Combinacin lineal, Independencia Lineal, y Vectores que generan (Seccin 6.3 pg. 291)

I. Combinacin Lineal Definicin: Sean v1, v2, v3, , vn vectores en el espacio vectorial V. Entonces cualquier expresin de la forma a1v1 + a2v2 + a3v3 + + anvn donde a1, a2, a3, , an son escalares se llama una combinacin lineal de v1, v2, v3, , vn. En 2 y 3 se puede visualizar geomtricamente como el las figuras6.4-6.6 de las pginas 283-284 del texto. Ejemplos(para discusin):

1) Considera los vectores (1, 0)=i y (0, 1)= j de 2. Entonces todo vector de 2 es combinacin lineal de ellos dos.

a) Sea (a, b) elemento de 2, entonces (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1). b) Sea (-5, 3) elemento de 2, entonces (-5, 3) = -5i + 3j=-5(1, 0) + 3(0, 1).

Nota: El vector (1, 0) se puede representar con la letra i y al vector (0, 1) con la letra j.

2) Considera los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) en 3. Entonces todo

vector de 3 es combinacin lineal de estos tres vectores. Por ejemplo; el vector (5, 1, -3) = 5i + j -3k= 5(1, 0, 0) + 1(0, 1, 0) + -3(0, 0, 1).

Nota: El vector (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) se puede representar con las letras i, j, k respectivamente.

3) Considera los vectores (1, 0) y (3, 0). Entonces el vector (0, 1) NO es combinacin lineal de (1, 0) y (3, 0). Observa que: (0, 1) = a (1, 0) + b(3, 0) = (a, 0) + (3b, 0) = (a + 3b, 0) Lo cual implica que 1 = 0, pero esto es imposible.

4)

En 3, es una combinacin lineal de ya que:

.

5) Escribe el vector (1, -2, 5) como una combinacin lineal de los vectores (1, 1, 1), (1, 2, 3) y (2, -1, 1) para obtener el sistema de ecuaciones con

7

7

7

1

3

5

4

2

1

y

1

3

5

4

2

1

2

7

7

7

variables: c1 , c2 , c3. (Verifica la solucin: c1 = -6, c2 =3, c3= 2). Herramienta para reducir matriz aumentada: http://www.math.purdue.edu/~dvb/matrix.html

6) Ser el vector (2, -5, 3) de 3 una combinacin lineal de los vectores (1, -3, 2), (2, -4, -1) y (1, -5, 7)?

a) Halla el sistema de ecuaciones b) Verifica que No tiene solucin

7) En Pn, todo polinomio se puede expresar como una combinacin lineal de

los monomios 1, x, x2, x3, , xn. Recuerda que los polinomios son de la forma anx

n + an-1xn-1 + + ax + a0.

8) Indica si el polinomio x2 + 4x 3 es una combinacin lineal de los

polinomios {x2 2x + 5, 2x2 3x, 6x 8}.

9)

Ser la matriz una combinacin lineal de las siguientes matrices:

? (solucin del sistema de ecuaciones dado para cada elemento de la matriz.)

Resumen: Para contestar los ejemplos se obtiene un sistema de ecuaciones de forma Ac = b. El sistema de ecuaciones se obtiene conforme al espacio vectorial V, por ejemplo:

Para matrices (Mmn), el sistema de ecuaciones se obtiene de una ecuacin por cada elemento

Para polinomios el sistema de ecuaciones se obtiene por trminos semejantes,

Para vectores, una ecuacin por componente. Definicin: Sean v1, v2, v3, , vn vectores en el espacio vectorial V. Los vectores son linealmente independientes cuando la combinacin lineal: c1v1 + c2v2 + c3v3 + + cnvn = 0, si y solo si c1=c2= c3= = cn =0. De lo contrario si existen n escalares c1, c2, c3, , cn ,no todos ceros, tal que c1v1 + c2v2 + c3v3 + + cnvn = 0, los vectores v1, v2, v3, , vn son linealmente dependientes. (Geometra: ver figuras de pginas 297 y 298 del Texto). Procedimiento: Para determinar dependencia/independencia lineal se halla la solucin en (c1,cn) a un sistema de ecuaciones homogneo (Ac = 0) para cada espacio vectorial. Si la solucin es c1==cn = 0 (solucin trivial) entonces el conjunto es Linealmente Independiente. El sistema de ecuaciones se obtiene conforme al espacio vectorial V, por ejemplo:

11

13

10

20.

11

00,

01

11

Para matrices (Mmn), el sistema de ecuaciones homogneo (Ac=0) es una ecuacin por cada elemento

Para polinomios el sistema de ecuaciones se obtiene por trminos semejantes,

Para vectores, una ecuacin por componente. Ejemplos (para discusin): 10)

En M23 sea . Determina si A1, A2 y A3 son linealmente independientes o dependientes. Usamos la combinacin lineal: c1A1 + c2A2+ c3A3

a) de la posicin a12 note que c2 = 0 b) de la posicin a11 note que c1 = c3 c) de a21 note que 3c1 = c3 (contradiccin >

Procedimiento para verificar si un grupo de vectores S genera V:

Nombra un vector arbitrario x V

Expresa x = c1v1 + c2v2 + + cnvn, (esto es, como un sistema de ecuaciones Ac = b obtenido de la combinacin lineal en el espacio V)

Si el sistema tiene una solucin, entonces S genera a todo vector v V Ejemplos (para discusin): 13) Los vectores i=(1, 0) y j= (0, 1) generan a 2 ya que todo vector (a, b)

elemento de 2 se puede expresar como combinacin lineal de ellos dos. Esto es, (a, b) = ai + bj.

14) Los vectores i=(1, 0, 0), j=(0, 1, 0) y k=(0, 0, 1) generan a 3. Todo vector

(a, b, c) elemento de 3 se puede expresar como combinacin lineal de ellos tres. Esto es, (a, b, c) = ai + bj + ck.

15)

Sean e1 = (1, 0, 0, , 0), e2 = (0, 1, 0, 0, , 0), e3 = (0, 0, 1 , 0, , 0), , en

= (0, 0, 0, , 0, 1), entonces los vectores e1, e2, e3, , en generan a n. Sea

a elemento de n, entonces a = (a1, a2, a3, , an). Luego podemos expresar a = (a1, a2, a3, , an) como: (a1, 0, 0,,0) + (0, a2, 0, , 0) + (0, 0, a3, 0, , 0) + + (0, 0, , 0, an) = a1(1,0,0,,0) + a2(0,1, 0,,0) + a3(0, 0, 1,0, ,0) + + an(0, 0, 0,,0,1) = a1e1 + a2e2 + a3e3 + + anen.

16)

Los vectores {(1, 0), (3, 0)} no generan a 2. Podemos encontrar vectores

como (0, 1) 2, del ejemplo 3, que no podemos expresar como combinacin lineal de (1, 0) y (3, 0). De manera general, sea v=(x, y)

elemento de 2, notar que: (x, y) = a(1, 0) + b(3, 0) = (a, 0) + (3b, 0) = (a + 3b, 0) Lo cual indica que y = 0, pero no genera vectores que tienen y 0.

17)

Los monomios 1, x, x2, x3, , xn. generan a Pn, pues cualquier polinomio se puede expresar como combinacin lieal de estos monomios.

18)

Como vemos que las

10

00

01

00

00

10

00

01dcba

dc

ba

matrices generan a M22.

Teorema: Cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes en n

generan a n. Ejemplo (para discusin) : 19) Determina si el siguiente conjunto de vectores {(2, -1, 13), (1, 0, 2), (3, -1, 5)}

genera a 3. a) Verifica que es un conjunto de 3 vectores linealmente independientes

usando rref = Identidad.

Teorema: Span {v1, v2, v3, , vn} es un subespacio de V. (Esto es, tiene las propiedades de clausura de suma y producto por un escalar).

Ejercicios: 1) Expresa (1, 7, -4) como combinacin lineal de (1, -3, 2) y (2, -1, 1) en 3.

2) Escribe el polinomio 3x2 + 8x 5 como combinacin lineal de los polinomios

2x2 + 3x 4 y x2 2x 3.

3)

Se podr expresar como combinacin lineal de

?

4) Determina si el siguiente conjunto de vectores {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 1, -1)

generan a 3 . Esto es, que todo vector (a, b, c) en 3 se puede escribir como combinacin lineal de los vectores dados.

5) Cul(es) de los siguientes conjuntos de vectores generan a 2? a) {(1, 2), (-1, 1)} b) {(2, 4), (1, 2)} Solucin del ejemplo 12:

12) Verifica que : c1 = 3, c2 = -2, c3= -1.

10

00,

01

00,

00

10,

00

01

21

13

00

11

01

11,

10

11y

Contestaciones:

1) c1 = -3, c2 = 2.

2) c1 = 2, c2 = -1.

3) S, pues c1 = 2, c2 = -1, c3= 2.

4) S, pues estos vectores son columnas linealmente independientes de una

matriz A (puedes usar el rref = Identidad). Para cualquier vector (a,b,c): c1 =a,

c2 = (b+c)/2 a, y c3 =(b-c)/2

5) a. es linealmente dependiente, pero en b. el primer vector es 2 veces el

segundo.