Apuntes Instrumentos Derivados

8/18/2019 Apuntes Instrumentos Derivados

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Instrumentos Derivados1

Universidad Diego Portales

Magister en Dirección Financiera

Fernando Díaz H.

Marzo 2016

1 Estos apuntes tienen su origen en diversas fuentes. Algunas partes se basaen los libros Options, Futures and Other Derivatives, de John Hull, y Arbitrage Theory in Continuous Time , de Tomas Bork. Otras corresponden a mis notasde clases en el ramo "Financial Economics", impartido por Jean Pierre Zigranden el London School of Economics and Political Science. Sin embargo, la mayor

parte de ellos, tal como el orden general de la exposición, se basa en las clasesdel ramo "Tópicos Avanzados en Finanzas" impartidas por Gonzalo Cortázar enla Ponti…cia Universidad Católica de Chile. No me adjudico mérito más allá dehaber juntado este material. Todos los errores que puedan existir son míos.


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Contenidos

1 INTRODUCCION 5

2 FUTUROS Y FORWARDS 72.1 Características de los Contratos . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Valoración de Forwards y Futuros . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.1 Contrato Forward sobre un Activo que no paga div-idendos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.2 Contrato Forward sobre un Activo que paga dividen-dos conocidos y discretos . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.3 Contrato Forward sobre un Activo que entrega unretorno continuo y conocido por dividendos . . . . . 18

2.2.4 Contratos Forward sobre Commodities . . . . . . . . 19

3 OPCIONES FINANCIERAS 233.1 Relaciones de Arbitraje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 VALORACION DE OPCIONES 374.1 Proceso de Precio Binomial para Opciones Europeas . . . . 374.2 Proceso de Precio Binomial para Opciones Americanas . . . 44

4.3 Valoración de Opciones por Black y Scholes . . . . . . . . . 464.4 Black y Scholes para Activos que pagan dividendos . . . . . 51

5 Estrategias Especulativas utilizando Opciones 53


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4 C ontenidos

6 La Variable Clave: La Volatilidad 63


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INTRODUCCION

Un instrumento derivado es una activo …nanciero cuyo valor está determi-nado por el valor de otro activo, el activo subyacente. Por ejemplo, consid-érese un futuro sobre dólar. En este caso, el precio del instrumento derivado,el contrato a futuro, está determinado por el valor de mercado del dólar, el activo subyacente. Existe una gran cantidad de instrumentos derivados, en-tre otros, opciones de compra, opciones de venta, forwards, swaps, opcionessobre futuros, opciones exóticas, bonos1 , etc...

Cabe preguntarse por qué surgen en el mercado este tipo de instrumento.

¿Qué motiva a un individuo a entrar en un contrato a futuro? Considérela situación de un importador local de maquinaria que enfrenta el pagode US $ 150.000 dentro de 3 meses. No existe incertidumbre para estapersona respecto del pago que debe hacer; sin embargo, el valor en monedalocal de su obligación dependerá del precio spot del dólar que riga en elmercado dentro de tres meses. Es decir, el importador está sujeto a Riesgode Tipo de Cambio. Al entrar en un contrato a futuro, …ja hoy el precio alcual realizará la compra de dólares dentro de tres meses, eliminando porcompleto el riesgo asociado a variaciones en el tipo de cambio.

En general, los mercados de instrumentos derivados son Mercados deRiesgo. En éstos, no se genera riqueza, sólo se trans…ere riesgo, entre quienesestán menos dispuestos a aceptar un determinado riesgo y quienes sí lo es-

tán. No es de extrañarse, entonces, que los mercados de estos tipos de

1 Los bonos son un instrumento derivado sobre un activo subyacente muy particular:la tasa de interés.


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6 1. INTRODUCCION

instrumentos se hayan empezado a desarrollar justamente en momentos enque el entorno económico se volvía más incierto. Es a partir del inicio dela década del 70 que el entorno económico y …nanciero experimenta un in-

cremento sustancial en los niveles de riesgo. El colapso de Bretton Woodsfue seguido por una alta volatilidad en los tipos de cambio, volatilidad quese transmite a las tasas de interés internacionales y al precio de los com-modities, generando un mayor grado de incertidumbre en las transaccionesinternacionales. Frente a esta nueva realidad, los mercados reaccionarongenerando instrumentos que permiten a los inversionistas manejar los ries-gos en un escenario de mayor incertidumbre. En el CME (Chicago Mer-chandise Exchange) se comienzan a transar a futuros …nancieros, mientrasque en el CBOT (Chicago Board of Trade) lo hacen las opciones …nancieras.


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FUTUROS Y FORWARDS

Es a partir de la década del setenta que los mercados de forwards, especí-…camente sobre tipo de cambio,experimentan una fuerte expansión. Sinembargo, dado el riesgo de crédito asociado a estas operaciones, sólo teníanacceso al mercado instituciones bancarias y grandes corporaciones1 . De-bido a que la nueva realidad internacional enfrentaba a los inversionistas alriesgo asociado a las variaciones de tipo de cambio, en el mercado …nancierose comienzan a desarrollar instrumentos que permitan a los inversionistascontrolar su exposición al riesgo cambiario. Así, en mayo de 1972 aparecen

por primera vez en el CME contratos a futuro sobre sobre la libra inglesa, elmarco alemán, el dólar canadiense, el franco frances y el yen. Es importantedistinguir entre contratos forward y contratos a futuro. Los primeros sonacuerdos privados, mientras que los últimos son contratos estandarizadosde transacción pública.

2.1 Características de los Contratos

De…nición 1 (forward) Un contrato forward es un acuerdo entre dos partes, comprador y vendedor, para transar un activo determinado, en una

1 Para una exposición detallada de la evolución de los instrumentos …nancieros uti-lizados para la admisnistración del riesgo, véase “The Evolution of Risk ManagementProducts”, de S. Waite Rawls y Charles W. Smithson, en The New Corporate Finance,Donald Chew, McGraw Hill, 1993.


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8 2. FUTUROS Y FORWARDS

fecha especí…ca en el futuro, a un precio previamente acordado entre las partes.

Como recién se mencionó, generalmente a este tipo de contrato entraninstituciones …nancieras o grandes corporaciones, y no se transan en bolsa.

Analicemos esta de…nición por partes:

...para transar un activo determinado,...el Activo subyacente

...en una fecha especí…ca en el futuro,..la Fecha de Ejercicio

...a un precio previamente acordado entre las partes...el Precio de Ejer-cicio (k ó X)

En pocas palabras, un forward es un contrato que …ja hoy elprecio al que se transa mañana.

Si es el precio, especi…cado hoy, al cual se transa mañana, se tiene que

depende del precio corriente del activo subyacente, , y de la fecha, ,en que se llevará a cabo la transacción. De esta forma, = ( ).

Los contratos forward tienen las siguientes características:

² No estandarizados² Se transan en “Mercados Privados ” o “Mercados OTC ”² Generan ‡ujos de caja sólo al vencimiento² Existe riesgo de crédito para comprador y vendedor

El ‡ujo de caja generado al momento del vencimiento, depende de laposición del inversionista en el contrato y del precio del activo subyacente

en esa fecha. En la …gura 1se presentan los ‡ujos para un inversionista,según su posición en el contrato, en la fecha de ejercicio.

Figura 1

Valor activo subyacente

al vencimiento

Flujo neto

al vencimiento

F

Long

Short

Valor activo subyacente

al vencimiento

Flujo neto

al vencimiento

F

Long

Short


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2.2 Valoración de Forwards y Futuros 9

Ahora, por lo general, el bien no se transa al vencer el contrato. Simple-mente, se calcula cuál debe ser el pago neto entre las partes.

Los contratos a futuro son muy similares a los forward. También soncontratos en que se …ja hoy el precio al que se transa mañana. Sin embargo,tienen características muy diferentes a las de los forwards.

Los contrastos a futuro presentan las siguientes características:

² Son estandarizados

² Se transan en bolsa

² El riesgo crediticio se disminuye mediante la existencia de un organ-ismo regulador, el cual establece Depósitos de Márgenes y lleva a cabouna valoración diaria de los instrumentos

² Los depósitos de márgenes hacen que los ‡ujos de caja de los inver-sionistas involucrados en contratos a futuro no se generen sólo en lafecha de ejercicio.

El organismo que regula el mercado de futuros es una Caja de Compen-sación, que hace de comparador del vendedor y de vendedor del comprador,siendo responsable de los pagos a las diferentes partes. Nótese que la Cajatiene una posición neta de cero. Para reducir su exposición al riesgo, laCaja solicita, periódicamente, depósitos de márgenes o Clearing Margins .

2.2 Valoración de Forwards y Futuros

Como ya se ha visto, los forwards y los futuros son instrumentos distintos,con características diferentes. Es más, sin considerar el riesgo crediticio,teóricamente, valen diferente. Los ‡ujos de caja periódicos (positivos o neg-ativos) asociados a la inversión en futuros los hacen instrumentos difícilesde valorar. Sin embargo, en la práctica, las diferencias de precio entre estosinstrumentos no es económicamente signi…cativa. Para mantener la exposi-ción lo más simple posible, de aquí en adelante se evaluarán los futuroscomo si fuesen forwards y se hablará indistintamente de futuros o forwardsy de precio futuro o precio forward.

2.2.1 Contrato Forward sobre un Activo que no paga dividendos

¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por un contrato de oro a futuro, conentrega en 12 meses más? ¿A qué precio futuro estaría dispuesto a entrar


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en un contrato para comprar o vender una acción de AMAZON, que nopaga dividendos, en un año?

Concentrémonos en el problema de establecer el precio de ejercicio de uncontrato a futuro. El problema se puede abordar de tres diferentes maneras.

I.- Construcción de Portfolio Libre de Riesgo

Consideremos el siguiente portafolio;

A) Una posición corta en un futuro F(S,T) de…nido sobre unactivo S

B) Endeudarse en un monto equivalente al precio corriente delactivo subyacente

C) Una posición larga en una unidad del activo

Los ‡ujos asociados a esta estrategia son los siguientes en la tabla 2.2.1:

t T

A) 0 F

B) S - Ser(T-t)

C) - S

0 F-Ser(T-t)

Para que no existan oportunidades de arbitraje, debe cumplirseque el precio futuro debe ser tal que:

= ( ¡) (2.1)

Pero, ¿qué es un arbitraje?

De…nición 2 Arbitraje. Estrategia de inversión auto…nanciada, sin riesgo,que genera utilidades.

De la de…nición de arbitraje, queda claro que una estrategia riesgosa,aun cuando sea auto…nanciada y genere utilidades, no es un arbitraje. Unarbitraje es conseguir algo por nada y, sin ningún tipo de riesgo. Habitual-mente, los arbitrajes se clasi…can como:


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1. Money Machine

2. Free Lunch

Hoy MañanaMoney Machine Flujo= 0 Flujo0

Free Lunch Flujo0 Flujo = 0

De acuerdo a esto, si la ecuación 2.1 no se cumple, ¿cómo es posible arbi-trar? Suponga primero que ( ¡) y considere el siguiente portfoliode arbitraje:

t T

Short un futuro A) 0 F

Endeudarse en S B) S - Ser(T-t)

Comprar el activo C) - S

0 F-Ser(T-t) > 0

Este portfolio ha generado un Money Machine . Ahora, si ( ¡) :

t T

Vender corto el activo S 0

Invertir lo obtenido - S Ser(T-t)

Long un futuro - F

0 Ser(T-t)-F > 0

Nuevamente tenemos un Money Machine .

Hay algunos puntos que vale la pena destacar.

² r, la tasa de interés, es exógena.² No hemos considerado la volatilidad del activo.² r es la tasa relevante para quien se endeuda. Sin embargo, se debe

utilizar la tasa libre de riesgo (¿puede explicar por qué?)


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II.- Valor f del Contrato Forward

Tratemos de dar un argumento más formal, que además nos servirá para

poder determinar el valor de un contrato a futuro. Considere los siguientesportfolios:

Portfolio A

1. Una posición larga en un contrato futuro sobre el activo subyacenteS

2. Una cantidad de dinero equivalente a ¢ ¡( ¡)

Portfolio B

1. Una unidad del activo subyacente

Si el dinero que forma parte del portfolio A es invertido a la tasa de librede riesgo, esta inversión habrá crecido hasta un monto equivalente a en elinstante T. Dado que se tiene un futuro, puede ser utilizada para comprarel activo. Por ende, tanto el portfolio A como el portfolio B consisten enuna unidad del activo en T. Si ambos portfolios valen lo mismo en T, debenvaler lo mismo en cualquier instante previo a T, en particular en t (¿porqué?). Por ende, en t debe ser cierto que + ¢ ¡( ¡) = .

Así,

= ¡ ¢ ¡( ¡) (2.2)

Al momento de entrar en un contrato forward, el precio de ejerciciose escoge de forma tal que el valor del contrato sea cero. De esta forma,ninguna de las partes recibe o debe pagar algo en el momento de …rmar elcontrato.

De…nición 3 (Precio Forward) El precio forward para un contrato se de…ne como aquel precio de ejercicio que hace que el contrato tenga un valor inicial de cero.

Denominando F al precio forward y haciendo = 0 en 2.2:

= ¢ ( ¡) (2.3)

El precio forward o precio futuro, , coincide con el precio de ejercicio, , al momento de entrar en el contrato. Sin embargo, a medida que pasael tiempo, el precio forward está sujeto a cambio, mientras que el precio deejercicio está …jo. Por ende, el valor del contrato a futuro deja de ser cero.


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III.- Valoración de un Futuro mediante Valor Presente Neto .

Cabe preguntarse cuál es la relación existente entre el precio futuro y el

precio spot. En particular, ¿es el precio futuro un estimador insesgado delprecio spot en el futuro? Es decir, queremos saber si ( ) = [ ( )]

La teoría …nanciera establece que, en un mundo donde los individuos sonaversos al riesgo, siempre “alguien” tiene que pagar el riesgo. Así, los activos…nancieros no se transan necesariamente a su valor esperado. Para averiguarsi F(S,T) = E[S (T)], debemos preguntarnos primero quiénes transan afuturo y por qué razones lo hacen.

1) Motivos de Cobertura y Hedgers

Los hedgers son inversionistas que desean eliminar el riesgo asociado aalguna inversión. ¿Qué es riesgo? Riesgo es variabilidad, incertidumbre. Engeneral, los mercados se comportan como si todos sus participantes fuesen

aversos al riesgo. A los inversionistas les molesta la volatilidad en el retornode sus inversiones. Un futuro o un forward puede verse como un “seguro”contra esa volatilidad. Sin embargo, este seguro no es gratis.

Cuando el motivo de entrar en operaciones a futuro es la cobertura,es razonable pensar que los productores aceptarían ( ) [ ( )],mientras que los consumidores podrían aceptar ( ) [ ( )], en lamedida que sean individuos aversos al riesgo (¿por qué?) Es poco probableque las actitudes frente al riesgo de estos individuos sea tal que, en elagregado, estas primas por riesgo se cancelen mutuamente como para llegara que ( ) = [ ( )]

2) Motivos de Especulación

Suponga una situación en que no existe igualdad entre la oferta y lademanda de futuros sobre un determinado activo. Por ejemplo, puede darseel caso que hay más vendedores de futuros que compradores por motivosde cobertura. En estas circunstancias, el precio a futuro comenzaría a caer.Es en este punto donde entran los especuladores, que esperan obtener unretorno económico neto. ¿Cómo actúan estos especuladores? Si ( ) [ ( )], los especuladores compran contratos a futuro. Si ( ) [ ( )] los especuladores venden contratos a futuro.

Uno estaría tentado a pensar que es la fuerza relativa de especuladores yhedgers la que, a través de su interacción en el mercado, determina el precioa futuro. Y de alguna manera esto es verdad. Sin embargo, un argumentode este estilo, si no se presenta con cuidado, puede no soportar el hecho de

que al evaluar el precio futuro no se ocuparon las expectativas acerca delprecio spot a futuro. Es más, para determinar el precio futuro sólo se utilizóel precio spot del activo subyacente y la tasa de interés libre de riesgo. Elproblema es el siguiente:


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De…nimos:

, Retorno anual exigido a la inversión directa en el activo subyacente

, Tasa anual libre de riesgo compuesta anualmenteSuponga que es oro. El retorno exigido a una inversión en 1 onza de

oro viene dado por:

= ( 1)¡ 0

0=) 0 =

( 1)

1 +

En un mercado e…ciente, el valor presente del activo es igual a su preciocorriente,

= ( 1)

1 + (2.4)

Ahora, el valor futuro del activo, su precio futuro, es el valor presentellevado en el tiempo hacia adelante,

( ) = ¢ (1 + ) (2.5)Reemplazando 2.4 en 2.5,

( ) = ( 1)

1 + ¢ (1 + ) (2.6)

Si el mercado es e…ciente, entonces,

( ) = 0 ¢ (1 + ) (2.7)De la ecuación 2.6, es claro que el precio futuro es un estimador insesgado

del precio del activo subyacente si no hay premio por riesgo. Para ver esto,supongamos que se cumple el CAPM. Según este modelo, el retorno exigidoa la inversión en el activo viene dado por:

= + ¢ ( [ ]¡ )Si el precio del activo subyacente, no está correlacionado con el retorno

del activo de mercado, entonces la inversión en el activo subyacente tienecero riesgo sistemático y = 0 Así, = y la ecuación 2.6 se convierteen:

( ) = [ 1]

1 + ¢ (1 + ) =) ( ) = [ 1] (2.8)

El precio futuro es un estimador insesgado del preciodel activo subyacente si no hay premio por riesgo, esdecir, si sólo existe riesgo diversi…cable.


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Ya en la década del 30 Keynes y Hicks argumentaban que si los hedgersy especuladores tendían a mantener posiciones cortas y largas en futuros,respectivamente, el precio futuro estaría por debajo del precio spot esper-

ado en el futuro. ¿Por qué? Por un lado, los especuladores requieren unacompensación por el riesgo en que están incurriendo y, por ende, transaránsólo si existen expectativas de que el precio de los futuros crecerá en eltiempo. Por otro lado, los hedgers, dado que están dispuestos a pagar poreliminar el riesgo, están preparados por entrar en contratos donde el pagosea negativo.

Por razones similares a las anteriores, si los hedgers tienden a tomarposiciones largas mientras los especuladores tienden a tomar posicionescortas, el precio de los futuros estará por sobre del precio spot esperado enel futuro.

La situación en que el precio de los futuros está por debajo del preciospot futuro esperado se conoce como normal backwardation . La situacióncontraria se conoce como contango.

Figura 2

t

F(t,T)

F(T,T) =S(T)

T

No existepremio por riesgo

Contango

Normal backwardation

t

F(t,T)

F(T,T) =S(T)

T

No existepremio por riesgo

Contango

Normal backwardation

Nótese que a medida que se acerca la fecha de ejercicio, el precio futuroconverge al precio spot del activo subyacente. De hecho, un precio spot sede…ne como un futuro venciendo.


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Figura 3

tiempoT

Precio Futuro

Precio Spot

tiempoT

Precio Futuro

Precio Spot

Figura 4

tiempoT

Precio Futuro

Precio Spot

tiempoT

Precio Futuro

Precio Spot

Si el precio futuro no converge al precio spot del activo subyacente amedida que se acerca la fecha de ejercicio, se generarían oportunidades dearbitraje. ¿Cómo? Suponga que el precio futuro se encuentra por sobre elprecio spot 1 segundo antes del ejercicio. Es fácil hacer una ganancia sincorrer ningún riesgo:

1. Venda el futuro

2. Compre el activo

3. Realice la entrega


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Figura 5

tiempoT

Precio Futuro

Precio Spot

tiempoT

Precio Futuro

Precio Spot

2.2.2 Contrato Forward sobre un Activo que paga dividendos conocidos y discretos

Siguiendo argumentos análogos a los anteriores, es fácil demostrar que:

= ( ¡) ¢ ( ¡) (2.9)donde es el valor presente neto de los dividendos a ser recibidos, du-

rante toda la vida del contrato, utilizando como factor de descuento la tasade interés libre de riesgo.

Ejercicio 1 Suponga que F (S¡D) ¢ e( ¡). Explique cómo podría re-alizar un arbitraje.

Ejercicio 2 Suponga que F (S¡D) ¢ e( ¡). Explique cómo podría re-alizar un arbitraje.

Al igual que en el caso de un activo que no paga dividendos, es posibleobtener el precio futuro mediante el valor f del contrato forward. Considerelos siguientes portfolios:

Portfolio A

1. Una posición larga en un contrato futuro sobre el activo subyacente

2. Una cantidad de dinero equivalente a

¢¡( ¡)

Portfolio B

1. Una unidad del activo subyacente


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2. Un préstamo por un monto a la tasa de interés libre de riesgo

Nuevamente, si el dinero que forma parte del portfolio A es invertido

a la tasa de libre de riesgo, esta inversión habrá crecido hasta un montoequivalente a en el instante . Dado que se tiene un futuro, puede serutilizada para comprar el activo. Así, el portfolio A consiste en una unidaddel activo en T. Lo mismo ocurre con el portfolio B. Si ambos portfoliosvalen lo mismo en T, deben valer lo mismo en t ., Así +¢¡( ¡) = ¡

De esta forma;

= ¡ ¡ ¢ ¡( ¡) (2.10)Denominando al precio forward y haciendo = 0 en 2.10:

= ( ¡) ¢ ( ¡) (2.11)

2.2.3 Contrato Forward sobre un Activo que entrega un retorno continuo y conocido por dividendos

Que la tasa de dividendos del activo sea conocida signi…ca que el ingresogenerado por este activo, cuando se expresa como un porcentaje de suprecio, se conoce con certeza. Supondremos que el dividendo se paga con-tinuamente, a una tasa anual c. Suponga, para ejempli…car, que = 005.Por lo tanto, el retorno, el dividend yield del activo, es de 5% por año.Cuando el precio del activo es de $10, los dividendos, en el próximo inter-valo pequeño de tiempo, son pagados a una tasa de 50 centavos por año.¿Puede pensar en algún ejemplo de activo que entregue un retorno continuode dividendos? Para este tipo de activos, se cumple que:

= ¢ (¡)( ¡) (2.12)El valor de un contrato a futuro sobre un activo que paga un dividendo

continuo viene dado por:

= ¢ ¡( ¡) ¡ ¢ ¡( ¡) (2.13)Ejercicio 3 Demuestre que se cumple la ecuación 2.13 ¿Cómo se debe modi…car el portafolio B para obtener este resultado?

Se puede considerar que un activo que paga un dividendo continuo es

el dólar. ¿Por qué? Porque si usted tiene un dólar, lo puede depositar yobtener como retorno la tasa de interés ofrecida por la Reserva Federal. Unbuen ejercicio es obtener, por argumentos de arbitraje, el precio a futurosobre el dólar. Consideremos que tenemos un monto de moneda local, pesos,


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su…ciente como para comprar un dólar. Supongamos que el tipo de cambioes de $ /dólar. En la …gura 6 se presentan dos alternativas de inversión:

Estrategia 1:

1. Comrar y depositar un dólar por un año a la tasas de interés endólares,

2. Vender un dólar a un año, con precio de ejercicio

Estrategia 2:

1. Depositar por un año a la tasa de interés en pesos,

Es claro que con ambas estrategias se sabe exactamente cuál va a ser elmonto en pesos que se reciba al cabo de un año. Dado que ninguna de lasestrategias involucra riesgo y que ambas valen lo mismo en t = 0, debe ser

cierto que su valor debe ser el mismo en T = 1.

Si ambas valen lo mismo en = 1, entonces (1 + ) ¢ = ¢ (1 + ).Despejando para se obtiene:

= ¢ (1 + )

(1 + ) (2.14)

Si en vez de utilizar tasas discretas se utilizan tasas continuas, la expre-sión anterior puede escribirse como:

= ¢

= ¢ (

¡ ) (2.15)

Esta última expresión es equivalente a aquella dada en la ecuación 2.12.

Ejercicio 4 Hacia …nes de 1999 se vivió una extraña situación en el mer-cado de capitales local. En efecto, el precio de compra de dólares a un añocoincidía con el precio spot. ¿Cómo se explica usted que los inversionistas locales no hayan aprovechado estas oportunidades de arbitraje? ¿Existían efectivamente oportunidades de arbitraje? Explique.

2.2.4 Contratos Forward sobre Commodities

Existen commodities que son utilizados por los inversionistas como depósi-tos de valor, es decir, sólo son instrumentos de inversión; por ejemplo, eloro y la plata. Si no existen costos de almacenaje, el precio a futuro decualquiera de estos vendría dado por:

= ¢ ( ¡) (2.16)


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donde corresponde al precio spot del commodity en cuestión. Si exis-

ten costos de almacenaje, estos pueden ser considerados como dividendos negativos . De esta forma, análogamente a la ecuación 2.11, es fácil obtenerque el precio a futuro viene dado por:

= ( + ) ¢ ( ¡) (2.17)donde corresponde al valor presente de los costos de almacenaje del

commodity durante la vida del contrato forward. Por último, si el costo dealmacenaje es proporcional al precio del commodity, este costo puede serconsiderado como un dividend yield negativo. Analogamente a la ecuación(12), el precio futuro viene dado por:

= ¢ (+)( ¡) (2.18)

donde es el costo de almacenaje por año, medido como una proporcióndel precio spot.

Ejercicio 5 Demuestre 2.17 y 2.18 utilizando argumentos de arbitraje.

Otros bienes son mantenidos con propósitos distintos del de inversión.Por ejemplo, el cobre es mantenido en inventario por una fábrica de alambreporque le permite mantener en marcha su proceso productivo. Es decir, semantiene un stock del commodity por el valor atribuible a su valor deconsumo. De esta forma, existen bene…cios para los tenedores del bien queno son percibidos por los tenedores de contratos a futuro sobre el bien. Aestos bene…cios usualmente se les denomina Convenience Yield . Para estetipo de bienes, los argumentos de arbitraje que hemos estado utilizando

sólo proporcionan un límite superior a los precios a futuro de estos bienes,de forma que sólo garantizan que:

· ( + ) ¢ ( ¡) (2.19)en el caso de que los costos de almacenaje sean un monto conocido o;

· ¢ (+)( ¡) (2.20)si estos costos son proporcionales al precio del bien.

Ejercicio 6 Suponga que > ( + ) ¢ ( ¡). Intente implementar una estrategia de arbitraje.

Ejercicio 7 Suponga que ( + )¢

( ¡) Intente implementar una

estrategia de arbitraje. ¿Puede hacerlo? Explique.

De…nición 4 El retorno por conveniencia o convenience yield, , se de…ne de forma tal que:


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¢ ( ¡) = ¢ (+)( ¡) (2.21)

o

¢ ( ¡) = ( + ) ¢ ( ¡) (2.22)


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OPCIONES FINANCIERAS

Las opciones son seguros de precio que, en general, garantizan a su tenedor,un precio máximo de compra o un precio mínimo de venta. Al igual queen el caso de los futuros, en los mercado de opciones se transa riesgo yson mercados de suma cero. Aun cuando la valoración de opciones es algomás so…sticada que la valoración de futuros, ambas se basan en el mismoprincipio: el arbitraje.

Entre estos instrumentos, los más conocidos son las opciones de comprao call options y las opciones de venta o put options .

De…nición 5 (Call Option) Una opción de compra o call option da a su tenedor el derecho, no la obligación, de comprar un activo determinado-el activo subyacente ( )- a un precio previamente establecido -el precio de ejercicio ( ó )-antes de o en una fecha especí…ca-la fecha de madurez-.

De…nición 6 (Put Option) Una opción de venta o put option da a su tenedor el derecho, no la obligación, de vender un activo determinado -el activo subyacente ( )- a un precio previamente establecido -el precio de ejercicio ( ó )-antes de o en una fecha especí…ca-la fecha de madurez-.

Si la opción no puede ser ejercida antes de la fecha de madurez, se dice

que la opción es Europea ; si puede ser ejercida con anterioridad a la fecha demadurez, se dice que la opción es Americana . Resulta intuitivamente claroque el valor de una opción depende del precio spot del activo subyacente,del tiempo al ejercicio y del precio de ejercicio.


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24 3. OPCIONES FINANCIERAS

El tenedor de una opción de compra ejercerá su opción sólo si el preciode el activo subyacente es mayor que el precio de ejercicio. Considermos los‡ujos de caja del tenedor de una opción de compra europea en la fecha de

madurez.

Figura 6: Long Call

K ST

Flujo

45°

K ST

Flujo

45°

Si nadie (racional) exigirá su derecho de comprar en un activoque puede comprar en el mercado a un precio menor. En este caso se diceque la opción está Out of the Money . Si > entonces conviene ejercer laopción, puesto ésta da el derecho a comprar el activo por un precio menoral que prevalece en el mercado. En este situación, se dice que la opciónestá In the Money . El ‡ujo asociado al ejercicio de la opción es ¡ ycorresponde a su Valor Intrínseco, el cual se presenta en la …gura siete para

una posición larga en el instrumento. El inversionista que vendió la opción-es decir, que vendió el derecho a que le compren el activo suyacente a unprecio determinado-tiene una posición corta en el instrumento y los ‡ujosasociados a ésta se presentan en la …gura número siete.


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3. OPCIONES FINANCIERAS 25

Figura 7: Short Call

K ST

Flujo

45°K ST

Flujo

45°

Considermos, ahora, los ‡ujos de caja del tenedor de una opción de ventaeuropea en la fecha de madurez. Si el precio del activo subyacente es mayorque el precio de ejercicio en la fecha de madurez, la opción no es ejercida,ya que nadie exige su derecho a vender un activo a un precio determinadoinferior al precio al cual se transa el activo en el mercado. Por otro lado, si , sí tiene sentido ejercer la opción, obteniéndose un ‡ujo de ¡ .En el panel izquierdo de la …gura número ocho se presenta el ‡ujo asociadoa una posición larga en una put, mientras que en el panel derecho la contraparte corta en el instrumento.

Antes de entrar en el tema de valoración de opciones, resulta útil analizarcuáles son los límites al valor de una opción, lo que nos lleva al tema de lasRelaciones de Arbitraje .


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Figura 8: Long Put y Short Put

K ST

Flujo

45°

K ST

Flujo

45°K ST

Flujo

45°

K ST

Flujo

45°


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3.1 Relaciones de Arbitraje 27

3.1 Relaciones de Arbitraje

En general, se utiliza para el precio de una call americana y para el

precio de una call europea. De la misma forma, corresponde al preciode una opción de venta americana y al precio de una opción de ventaeuropea.

Proposición 1 ( ¡ ) > 0 ( ¡ ) > 0

Demostración. La demostración es trivial. Los ‡ujos asociados a unaposición larga en una call son siempre no negativos. Por ende, su precio nopuede ser negativo.

Proposición 2 ( ¡ ) > ( ¡ )

Demostración. Supongamos que ( ¡ ) · ( ¡ ) yconsideremos la siguiente estrategia de arbitraje:

Hoy En Estrategia

Comprar ¡ ¡ 0Vender + ¡ ( ¡ ) 0

Flujo (¡ ) 0 0 0Siguiendo la estrategia anterior, se obtiene un Free Lunch.

Proposición 3 Si 2 1 =) ( 2 ¡ ) > ( 1 ¡ )

Esta proposición establece que una opción call americana con un deter-minado tiempo al vencimiento debe tener un precio superior al de opcionesequivalentes con un menor plazo de vencimiento.

Demostración. Supongamos que 2 1 y ( 2 ¡ ) ( 1 ¡ ).Consideremos la siguiente estrategia de arbitraje:

Hoy Estrategia

Comprar ( 2 ¡ ) ¡ ( 2 ¡ )Vender ( 1 ¡ ) + ( 1 ¡ )

Flujo 0

Antes o durante 1Estrategia

Comprar ( 2 ¡ )Vender ( 1 ¡ )

Flujo

Se ejerce ( 1 ¡

) No se ejerce ( 1 ¡

) 1 ¡ Ejercer si 1 ¡ 1 + 0

0 > 0


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Entre 1 y 2Estrategia

Comprar ( 2¡

)

Vender ( 1 ¡ )Flujo

Ejercer si 2

Vencida> 0

La estrategia de arbitraje da origen sólo a ‡ujos mayores o iguales quecero y al menos a un ‡ujo mayor que cero.

Proposición 4 Si 2 1 =) ( ¡ 1) > ( ¡ 2)Ejercicio 8 Demuestre la proposición (4).

Proposición 5 Si 2 1 =) ( ¡ 1) > ( ¡ 2)Demostración. Supongamos que 2 1 y ( ¡ 1) ( ¡ 2)

y consideremos la siguiente estrategia de arbitraje:

Hoy En Estrategia 0 · · 1 1 · · 2 2 · Vender ( ¡ 2) 0 0 ¡ ( ¡ 2)

Comprar ¡ ( ¡ 1) 0 ¡ 1 ¡ 1Flujo 0 0 > 0 2 ¡ 1 0

Nuevamente, la estrategia de arbitraje da origen sólo a ‡ujos mayores oiguales que cero y al menos a un ‡ujo mayor que cero.

Proposición 6 ( ¡ ) > [0 ¡ ]Ejercicio 9 Demostrar la proposición (6).

Ejercicio 10 ¿Se cumple la proposición (6) para opciones europeas? In-

tente demostrarlo.Proposición 7 Para opciones suscritas sobre un activo subyacente que nopaga dividendos durante la vida de éstas, se cumple que:

( ¡ ) > £0 ¡ ¢ ¡( ¡)¤ ( ¡ ) > £0 ¡ ¢ ¡( ¡)¤Demostración. Considermos el caso de una opción europea y supong-

amos que ( ¡ ) ¡ ¢ ¡( ¡)

Hoy En Estrategia > Comprar ¡ ( ¡ ) 0 ¡ Vender

¡ -

Depositar ¡( ¡) ¡¡( ¡) 0 ¡ 0 0

La estrategia anterior genera un arbitraje.


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Ejercicio 11 Demuestre la proposición (7) para el caso de una opción americana.

Proposición 8 Una opción de compra americana suscrita sobre un activoque no paga dividendos, siempre vale más viva que muerta. Esto es, nunca conviene ejercerla antes de la fecha de madurez.

Demostración. > ¡ ¢ ¡( ¡) > ¡ = De la proposición (8) se desprende que una opción de compra americana

suscrita sobre un activo que no paga dividendos vale lo mismo que sucontraparte europea.

Proposición 9 Para un activo que paga dividendos conocidos se cumple que:

( ¡ ) > ( ¡ ) > £0 ¡ ¢ ¡( ¡) ¡¤

donde corresponde al valor presente de los dividendos.

Ejercicio 12 Demostrar la proposición (9).

Proposición 10 ( ¡ = 0) = > ( ¡ 0)

La proposición (10) establece que la acción vale siempre más que la op-ción. Esto resulta tremendamente intuitivo. Después de todo, ¿qué valemás? ¿El derecho a comprar un auto o el auto en sí mismo?

Ejercicio 13 Demostrar la proposición (10)

Proposición 11 Para un activo subyacente que no paga dividendos:

lim( ¡)!1 ( ¡ ) =

Demostración. Por la proposición (7), ( ¡ ) > £0 ¡ ¢ ¡( ¡)¤lim

( ¡)!1 ¢ ¡( ¡) = 0, para todo precio …nito de ejercicio.

Así, cuando ( ¡ ) !1, ( ¡ ) > [0 ]Por la proposición (10), > ( ¡ ) Luego, =

Proposición 12 Si 2 1, entonces;

( ¡ 1)¡ ( ¡ 2) · 2 ¡ 1 ( ¡ 1)¡ ( ¡ 2) · ( 2 ¡ 1) ¢ ¡( ¡)



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¿Qué nos dice intuitivamente esta última proposición? En la …gura 9 Ase presenta el valor de la call como función del precio de ejercicio en elespacio [ ] Cuando aumenta el precio de ejercicio, disminuye el pre-

cio de la call, pero menos que proporcionalmente. ¿Por qué? Comprar unacall, es como comprar una acción más un seguro. De la proposición (7), ( ¡ ) > ¡ ¢ ¡( ¡). El seguro viene a restablecer la igual-dad, con lo cual, ( ¡ ) = ¡ ¢ ¡( ¡) + ( ¡ ) Si cambia el precio de ejercicio, también cambia el valor del seguro. Así, ( ¡ 1) ¡ ( ¡ 2) + ¢ = 2 ¡ 1 Si el precio deejercicio aumenta, manteniendo el precio spot del subyacente constante, elprecio de la call disminuye, pero menos que proporcionalmente, puesto quehay una disminución importante el en valor del seguro. Para ver esto úl-timo, consideremos la situación presentada en la …gura 9 B y supongamosque el precio spot del activo subyacente es 0 y que coincide con 1. Parala opción con precio de ejercicio 1 el valor del seguro es alto, puesto quefrente a pequeñas variaciones en el precio del subyacente la opción puedequedar in the money y o out of the money . Sin embargo, no ocurre lo mismopara la opción con precio de ejercicio 2. Para esta última, los movimientosen el precio deber ser sustanciales para que esté in the money . Por ende, elvalor del seguro para esta última es bajo.

Figura 9 A

K

C

K2K1

C(S, T-t, K2)

C(S, T-t, K1)

45°

C

K

K

C

K2K1

C(S, T-t, K2)

C(S, T-t, K1)

45°

C

K


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Figura 9 B

ST

C

K2K1

S0T

C(S, T-t, K1)C(S, T-t, K2)

ST

C

K2K1

S0T

C(S, T-t, K1)C(S, T-t, K2)

Proposición 13 (Concavidad) Si 3 1 y 2 = 1 + (1 ¡ ) 38 2 [0 1]

( ¡ 2) · ( ¡ 1) + (1¡ ) ( ¡ 3)

( ¡ 2) · ( ¡ 1) + (1¡ ) ( ¡ 3)


La proposición (13) establece la concavidad de la relación entre el valorde una call y el precio de ejercicio en el espacio [ ], como se muestra enla …gura 11.


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Figura 11

K

C

K3K1

C(S, T-t, K3)

C(S, T-t, K1)

C(S, T-t, K2)

K2

C(S, T-t, K1)+(1-) C(S, T-t, K3)

K

C

K3K1

C(S, T-t, K3)

C(S, T-t, K1)

C(S, T-t, K2)

K2

C(S, T-t, K1)+(1-) C(S, T-t, K3)

Proposición 14 ( ¡ ) > 0 ( ¡ ) > 0Proposición 15 ( ¡ ) > ( ¡ )Proposición 16 Si 2 1 =) ( 2 ¡ ) > ( 1 ¡ )Proposición 17 Si 2 1 =

) (

¡ 2) > (

¡ 1)

( ¡ 2) > ( ¡ 1)Proposición 18 > [0 ¡ ]Proposición 19 >

£0 ¢ ¡ ( ¡) ¡ ¤

Proposición 20 ( = 0 ¡ ) = > ( ¡ )Proposición 21 Si 2 1, entonces;

( ¡ 2)¡ ( ¡ 1) · 2 ¡ 1 ( ¡ 2) ¡ ( ¡ 1) · ( 2 ¡ 1) ¢ ¡ ( ¡)

Proposición 22 Si 3 1 y 2 = 1 + (1 ¡ ) 3 8 2 [0 1] ( ¡ 2) · ( ¡ 1) + (1¡ ) ( ¡ 3)

Ejercicio 16 Demuestre las proposiciones (14) a (22)


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Probablemente, la relación de arbitraje más conocida es la paridad put-call.

Proposición 23 (Paridad Put-Call europea sin dividendos) Para op-ciones europeas y un activo subyacente que no paga dividendos ,

= ( )¡ ( ) + ¡ ( ¡)

Demostración. Supongamos que ( ) ( )+ ¡¡ ( ¡)

Hoy En Estrategia > Vender ( ¡ ) 0 ¡ ( ¡ )

Comprar ¡ ( ) ¡ 0Comprar ¡

Endeudarse en ¡( ¡) ¡ ( ¡) ¡ ¡ ¡ ¡ + ¡( ¡) 0 0 0

De acuerdo a la paridad put-call, mantener una acción en cartera esequivalente a :

² Tomar posición larga en una call

² Tomar posición corta en una put

² Depositar el valor presente del precio de ejercicio.

El portafolio que se construye para imitar los pagos de la acción se conocecomo Portafolio Imitador . En la …gura número 10 se muestran los pagosque realiza la acción en y los pagos que efectúa el portafolio imitador en .


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Figura 10

Call (long)

Put(short)

Call - Put

Stock

Precio Stock en t = T

Flujo

Call (long)

Put(short)

Call - Put

Stock

Precio Stock en t = T

Flujo

A modo de ejemplo, suponga que el precio de la acción de ACME es de$110 y que se además se transan opciones de compra (call) y venta (put),ambas con precio de ejercicio de k = $105 y fecha de ejercicio en 6 meses. Latasa libre de riesgo, compuesta anualmente, es de un 10,25% anual, siendoel precio de la call de $17 y el precio de la put de $5. Dados estos precios,¿existen oportunidades de arbitraje?

Según la paridad put call, el precio de la acción debería ser:

= ¡ + (1+ )

( ¡)

= 17 ¡ 5 + 10511025

12

= 12 + 100= 112

Dado que el precio de la acción es de $110, es posible generar una es-trategia que, sin incurrir en ningún riesgo, es capaz de generar sólo ‡ujosmayores o iguales que cero. Ya que ¡ +

(1+ )( ¡) , siguiendo el

consejo de algunos profesionales de “comprar barato y vender caro”, de-beríamos comprar la acción, “lo barato” y vender el portafolio que replicalos pagos de la acción, “lo caro”. Esta estrategia se muestra en la tablauno.


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Tabla 1

Estrategia

Hoy

ST < 105 ST > 105

Comprar stock -110 ST ST

Pedir Prestado 100 -105 -105

Vender Call 17 0 - (ST-105)

Comprar Put -5 105 - ST 0

2 0 0

En 6 meses

Pagos

Esta estrategia da origen a un Free Lunch.


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37/67

4

VALORACION DE OPCIONES

Una primera forma de aproximarse al precio de una opción es a través delos denominados Árboles Binomiales . Esta metodología es simple y ademáspermite de…nir importantes conceptos que serán utilizados más adelante.

4.1 Proceso de Precio Binomial para OpcionesEuropeas

Consideremos un sólo período de tiempo, al cabo de cual vence una opciónde compra europea suscrita sobre el activo subyacente , el cual no pagadividendos en el período en cuestión. Supondremos, además, que al …nal delperíodo el activo puede tomar sólo dos valores, los que se conocen hoy, perono se sabe cuál de éllos se realizará. Se conoce el precio spot del subyacentey se desea valorar una opción de compra suscrita sobre el mismo.

De…niendo:

, Factor en que el precio del activo subyacente puede subir en elpróximo período.

, Factor en que el precio del activo subyacente puede bajar en elpróximo período

, Probabilidad real de que el precio suba , Retorno esperado del activo subyacente durante el próximo período

En la …gura 11 se presenta el problema en base a un árbol binomial.


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38 4. VALORACION DE OPCIONES

Figura 11

S

Su

Sd

c

cu = Max(Su-k,0)

cd = Max(Sd-k,0)

q

1-q

q

1-q

S

Su

Sd

c

cu = Max(Su-k,0)

cd = Max(Sd-k,0)

q

1-q

q

1-q

De…niendo r como el retorno que predeciría un modelo de equilibriocomo el CAPM, es claro que,

1 + = ¢ ¢ + (1¡ ) ¢ ¢

= 1 +

Ahora, y están fuertemente correlacionados, por lo cual debe existirun número de calls y un número de activos tales que, al conformar unportfolio, éste valga lo mismo ya sea que el precio de la acción suba o baje;es decir, que sea un portfolio libre de riesgo. De hecho, la construcciónde un portfolio libre de riesgo es una de las formas de llegar al precio deuna call. Otra forma, que veremos más adelante, es a través del uso de lasdenominadas Probabilidades Ajustadas por Riesgo o Pseudo Probabilidades.

I Construcción de un Portfolio Libre de Riesgo

Sea el número de contratos call por contratos S, tal que el portfolio así conformado sea libre de riesgo. ¿Cuántos contratos call se deben compraro vender?. Consideremos el portfolio:

¡ ¢ (4.1)Para que este portfolio sea libre de riesgo, debe darse que:

¢ ¡¤ ¢ = ¢ ¡¤ ¢ =) ¤ = ¡ ¡

Despejando ¤, el número de contratos call por contrato que hacenque el portafolio valga lo mismo cualquiera sea el precio de al …nal delperíodo bajo estudio,

m¤= S ¡ ¡ (4.2)

Ahora, un portfolio sin riesgo debe rendir la tasa libre de riesgo (¿porqué?). De esta forma,


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4.1 Proceso de Precio Binomial para Opciones Europeas 39

1 + = ¢ ¡¤ ¢

¡¤

¢

(4.3)

Despejando y utililizando 4.2,

c =³1+ ¡¡

´+

³¡(1+ )

¡

´1 +

(4.4)

La ecuación 4.4 establece cuál debería ser el precio de la call. ¡Peroni ni aparecen en esta fórmula! Este es un resultado central eneconomía …nanciera. Dos personas con distintas expectativas respecto delrendimiento del activo subyacente, estarán de acuerdo en relación a cuáldebería ser el precio de la call suscrita sobre este activo. En general, elvalor de los derivados no depende explícitamente del premio por riesgo delos activos subyacentes ni de las creencias individuales de los inversionistas.

Volvamos a la ecuación 4.4 y de…namos:

, 1 + ¡

¡ (4.5)Luego,

1¡ = ¡ (1 + )¡

Nótese que cumple con todos los requisitos para ser una probabilidad;0 · · 1 y + 1 ¡ = 1. Como se discutirá más adelante, es laprobabilidad de que el activo suba de precio en un mundo donde todos losindividuos son neutrales al riesgo.

II Probabilidades Ajustadas por Riesgo

Reemplazando en 4.4, el precio de una opción de compra call puedeexpresarse como:

c = + (1¡ )

1 +

donde

= 1 + ¡

¡

= [ ¡ 0]

= [ ¡ 0]Por otro lado, habíamos dicho que el retorno esperado del activo subya-

cente viene dado por:


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1 + = ¢ ¢ + (1¡ ) ¢ ¢

¿Qué pasa si reemplazamos por ?

1+ = ¢ ¢ + (1¡ ) ¢ ¢

=

µ1 + ¡

¡

¶¢ ¢ +

µ1¡

µ1 + ¡

¡

¶¶¢ ¢

Simpli…cando,

1 + = (1 + ) ¢

= 1 +

El retorno esperado del activo subyacente corresponde al retorno librede riesgo, si es que la probabilidad de ocurrencia de los eventos es y no Esta pseudo probabilidad , corresponde a la probabilidad de ocurrenciade los eventos de forma tal que todos los activos de la economía, no sóloaquellos libres de riesgo, rindan la tasa libre de riesgo. Pero, ¿quién estaríaa dispuesto a comprar un activo que siendo riesgoso, rinda sólo la tasa

libre de riesgo? Cualquiera, en un mundo donde todos los individuos seanNeutrales al Riesgo. Por esta razón, también se conoce como Probabilidad Ajustada por Riesgo

Ejemplo : Suponga que se desea evaluar una opción de compra europeasobre un activo . Los datos son los siguientes:

= 1 año = 100 = 100 = 1.2 = 0.8 = 10% anual

La probabilidad de que acción suba de precio, , es de un 50%. Losprocesos de precio para la acción y la opción se presentan en la …gura 12.


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Figura 12

120 20

50% 50%

100 ?

50% 50%

80 0

Proceso de la Acción Proceso de la Opción

En este caso, = 1 + 01¡ 08

12¡ 08 = 075 El precio de la call se obtiene de

c =20 ¢ 075 + 0 ¢ (1¡ 075)

1 + 01 = 1364

¿Se da cuenta que no se ha ocupado en ningún momento la probabilidad de que la acción suba de precio?.Tampoco hemos hecho consideraciónalguna respecto de las actitudes de los inversionistas frente al riesgo. Dosindividuos, con expectativas absolutamente opuestas respecto del desem-peño futuro de la acción y con distintos grados de aversión al riesgo, estaránde acuerdo en que el precio de la opción hoy es de 13.64. Las expectativas

de los individuos respecto de la evolución del precio del activo subyacenteno juegan rol alguno en la evaluación de los derivados.

Nótese que al calcular el precio de la call, se obtiene el valor esperadodel pago de la opción, ocupando las probabilidades ajustadas por riesgo,el cual se trae a valor presente utilizando la tasa libre de riesgo. ¿Cuál esla intuición detrás de esto? Dado que la opción se valora por arbitraje, suprecio es independiente de la actitud de los inversionistas frente al riesgo.Por ende, al valorar la opción, puede asumir cualquier grado de aversidad alriesgo. Si este es el caso, conviene asumir que los inversionistas son neutralesal riesgo, puesto que sabemos que en un mundo de neutrales al riesgo, todoslos activos de la economía deben rendir la tasa de interés libre de riesgo.

Suponga, ahora, que la opción de compra vence en dos años. Podemosacudir nuevamente al árbol binomial para obtener el precio de la opciónde compra. En este caso, tendremos un árbol que se recompone al …nal delprimer año.


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Figura 13

144 44

120 cu1

100 96 c0 0

80 cd1

64 0

Proceso de la OpciónProceso de la Acción

Claramente, para poder obtener el precio de la opción hoy, 0, es necesarioestablecer, primero, cuál es el precio de la opción dentro de un año, es decir,en = 1. Sin embargo, el precio de la opción el próximo año dependeráde lo que haya sucedido con la acción. Si la incertidumbre se resuelve deforma tal que el precio de la acción suba, entonces el precio de la call en

= 1 será

1 . Si la acción cae, el precio de la opción será

1. Nuevamente,1 y 1 dependerán del precio que alcance la call en = 2, lo que a su vez

depende de qué suceda con el precio de la acción entre = 1 y = 2. Perodado que la opción vence en = 2, sabemos todos los posibles valores quepuede tomar la opción en ese instante del tiempo. Por ende, nos podemos“devolver” y calcular el precio de la opción en = 1, dado que sabemostodos los posibles valores de la opción en el ejercicio. Una vez calculadostodos los posibles valores de la opción en = 1, podemos calcular el preciode la opción en = 0. Este proceso se denomina Inducción en Reversa oBackwards Induction . El problema ahora es cómo calcular el precio de laacción en = 1.

Ya sabemos que la probabilidad ajustada por riesgo de que la acción suba

de precio es = 075 y que la opción debe rendir la tasa libre de riesgo,si asumimos neutralidad al riesgo. De esta forma, podemos considerar elproceso iniciado en 1 como un proceso independiente de sólo un períodoy valorar como lo hicimos en el caso más sencillo.


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Figura 14

44

cu1

0

De esta forma, tenemos que:

1 = 075 ¢ 44 + 025 ¢ 0

11 = 300

De igual manera,

Figura 15

0

cd1

0

1 =

075 ¢ 0 + 025 ¢ 011

= 0

Ahora, ya conocemos todos los posibles valores de la opción en = 1. Elproblema se ha reducido a un árbol de un sólo período.


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Figura 16

30

c0

0

Entre = 0 y = 1, la opción debe rendir la tasa libre de riesgo. Así,

0 = 75 ¢ 30 + 25 ¢ 0

11 = 20 455

4.2 Proceso de Precio Binomial para OpcionesAmericanas

El procedimiento de árboles binomiales puede también utilizarse para cal-cular el precio de opciones americanas, las cuales pueden ejercerse en formaprevia a la fecha de ejercicio.

Cualquiera sea la opción que se desea evaluar, americana o europea, call oput, el proceso del activo subyacente será el mismo. Sin embargo, el procesode precio seguido por la opción esdiferente. Consideremos una opción deventa americana, suscrita sobre la misma acción del ejemplo anterior.


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4.2 Proceso de Precio Binomial para Opciones Americanas 45

Figura 17

144 0

120 PU1

100 96 P0 4

80 Pd1

64 36

Proceso de la OpciónProceso de la Acción

Al igual que para el caso de las opciones europeas, utilizaremos el métodode Inducción en Reversa. Para obtener el precio de la opción en = 0,primero debemos obtener todos los posibles valores de la opción en =1. Asumiendo neutralidad al riesgo, la opción debe rendir, en todos losperíodos, la tasa libre de riesgo.

1 = 75 ¢ 0 + 25 ¢ 4

11 = 90909

¿Es este el precio de la opción en = 1, en el evento que la acción haya

subido de precio? Depende, porque ahora el dueño de la opción la puedeejercer. En este caso, no ejercería y el precio de la put sería efectivamente0.90909. Para el otro nodo,

1 = 75 ¢ 4 + 25 ¢ 36

11 = 10 909

Pero, ¿qué pasa si el dueño de la opción la ejerce? En este caso, la in-certidumbre se habría resuelto de forma tal que el precio de la acción sería80. El tenedor de la put tiene el derecho de vender la acción que vale 80 en100. Por lo tanto la opción vale 20 y no 10.909.

Sólo falta calcular el precio de la put en t = 0. Para esto, hacemos,

0 = 75 ¢ 090909 + 25 ¢ 2011

= 5 1653

En = 0, la opción no se ejercerá y, por ende, vale 5.17


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Figura 18

0

Precio Calculado 0.90909

Si se ejerce 0

PU1

Precio Calculado 5.17 P0 4

Si se ejerce 0

Pd1

Precio Calculado 10.909

Si se ejerce 20

36

Proceso de la Opción

4.3 Valoración de Opciones por Black y Scholes

En su trabajo galardonado con un Nobel, Black,Scholes y Merton encon-traron una fórmula para valorar una opción europea sobre un activo queno paga dividendos. Denominando ( ) al precio de la call europea, elproblema es solucionar el siguiente programa:

1

2

2

2 2

2

+

+

¡ = 0( ) = [ ¡ 0]

( = 0 ) = 0

9>=>; (4.6)

Las dos últimas ecuaciones son las condiciones de borde para una calleuropea.

La solución a este problema es la Fórmula de Black y Scholes:

( ) = ¢ ()¡ ¢ ¡( ¡) ¢ ³

¡ p

( ¡ )´

(4.7)

donde =

ln

µ

¶+ ¢ ( ¡ )

¢p ( ¡ )

+ 12 ¢p ( ¡ ) y donde (¢) corre-sponde a la función de densidad acumulada de la normal estándar.

Según la Fórmula de B&S, el valor de una opción de compra europeadepende de:


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4.3 Valoración de Opciones por Black y Scholes 47

² el precio del activo subyacente

² el precio de ejercicio

² la volatilidad del retorno del activo subyacente² el tiempo que falta para el ejercicio² la tasa de interés libre de riesgo.

¿Qué sucede con el valor de la call al cambiar uno o más de estos parámet-ros? Esto es lo que se discute a continuación.

Delta

La DELTA de una opción se puede de…nir como la sensibilidad del preciode la opción, frente a variaciones del precio del subyacente. Para el caso

concreto de una call europea, la delta corresponde a

Se puede demostrar(¡intente hacerlo!) que, en este caso,

=

= () (4.8)

Nótese que 0 () 1 Tratemos de dar una interpretación intuitiva a (). Cuando el precio del subyacente, digamos una acción , se hace muygrande, es altamente probable que la opción sea ejercida. Es de esperarse,entonces, que el valor de la call se parezca al valor de un futuro. Recordandoque el valor de un futuro viene dado por: = ¡¡( ¡), debería darseque ¼ ¡ ¡( ¡).

Ahora, cuando se hace muy grande, tanto () como ¡

¡ p ¡ ¢se aproximan a uno. Por ende, a medida que crece, Delta se aproxima a

la unidad y, debido a la relación encontrada en 4.7, el valor de la call seaproxima a ¢1¡ ¢¡(¡ ) ¢1 = ¡¡( ¡) Así, es posible interpretar () como la pseudo probabilidad de ejercer la opción.

La evolución del precio de la call y de = (), en función del preciode la acción, se muestran en las …guras (19) y (20) respectivamente1 .

Cuando la opción está Out of the Money , cambios en el precio de laacción afectan muy poco el precio de ésta. En el otro extremo, cuando elprecio de la acción es alta y la opción se encuentra Deep In the Money ,cambios en el precio de la acción tienen un efecto uno a uno en el preciode la opción.

1 Estos grá…cos fueron obtenidos utilizando la Fórmula de Black y Scholes para unaopción de compra europea, sobre un activo que no paga dividendos, con ejercicio dentrode seis meses (T=0.5), con una volatilidad del 20% anual ( = 20%) y una tasa de interéslibre de riesgo del 10% anual. Un muy buen ejercicio es intentar replicar estos grá…cosen Excel.


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Se puede dar otra interpretación de () De la ecuación de B&S elvalor de la opción call viene dado por ( ) = ¢ () ¡ ¢ ¡( ¡) ¢ ¡¡

p

¡¢ Es decir, una call es equivalente a un portfolio com-

puesto por () unidades de la acción y un préstamo bancario, equiva-lente a

¡¡ p ¡ ¢ veces el monto del valor presente neto del precio

de ejercicio. Por ende, podemos interpretar () como el número de ac-ciones que se deben comprar para imitar, en forma instantánea, los ‡ujosde la opción. De ahí que () también se conozca como Delta Hedging .

Figura 19

0

5

10

15

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

Precio Acción

P r e c i o c

a l l

Figura 20

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

25 29 33 37 41 45 49 53 57

Precio Acción

D e l t a


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4.3 Valoración de Opciones por Black y Scholes 49

Volatilidad

A medida que aumenta la volatilidad del retorno del activo subyacente,

aumenta el valor de la opción call. Vale decir,

0

Intuitivamente, el dueño de una call tiene una Apuesta de un Sólo Ladoo un One Side Bet ; vale decir, dada la naturaleza convexa del patrón depagos de una call, al incrementarse el riesgo, para los “buenos” estados dela naturaleza la opción paga más, mientras que en estados desfavorables,las pérdidas están acotadas. El efecto del incremento de la volatilidad en el

valor de la call puede apreciarse en la …gura (21), donde los grá…cos fueronobtenidos para la misma opción de compra europea de las …guras (19) y(20), variando sólo la volatilidad, según se indica.

Figura 21

0

5

10

15

25 27.5 30 32.5 35 37.5 40 42.5 45 47.5 50

Precio Acción

P r e c i o C a l l

call (sigma = 20%) call (sigma = 35%)


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Tiempo al Ejercicio

A medida que la fecha de ejercicio se aleja en tiempo, el precio de la

opción call aumenta: 0

Mientras más adelante se mira en el futuro, mayor es la incertidumbrerespecto del precio de la acción y, por ende, mayor el valor de la call, yaque esta es como un seguro de precio.

Figura 22

T i e m p o

S t

T i e m p o

S t

Figura 23

0

5

10

15

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

Precio Acción

P r e c i o C a l l

call (T = 6 meses) call (T = 18 meses)

En la …gura (23) se han utilizado los mismos parámetros que en los casosanteriores, cambiando sólo el tiempo al ejercicio.


51/67

4.4 Black y Scholes para Activos que pagan dividendos 51

Tasa Libre de Riesgo

Matemáticamente, es fácil comprobar que al subir la tasa de interés libre

de riesgo, sube el precio de una call:

0

Figura 24

0

5

10

15

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

Precio Acción

P r e c i o C a l l

call (r = 10%) call (r = 20%)

Intuitivamente, al subir la tasa de interés libre de riesgo, ceteris paribus,debe subir el retorno exigido a la acción. Dado que el precio de la acciónhoy está …jo, el precio de la acción mañana debe subir, para generar elincremento necesario en el retorno.

4.4 Black y Scholes para Activos que pagan

dividendos

Consideremos, ahora, un activo que paga dividendos. El retorno total delactivo viene dado por la ganancia de capital y por el pago de dividendos.Siel derivado está suscrito sobre un activo que entrega un retorno continuoy conocido por dividendos, entonces = , donde es la tasa anual deldividendo que se paga continuamente.

Ejemplo 1 Considere una opción de compra europea sobre dólares. Sea el tipo de cambio spot, el valor de la opción de compra, la tasa de interés local libre de riesgo, la tasa de interés libre de riesgo norteamericana y el precio de ejercicio.

( ) = ¡ ( ¡)

¢ ()

¡

¢¡( ¡)

¢ ³¡

p ( ¡)´

con =ln

µ

¶+¡

¡ ¢ ¢ ( ¡ )

¢p

( ¡ ) + 12 ¢

p ( ¡ )


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53/67

5

Estrategias Especulativas utilizandoOpciones

Constituyendo un portfolio que contenga diferentes posiciones en diferentesinstrumentos, es posible generar diversos patrones de pagos que, eventual-mente, pueden ser atractivos para apostar respecto de la evolución futura deuna acción en particular. Como vemos, estas Estrategias Especulativas per-miten aportar al alza de una acción, a la baja, apostar a que permanecerámás bien estable, etc..En cada una de los casos que se estudiarán en estasección, se ha asumido que el activo subyacente, tiene un precio de 50 almomento de la construcción del portfolio especulativo, con = 60% anual

y = 20% anual. Además, se supone que todos los instrumentos deriva-dos sobre con europeos con vencimiento en seis meses y que no pagadividendos.

Bull Spreads

Considere un portafolio constituido por:

Estrategia

Posición Pagolong call con = 40 ¡16 10short call con = 70 +4 26

Los ‡ujos de pago que generaría este portfolio en la fecha de ejercicio semuestran en la …gura 25.


54/67

54 5. Estrategias Especulativas utilizando Opciones

Figura 25

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

0 8 1 6 2 4 3 2 4 0 4 8 5 6 6 4 7 2 8 0 8 8 9 6

Precio Acción

G a n a n c i a Portfolio

Call (K=40)

Call (K=70)

Dado que (¢)

0 se requiere de una inversión inicial de $11,84 paracrea el Bull Spread. Esta estrategia limita el potencial de pérdidas delinversionista, pero también limita las posibilidades de ganancia. De acuerdoa los parámetros del proceso de , la máxima ganancia que un inversionistapuede hacer con esta estrategia es de $18,17, mientras que la pérdida está

acotada a su inversión inicial. Es claro que un inversionista que entra enesta estrategia espera un incremento en el precio del activo subyacente.

Ejercicio 17 Al momento de constituir el portfolio, es posible que ambas opciones estén in the money, ambas out of the money o una out y la otra in. ¿Cuál de estas combinaciones es más cara de implementar? Si un inversionista elige una u otra, ¿qué nos dice su elección respecto de su agresividad?

Un bull spread puede también ser creado a partir de opciones de venta.Considere el siguiente portafolio:

Estrategia

Posición Pagolong put con = 30 ¡338short put con = 50 +10 6


55/67

5. Estrategias Especulativas utilizando Opciones 55

Los ‡ujos de pago en la fecha de ejercicio se muestran en la …gura 26.

Figura 26

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

0 8 1 6 2 4 3 2 4 0 4 8 5 6 6 4 7 2 8 0 8 8 9 6

Precio Acción


Put (K=30)

Put (K=50)

En este caso, la creación del portfolio especulativo genera un ‡ujo decaja positivo para el inversionista de $7,23. Sin embargo, como es lógico, lamáxima ganancia posible va a ser menor que la que se obtendría utilizandoopciones de compra. Además, la máxima ganancia, $7,23 que correspondeal ‡ujo de caja inicial, es menor que la máxima pérdida posible que alcanzaa $12,78.

Bear Spreads

Un inversionista que entra en este tipo de estrategia espera una caída enel precio del activo subyacente. Considere un portafolio constituido por:

EstrategiaPosición Pago

long call con = 70 ¡4 26short call con = 40 +161


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Figura 27

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

0 8 1 6 2 4 3 2 4 0 4 8 5 6 6 4 7 2 8 0 8 8 9 6

Precio Acción


Call (K=40)

Call (K=70)

Como se muestra en la …gura 27, un bear spread construido a partir deopciones de compra genera un ‡ujo de caja positivo inicial, en este caso de$11,83, y que corresponde a las ganancia que el especulador realiza de serciertas sus sospechas. La máxima pérdida, que ocurre en el caso de que laacción suba en vez de bajar, es de $18,17. Al igual que en el caso de los bullspreads, los bear spreads pueden ser creados utilizando opciones de venta.Considere el siguiente portafolio, cuyos pagos al ejercicio se muestran en la…gura 28:

Estrategia

Posición Pagolong put con = 60 -16 80short put con = 30 +340


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Figura 28

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

0 8 1 6 2 4 3 2 4 0 4 8 5 6 6 4 7 2 8 0 8 8 9 6

Precio Acción


Put (K=60)

Put (K=30)

Esta estrategia requiere de una inversión inicial de $13,4. La máximaganancia que se puede obtener es de $16,60 y es, naturalmente, mayor quela que se puede obtener utilizando calls para formar el portfolio.

Butter‡y Spreads

Suponga que un inversionista desea apostar a que el precio de una acciónno sufrirá cambios importantes durante un período determinado de tiempo.¿Cómo hacerlo? Considere el siguiente portfolio, cuyos ‡ujos se muestranen la …gura 29:

Estrategia

Posición Pagolong call con = 30 ¡23 40long call con = 70 ¡4 30

short 2 call con = 50 21 20


58/67


Figura 29

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

1 9 1 7 2 5 3 3 4 1 4 9 5 7 6 5 7 3 8 1 8 9 9 7

Precio Acción

G a

n a n c i a

Portfolio

call (K=30)

call (K=70)call (K=50)

Esta estrategia requiere de una inversión inicial de $6,4, siendo la máximaganancia posible un monto de $13,56, que se alcanza justamente para =50 Un butter‡y spread también puede generarse a partir de opciones deventa.

Estrategia

Posición Pagolong put con = 30 ¡3 40long put con = 70 ¡24 27

short 2 puts con = 50 21 20


59/67


Figura 30

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

1 9 1 7

2 5

3 3

4 1

4 9

5 7

6 5

7 3

8 1

8 9

9 7

Precio Acción

G a n a n c i a

Portfolio

Put (K=30)

Put (K=70)

Put (K=50)

Esta estrategia tiene un costo inicial de $6,45. La máxima ganancia, comose muestra en la …gura 30, se produce para = 50 y equivale a $13,56

Calendar Spreads

Dado que el precio de las opciones es sensible al tiempo restante al ejer-

cicio, es posible generar estrategias especulativas combinando opciones condiferentes fechas de ejercicio. Consideremos la siguiente estrategia:

Estrategia

Posición Pagoshort call con = 40 y ¡ = 1 mes 1120

long call con = 40 y ¡ = 12 meses ¡20 60

Dado que a mayor tiempo al ejercicio es mayor el valor de la call, estaestrategia requiere de una inversión inicial, que en este caso es de $9,41. Sila opción “larga” se vende (¡no se ejerce, porque no se puede!) cuando laopción “corta” vence, se genera un ‡ujo de caja como el que se muestra en

la …gura 31. El inversionista obtiene una ganancia si es que el precio de laacción al momento del vencimiento de la opción corta se encuentra cercanoal precio común de ejercicio. De hecho, la máxima ganancia posible ocurrepara = 40.


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Figura 31

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

1 1 0

1 9

2 8

3 7

4 6

5 5

6 4

7 3

8 2

9 1

1 0 0

Precio Acción


call (1 mes)

call (12 meses)

Ejercicio 18 Explique y desarrolle una estrategia que le permita generar un calendar spread utilizando opciones de venta.

Straddle

Esta es una estrategia de especulación atractiva para quien sospechaque se avecinan períodos de alta volatilidad en el precio de las acciones.Para construir un straddle, se debe comprar una call y una put con igualesprecios de ejercicio y madurez. El pagos al ejercicio de dicha estrategia semuestra en la …gura 32:

Estrategia

Posición Pagolong call con = 50 ¡10 60long put con = 50 ¡10 60


61/67


Figura 32

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

1 8 1 5

2 2

2 9

3 6

4 3

5 0

5 7

6 4

7 1

7 8

8 5

9 2

9 9

Precio Acción


Call

Put

Strangle

En un strangle también se apuesta a fuertes movimientos en el activosubyacente, pero se diferencia de un straddle en que si la sospecha no sematerializa y el precio de permanece estable, la pérdida es más reducida.

Estrategia

Posición Pagolong call con = 60 ¡6 78long put con = 40 ¡6 09


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Figura 33

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

1 9 1 7

2 5

3 3

4 1

4 9

5 7

6 5

7 3

8 1

8 9

9 7

Precio Acción


Call (K=60)

Put (K=40)


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6

La Variable Clave: La Volatilidad

Hasta el momento, hemos calculado el valor de las opciones utilizandoarbitraje. cabe preguntarse si es posible evaluar una opción utilizando elmétodo del valor presente neto. Después de todo, generalmente se a…rmaque el precio de un activo …nanciero viene dado por el valor presente de sus‡ujos futuros.

Supongamos una opción de compra europea sobre un activo que no pagadividendos, S. El precio de la acción es hoy de 150, pudiendo llegar dentrode un año a 200, con probabilidad del 65% o ba jar a 100. La tasa de interés

libre de riesgo es de 0%. La opción de compra tiene vencimiento de un añoy el precio de ejercicio es de 150.

Figura 34

200 50

65% 65%

150 ?

35% 35%

100 0

Proceso de la Acción Proceso de la Opción


64/67

64 6. La Variable Clave: La Volatilidad

Utilizando ya sea probabilidades ajustadas por riesgo o construyendo unportfolio libre de riesgo, es fácil obtener que el precio de la call es de 25.¿Es posible obtener este precio utilizando la técnica del valor presente?

Intentemos hacerlo.

El primer problema es obtener la tasa de descuento relevante para de-scontar los ‡ujos de la opción. Dado que la acción y la opción están perfec-tamente correlacionados, es tentador utilizar el retorno exigido a la accióncomo tasa de descuento para los ‡ujos de la call.

= ( 1)¡ 0

0=

035 ¢ 100 + 065 ¢ 200¡ 150150

= 1 (6.1)

Obtengamos, ahora, el valor de la call utilizando valor presente.

= 035 ¢ 0 + 065 ¢ 50

11

= 29 545 (6.2)

¡Pero esto es distinto de 25! De hecho, si alguien estuviese dispuesto acomprar la call por 29.5, existirían oportunidades de arbitraje (¿cómo?)

¿Cuál es el problema? El problema es la tasa de descuento que se estáutilizando para evaluar la call. Dado que sabemos que el precio de la call esde 25, encontremos la tasa que hace que el valor presente de la esperanzade los ‡ujos sea 25.

= 50 = 035 ¢ 0 + 065 ¢ 50

1 + ) = 30% (6.3)

La tasa correcta para descontar los ‡ujos es de un 30%, mayor que aquellautilizada para descontar los ‡ujos de la acción. Pero, ¿por qué? Porque la

opción es mucho más volátil que la acción. Veamos esto. Para la acción setiene que:

Figura 35

Retorno

200 200/150 = 1.33

q=65%

150

(1-q)=35% 100 100/150 = 0.67

Proceso de la Acción


65/67

6. La Variable Clave: La Volatilidad 65

La volatilidad del retorno del activo viene dada por:

2 = ( ¡ ¹ )

2

= ·4

3 ¡ ¹ ̧2

+ (1¡ ) ·2

3 ¡ ¹ ̧2

(6.4)

donde

¹ = 4

3 + (1¡ ) 2

3

=) 2 = (1¡ )µ

4

3 ¡ 2

3

¶2

En general, 2 = (1¡ ) (2 ¡ 1)2 En el caso que estamos analizando,2 = 065 ¢ 035 ¢

µ4

3 ¡ 2

3

¶2= 10111

¿Cual es la volatilidad de la call?

Figura 36

Retorno

50 50/25=100%

65%

25

35%

0 -100%

Proceso de la Opción

2 = 065 ¢ 035 ¢ (2¡ 0)2 = 91 (6.5)La call es mucho más volátil que la acción. O gano el doble o pierdo todo.

No se puede descontar a la misma tasa que la acción, ya que es mucho másriesgosa!

=

p (1¡ )

(1¡ )22

3

= 3 =)

= 3 (6.6)

Ahora, sí debe ser cierto que los retornos de la call y de la acción hande estar relacionados. Queremos investigar cuál es esta relación y obtenerque efectivamente la tasa exigida a la call es un 30%. Asumiendo que se


66/67

66 6. La Variable Clave: La Volatilidad

cumple el CAPM, podemos expresar los retornos esperados de la acción yde la call como:

( ) = + [ ¡ ] (6.7)

() = + [ ¡ ] (6.8)Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que = 0

De esta forma,

( ) = [] = 10% (6.9)

() = [] = (6.10)

Por ende,

= 01

=) = 01

(6.11)

Es tentador suponer que los betas están en la misma proporción que lasvolatilidades. Sin embargo, esto no es necesariamente cierto. Los betas dela acción y de la call son:

= ( )

() =

2

=

(6.12)

= ( )

() =

2

=

(6.13)

Dividiendo estas dos últimas ecuaciones,

=

(6.14)

Pero la call y la acción están perfectamente correlacionados: = 1 =) = Por ende,

=

= 13 =) 01 = 13 =) = 03 = 30%¡Esta es la tasa a la que se debe descontar la call!

Finalmente,

( )¡ = [ ¡ ] (6.15)

()¡ = [ ¡ ] (6.16)Dividiendo estas dos ecuaciones,


67/67

6. La Variable Clave: La Volatilidad 67

( )¡ ()

¡

=

=

(6.17)

De donde,

( )¡

= ()¡

(6.18)

¿Qué nos dice esta relación?

Apuntes Instrumentos Derivados

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