Aula 3 Derivadas Donizetti 14maio2012

DERIVADAS

UTFPR - CMPUS PATO BRANCO

PROF. Dr. Eng. JOS DONIZETTI DE LIMA

ENGENHARIAS

donizetti utfpr.edu.br

CDI-1 - Prof. Dr. Eng. Jos Donizetti de Lima - UTFPR/PBco

TNEL DO TEMPO DO CDI

Fonte: http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/menu

Obs.: Neste site encontramos um resumo da obra dos mais importantes autores do clculo diferencial e integral.

Newton

Leibniz


TNEL DO TEMPO DO CLCULO

SITES & LINKS

Apresenta-se abaixo links para download de material didtico, a saber:
kit de sobrevivncia em clculo (UEM) http://www.uem.edu.br/kit E-calculo (USP) http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/menu http://www.cp.utfpr.edu.br/armando/adm/arquivos/superior/ http://www.prandiano.com.br/ http://www.dmat.ufba.br/mat042/ http://paginapessoal.utfpr.edu.br/donizetti www.pb.utfpr.edu.br/daysebatistus http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap01_Calc1.html http://www.dm.ufscar.br/~sampaio/calculo1.html

LIMITES Motivao

Para definir a derivada de uma funo em um ponto de seu domnio, escrevemos:

onde o acrscimo x tal que x0+x pertence ao domnio da funo f.

Nessa expresso temos um significado geomtrico, pois encontrar a derivada de uma funo num ponto x0 de seu domnio, determinar o coeficiente angular da reta tangente ao grfico da funo no ponto (x0, f(x0)).


Derivada de uma funo y = f(x) em um ponto x = x0
Considere a figura abaixo, que representa o grfico de uma funo y = f(x), definida em um intervalo de nmeros reais. Observando a figura, podemos definir o seguinte quociente, denominado razo incremental da funo y = f(x), quando x varia de x0 para x0 + D x0 :

Define-se a derivada da funo y = f(x) no ponto x = x0, como sendo o limite da razo incremental acima, quando D x0 tende a zero, e representada por f ' (x0) , ou seja:

Nota: A derivada de uma funo y = f(x), pode ser representada tambm pelos smbolos:

y ' ou dy/dx, notao introduzida por Wilhelm Gottfried Leibniz - matemtico alemo (1646 - 1716), contemporneo do fsico e matemtico ingls Isaac Newton (1642-1727).



Observe que quando D x0 0, o ponto Q no grfico acima, tende a coincidir com o ponto P da mesma figura, definindo a reta r, que forma um ngulo b com o eixo horizontal (eixo das abscissas), e, neste caso, o ngulo SPQ = a tende ao valor do ngulo b.

Ora, quando D x0 0, j vimos que o quociente D y0 / D x0 representa a derivada da funo y = f(x) no ponto x0. Mas, o quociente y0 / x0 representa, como sabemos da Trigonometria, a tangente do ngulo SPQ = , onde P o vrtice do ngulo.
Quando xo 0, o ngulo SPQ = , tende ao ngulo .

Assim, no difcil concluir que a derivada da funo y = f(x) no ponto x = x0, igual numericamente tangente do ngulo b. Esta concluso ser muito utilizada no futuro.

Podemos escrever ento:

f '(x0) = tg


Guarde ento a seguinte concluso importante:

A derivada de uma funo y = f(x) em um ponto x = x0 , coincide numericamente com o valor da tangente trigonomtrica do ngulo formado pela tangente geomtrica curva representativa de y = f(x), no ponto x = x0.


Calcule a derivada da funo y = x2, no ponto x = 10.

Temos neste caso:

y = f(x) = x2

f(x + D x) =

(x + D x)2

= x2 + 2x.D x + (D x)2

f(x + D x) - f(x) =

x2 + 2x.D x + (D x)2 - x2

= 2x.D x + (D x)2

D y = f(x + D x) - f(x)

= x2 + 2x.D x + (D x)2 - x2

= 2x.D x + (D x)2

Portanto,


Logo, a derivada da funo y = x2, no ponto x = 10 , ser igual a : y ' (10) = 2.10 = 20.

Qual a interpretao geomtrica do resultado acima?

Ora, a derivada da funo y = x2, no ponto de abscissa x = 10, sendo igual a 20, significa que a tangente trigonomtrica da reta tangente curva y = x2, no ponto x = 10, ser tambm igual a 20,conforme teoria vista acima.

Ora, sendo b o ngulo formado por esta reta tangente com o eixo dos x, b ser um ngulo tal que tg b = 20. Consultando uma tbua trigonomtrica ou atravs de uma calculadora cientfica, conclumos que b 87 8' 15".


Ento, isto significa que a reta tangente curva de equao y = x2, no ponto de abscissa x = 10, forma com o eixo dos x um ngulo igual aproximadamente a b 87 8' 15".

b 87 8' 15"

Grf3-14-12-10-8-6-4-202468101214196144100643616404163664100144196Plan1xy=x-20400-18324-16256-14196-12144-10100-864-636-416-240024416636864101001214414196162561832420400Plan1y=xPlan2Plan3

Ento, isto significa que a reta tangente curva de equao y = x2, no ponto de abscissa x = 10, forma com o eixo dos x um ngulo igual aproximadamente a b 87 8' 15".

b 87 8' 15"

Grf1-15-14-13-12-11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-10123456789101112131415yy = x22251961691441211008164493625169410149162536496481100121144169196225Plan1xy-15225-14196-13169-12144-11121-10100-981-864-749-636-525-416-39-24-1100112439416525636749864981101001112112144131691419615225Plan10000000000000000000000000000000yy = x20000000000000000000000000000000Plan2Plan3

Exemplo: Usando a frmula de derivao, determine a derivada da funo:

f(x) = 2x + 1

Calculando

encontraremos:

Substituindo na formula de derivao:


INTERPRETAO GEOMTRICA DA DERIVADA


INTRODUO
As informaes dadas pela Taxa de Variao Mdia (TMV), na Anlise Incremental, so relativamente insuficiente para conhecer o comportamento de uma funo.A fim de alcanar esse objetivo, seria interessante conhecer a taxa de variao de grandezas muito pequenas, o que ainda no resolveria nosso problema, uma vez que muito pequenas no totalmente claro. Portanto, o ideal mesmo seria definir o que taxa de variao em cada ponto destas grandezas.

CONCEITO DE DERIVADA
Na Matemtica a derivada de uma funo o conceito central do clculo diferencial.A operao utilizada para obter a derivada de uma funo denominada de diferenciao.

CONCEITO DE DERIVADA
A Derivada pode ser usada para determinar a taxa de variao de alguma grandeza devido a alteraes sofridas em relao a outras. Podemos, tambm compreender a derivada como o coeficiente angular da reta tangente uma funo em cada ponto, indicando a taxa de variao desta funo em relao ao seu prprio argumento (tangente do ngulo de inclinao).

INTERPRETAO GEOMTRICA DA DERIVADA

y

x

A

x +x

y

x

x

C

B

f (x+x)

f(x)

funo


Considerando o grfico de uma funo y = f(x) representado na figura

x

y

s

t

A

x +x

y

x

C

B

f (x+x)

INTERPRETAO GEOMTRICA DE DERIVADAS

f(x)

x

f

No grfico temos:

s reta secante curva

t reta tangente curva



No tringulo retngulo ABC,

temos tg =

A

x +x

y

x

x

C

B

f (x+x)

y

s

b

t

x

tg =



A

x +x

y

x

x

C

B

f (x+x)

y

S

T

x

f(x)



x +x

y

x

x

C

A

B

f (x+x)

y

S

T

x

f(x)



B

x +x

y

x

x

C

A

f (x+x)

y

S

T

x

f(x)



C

B

x +x

x

x

A

f (x+x)

y

y

S

T

x

f(x)



Usando o conceito de limites, podemos notar que, quando x tende a zero (x 0), o ponto B tender ao ponto A e a reta secante s tender reta tangente t, conseqentemente, o ngulo tender ao ngulo e teremos:



Quando x 0, a reta secante tende a uma posio limite que a reta tangente curva no ponto A de abscissa x.

Ento, o coeficiente angular da tangente o valor do limite dos coeficientes angulares das secantes quando x 0.

O valor desse limite chama-se derivada da funo f(x) no ponto de abscissa x e indica-se por f (x).


Definio da Derivada

A derivada de f em x dada por

desde que o limite exista. Uma funo diferencial em x, se sua derivada existe em x. O processo de clculo de derivada chamado diferenciao.


NOTAES PARA A DERIVADA
Alm de f (x), podem ser utilizadas para denotar a primeira derivada de y = f(x) outras notaes.As mais comuns so:
e Dx[y]

, y,


1) Considerar a funo y = f(x)

2) Dar acrscimo a x e a y para se obter

3) Subtrair f(x) nos dois membros:

y + = f(x + )

y

y = f(x + x) - f(x)

y + y = f(x+ x) , para se obter

- f(x)

- f(x)

x

Etapas para determinar a primeira derivada de uma funo aplicando a definio:


4) Dividir por x para se obter:

5) Passar ao limite para se obter:

Etapas para determinar a primeira derivada de uma funo aplicando a definio:


CONCLUSO
Portanto, se a Taxa Mdia de Variao da funo y em relao a varivel x tende a um valor limitado, quando x tende a zero, razovel nos referirmos a este valor como Taxa de Variao Instantnea de y em relao a x, ou seja, a derivada da funo.

Obs.: Pode-se utilizar a regra dos quatro passos para determinar a primeira derivada de uma funo aplicando a definio:.

EXERCCIOS

Determine a primeira derivada das funes a seguir, aplicando a definio:

1) y = 4x + 1

2) y = 2x2 + 4x - 3

3) y = x2 - 12x + 13

4) y = x1/2


DEFINIO DA DERIVADA

A derivada de f em x dada por

desde que o limite exista. Uma funo diferencial em x, se sua derivada existe em x. O processo de clculo de derivada chamado diferenciao.


DEFINIO DA DERIVADA

A derivada de f em p dada por


NOTAES PARA A DERIVADA
Alm de f (x), podem ser utilizadas para denotar a primeira derivada de y = f(x) outras notaes.As mais comuns so:
e Dx[y]

, y,


RETA TANGENTE E RETA NORMAL


RETA TANGENTE E RETA NORMAL

1o caso:

2o caso:

Obs.: Para as equaes deste caso, veja prximo slide

T

N

T

N

Observao: A nossa definio de reta tangente no exige que a reta tangente toque a curva num nico ponto.


EQUAO DA RETA TANGENTE

EQUAO DA RETA NORMAL


VELOCIDADE INSTANTNEA

ACELERAO INSTANTNEA


Velocidade instantnea

ACELERAO INSTANTNEA


DERIVADA DE FUNES TRIGONOMTRICAS

Soluo: Usando o software de manipulao algbrica Maple, temos:


COMO CLASSIFICAR OS MXIMOS E MNIMOS?


TEOREMA DO VALOR MDIO (TVM)

Se f for contnua em [a , b] e derivvel em ]a , b[, ento existir pelo menos um c em ]a , b[ tal que:

ou

Geometricamente, este teorema conta-nos que se s uma reta passando pelos pontos (a , f(a)) e (b , f(b)), ento existir pelo menos um ponto (c , f(c)), com a < c < b, tal que a reta tangente ao grfico de f, nesse ponto, paralela reta s.

Como o coeficiente angular de s

e f (c) o de T, temos:


TEOREMA DO VALOR MDIO (TVM)

Geometricamente, o Teorema do Valor Mdio diz que, em algum lugar entre A e B, a curva apresenta pelo menos uma reta tangente paralela corda AB.

-

-


INTERVALOS DE CRESCIMENTO E DE DECRESCIMENTO

TEOREMA: Como consequncia do Teorema do Valor Mdio (TVM) temos o seguinte teorema:

Seja f uma funo contnua no intervalo I.

(i) Se f (x) > 0 para todo x interior a I, ento f ser estritamente crescente em I.

(ii) Se f (x) < 0 para todo x interior a I, ento f ser estritamente decrescente em I.


PROCEDIMENTOS PARA DETERMINAR OS EXTREMOS RELATIVOS DE f Teste de f

1o Passo) Determine f (x).

2o Passo) Determine os pontos crticos de f, isto os valores de x para os quais f (x) = 0, ou para os quais f (x) no existe.

3o Passo) Aplique o teste da derivada primeira, ou seja:
Ponto de Mximo local: Ponto de Mnimo local: Ponto de Inflexo:
ou


TESTE DA 1a DERIVADA


TEOREMA: CONCAVIDADE E PONTOS DE INFLEXO

Sejam f uma funo que admite derivada de 2a ordem no intervalo aberto I.

(i) Se f (x) > 0 em I, ento f ter a concavidade para cima.

(ii) Se f (x) < 0 em I, ento f ter a concavidade para baixo.

ou
Ponto de Inflexo: Mudana de concavidade

PROCEDIMENTOS PARA DETERMINAR OS PONTOS DE INFLEXO



3o Passo) Determine o(s) ponto(s) candidatos a ponto(s) de inflexo, isto os valores de x para os quais f (x) = 0.
Ponto de Inflexo:
ou


PONTO DE INFLEXO


CONCAVIDADE


PONTO DE INFLEXO


CONCAVIDADE


TEOREMA:

CONDIO NECESSRIA

Seja f uma funo derivvel em p, onde p um ponto interior ao Dom (f). Uma condio necessria para que p seja ponto de mximo ou mnimo local que f (p) = 0.


TEOREMA:
CONDIO SUFICIENTE

Sejam f uma funo que admite derivada de 2a ordem contnua no intervalo aberto I e p I.

(i) Se f (p) = 0 e f (p) > 0 ento p ponto de mnimo local.

(ii) Se f (p) = 0 e f (p) < 0 ento p ponto de mximo local.


GRFICOS

a) Explicar o domnio;
b) Determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento, destacando os pontos de mximo e de mnimo; c) Estudar a concavidade e destacar os pontos de inflexo; d) Calcular os limites laterais de, f em p, nos casos:
(i) p Dom(f), mas p extremo de um dos intervalos que compem Dom(f).

(ii) p Dom(f), mas f no contnua em p.
e) Calcule os limites para x - e x + . f) Determinar ou localizar as razes de f.
Para o esboo do grfico de uma funo f, sugerimos o seguinte roteiro:


PROCEDIMENTO ROTEIRO
ALGORITMO
Passo 1) Calcular f (x). Passo 2) Resolver f (x) = 0. Passo 3) Estudar o sinal de f (x). Passo 4) Calcular f (x). Passo 5) Resolver f (x) = 0. Passo 6) Estudar o sinal de f (x). Passo 7) Calcular os limites para x - e x + . Passo 8) Calcular os limites laterais (quando necessrio). Passo 9) Esboar o grfico.

EXEMPLO ILUSTRATIVO
Dada a funo f(x) = x3 - 3x2 - 24x + 6, determine os extremos relativos (pontos de mximo e mnimo relativos) e o ponto de inflexo. Trace o grfico.
Soluo:


EXEMPLO ILUSTRATIVO


EXEMPLO ILUSTRATIVO
Dada a funo f(x) = x4 - 18x2, determine os extremos relativos (pontos de mximo e mnimo relativos) e os pontos de inflexo. Trace o grfico.
Soluo:


EXEMPLO ILUSTRATIVO


APLICAES DAS DERIVADAS GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL

1) Mostre que a taxa de variao da rea de um crculo em relao ao seu raio numericamente igual ao permetro do crculo?

Soluo: Inicialmente, lembremos da geometria plana que:

e

Assim, considerando a funo:

(c.q.d)



2) Mostre que a taxa de variao do volume de uma esfera em relao ao seu raio numericamente igual rea da superfcie esfrica.

Soluo: Inicialmente, lembremos da geometria espacial que a rea e o volume da esfera so dados, respectivamente, por:


(c.q.d)



3) Mostre que a taxa de variao do volume de um cilindro em funo do seu raio, considerando uma altura fixa numericamente igual a rea lateral do cilindro.

Soluo: Inicialmente, lembremos da geometria espacial que a rea lateral e o volume do cilindro so dados, respectivamente, por:

e


(c.q.d)



4) Mostre que a taxa de variao do volume de um cilindro em funo da sua altura, considerando um raio fixo numericamente igual a rea da base do cilindro.

Soluo:

Inicialmente, lembremos da geometria espacial que a rea da base e o volume do cilindro so dados, respectivamente, por:

e


(c.q.d)


APLICAES DAS DERIVADAS ENGENHARIA DE PRODUO

5) Suponha um trabalhador que possui o salrio composto por uma parte fixa (um salrio mnimo) a outra parte comissionada em 2% sobre os valores de vendas. Determine a taxa de variao do seu salrio e faa uma interpretao do resultado encontrado.

Soluo:

Interpretao: A cada 100 reais vendidos o seu salrio recebe um incremento (aumento) de 2 reais, assim, 0,02 = 2% a taxa de variao salarial.


Conceitos: Funo Custo, Funo Receita e Funo Lucro
Considere uma indstria que produz um certo produto num dado perodo. As funes custo total e receita total associadas a essa produo so representadas por:C(x) => Custo total para produzir x unidades do produtoR(x) => Receita total gerada pela venda de x unidades do produtoA funo lucro total definida como sendo a diferena entre a receita total e o custo total:
L(x) = R(x) C(x) => Lucro ao produzir e vender x unidades do produto



Em termos geomtricos, o preo timo (preo ideal) a coordenada p do pico do grfico. O pico o nico ponto deste grfico no qual a reta tangente horizontal, isto , o coeficiente angular da reta tangente igual a zero. Como o coeficiente angular a derivada da funo naquele ponto, teremos que L (p) = 0.
6) Funo lucro: expresso em funo do preo de venda:

sendo p o preo do objeto.



7) Considere a produo de uma determinada firma dada por p(x, y) = x.y. Encontre a combinao de insumos que propicie a mxima produo, supondo que o custo correspondente a tais quantidades de insumos c(x, y) = 2x + y + 10 fixada no valor de 210 unidades.

Resposta: x = 50 unidades e y = 100 unidades.



8) Um galpo retangular deve ser construdo num terreno com a forma de um tringulo, conforme a figura a seguir. Determinar a rea mxima possvel para o galpo.

Soluo: Na figura a seguir, representamos a situao a ser analisada num sistema de coordenadas cartesianas, traado convenientemente.

Resposta: As dimenses do galpo que fornecem um valor mximo para a sua rea so x = 10 m e y = 5 m. Com essas dimenses, a rea do galpo ser:

A = 10 . 5 = 50 m2.


9) O departamento de estrada est planejando construir uma rea de piquenique para motoristas ao longo de uma grande auto-estrada. Ela deve ser retangular, com uma rea de 5.000 metros quadrados, e cercada nos trs lados no-adjacentes auto-estrada. Qual a quantidade mnima de cerca que ser necessria para realizar o trabalho?

10) H 320 metros de cerca disponveis para cercar um campo retangular. Como a cerca deve ser usada de tal forma que a rea includa seja a mxima possvel?

Resposta::

Resposta::


10) H 320 metros de cerca disponveis para cercar um campo retangular. Como a cerca deve ser usada de tal forma que a rea includa seja a mxima possvel?

11) Determinar as dimenses mximas de um retngulo cujo permetro igual a 20.

Soluo: Queremos: Maximizar A(x, y) = x.y sujeito condio 2x + 2y = 20.

Resposta: x = 5 e y = 5 o nico candidato a soluo do problema de maximizao condicionada.

Obs: Em outras palavras, o retngulo de rea mxima para um dado permetro um quadrado.


12) De uma folha retangular de metal de 30 cm de largura deve-se fazer uma calha dobrando as bordas perpendiculares folha. Quantos centmetros devem ser dobrados de cada lado de modo que a calha tenha a capacidade mxima?

Soluo: A calha est ilustrada na Figura anterior, onde x denota o nmero de centmetros a ser dobrado de cada lado. A largura da base da calha 30 2x cm. A capacidade da calha ser mxima quando a rea do retngulo de lados x e 30 2x for mxima.

Denotando esta rea do retngulo por f(x), temos: f(x) = x . (30 - 2x) = 30x - 2x2

Como 0 2x 30, o domnio de f 0 x 15. Se x = 0 ou x = 15, no se forma nenhuma calha (a rea do retngulo seria f(0) = f(15) = 0).

Diferenciando: f (x) = 30 - 4x = 2 . (15 - 2x) de onde o nico nmero crtico x = 7,5.

Por outro lado: f (x) = - 4

Desta forma, como f (7,5) = - 4 < 0, f(7,5) mximo local para f.

Portanto, devem ser dobrados 7,5 cm de cada lado para obtermos a capacidade mxima.


13) Deve-se construir uma caixa de base retangular, com uma folha de cartolina de 40 cm de largura e 52 cm de comprimento, retirando-se um quadrado de cada canto da cartolina e dobrando-se perpendicularmente os lados resultantes. Determine o tamanho do lado do quadrado que permite construir uma caixa de volume mximo e qual esse volume. (Desprezar a espessura da cartolina.). Use duas casas decimais.

Resposta::

x = 7,47 cm e V = 6.937,57 cm3 ou 6,94 Litros



Resposta::

x = 7,47 cm e V = 6.937,57 cm3 ou 6,94 Litros


14) 300 m de gradeado vo ser usados para construir seis jaulas para um zoolgico, conforme figura a seguir. Determine as dimenses que maximizam a rea cercada. (Sugesto: Primeiro expresse y como uma funo de x; e ento expresse A como uma funo de x.).

RESPOSTA:

x = 50 m e y = 37,5 m



15)

RESPOSTA:

16)

(I) Dado um quadrado de lado x, determine:

a) A funo polinomial que representa o permetro do quadrado em funo do lado.

b) A funo polinomial que representa a rea do quadrado em funo do lado.

(II) Dado um crculo de raio x, determine:

a) A funo polinomial que representa o permetro do crculo em funo do raio.

b) A funo polinomial que representa a rea do crculo em funo do raio.

(III) Determine a rea mxima de um retngulo com 400 metros de permetro.

(IV) Determine a rea mxima de um crculo com 400 metros de permetro.

(V) Determine a diferena percentual entre as reas encontradas para o retngulo e para o crculo. Cite uma situao real em que possa ser aplicada o nosso estudo.


17) Formule um problema real e resolva-o, tomando como ilustrao a figura a seguir. Faa isso, utilizando necessariamente dos seus conhecimentos de funes e derivadas.


OTIMIZAO
O estudo de otimizao de funes no lineares com restries (vnculos) foi feito por Joseph Louis Lagrange por volta do incio do sculo XIX.Essa metodologia, chamada multiplicadores de Lagrange, pode ser apresentada de modo simples se considerarmos o seguinte problema:Quais as dimenses (x e y) de um retngulo de rea mxima (A = x.y) inscrito em um crculo de raio unitrio (restrio)?

OTIMIZAO
O estudo de otimizao de funes no lineares com restries (vnculos) foi feito por Joseph Louis Lagrange por volta do incio do sculo XIX.Essa metodologia, chamada multiplicadores de Lagrange, pode ser apresentada de modo simples se considerarmos o seguinte problema:Quais as dimenses (x e y) de um retngulo de rea mxima (A = x.y) inscrito em um crculo de raio unitrio (restrio)?
S

O

L

U

O


PROGRAMAS ESCRITOS NO SOFTWARE DE MANIPULAO ALGBRICA MAPLE

(verso 7 ou 10)
desonroso para os homens sbios desperdiarem seu tempo como escravos no trabalho de clculo, que poderia ser relegado, com segurana, a qualquer um que usasse uma mquina (Leibniz, 1646-1716). Professores, deixem os seus alunos utilizarem calculadoras e computadores, mas criem atividades que exijam raciocnio (LIMA, 2007).

FLEMMING, D. M.; GONALVES, B. G. Clculo B: Funes de Vrias Variveis, Integrais Duplas e Triplas. So Paulo: Makrow Books, 1999. GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Clculo, 5a ed. Vol. II, So Paulo: LTC - Livros Tcnicos e Cientficos Editora S. A., 2001 HOFFMANN, L. D., Clculo: Um Curso Moderno e suas Aplicaes, 7a ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Tcnicos e Cientficos Editora S.A., 2004. RIGHETTO, A.; FERRAUDO, A. S. Clculo Diferencial e Integral. Vol. II, So Paulo: IBEC Instituto Brasileiro de Edies Cientficas Ltda, So Paulo, 1982 ANTON, H. Clculo, um novo horizonte. Trad. Cyro de C. Patarra e Mrcia Tamanaha. 6. ed. Porto Alegre: Bookman, Vol.II, 2000. LEITHOLD, L. O Clculo com Geometria Analtica. Vol. II, So Paulo: Harbra, 1986. RICIERI, A. P. Srie de Fourier Polinmios e outros bichos. So Paulo: Prandiano, 1993 SWOKOWSKI, E. W. Clculo com Geometria Analtica. 2. ed. Vol. II, So Paulo: Makrow Books, 1994. SIMMONS, G. Clculo com Geometria Analtica. So Paulo: McGraw-Hill, v. 2, 1987.
REFERNCIAS
desonroso para os homens sbios desperdiarem seu tempo como escravos no trabalho de clculo, que poderia ser relegado, com segurana, a qualquer um que usasse uma mquina (LEIBNIZ, 1646-1716). Professores, deixem os seus alunos utilizarem calculadoras e computadores, mas criem atividades que exijam raciocnio (LIMA, 2007).

COLOCAR AQUI A AULA DE CP


LISTA DE QUESTES PROPOSTAS PARA A REVISO DOS CONCEITOS

AGORA COM VOCS!
A idia de insistir na resoluo das listas que elas foram concebidas para complementar as aulas expositivas. Muitas vezes as dvidas surgem quando vocs comeam a resolver os exerccios. Ento, vamos a ela.

EXERCCIOS PROPOSTOS
Para cada uma das seguintes funes, determine, se existirem, os extremos relativos (mximos e mnimos relativos) e os pontos de inflexo. Trace o grfico.

UTFPR - CAMPUS PATO BRANCO

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PROF. M. Sc. JOS DONIZETTI DE LIMA

ENGENHARIAS

REGRA DA CADEIA


GRFICO DE ALGUMAS FUNES

FUNES - Grficos


FUNES

CONCEITO:

FUNO COMPOSTA:

FUNO DE VRIAS VARIVEIS REAIS:


FUNES COMPOSTAS


APLICAO DE FUNES COMPOSTAS


DERIVADAS DE FUNES COMPOSTAS
REGRA DA CADEIA - Teoria

Consideremos as funes y = f(u) e u = g(x), tendo derivadas e respectivamente.

Se no nulo, ento podemos escrever o quociente da seguinte maneira:

onde: y e u so funes de x.

Logo, se , temos:

Assim, ou

conhecida como regra da cadeia, na notao de Leibniz.

Isto nos leva a dizer: "A derivada da funo composta y = f [g (x)] o produto das derivadas das suas componentes".


REGRA DA CADEIA - Exemplos


REGRA DA CADEIA - Teoremas


REGRA DA CADEIA Definio

Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/calculo/derivada/derivada2.htm


DERIVADAS DA FUNO INVERSA
Definio


VER MATERIAL DA MINHA APOSTILA


DERIVADAS DE FUNO ELEVADA A OUTRA FUNO - Definio




FRMULA ou SRIE DE TAYLOR - Definio




REGRA DA CADEIA - Aplicaes

VER MAIS EXEMPLOS LIVRO DO GUIDORIZZI, PROVAS ANTERIORES, ETC.



2) Um tanque tem a forma de um cone circular reto invertido, com 4 m de altura e 2 m de raio da base. Se a gua entra no tanque razo de 0,001 m3/min, calcule aproximadamente a razo na qual o nvel da gua est subindo quando a profundidade de 1 m.

Soluo:



Encontre as dimenses de um cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito em um cone circular

reto com raio de 5 cm e altura de 12 cm.

Adaptado de: http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap19_Calc1.html



AGORA COM VOCS!
A ideia de insistir na resoluo das listas que elas foram concebidas para complementar as aulas expositivas. Muitas vezes as dvidas surgem quando vocs comeam a resolver os exerccios. Ento, vamos a ela.


GUIDORIZZI,H.L.Um curso de Clculo. Vol. 1. 5 ed. So Paulo: LTC Editora, 2001.
Teoria e Exemplos: Pg. 171-179. Exerccio: Pg. 179-183. Exerc. 1; Exerc. 4; Exerc. 5; Exerccio: Pg. 203. Exerc. 16; Exerc. 18

REGRA DE LHOSPITAL


REGRA DE LHSPITAL

A regra de LHspital utiliza o conceito de derivada para levantar alguns tipos de indeterminaes que ocorrem ao calcularmos os limites de determinadas funes.


REGRA DE LHSPITAL


Regra de LHospitalIndeterminao da forma Sejam f e g funes diferenciveis em um intervalo aberto I em torno de um ponto a, exceto possivelmente no ponto a. Suponha que g(x) 0 para x a I, x a:Se e ento:
Guillaume de LHospital


REGRA DE LHSPITAL
Regra de LHospitalUtilizaremos a regra de LHospital quando tivermos uma funo da forma e ela apresentar indeterminao. ExemploCalcule Temos uma indeterminao da forma: .Aplicando a regra de LHospital, temos:

Regra de LHospitalIndeterminao da forma A regra de L Hospital tambm vale para este caso. ExemploCalcule A indeterminao da forma , aplicando a regra de LHospital para este caso, temos:

Regra de LHospitalIndeterminao da forma Quando temos que calcular um limite da forma f(x)g(x) quando x tende a a, ou a +, ou a - , e ocorre uma indeterminao da forma , isto , lim f(x) = 1 e lim g(x) = , devemos primeiro calcular o logaritmo natural de ambos os membros da igualdade y= f(x)g(x).Assim:Temos ento que:e: e, portanto, ocorre agora uma indeterminao da
forma .
Aplica-se ento a regra de LHospital, obtendo lim lny = L. Como ln (lim y) = lim (ln y) = L, temos que lim y = eL.

ExemploCalculeTemos que: eTemos que:
e


Logo, a indeterminao da forma: .Se calcularmos o logaritmo natural da funo teremos:Cujo limite resulta na indeterminao da forma . Aplicando a regra de LHospital, temos:Como ln uma funo contnua, portanto,

Regra de LHospitalIndeterminao da forma Transformamos esta indeterminao em uma do tipo ou : ExemploCalcule Aplicando reiteradamente a regra de LHospital, temos:
, portanto,


Regra de LHospitalIndeterminao da forma A idia transformar a indeterminao na forma ou . ExemploCalculePor LHospital,

DIFERENCIAL
INTERPRETAO DE COMO UM QUOCIENTE

DIFERENCIAL
Seja y = f(x) uma funo derivvel e x um acrscimo arbitrrio de x, ento definimos: As duas definies anteriores permitem escrever
ou

que notao conhecida no estudo das derivadas. Assim, podemos

agora considerar como o quociente entre duas diferenciais.


DIFERENCIAL
Exemplos:
1) A diferencial dy da funo f(x) = x2 + 2x-3, dada por

dy = f (x).dx = (2x + 2).dx, onde f (x) = 2x + 2.

2) Sendo f(x) = (2x + 3)5 a diferencial dy dada por

dy = f (x).dx = 10(2x + 3)4.dx, onde f (x) = 5(2x + 3)5-1 .2 = 10(2x + 3)4


DIFERENCIAL - Aplicao


ENGENHARIA DE PRODUO

Fonte: Thomas (2001)

O grfico de uma funo de custo tpica comea cncavo para baixo e depois se torna cncavo para cima, cruzando a curva de receita no ponto de equilbrio B. esquerda de B, a empresa opera no prejuzo. direita, ela opera no lucro, ocorrendo lucro mximo quando

c(x) = r(x)

Mais a direita ainda, o custo excede a receita (talvez devido a uma combinao entre elevao dos custos de mo-de-obra e matria-prima associados saturao do mercado) e os nveis de produo tornam-se novamente no lucrativos.


SNTESE


Operao

Operao para obter uma derivada em relao a x


Reta secante x reta tangente

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/ff/C%C3%A1lculo_%28Volume_1%29.pdf


Regras de derivao: soma e subtrao



Regras de derivao: multiplicao



Teorema de Rolle



AVALIAO DOS SLIDES

A Matemtica a honra do esprito humano Leibniz


Derivadas de Funes Elementares

Funo constante

O grfico da funo constante a reta horizontal, cuja inclinao zero; logo devemos ter .

DERIVADA DE UMA FUNO CONSTANTE


*
2030.unknown

REGRA DA POTNCIA ( VERSO GERAL)

Se n for um nmero real qualquer, ento:

Funo Potncia

Exemplo 1


Exemplo 2


Determine as equaes da reta tangente e da reta normal curva . no ponto (1,1).

Soluo.

Exemplo 3


Se k for uma constante e f uma funo derivvel, ento:

Demonstrao:

REGRA DA MULTIPLICAO POR CONSTANTE


Exemplos


Se f e g forem ambas derivveis, ento:

Demonstrao:

REGRA DA SOMA


Exemplo


Se f e g so funes derivveis e h=f.g definida por: h(x)=f(x).g(x), ento
h'(x) = f '(p).g(p) + f(p).g '(p)

Podemos estender este fato a um produto finito de funes reais, como por exemplo z(x)=f(x).g(x).h(x). Assim:

z'(x) = f '(x).g(x).h(x) + f(x).g '(x).h(x) + f(x).g(x).h '(x)

Derivada do produto de funes


Regra do Quociente


Demonstrao Regra do quociente


Exemplo


IMPORTANTE!!!A proposio:
Se f(t) = 0, ento f(t)=C,

sendo C uma constante qualquer, s verdadeira se f(t) for contnua em seu domnio.
O grfico abaixo mostra que embora f (t)=0, f(t) no constante, pois h furos no seu domnio.
f(t)

Domnio descontinuo


Derivada da funo inversaSe uma funo derivvel f tem inversa g, ento g tambm derivvel e vale a seguinte igualdade: ExemploConsidere a funo f(x)=3x2 + x 1 na vizinhana do ponto x = 2. Calcule a derivada da funo inversa de f no ponto b = f(2) = 13.Derivando f(x), temos:

DEFINIES
Estudo completo das funes Crescimento e DecrescimentoUma funo f dita crescente num intervalo I quando para qualquer par de pontos x1 e x2, com x1< x2, tem-se f(x1) < f(x2).Exemplo: a funo f(x) = x2 crescente no intervalo [0,+).Uma funo f dita decrescente num intervalo I quando para qualquer par de pontos x1 e x2, com x1< x2, tem-se f(x1) > f(x2).Exemplo: a funo f(x) = x2 decrescente no intervalo (- ,0].

SIMULAES DA RETA TANGENTE


x

y

D

D

TMV

Lim

x

0

D

x

x

f

x

x

f

x

f

x

D

-

D

+

=

D

)

(

)

(

lim

)

(

'

0

dx

dy

[

]

dx

x

f

d

)

(

x

x

f

x

x

f

x

y

D

-

D

+

=

D

D

)

(

)

(

x

x

f

x

x

f

x

y

dx

dy

x

x

D

-

D

+

=

D

D

=

D

D

)

(

)

(

lim

lim

0

0

UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARAN

P

R

a

tg

x

x

f

x

x

f

x

y

x

x

=

D

-

D

+

=

D

D

D

D

)

(

)

(

lim

lim

0

0

x

x

f

x

x

f

x

y

dx

dy

x

f

y

x

x

D

-

D

+

=

D

D

=

=

=

D

D

)

(

)

(

lim

lim

)

(

'

'

0

0

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

-14-9-41611

x

x

f

x

x

f

x

y

x

f

x

x

D

-

D

+

=

D

D

=

D

D

)

(

)

(

lim

lim

)

(

'

0

0

)

(

x

x

f

D

+

1

)

(

2

+

D

+

x

x

1

2

2

+

D

+

x

x

x

x

x

x

x

f

x

D

+

-

+

D

+

=

D

)]

1

2

(

)

1

2

2

[(

lim

)

(

'

0

x

x

x

x

x

f

x

D

-

-

+

D

+

=

D

1

2

1

2

2

lim

)

(

'

0

2

2

lim

2

lim

)

(

'

0

0

=

=

D

D

=

D

D

x

x

x

x

x

f

Adjacente

Cateto

Oposto

Cateto

x

y

tg

=

D

D

=

a

p

x

p

f

x

f

p

f

p

x

-

-

=

)

(

)

(

lim

)

(

'

p

x

N

p

f

y

T

=

=

:

)

(

:

p)

-

(x

(p)

'

)

(

=

-

f

p

f

y

)

(

)

(p

'

1

)

(

p

x

f

p

f

y

-

-

=

-

)

(

'

'

(t)

'

lim

0

t

s

v

dt

dv

t

v

a

t

i

=

=

=

D

D

=

D

)

(

'

lim

0

t

s

dt

ds

t

s

v

t

i

=

=

D

D

=

D

(c)

'

)

(

)

(

f

a

b

a

f

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f

=

-

-

)

(

(c).

'

)

(

)

(

a

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f

a

f

b

f

-

=

-

a

b

a

f

b

f

-

-

)

(

)

(

y = x

2

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

240

-16-14-12-10-8-6-4-20246810121416

(c)

'

)

(

)

(

f

a

b

a

f

b

f

=

-

-

r

P

D

P

crculo

imetro

ermetro

p

p

2

=

=

2

r

A

crculo

p

=

)

(

2

)

(

'

)

(

2

r

P

r

r

A

r

r

A

=

=

=

p

p

2

4

r

A

esfera

p

=

3

3

4

r

V

esfera

p

=

)

(

4

)

(

'

3

4

)

(

2

3

r

A

r

r

V

r

r

V

=

=

=

p

p

h

r

A

lateral

p

2

=

h

r

V

cilindro

2

p

=

)

(

2

)

(

'

)

(

2

r

A

h

r

r

V

h

r

r

V

lateral

=

=

=

p

p

)

(

)

(

'

)

(

2

2

r

A

r

h

V

h

r

h

V

base

=

=

=

p

p

02

,

0

%

2

100

2

)

(

'

100

2

380

)

(

=

=

=

+

=

v

S

v

v

S

)

2

(

)

15

(

400

)

(

-

-

=

p

p

p

L

x

x

x

V

2080

184

4

2

3

+

-

=

du

dy

dx

du

x

u

u

y

x

y

D

D

D

D

=

D

D

x

y

0

x

0

u

x

u

lim

.

u

y

lim

x

u

.

u

y

lim

x

y

lim

0

x

0

x

0

x

0

x

=

=

dx

du

du

dy

dx

dy

.

=

u

6

+

24x

-

3x

-

x

=

f(x)

2

3

2

4

18x

-

x

=

f(x)

dx

dy

dx

x

f

dy

=

)

(

'

)

(

'

x

f

dx

dy

=

dx

dy

dx

d

)

(

x

f

y

=

dx

df

y

=

x

x

f

x

x

f

x

f

x

D

-

D

+

=

D

)

(

)

(

lim

)

(

'

0

0

0

0

)

(

'

1

))

(

(

'

x

f

x

f

g

=

()

fxc

=

yc

=

()0

fx

=

(

)

0

d

c

dx

=

(

)

1

nn

d

xnx

dx

-

=

(

)

6

(a) Se (), ento

fxxfx

==

61

6

x

-

=

5

6

x

4

(b) Se , ento

yty

==

41

4

x

-

=

3

4

x

100

(c) Se , ento

yxy

==

1001

100

x

-

=

99

100

x

(

)

3

(d)

d

r

dr

=

31

3

x

-

=

2

3

x

2

1

(a)()

fx

x

=

2

()

fxx

-

=

(

)

21

2

fxx

--

=-

3

2

x

-

=-

3

2

x

-

=

32

(b)

yx

=

2

3

yx

=

2

1

3

2

3

yx

-

=

1

3

2

3

x

-

=

1

3

2

3

x

=

3

2

3

x

=

3

4

1

(c)()

fx

x

=

(

)

3

4

3

4

1

fxx

x

-

==

7

4

3

4

x

-

-

=

7

4

3

4

x

-

=

53

2

(d)()

x

fx

x

-

=

(

)

2

5

3

5

2

2

x

fxx

x

-

==-

(

)

2

1

5

2

2.

5

fxx

-

=-

3

5

4

5

x

-

-

=

53

4

5

x

-

=

6

92

(e)()

x

fx

x

=

(

)

1

11

1

6

69

18

2

9

x

fxxx

x

-

===

(

)

1

1

18

1

18

fxx

-

=

1817

1

18

x

=

x

x

y

=

(

)

(

)

(

)

Equao da Reta Tangente no ponto 1111

xyffx

=-=-

(

)

13

22

fxxxxxx

===

(

)

1

2

33

22

xx

fx

==

(

)

313

1

22

f

==

(

)

1111

f

==

(

)

(

)

(

)

(

)

331

11111

222

x

yffxyxy

-=-=-=-==-

(

)

(

)

(

)

1

Equao da Reta Normal no ponto 111

1

xyfx

f

-

=-=-

(

)

(

)

(

)

1

11

1

yfx

f

-

-=-

(

)

1

11

3

2

yx

-

-=-

(

)

2

11

3

yx

-

-=-

25

33

x

y

-

=+

[

]

[

]

()()()

dd

kfxkfxkfx

dxdx

==

(

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(2)()

kfp

=

()()

lim

xp

kfxkfp

xp

-

-

()()

lim

xp

fxfp

k

xp

-

-

()

kfp

=

(

)

4

(a)3

d

x

dx

=

(

)

4

3

d

x

dr

=

3

34

x

=

3

12

x

(

)

(b)

d

x

dx

-=

(

)

(

)

1

d

x

dr

-=

(

)

11

-=

1

-

3

(c)

6

dx

dx

-

=

(

)

3

1

6

d

x

dr

-

=

2

1

3

6

x

-

=

2

2

x

-

(

)

(

)

[

]

[

]

(

)

(

)

()()

ddd

fxgxfxgxfxgx

dxdxdx

+=+=+

(

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(1)()

fgp

+=

[

]

[

]

()()()()

lim

xp

fxgxfpgp

xp

+-+

-

()()()()

lim

xp

fxfpgxgp

xpxp

--

+

--

()()

lim

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fxfp

xp

-

-

+

()()

lim

xp

gxgp

xp

-

-

()

fp

+

()

gp

(

)

32

(a)54128

d

xxx

dx

-+-

2

15812

xx

=-+

(

)

8543

(b)1241065

d

xxxxx

dx

+-+-+

7432

86016306

xxxx

=+-+-

54

1

()32

3

d

cxxx

dx

+++

43

4

151

3

xx

=++

2

2

1

()

d

dxx

dxx

++

1

22

2

d

xxx

dx

-

=++=

1

3

2

1

22

2

xxx

-

-

-+=

3

21

2

2

x

x

x

=-+

(

)

(3)()

fgp

=

()()()()

lim

xp

fxgxfpgp

xp

-

-

()()()()()()()()

lim

xp

fxgxfpgxfpgxfpgp

xp

-+-

-

()()()()

lim()()

xp

fxfpgxgp

gxfp

xpxp

--

+

--

Se e forem derivveis em p

e se g(p)0, ento a funo

ser derivvel em pe tm-se:

fg

f

g

(4)()

f

p

g

=

[

]

2

()()()()

()

fpgpfpgp

gp

-

(4)()

f

p

g

=

()()

()()

lim

xp

fxfp

gxgp

xp

-

-

()()()()1

lim

()()

xp

fxgpfpgx

xpgxgp

-

-

Somando e subtraindo ()() ao numerador r

esulta

fpgp

()()()()1

lim()()

()()

xp

fxfpgxgp

gpfp

xpxpgxgp

--

-

--

=

[

]

2

()()()()

()

fpgpfpgp

gp

-

32

1)Seja ()4. Calcule: ) () ) (1).

fxxxafxbf

=+

Soluo:

32

)()4

afxxx

=+

(

)

(

)

32

4

xx

=+

(

)

(

)

32

4

xx

=+

2

4(3)2

xx

=+

2

122

xx

=+

2

Ou seja, ()122

fxxx

=+

2

b) Como ()122,

fxxx

=+

2

temos (1)12121

f

=+=

12214

+=

4

2)Calcule () onde ()54.

gxgxx

=+

Soluo:

4

()54

gxx

=+

(

)

(

)

4

54

x

=+

(

)

4

5

x

=

+

(

)

4

3

5(4)

x

=

+

0

=

3

20

x

2

23

3)Calcule f() onde ().

1

x

xfx

x

+

=

+

Soluo: Pela regra do quociente, temos

:

2

23

()

1

x

fx

x

+

=

+

(

)

22

2

2

(23)(1)(23)(1)

1

xxxx

x

++-++

=

+

=

(

)

2

2

2

2(1)(23)2

1

xxx

x

+-+

+

=

(

)

22

2

2

2246

1

xxx

x

+-+

+

(

)

2

2

2

262

()

1

xx

fx

x

--+

\=

+

(

)

2

4)Seja ()31. Calcule ().

x

fxxefx

=+

Soluo: Pela regra do produto, temos:

()

fx

=

(

)

2

31

x

+

x

e

+

(

)

2

31

x

+

(

)

x

e

=

6

x

x

e

+

(

)

2

31

x

+

x

e

(

)

2

Ou seja, ()361.

x

fxxxe

=++

1

6

)

(

'

+

=

x

x

f

,

0

)

(

lim

=

x

f

a

x

0

)

(

lim

=

x

g

a

x

,

)

(

'

)

(

'

lim

L

x

g

x

f

a

x

=

0

0

)

(

)

(

x

g

x

f

1

1

lim

8

9

1

-

-

x

x

x

0

0

8

9

8

9

lim

8

9

lim

1

1

lim

1

7

8

1

8

9

1

=

=

=

-

-

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

ln

lim

+

0

1

lim

1

1

lim

ln

lim

=

=

=

+

+

+

x

x

x

x

x

x

x

1

)

(

1

)

(

ln

)

(

ln

).

(

ln

x

g

x

f

x

f

x

g

y

=

=

0

1

ln

)]

(

ln[lim

)

(

ln

lim

=

=

=

x

f

x

f

0

)

(

1

lim

=

x

g

x

x

x

3

4

1

1

lim

+

+

)

4

1

1

(

)

(

x

x

f

+

=

)

3

(

)

(

x

x

g

=

1

4

1

1

lim

)

(

lim

=

+

=

+

+

x

x

f

x

x

(

)

+

=

=

+

+

x

x

g

x

x

3

lim

)

(

lim

4

3

3

1

4

1

.

4

1

1

1

lim

3

1

4

1

1

ln

lim

ln

lim

2

2

=

-

-

+

=

+

=

+

+

+

x

x

x

x

x

y

x

x

x

4

3

ln

lim

lim

ln

=

=

+

+

y

y

x

x

4

3

lim

e

y

x

=

+

0

.

)

1

.(

lim

2

3

x

x

e

x

-

+

-

x

x

x

x

x

x

x

x

e

x

x

e

x

e

e

x

2

2

2

2

3

2

2

3

lim

3

2

3

2

lim

1

)

1

(

lim

)

1

.(

lim

+

-

-

+

-

+

-

+

-

=

-

=

-

=

-

0

2

1

lim

2

2

lim

lim

2

2

2

2

=

=

=

+

+

+

x

x

x

x

x

x

e

e

x

e

x

0

)

1

.(

lim

2

3

=

-

-

+

x

x

e

x

-

)

(

lim

2

x

x

x

x

-

-

0

0

1

1

1

1

lim

1

1

1

lim

)

(

lim

2

=

-

-

=

-

-

=

-

-

+

+

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

2

1

1

1

1

1

2

1

lim

2

2

2

1

=

-

+

-

-

-

x

x

x

x

L

)

x

(

g

)

x

(

f

lim

a

x

=

Aula 3 Derivadas Donizetti 14maio2012

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