x -1.

2

3

4

Calcular los l ímites:

1

2

3

4

5

Al elevar el binomio del numerador al cuadrado obtenemos x 4 , y por tanto el grado del numerador es mayor que el grado del denominador.

6

Hallar los l ímites:

1

2

3

4

5

Hallar los siguientes l ímites:

1

2

3

4

No t iene l ímite en x = -1

5

6

7

Calcular los s iguientes l ímites:

1

2

3

El denominador es un infinito de orden superior

Calcular:

1

2

3

4

5

6

7

8

Hallar los siguientes l ímites:

1

2

3

4 Resolver por dos métodos.

1 e r Método:

2º Método: