Aritmética Segundo Grado II Trimestre 2014

º Año de Secundaria

II – TRIMESTRE (2014) TARAPOTO – SAN MARTÍN TELF: 042 - 526164

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DIVISIBILIDAD

MÚLTIPLO DE UN NÚMERO Un número es múltiplo de otro si se obtiene multiplicando este último por un número natural. Ejemplo: M(5) = {0x5, 1x5; 2x5; 3x5; 4x5; 5x5; …} M(5) = {0; 5; 10; 15; 20; 25; …} Todo número es múltiplo de sí mismo.

520 , se lee: 20 es múltiplo de 5.

Los múltiplos comunes de dos números son aquellos que se repiten para ambos. Ejemplos: M2 = {0; 2; 4; 6; 8; 10; 12;...} M4 = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24;…} Entonces: Múltiplos comunes de 2 y 4 Mc (2; 4) = {0; 4; 8; 12;…} DIVISOR DE UN NÚMERO. Un número es divisor de otro cuando dividimos el segundo entre el primero y el residuo de la división es cero. Por ejemplo, decimos que 4 es divisor de 12, porque al dividir 12 entre 4 la división es exacta: da 3 y el residuo es cero.

Escribe cuatro múltiplos de 6: ……………………………

Escribe seis múltiplos de 8: ……………………………….

¿El 8 es múltiplo de 8? ¿Por qué?: ……………………..

¿Por qué 45 no es múltiplo de 6? :…………………………

Halla:

7 ; inferiores de 70: ………………………………………

Escribe los divisores de 14: ……………………………………

Forma el conjunto de divisores de 20: ……………………….

Escribe los divisores de 24: ………………………………………

OPERACIONES ENTRE MÚLTIPLOS

1. SUMA:

o

n + o

n + o

n + o

n = o

n

Ejemplo: 12 + 8 = 20

(o

2 ) + (o

2 ) = (o

2 )

2. RESTA: o

n - o

n = o

n

Ejemplo: 18 - 12 = 6

(o

3 ) - (o

3 ) = (o

3 )

3. MULTIPLICACIÓN: o

n . o

n . o

n = o

n

4. Sea un número múltiplo de n y otro entero cualquiera “k”.

Se cumple oo

nKn .

5. POTENCIACIÓN:

ok

o

nn

LOS NO MÚLTIPLOS: a) Por defecto:

b) Por exceso:

PROPIEDADES

1. Si: N = o

a ; N = o

b ; N = o

c , entonces:

N = o

cbaMCM );,(.. ; ejemplo:

Si: N = o

3 ; N = o

2 ; N = o

12 , entonces:

N = o

MCM )12;2;3.(.. = 12

N = Ko

1212

2. N = r o

a ; N = r o

b ; N = r o

c

N = rcbaMCMo

);;(..

3. a; n; r Z+, se cumple que:

(o

a + r)n = o

a + rn(Binomio de Newton)

(o

a - r)n = o

a + rn ; si “n” es número par

= o

a - rn ; si “n” es número impar

4. Si: N = o

n + a ; M = o

n + b; entonces:

N x M = o

n + a x b

DIVISIBILIDAD

Un número entero A es divisible entre un número positivo B, si al dividir A entre B la división entera es exacta, es decir, el residuo es igual a cero. Ejemplo: Averiguar si 72 es divisible entre 6.

Como la división es exacta: 72 es divisible entre 6. 6 es divisor de 72 Ahora, esta división equivale a: 72 = 6(12) Luego diremos: 72 es múltiplo de 6. 6 es módulo de 72. OBERVACIÓN: Si 72 es divisible entre 6, entonces 72 es múltiplo de 6 y viceversa, es decir, son equivalentes. NOTACIÓN: Para expresar que A es múltiplo de B escribiremos:

BA



2

EJEMPLO:

72 = 6(12) 72 =

6

-42 = 6(-7) -42 =

6

0 = 6(0) 0 =

6

NOTA: Toda entero es múltiplo de los factores positivos o

divisores que contiene.

Ejemplo:

OBSERVACIONES: Los divisores de un número entero forman un conjunto

finito. Los múltiplos de un número entero forman positivo forman

un conjunto infinito. La unidad es divisor de todo número entero, se le llama

divisor universal. El cero es múltiplo de todo número entero.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Todo número es divisible por otro si cumple las siguientes reglas prácticas: Divisibilidad por 2: Cuando termina en cero o cifra par

(2; 4; 6; 8) Ejemplo: 2458; 16; 8356; 16734

Divisibilidad por 3: Cuando al sumar sus cifras, el resultado es múltiplo de 3.

Ejemplo: 342; 1560; 2766; 135; 87

Divisibilidad por 4: Si las dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4.

Ejemplo: 200; 1240; 7616; 89364; 87400

Divisibilidad por 5: Cuando el número termina en cero o 5.

Ejemplo: 2870; 2785; 6850; 4370; 3555; 1000

Divisibilidad por 6: Si es divisible por 2 y 3 a la vez. Ejemplo: 4272; 57618; 2436; 10278; 65310

Divisibilidad por 7:Un número será divisible por 7 cuando se le aplique la siguiente regla: De derecha a izquierda y cifra por cifra, se multiplica por los siguientes factores: 1;3;2;-1;-3;-2;1;3;2;-1;...; después de realizar estos productos se efectúa la suma algebraica y si este resultado es 0 ó 7 el número será efectivamente múltiplo de 7.

Ejemplo: 17941; 38409; 6755; 33502; 3423.

Divisibilidad por 8: Un número es divisible por 8, cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 8.

Ejemplo: 400; 12512; 1136; 29264; 55664.

Divisibilidad por 9: Si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

Ejemplo: 1305; 50616; 41238; 13275; 228726

Divisibilidad por 10: Cuando un número termina en cero.

Ejemplo: 120; 10000; 237730; 382640

Divisibilidad por 11: Un número es divisible por 11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan el lugar impar y la suma de las cifras que ocupan el lugar par da cero o múltiplo de 11.

Ejemplo: 8195; 16764; 49786; 52646.

Divisibilidad por 12: Un número es divisible por 12, cuando es divisible por 3 y 4 a la vez.

APLICACIONES MATEMÁTICAS

BLOQUE I

1. Si: 8𝑎4 es múltiplo de 4, halla el menor valor de “a”;

diferente de cero. a) 0 b) 2 c) 1 d) 3 e) 4

2. Halla el mayor de “a” para que 2𝑎3 sea divisible por 3.

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

3. Hallar el residuo que se obtiene al dividir 253 entre 6. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4. Un comerciante tiene entre 406 y 420 manzanas, si los

embolsa de 5 en 5 le sobrarían 2, si los embolsa de 7 en 7 le sobrarían 4 ¿Cuántas manzanas tiene el comerciante? a) 415 b) 416 c) 417 d) 418 e) 419

5. Calcula el residuo de dividir:

M = 58 x 59 entre 11. a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

6. Indicar V o F:

o

5 + 3 = o

5 - 2

o

3 + 2 = o

3 - 1

o

7 + 5 = o

7 + 3

o

11 - 2 = o

11 - 9

a) VFVF b) VFFV c) VVFF d) VVFV e) FFVV

7. Calcular el residuo de dividir:

S = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 60, entre 7 a) 1 b) 5 c) 2 d) 3 e) 6

8. Hallar “m + 7” si: 684 mm es múltiplo de 11.

a) 16 b) 18 c) 17 d) 14 e) 12

9. Hallar el residuo que se obtiene al dividir 1374 entre 5.

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 10. Del 1 al 100 ¿cuántos son múltiplos de 6?

a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19



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BLOQUE II

1. Si 𝑎𝑏37 es múltiplo de 9, calcula el residuo de dividir

𝑎𝑏21 entre 9.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

2. Si: 𝑎4𝑏𝑎 =o

45 , hallar el valor de “a + b”

a)11 b) 10 c) 9 d) 8 e) 7

3. Efectuar:

M = o

5 + 17 + o

5 - 6 + o

5 + 15 - o

5

a) o

5 - 1 b) o

5 + 1 c) o

5 + 3 d) o

5 - 3 e) o

5

4. Halla el residuo de dividir (41)17 entre 9

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

5. Hallar “m + 7” si: 684 mm es múltiplo de 11.

a) 16 b) 18 c) 17 d) 14 e) 12

6. ¿Cuántos números de dos cifras son múltiplos de 6?

a)12 b) 13 c) 16 d) 15 e) 10

7. Hallar: “a + b”, si 𝑎547𝑏 =o

88

a)13 b) 10 c) 9 d) 8 e) 7

8. Si: 𝑎𝑏 =o

5 ; 𝑏𝑎 =o

9 y 𝑎𝑏𝑐 =o

4 ; Hallar el mayor

valor de “a + b + c” a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

9. Hallar el residuo de dividir: 213 534 entre 3. 1 374 528 entre 9 26 340 523 entre 5. 111…111 entre 9

20 cifras 333 … 333 entre 2

40 cifras a)cero b) 3 c) 3 d) 2 e) 1

10. Hallar el valor de “a”, si 3𝑎4𝑎 = o

9

a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

BLOQUE III

1. Sabiendo que 𝑎𝑏 es múltiplo de 21. ¿Cuántos valores

puede tomar (a + b)? a) 7 b) 8 c) 6 d) 5 e) 4

2. Del 80 al 200 ¿Cuántos son múltiplos de 9?

a) 22 b) 8 c) 16 d) 14 e) 13

3. ¿Cuántos valores asume “a” si el numeral 2𝑎56 es

múltiplo de 3? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4. A una fiesta asisten entre 400 y 450 personas, se

observa que 1/3 de los asistentes usan casaca, 1/7 usan reloj y 1/5 no trabajan. ¿Cuántos asistieron a la fiesta? a) 417 b) 418 c) 419 d) 420 e) 421

5. Si el número: baba2 es múltiplo de 99, hallar:

a + b.

a) 8 b) 9 c) 10 d) 6 e) 7

6. Si: 1𝑎𝑎1𝑏𝑏 =o

9 . Hallar: a + b (Máximo); si a ≠ b

a)14 b) 16 c) 17 d) 19 e) 20

7. ¿Cuántos divisores tiene el número 63? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

8. ¿Cuántos números existen entre 200 y 400, que sean a la vez divisibles por 4 y 5 a la vez? a) 8 b) 9 c) 10 d) 7 e) 12

9. Sea: N = o

5 + 3, hallar el residuo de: 37N = o

5 + r

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

10. Si: 𝑎𝑏37, es múltiplo de 9, calcula el residuo de dividir

𝑎𝑏21 entre 9.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

NÚMEROS PRIMOS

Se llama número primo absoluto o simplemente

primo a aquel número que admite únicamente dos divisores, siendo estos la unidad y él mismo. Ejemplos: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; … NÚMERO COMPUESTO: Es aquel número que tiene más de dos divisores. Ejemplos: 4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; 16; 18; 20; 21; … El numeral 18; tiene 6 divisores: {1; 2; 3; 6; 9; 18} NÚMEROS PRIMOS ENTRES SI (PESÍ) Un conjunto de dos o más números primos entre sí, cuando el único divisor común que comparten todos ellos es la unidad. Ejemplo: Sean los números; 12; 25 y 35. D(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12} D(25) = {1; 5; 25} D(35) = {1; 5; 7; 35}

Entonces: 12; 25 y 35 son primos entre si (PESÍ). PROPIEDADES:

La serie de los números primos es ilimitada, sin

embargo la mayoría de ellos son de la forma: 16o

ó 14o

; de lo contario no siempre se cumple.

Dos números enteros positivos consecutivos son siempre primos entre sí (PESÍ).

Dos números cuadrados perfectos son PESÍ si y sólo si las bases de dichos cuadrados también lo son.

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA (TEOREMA DE GAUSS)

Todo número entero mayor a 1; se puede descomponer como producto de factores primos diferentes entre sí elevados a ciertos exponentes enteros y positivos. Esta descomposición es única y es llamada también Descomposición canónica. Ejemplo:



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ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO

Dado el numeral: 𝑁 = 𝑎𝛼 . 𝑏𝛽 . 𝑐𝛾; donde a; b y c son primos,

además: 𝛼; 𝛽; 𝛾 ∈ 𝑵

1. CANTIDAD DE DIVISORES (C.DN)

𝐶. 𝐷𝑁 = (𝛼 + 1)(𝛽 + 1)(𝛾 + 1)

2. SUMA DE DIVISORES (S.DN)

𝑆. 𝐷𝑁 =𝑎𝛼+1 − 1

𝑎 − 1∙

𝑏𝛽+1 − 1

𝑏 − 1∙

𝑐𝛾+1 − 1

𝑐 − 1

3. SUMA DE LAS INVERSAS DE LOS DIVISORES (S.I.DN)

𝑆. 𝐼. 𝐷𝑁 =𝑆. 𝐷𝑁

𝑁

4. PRODUCTO DE LOS DIVISORES (P.DN)

𝑃. 𝐷𝑁 = √𝑁𝐶∙𝐷𝑁

OBSERVACIÓN: Dado un número natural “N”, se cumple que:

𝐶. 𝐷𝑁 = 𝐶. 𝐷𝑃𝑅𝐼𝑀𝑂𝑆 + 𝐶. 𝐷.𝐶𝑂𝑀𝑃𝑈𝐸𝑆𝑇𝑂𝑆 + 1

𝐶. 𝐷𝑆𝐼𝑀𝑃𝐿𝐸𝑆 = 𝐶. 𝐷.𝑃𝑅𝐼𝑀𝑂𝑆+ 1

Donde: 𝐶. 𝐷𝑃𝑅𝐼𝑀𝑂𝑆 = 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 “𝑁” 𝐶. 𝐷.𝐶𝑂𝑀𝑃𝑈𝐸𝑆𝑇𝑂𝑆 = 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 "𝑁" 𝐶. 𝐷𝑆𝐼𝑀𝑃𝐿𝐸𝑆 = 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 "𝑁"

BLOQUE I

1. Hallar el valor de n, si el numeral 25.45n, tiene 117 divisores.

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

2. Hallar “n”, si el número de divisores de 300n es igual al número de divisores de 16 x 90n. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3. ¿Cuántas veces habrá que multiplicar por doce al

número 420, para que el producto resultante tenga 180 divisores? a) 3 b) 1 c) 2 d) 4 e) 7

4. Hallar el valor de “n”, sabiendo que el número:

N = 21 . 15n, tiene 20 divisores compuestos. a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) 6

5. ¿Cuántos divisores tendrá la expresión? P = 36 . 362 . 363 . 364 . … . 36n a) (n + 1) c) n2 + n + 1 e) n b) (n2 + n + 1)2 d) 2n + 4

6. ¿Cuántos rectángulos existen tales que su área sea igual a 1250m2 y que sus lados sean números enteros? a) 5 b) 4 c) 3 d) 7 e) 8

7. ¿Cuántos divisores primos tiene N = 124 . 156?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 393

8. Si: 4n+1 + 4n + 4n-1, tiene 36 divisores. Hallar el valor de “n”. a) 2 b) 6 c) 5 d) 2 e) 4

9. Hallar “a”, si N = 21 . 15a ; tiene 20 divisores

compuestos? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)5

10. ¿Cuántos divisores tiene 1410 – 148? a) 99 b) 72 c) 648 d) 1448 e) 729

BLOQUE II

1. Calcular el valor de “a”, si: 4a – 4a-2; tiene 24 divisores compuestos. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

2. Al multiplicarse 24 . 5a por 27, su número de divisores

aumenta en 90. Hallar el valor de a. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

3. Al multiplicar por 33 al número N = 21 . 11n; se

duplica su cantidad de divisores. Hallar “n”. a) 5 b) 1 c) 2 d) 4 e) 3

4. De los divisores de 2020. ¿Cuántos son compuestos?

a) 861 b) 856 c) 858 d) 842 e) 864

5. Si el número 27 .3a + 2 . 7a . 11; tiene 24 divisores primos con 440, calcular el valor de a. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

6. Calcular la suma de los divisores simples de:

1165 . 852 a) 51 b) 52 c) 53 d) 54 e) 55

7. ¿Cuántos divisores que no son múltiplos de 40 tiene

el número 9520? a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e) 34

8. Halla el valor de “n” para que el número de divisores

de N = 30n sea el doble del número de divisores de M = 15.18n.

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

9. Hallar un número de la forma N = 2a . 3b, sabiendo que si se multiplica a dicho número por 8 y por 9 su número de divisores aumenta en 9 y 10 respectivamente. a) 144 b) 156 c) 1200 d) 1000 e) 500

10. Si N tiene 4 divisores simples cuya suma es 16 y

a3 . b . c ; es su descomposición canónica, determinar

la suma de divisores o

5 de N, si N es el mayor

numeral posible de 3 cifras. a) 950 b) 1800 c) 1600 d) 1850 e) 1700



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BLOQUE III

1. Hallar el número N = 25 . a. b, sabiendo que a y b son números primos y que la suma de todos sus divisores es el triple de él. a) 670 b) 671 c) 672 d) 725 e) 765

2. ¿Cuántos divisores tiene 6666?

a) 673 b) 376 c) 367 d) 637 e) 736

3. Si los números : A = 24.30n B = 24n+1.32n+1 Tiene la misma cantidad de divisores; hallar “n”. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

4. Si A = 27.7n tiene 12 divisores. Hallar el valor de “n”. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

5. Sabiendo que el número 24m.36m tiene 589 divisores. Hallar cuántos divisores tendrá 18m.30m.

a) 1729 b) 1056 c) 2640 d) 585 e) 1 656

6. Si: 2𝛼 ∙ 7𝛽y 𝛼2 ∙ 7𝛽 , tienen ambos 20 divisores: Hallar: 𝛼 + 𝛽

6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

7. Si 432a posee 1268 divisores enteros no simples. Calcular la suma de los divisores no compuestos de aa. a) 10 b) 8 c) 15 d) 14 e) 7

8. Se tiene: A = 60n . 45; B = 15 . 20n

Sabiendo que dichos números poseen 40 divisores comunes, calcular el valor de n. a) 3 b) 5 c) 2 d) 4 e) 1

9. Del número 1500, calcular la cantidad de divisores

simples, compuestos y pares. Dar como respuesta la suma de los resultados anteriores. a) 20 b) 24 c) 36 d) 40 e) 45

10. Calcular el valor de N, sabiendo que es de la forma:

N = 9 . 10k y además tiene 3 divisores más que el número 360. a) 90 b) 900 c) 9000 d) 90 000 e) 900 000

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D) MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M)

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D)

Dado un conjunto de números enteros positivos, el M.C.D. de dichos números está dado por el mayor de los divisores comunes que comparten dichos números. Ejemplo: D(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}

D(36) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}

D(60) = {1; 2; 3; 4; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60}

Entonces:

M.C.D. (24; 36 y 60) = 12

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M)

Dado un conjunto de números enteros positivos, el

M.C.M. de dichos números está dado por el menor múltiplo

común que los contiene exactamente.

Ejemplo:

o

8 = 8k: 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; 72; 80; 88; 96; 104 …

o

9 = 9k: 9; 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; 81; 90; 99; 108; …

o

12 = 12k: 12; 24; 36; 48; 60; 72; 84; 96; 108; 120; 132; …

Entonces:

M.C.M. (8; 9; 12) = 72

MÉTODOS PARA HALLAR EL (M.C.D) Y (M.C.M)

I. Por descomposición simultánea en sus

factores primos.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

II. Por descomposición canónica de los

números.

MÁXIMO COMUN DIVISOR

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

III. Por divisiones sucesivas (algoritmo de

Euclides)

Este método sólo se utiliza para hallar el M.C.D. de dos

números.

Ejemplo: Hallar el M.C.D. de 216 y 128



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PROPIEDADES

1.

a) El M.C.D. de dos o más números primos

absolutos es la unidad.

b) El M.C.M. de dos o más números primos

absolutos está dado por el producto de los

números.

Ejemplo:

a) M.C.D.(3; 5; 7) = 1

b) M.C.M. (3; 5; 7) = 105

2.

a) EL M.C.D. de dos o más números primos entre

sí (PESÍ) está dado por la unidad.

b) EL M.C.M. de dos o más números primos entre

sí (PESÍ) está dado por la unidad.

Ejemplo:

a) M.C.D.(7; 8; 9) = 1

b) M.C.M.(7; 8; 9) = 7 . 8 . 9 = 504

3. Para dos números A y B donde A es múltiplo de B,

entonces;

a) M.C.D. (A; B) = B

b) M.C.M. (A; B) = A

Ejemplo:

a) M.C.D.(32; 4) = 4

b) M.C.M.(32; 4) = 32

4. Dado un conjunto de números (dos o más) si se

divide cada uno entre su M.C.D. se obtiene cocientes

que son números primos entre sí.

M.C.D. (A; B; C) = d

5. El producto de dos números A y B está dado por el

producto del M.C.D. de dichos números y el M.C.M.

de dichos números.

A x B = M.C.D.(A; B) x M.C.M.(A; B)

6. Sean los números: A y B

M.C.D.(A; B) = d y M.C.M.(A; B) = m

7. Sean los números A; B y C; donde:

M.C.D.(A; B; C) = d; M.C.M.(A; B; C) = m.

Además n Z+

a) M.C.D.(nA; nB; nC) = d . n y M.C.D.(A

n;

B

n;

C

n) =

d

n

b) M.C.M.( nA; nB; nC) = m . n y M.C.M((A

n;

B

n;

C

n) =

m

n

BLOQUE I

1. El cociente de dos números es 13 y su M.C.M. es 312.

Hallar la suma de dichos números.

2. Hallar el residuo de números tales que su máximo

común divisor sea 36 y su mínimo común múltiplo

sea 5148.

3. Hallar A y B si se sabe que satisfacen:

A2 + B2 = 10 530 y M.C.M. (A; B) = 297 a) 87; 23 b) 99; 27 c) 32; 66 d) 24; 98 e) 22; 86

4. Si el M.C.D. de dos números naturales es 144 y

tienen respectivamente 33 y 35 divisores. Uno de los números es: a) 11 664 b) 11 456 c) 12 458 d) 10 452 e) 11 466

5. Hallar: “x” sabiendo que el M.C.M. de los números: A = 72x . 750 y B = 90x . 4 ; tiene 2944 divisores. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

6. Hallar la suma de dos números cuyo M.C.D. sea 18 y

que el primero tenga 10 divisores y el segundo 15 divisores. a) 306 b) 162 c) 144 d) 203 e) 104

7. Si:

A = 23 . 52 . 73 B = 22 . 53 . 112 C = 33 . 54 Hallar la cantidad de divisores del M.C.M.(A; B; C) a) 480 b) 240 c) 960 d) 1260 e) 1400

8. A un terreno de forma rectangular cuyas

dimensiones son 1288m y 851m se le quiere dividir en parcelas cuadradas, todas iguales, sin que sobre terreno, luego se quiere cercarlas de tal manera que en cada esquina de las parcelas haya un poste. Determinar la menor cantidad de parcelas y postes que se necesitan. a) 2072; 2166 b) 2170; 3260 c) 2016; 2072 d) 2072; 2170 e) 3260; 2166

9. Hallar “x” si el M.C.M. de A = 64x . 18x y B = 36x . 9 es 221 . 38 a) 6 b) 3 c) 4 d) 5 e) 2



7

10. Si: A = 2n + 2 . 3n + 3 y B = 2n – 1 . 3n y además la cantidad de divisores del M.C.M.(A; B) es 110; hallar “n”. a) 7 b) 8 c) 15 d) 14 e) 16

BLOQUE II

1. El M.C.M de dos números es 630. Si el producto de

ellos es 3780. Hallar el M.C.D de dichos números a) 4 b) 30 c) 18 d) 6 e) 12

2. Hallar dos números enteros sabiendo que uno de ellos es igual a los 2/9 del otro y que el producto de su M.C.M por su M.C.D de igual 3 528, dar como respuesta el mayor.

a) 120 b) 122 c) 126 d) 124 e) 128

3. Hallar la menor distancia medible exactamente con

una regla que se puede dividir en pedazos de 16; 8 y 18 cm de longitud. a) 72 cm b) 52 cm c) 144 cm d) 144 m e) 288 cm

4. Un comerciante realiza ventas consecutivas de artefactos, por 95 450 nuevos soles los televisores y por 19 550 nuevos soles las refrigeradoras. Si los televisores y refrigeradoras tienen el mismo precio y es el mayor posible ¿Cuántos artefactos vendió en total? a) 96 b) 98 c) 100 d) 102 e) 104

5. El M.C.M de dos números es 264 y los cocientes de dividir cada uno de ellos entre su M.C.D son 8 y 3. Hallar dichos números.

a) 88 y 33 b) 72 y 18 c) 72 y 33 d) 88 y 18 e) 88 y 21

6. Determina el M.C.D. de los siguientes números: por descomposición en factores primos.

Si:

A = 53 - 7.33:144523

6.825.281:3 3534B

8.6384236.4122352C

a) 24 b) 25 c) 29 d) 30 e) 35

7. Se tienen 3 obras literarias con 660; 780 y 900 hojas

las cuales se quieren editar en fascículos, todos iguales, estando el número de hojas comprendido entre 10 y 20 ¿En cuántas semanas como mínimo se terminará de publicar las 3 obras, a razón de un fascículo semanal? a) 156 b) 117 c) 195 d) 234 e) 314

8. ¿Cuál es la menor cantidad de dinero que necesito

para comprar un número exacto de bufandas de S/. 20, S/. 30 ó S/. 45 cada una, si quiero que en cada caso me sobre S/. 15?

a) S/.109 b) S/.195 c) S/.185 d) S/.180 e) S/.190

9. En la determinación del M.C.D de dos números por

el algoritmo de Euclides se obtuvieron como cocientes números consecutivos en forma ascendente. Si los dos primeros residuos fueron 2565 y 690, dar la suma del mayor número con el M.C.D de los números.

a) 14950 b) 48415 c) 48530 d) 15065 e) 484

10. El M.C.M. de dos números es 930, su M.C.D. es 31 y el cociente entre ambos es 5/6 ¿Cuál es el menor de los números? a) 140 b) 145 c) 150 d) 155 e) 157

BLOQUE III

1. Un árbol de navidad tiene luces rojas que se

encienden cada 15 segundos, luces amarillas que se encienden cada 10 segundos y luces azules que se encienden cada 18 segundos. ¿Cada cuántos segundos se encienden los tres colores juntos?

¿Cuántas veces se encienden en el lapso de una hora? a) 60 y 54 b) 60 y 48 c) 90 y 60 d) 90 y 40 e) 50 y 66

2. El M.C.D de A = 36.48n y B =36n.48 tiene 66

divisores. ¿Cuántos divisores tendrá A? a) 45 b) 90 c) 60 d) 54 e) 84

3. La suma de los residuos que se obtienen al calcular el M.C.D de 1050 y 238; por divisiones sucesivas es:

a) 78 b) 154 c) 308 d) 96 e) 201

4. Se desea cubrir el suelo de una habitación rectangular de 656 cm de largo por 352 cm de ancho,

con losetas cuadradas tan grandes como sea posible. Calcular la superficie de una loseta.

a) 200 cm2 b) 256 cm2 c) 280 cm2 d) 250 cm2 e) 230 cm2

5. Angélica tiene tres nietas. Una nieta va a visitarla

cada 5 días; otra, cada 3 días y la tercera, cada 12 días. Si en la visita de hoy se encontraron las tres nietas, ¿Cuántos días pasarán hasta que vuelvan a encontrarse? a) 72 b) 36 c) 60 d) 48 e) 50

6. Hallar (a + b + c); si:

M.C.M.(𝑎6; 𝑏6; 𝑐6 = 676

a) 13 b) 12 c) 15 d) 14 e) 17

7. Hallar el mayor de dos números tales que su máximo común divisor sea 36 y su mínimo común múltiplo sea 5148. a) 468 b) 469 c) 470 d) 471 e) 472

8. Halla la suma de dos números, uno de 20 divisores y

otro de 12 divisores, sabiendo que su M.C.M. es 720. a) 328 b) 329 c) 330 d) 331 e) 332

9. Los números 21 448 y 33 111 divididos por un

número de 4 cifras dan respectivamente por residuos 42 y 29. Determinar dicho número. a) 1948 b) 1900 c) 1902 d) 1946 e) 1942

10. Hallar la diferencia de dos números enteros,

sabiendo que su M.C.D. es 48 y su suma 288. a) 190 b) 191 c) 192 d) 193 e) 194

Aritmética Segundo Grado II Trimestre 2014

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