Límites de Funciones

Definición de LímitesPropiedades de LímitesPrueba de las Principales PropiedadesLa Regla del SandwichLímites Laterales

Límite de funciones.

Límite de funciones.

Límites de FuncionesDefinición

Ejemplo

Notación

Una función f tiene límite L en un punto x0 si los valores f(x) se aproximan a L cuando x tiende a x0

sin llegar a serlo.

Observar que el valor de f en x0 no afecta al valor del límite (si existe). El límite puede existir incluso si la función no está definida en x = x0.

1

sin , 0f

1, 0

x xx x

x

La función

tiene límite 0 cuando x 0 a pesar de que f(0) = 1.

0

lim fx x

x L

Límite de funciones.

Definición de Límites

Definición

Ejemplo

Afirmación

Prueba

Así se acaba la demostración ya que para todo número positivo ε podemos encontrar un número positivo δ que satisfaga la condición de la definición.

Una función f tiene límite L en el punto x0 si

00 : 0 tal que 0 f .x x x L

20

1lim 1.

1x x

Sea ε > 0.

22

2 2

11

1 1x

xx x

si 0 .x x

Límite de funciones.

Límites Positivos

Teorema

Prueba

Suponer que Entonces existe un número positivo δ tal que 0 < |x – x0| < δ f(x) > 0.

En la definición de límite, hagamos ε = a > 0.

Esto implica que: f(x) > 0 si 0 < |x – x0|< δ.

0

lim f 0.x x

x a

Entonces, como hay un número positivo δ

tal que 0 < |x – x0| < δ |f(x) – a| < a = ε.

0

lim f 0,x x

x a

a=ε

δx0

La figura ilustra este teorema. Observar que f(x0) puede ser negativo incluso si el límite de f en x0 es positivo.

Límite de funciones.

Propiedades de Límites

0

lim fx x

x g x a b

0

lim fx x

c x ca

0

lim f gx x

x x ab

0

flim suponiendo que 0.

gx x

x ab

x b

1

2

3

4

La Regla del Sandwich

Si , entonces existe y 0 0

lim fl im gx x x x

x x a

0

lim h .x x

x a

0

lim hx x

x

Supongamos que cerca de x0, pero no necesariamente en x0, se verifica f(x) ≤ h(x) ≤ g(x).

5

0 0

Supongamos que limf y lim g , y sea .x x x x

x a x b c ¡

Límite de funciones.

Prueba de las Propiedades de Límites

0 0

Supongamos que limf y lim g , y sea .x x x x

x a x b c ¡

1

Prueba Sea ε > 0.

0

lim f g .x x

x x a b

Como , hay un número positivo δ1 tal que 0

lim fx x

x a

0 1 f .2

x x x a

Como , hay un número positivo δ2 tal que 0

lim gx x

x b

0 2 g .2

x x x b

Sea δ = min(δ1, δ2).

f g2 2

x x a b

f g f gx x a b x a x b f gx a x b

Por tanto si |x – x0| < δ.

Por la Desigualdad Triangular

Límite de funciones.

Prueba de las Propiedades de Límites3

Prueba

Sea ε > 0.

0

lim f g .x x

x x ab

Como , y como ,

Existen los números positivos δ1 y δ2 tal que

0

lim f 0x x

x a

0 1 f min , .2

x x x a ab

0

lim g 0x x

x b

0 2 g .4

x x x ba

Sea δ = min(δ1, δ2).

Lo haremos para el caso ab ≠ 0. La prueba en otros casos es más fácil y puede hacerse modificando ligeramente el razonamiento.

En la próxima diapositiva demostraremos que el número positivo δ tiene la propiedad deseada.

Podemos encontrar los números δ1 y δ2 por la definición del límite ya que lo que está a la derecha es positivo.

0 0

Supongamos que limf y lim g , y sea .x x x x

x a x b c ¡

Límite de funciones.

Prueba de las Propiedades de Límites3

Prueba (cont.)

0

lim f g .x x

x x ab

f g f g ffx x ab x x x b x b ab

f g ff f g fx x x b x b ab x x b b x a

f gx x ab Por tanto si |x – x0| < δ.

2 g fa x b b x a 24 2 2 2

a ba b

Supongamos |x – x0| < δ. Por las consideraciones anteriores,

f min , , y

2x a a

b g .

4x b

a

Obtenemos:

Aquí simplemente sumamos y restamos f(x)b. La expresión no cambia.

Usamos la Desigualdad Triangular

Observar que esto implica |f(x)|<2|a|. Usamos esto más abajo.

0 0

Supongamos que limf y lim g , y sea .x x x x

x a x b c ¡

Límite de funciones.

Prueba de la Regla del Sandwich5 La Regla del Sandwich

Prueba

Sea ε > 0. Como , hay un número positivo δ1 tal que 0

lim fx x

x a

Si , entonces existe y 0 0

lim fl im gx x x x

x x a

0

lim h .x x

x a

0

lim hx x

x

0 10 f .x x x a

Como , hay un número positivo δ2 tal que 0

lim gx x

x a

0 20 g .x x x a

Supongamos que cerca del número x0, pero no necesariamente en el punto x0, se tiene que f(x) ≤ h(x) ≤ g(x).

La suposición sobre las funcionesf, g, y h significa que hay un número c > 0 tal que f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) para 0 < |x0 – x| < c.

Sea δ = min(c, δ1, δ2). Lo de arriba implica:

00 h .x x x a

a

f(x)ε

εg(x)

h(x)

Límite de funciones.

La Regla del Sandwich GráficamenteLa Regla del Sandwich

h

f

g

En la Regla del Sandwich, los valores de la función h cerca del punto x0 están acotados entre los valores de las funciones f y g. Si estas funciones tienen el mismo límite en x0, entonces la función h debe tener ese límite también.

Supongamos que cerca del puntox0 (pero no necesariamente en x0) las funciones f, g, y h satisfacen f(x) ≤ g(x) ≤ h(x).

Si ,entonces existe y

.

0 0

lim fl im hx x x x

x x

0

lim gx x

x

0 0 0

lim g lim h lim fx x x x x x

x x x

Límite de funciones.

Cómo Calcular Límites (1)

21

1lim

1x

x

x

Métodos para calcular límites:

1. Si la función f está definida por una expresión que tiene un valor finito en el límite, entonces este valor finito es el límite.

2. Si la función f está definida por expresión cuyo valor es indeterminado en el límite, entonces se debe reescribir la expresión de una manera más sencilla o emplear la Regla de Sandwich.

Ejemplos

12

1 10

1 1

21

1s n

lim1 cosx

ex

x2

2

s n 1

1 cos 1

e

Límite de funciones.

Cómo Calcular Límites (2)Ejemplo en que reescribimos la expresión

10

lim1 1x

x

x x

0

1 1lim

1 1 1 1x

x x x

x x x x

2 20

1 1lim

1 1x

x x x

x x

0

1 1lim

1 1x

x x x

x x

0

1 1lim

2x

x x x

x

0

1 1lim 1

2x

x x

Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador para librarse de las raíces del denominador.

Límite de funciones.

Cómo Calcular Límites (3)Aplicación de la Regla de Sandwich

1

0

1lim s nx

x ex

Recordar que, para todo α, -1 ≤ sen(α) ≤ 1.

Por tanto para todo x ≠ 0.

1s nx x e x

x

Como , podemos usar la Regla del Sandwich y concluir que:

0 0

lim lim 0x x

x x

0

1lim s n 0.x

x ex

Observar que los valores de la expresión x sen(1/x) son indeterminados para x = 0. El límite existe, sin embargo, y es 0.

Límite de funciones.

Sin Límite

Ejemplo

La función f no tiene límite en x=0 ya que cerca de x=0 la función toma valores entre -1 y 1.

Sea

1s n , 0

f

0, 0

e xx x

x

Límite de funciones.

Límites Laterales (1)Definición

Notación

Definición

Notación

Una función f tiene el límite por la derecha L cuando x tiende a x0 si los valores de f(x) se aproximan a L cuando x se aproxima a x0 mientras que x > x0.

0

lim f .x x

x L

Una función f tiene el límite por la izquierda L cuando x tiende a x0 si los valores de f(x) se aproximan a L cuando x se aproxima a x0 mientras que x < x0.

0

lim f .x x

x L

Límite de funciones.

Límites Laterales (2)

Ejemplo

La función f tiene límites laterales en x=0 pero no tiene límite en x=0.

0

limf 1x

x

0

limf 1x

x

Por tanto, la definición de la función f implica que

y .

, 0

f .

0, 0

xx

xx

x

Sea

Por las propiedades del valor absoluto, se puede reecribir la función f como:

1, 0

f 0, 0 .

1, 0

x

x x

x

Límite de funciones.

Definición Formal de Límites Laterales Definición

Definición

Conclusión

0 0

0Una función f tiene límite en si y sólo si

ambos límites laterales existen y lim f lim f .x x x x

x x

x x

El resultado es consecuencia inmediata de las definiciones.

Una función f tiene límite por la izquierda L cuando x tiende a x0 si: ε > 0: existe δ > 0 tal que

0 < x0 – x < δ |f(x) – L| < ε.

Una función f tiene límite por la derecha L cuando x tiende a x0 si: ε > 0: existe δ > 0 tal que

0 < x- x0 < δ |f(x) – L| < ε.Notación

0

lim f .x x

x L

Notación 0

lim f .x x

x L

Cálculo en una variable

Autor: Mika SeppäläTraducción al español:Félix AlonsoGerardo RodríguezAgustín de la Villa